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T S Nouvelle–Calédonie mars 2009\ Correction
Exercice 1 : 4 points
Commun à tous les candidats
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct
O;u
!
;v
!
( )
d’unité graphique1 cm. On considère les points A et B d’ affixes
respectives zA = 1 et zB = 3+4i.
Soit C et D les points d’affixes respectives zC =
2 3 + i(-2 - 3 )
et zD =
-2 3 + i(-2+ i 3 )
L’ objet de l’exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C.
1. a. Montrer que l’image du point B par la rotation de centre A et d’angle
2!
3
est le point D.
Expression de r
A; 2!
3
!
"
#$
%
&
: z ''zA=e
i2(
3z'zA
( )
z ' ='1
2+ i 3 2
!
"
#$
%
&z'1
( )
+1
Soit B' =r
A; 2!
3
!
"
#$
%
&
(B) : zB ' ='1
2+ i 3 2
!
"
#$
%
&3+4i '1
( )
+1='1+ i 3
( )
1+2i
( )
+1
zB ' ='1'2i 3 +i'2+3
( )
+1='2i 3 +i'2+3
( )
=zD . Donc D = r
A;2!
3
!
"
#$
%
&
(B)
b. En déduire que les points B et D sont sur un cercle (C) de centre A dont on déterminera le rayon.
D = r
A;2!
3
!
"
#$
%
&
(B) donc AB = AD = zB'zA=2 + 4i =2 5
B et D sont sur le cercle (C) de centre A et de rayon 2 5
2. Soit F, l’image du point A par l’homothétie de centre B et de rapport
3
2
.
a. Montrer que l’affixe zF du point F est −2i.
Expression de h
B; 3
2
!
"
#$
%
&
: z ''zB=3
2z'zB
( )
z ' =3
2z'3'4i
( )
+3+4i
Soit F =h
B; 3
2
!
"
#$
%
&
(A) : zF=3
2zA'3'4i
( )
+3+4i =3
21'3'4i
( )
+3+4i
zF=3('1'2i) +3+4i ='2i. Donc zF='2i
b. Montrer que le point F est le milieu du segment [CD].
Le milieu de CD
!
"# $ a comme affixe : zC+zD
2
=2 3 +i(%2%3) %2 3 +i(%2+3)
2
=%4i
2
=%2i
Donc F est le milieu de CD
!
"# $
c. Montrer que
zC- zF
zA- zF
= -i 3
. En déduire la forme exponentielle de
zC- zF
zA- zF
.
zC- zF
zA- zF
=2 3 +i(!2!3) +2i
1+2i
=2 3 !i 3
1+2i
=32!i
1+2i
=3!i(1+2i)
1+2i
Donc
zC- zF
zA- zF
= -i 3

On peut donc en déduire la forme exponentielle de
zC- zF
zA- zF
= 3e
-i!
2
Déduire des questions précédentes que la droite (AF) est la médiatrice du segment [CD].
Avec le 2°)c) : zC- zF
zA- zF
=3e
!i"
2#AF
! "!!
;CF
! "!
( )
=!"
2 2"
$
%& ', c'est à dire que AFC est rec tangle en F
Avec le 2°)b) : F est le milieu de CD
$
%& '
(
)
*
+
*
Donc (AF) est la médiatrice de CD
$
%& '
3. Proposer un programme de construction pour les points D et C à partir des points A, B et F et réaliser la figure.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l ’évaluation.
C et D sont les intersections de la perpendiculaire passant par F avec le cercle de centre A passant par B.
Exercice 2 5 points
Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
L’espace est rapporté au repère orthonormal
O;i
!
; j
!
;k
!
( )
.On considère les points :A(4 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0), C(0 ; 0 ; 3) et
E2
3;-2 3;1 9
!
"
#$
%
&
. On se propose de déterminer de deux façons la distance δE du point E au plan (ABC).
RAPPEL : Soit (P ) un plan d’équation ax +by +cz +d = 0 où a, b, c et d sont des nombre réels avec, a, b et c non tous nuls et
M un point de coordonnées
(xM ; yM ; zM ) la distance δM du point M au plan (P ) est égale à :
axM+ byM+ czM+ d
a2+ b2+ c2
1. a. Montrer que les points A, B et C déterminent bien un plan.
