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TS
Nouvelle–Calédonie mars 2009\
Exercice 1 : 4 points
Commun à tous les candidats
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct
! !
(O;u;v )
Correction
d’unité graphique1 cm. On considère les points A et B d’ affixes
respectives zA = 1 et zB = 3+4i.
Soit C et D les points d’affixes respectives zC = 2 3 + i(-2 - 3 ) et zD = -2 3 + i(-2 + i 3 )
L’ objet de l’exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C.
1. a. Montrer que l’image du point B par la rotation de centre A et d’angle
: z '' z A = e
Expression de r!
2! $
A; &
"#
3%
i2(
3
2!
est le point D.
3
(z ' z )
A
! 1
3$
z' = #' + i
& z '1 +1
2 %
" 2
(
Soit B' = r!
2! $
#" A; 3 &%
)
! 1
3$
(B) : z B ' = # ' + i
& 3 + 4i ' 1 + 1 = '1+ i 3 1 + 2i + 1
2 %
" 2
(
)
(
)
(
)(
(
)
)
z B ' = '1 ' 2i 3 + i '2 + 3 + 1 = '2i 3 + i '2 + 3 = z D . Donc D = r!
2! $
#" A; 3 &%
b. En déduire que les points B et D sont sur un cercle (C) de centre A dont on déterminera le rayon.
D = r!
2! $
A; &
"#
3%
(B) donc AB = AD = z B ' z A = 2 + 4i = 2 5
B et D sont sur le cercle (C) de centre A et de rayon 2 5
2. Soit F, l’image du point A par l’homothétie de centre B et de rapport
3
.
2
a. Montrer que l’affixe zF du point F est −2i.
: z '' z B =
Expression de h !
3$
#" B; 2 &%
z' =
Soit F = h !
3$
B;
"# 2 %&
(A) : z F =
3
z ' zB
2
(
)
3
z ' 3 ' 4i + 3 + 4i
2
(
)
3
3
z A ' 3 ' 4i + 3 + 4i = 1 ' 3 ' 4i + 3 + 4i
2
2
(
)
(
)
z F = 3('1 ' 2i) + 3 + 4i = '2i. Donc z F = '2i
b. Montrer que le point F est le milieu du segment [CD].
zC + z D
2 3 + i(%2 % 3) % 2 3 + i(%2 + 3) %4i
=
= %2i
2
2
2
Donc F est le milieu de !"CD #$
Le milieu de !"CD #$ a comme affixe :
c. Montrer que
zC - z F
zA - zF
Donc
=
=
zC - z F
z -z
= -i 3 . En déduire la forme exponentielle de C F .
z A - zF
z A - zF
2 3 + i(!2 ! 3) + 2i 2 3 ! i 3
2!i
!i(1 + 2i)
=
= 3
= 3
1 + 2i
1 + 2i
1 + 2i
1 + 2i
zC - z F
= -i 3
z A - zF
(B)
i!
zC - z F
On peut donc en déduire la forme exp onentielle de
= 3e 2
z A - zF
Déduire des questions précédentes que la droite (AF) est la médiatrice du segment [CD].
i"
!!!" !!"
(
!
zC - z F
"
= 3e 2 # AF;CF = ! $% 2" &' , c'est à dire que AFC est rec tan gle en F
*Avec le 2°)c) :
zA - zF
2
)
*Avec le 2°)b) : F est le milieu de $CD &
% '
+
(
)
Donc (AF) est la médiatrice de $%CD &'
3. Proposer un programme de construction pour les points D et C à partir des points A, B et F et réaliser la figure.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l ’évaluation.
C et D sont les intersections de la perpendiculaire passant par F avec le cercle de centre A passant par B.
Exercice 2 5 points
Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
(
!! !
)
L’espace est rapporté au repère orthonormal O;i ; j;k .On considère les points :A(4 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0), C(0 ; 0 ; 3) et
! 2 2 1$
E # ;- ; & . On se propose de déterminer de deux façons la distance δE du point E au plan (ABC).