AB
! "!! !4
2
0
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
et AC
! "!! !4
0
3
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
ne sont pas colinéaires (évident) donc A, B et C déter minent un plan.
b. Soit
n
!
le vecteur de coordonnées (3 ; 6 ; 4). Montrer que
n
!
est un vecteur normal au plan (ABC).
n
!
3;6;4
( )
donc n
!
.AB
" !""
=!12 +12 +0=0
n
!
.AC
" !""
=!12 +0+12 =0
"
#
$
%
$ donc n
!
est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan
n
!
est donc un vecteur normal de ce plan.

c. Montrer qu’une équation du plan (ABC) est : 3x +6y +4z −12 = 0.
n
!
3;6;4
( )
est un vecteur normal du plan (ABC).
Une équation de ce plan est donc de la forme : 3x + 6y + 4z + d = 0
A!(ABC) donc 12 +d=0 soit d ="12 .
Une équation de (ABC) est‹ bien de la forme : 3x + 6y + 4z - 12 = 0
d. Déduire des questions précédentes la distance δE.
!E=
32
3
"
#
$%
&
'+6(2
3
"
#
$%
&
'+41
9
"
#
$%
&
'(12
32+42+62
=
2(4+4
9(12
9+16 +36
=
(14 +4
9
61
=
(14 +4
9
61
=122
9 61
=2
9
61
2. a. Montrer que la droite (D) de représentation paramétrique :
x=1+t
y=2t
z=5
9+4 3t
!
"
#
#
$
#
#
où t%!
est perpendiculaire au plan (ABC) et
passe par le point E.
Un vecteur directeur de D est u
!
1;2; 4
3
!
"
#$
%
&, on remarque que n
!
=3u
!
.
Donc D est orthogonale au plan (ABC).
E2
3;'2 3;1 9
!
"
#$
%
&(D si il existe t réel tel que
2
3
=1+t
'2
3
=2t
1
9
=5
9
+4
3t
)
*
+
+
+
,
+
+
+
soit t='1
3 convient. E(D
b. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal G du point E sur le plan (ABC).
Soit G la projection orthogonale de E sur (ABC)
Les coordonnées de G vérifient :
x=1+t
y=2t
z=5
9+4 3t
3x +6y +4z !12 =0
"
#
$
$
$
%
$
$
$
Donc t est solution de l'équation : 3 1+t
( )
+6 2t
( )
+45
9+4 3t
&
'
()
*
+!12 =0,15 +16
3
&
'
()
*
+t+20
9!9=0
t=
61
9
61
3
=1
3 et G
xG=1+1
3=4 3
yG=2
3
zG=5
9+4 3-1 3=1
"
#
$
$
$
%
$
$
$
c. Retrouver à partir des coordonnées des points E et G la distance δE.
!E=EG =4
3"2 3
#
$
%&
'
(
2
+2
3
+2
3
#
$
%&
'
(
2
+1"1
9
#
$
%&
'
(
2
=4
9
+16
9
+64
81
=36 +144 +64
9
=244
9
=2
961
On retrouve le résultat précédent : !E=2
961

Exercice 3 5 points
Commun à tous les candidats
Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles.
La probabilité que la première cible soit atteinte est
1
2
.
Lorsqu’une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est
3
4
Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est
1
2
On note, pour tout entier naturel n non nul :
• An l’évènement : « la nième cible est atteinte ».
• Bn l’évènement : « la nième cible n’est pas atteinte.
• an la probabilité de l’évènement An
• bn la probabilité de l’évènement Bn.
1. Donner a1 et b1. Calculer a2 et b2. On pourra utiliser un arbre pondéré.
a1=p(A1)=1
2 et b1=p(B1)=1 2
a2=p(A2)=p(A1!A2)+p(B1!A2)=p(A1)pA1 (A2)+p(B1)pB1 (A2)=1
2
"3
4
+1
2
"1
2
=5
8
et donc p(B2)=1#p(A) =3
8
2. Montrer que, pour tout n ∈ N, n >1 :
an+1 =3
4
an+1
2
bn
puis que
an+1 =1
4
an+1
2
an+1=p(An+1)=p(An!An+1)+p(Bn!An+1)=p(An)pAn (An+1)+p(Bn)pBn (An+1)=an"3
4
+bn"1
2
an+1=3
4an+1 2bn
Or bn=1#an, les évènement sont contraires, soit an
3
4
+(1#an)1
2
=3
4#1 2
$
%
&'
(
)an+1
2
an+1=1
4an+1 2
3. Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n non nul,
Un= an!2
3
.
a. Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique. On précisera la raison et le premier termeU1.
Un= an!2
3
Un+1 =an+1!2
3
=1
4an+1 2!2 3
=1
4an!1 6
=1
4an!2 3
"
#
$%
&
' soit Un+1 =1
4
Un
La suite (Un) est donc géométrique de raison 1
4 et de premier terme U1=a1!2 3
=1
2!2 3
=!1
6
b. En déduire l’expression de Un en fonction de n, puis l’expression de an en fonction de n.
Donc Un= - 1
6
1
4
!
"
#$
%
&
n-1
et a n=Un+2
3
soit an=2
3
-1
6
1
4
!
"
#$
%
&
n-1
c. Déterminer la limite de la suite (an).
lim
n!+!
an=2
3
-1
6
lim
n!+!
1
4
"
#
$%
&
'
n-1
=2
3(0 car 0 <1 4
<1 donc lim
n!+!
an=2
3
d. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que : an >0,6665.

an> 0,6665 !2
3-1 6
1
4
"
#
$%
&
'
n-1
>0,6665 !1
6
1
4
"
#
$%
&
'
n(1
<2
3(0,6665
!1
4
"
#
$%
&
'
n(1
<62
3(0,6665
"
#
$%
&
'!1
4
"
#
$%
&
'
n(1
<0,001
1
4
"
#
$%
&
'
n(1
<0,001 !(n (1)ln 1
4
"
#
$%
&
'<ln(0,001) soit n >(ln(0,001)
ln(4)
+1)5,982...
Donc à partir de n = 6
Exercice 4 6 points
Commun à tous les candidats
Soit f une fonction définie pour tout nombre réel x par f (x) = (1+x)e−x .
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
O;i
!
; j
!
( )
d’unité graphique 1 cm.
1. a. Étudier le signe de f (x) sur
!
.
e!x>0 donc f(x) est du signe de 1 +x sur !. Si x !-1 alors f(x) !0
Si x < -1 alors f(x) < 0
"
#
$
b. Déterminer la limite de la fonction f en −∞.
Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
lim
x!"!(x +1) ="#
lim
x!"!e"x= +#
$
%
&
'
& par produit, lim
x!"!f(x) = - #
f(x) = x
ex1+1
x
(
)
*+
,
-
lim
x!+!
ex
x
=
TH des Cr.comp
!
+# donc lim
x!+!
x
ex=0
lim
x!+!1+1
x
(
)
*+
,
-=1
donc par produit lim
x!+!f(x) =0
L'axe des abscisse est asymptote horizontale mà (Cf) en +#
c. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur
!
.
Calculer, pour tout nombre réel x, f ′(x). En déduire les variations de la fonction f sur
!
.
f est dérivable sur ! et f '(x) = 1e!x+(x +1)(!e!x), soit f '(x) =!xe!x
Donc f est strictement croissante sur !";0
#
$# $ et f est strictement décroissante sur 0;+"
%
&% &
d. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur J’intervalle [−2 ; 5].
2. On note (In) la suite définie pour tout entier naturel n par :
In= f(x)
-1
n
!dx
Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de In en
fonction de n.
a. Montrer que, pour tout n ∈
!
: In ≥ 0.
In= f(x)
-1
n
!dx
n!0 > -1 et f > 0 sur -1;n
"
#$ % donc (th) In> 0
b. Montrer que la suite (In ) est croissante.
In+1 - In= f(x)
-1
n+1
!dx - f(x)
-1
n
!dx = f(x)
n
n+1
!dx > 0
car f(x) > 0 sur n;n + 1
"
#$ %
Donc la suite In est strictement croissante
3. a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tous réels a et b :
f(x)
a
b
!dx = (-2 - b)e-b + (2 + a)e-a .