" 3 3 9%
RAPPEL : Soit (P ) un plan d’équation ax +by +cz +d = 0 où a, b, c et d sont des nombre réels avec, a, b et c non tous nuls et
M un point de coordonnées
(xM ; yM ; zM ) la distance δM du point M au plan (P ) est égale à :
ax M + by M + cz M + d
a 2 + b2 + c 2
1. a. Montrer que les points A, B et C déterminent bien un plan.
" %
" %
!!!" !4
!!!" !4
$
'
AB 2 et AC $ 0 ' ne sont pas colinéaires (évident) donc A, B et C déter min ent un plan.
$ '
$ '
$# 0 '&
$# 3 '&
!
!
b. Soit n le vecteur de coordonnées (3 ; 6 ; 4). Montrer que n est un vecteur normal au plan (ABC).
! """!
!
!
"$ n.AB = !12 + 12 + 0 = 0
n 3;6;4 donc # ! """!
donc n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan
%$ n.AC = !12 + 0 + 12 = 0
!
n est donc un vecteur normal de ce plan.
(
)
! c. Montrer qu’une équation du plan (ABC) est : 3x +6y +4z −12 = 0.
n 3;6;4 est un vecteur normal du plan (ABC).
(
)
Une équation de ce plan est donc de la forme : 3x + 6y + 4z + d = 0
A !(ABC) donc 12 + d = 0 soit d = "12 .
Une équation de (ABC) est‹ bien de la forme : 3x + 6y + 4z - 12 = 0
d. Déduire des questions précédentes la distance δE.
!E =
" 2%
" 2%
" 1%
3$ ' + 6 $ ( ' + 4 $ ' ( 12
# 3&
# 3&
# 9&
32 + 42 + 62
2(4+
=
4
( 12
9
9 + 16 + 36
(14 +
=
61
4
9
(14 +
=
61
4
9
=
122
9 61
=
2
61
9
!
# x=1+t
#
où t%! est perpendiculaire au plan (ABC) et
2. a. Montrer que la droite (D) de représentation paramétrique : " y=2t
# 5 4
# z= + t
$ 9 3
passe par le point E.
!!
!
!
4$
Un vecteur directeur de D est u # 1;2; & , on remarque que n = 3u.
3%
"
Donc D est orthogonale au plan (ABC).
)2
+ = 1+ t
+3
! 2 2 1$
'1
+ 2
E # ;' ; & (D si il existe t réel tel que *' = 2t soit t =
convient. E (D
3
" 3 3 9%
+ 3
+1 5 4
+9 = 9 + 3 t
,
b. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal G du point E sur le plan (ABC).
Soit G la projection orthogonale de E sur (ABC)
"x = 1 + t
$
$$ y = 2t
Les coordonnées de G vérifient : #
5 4
$z = + t
9 3
$
$%3x + 6y + 4z ! 12 = 0
&5 4 )
&
16 )
20
Donc t est solution de l'équation : 3 1 + t + 6 2t + 4 ( + t + ! 12 = 0 , ( 15 + + t +
!9=0
3*
9
'9 3 *
'
(
61
t= 9
61
3
) ( )
"
1 4
$xG = 1 + =
3 3
$
1
2
$
= et G # yG =
3
3
$
5 4 1
$
$z G = 9 + 3 - 3 = 1
%
c. Retrouver à partir des coordonnées des points E et G la distance δE.
2
2
2
# 4 2& # 2 2& #
1&
!E = EG = % " ( + % + ( + % 1 " ( =
$ 3 3' $ 3 3' $ 9'
On retrouve le résultat précédent : !E =
2
61
9
4 16 64
36 + 144 + 64
+ +
=
=
9 9 81
9
244 2
=
61
9
9
Exercice 3 5 points
Commun à tous les candidats
Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles.
La probabilité que la première cible soit atteinte est 1 .
2
Lorsqu’une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est 3
4
Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est 1
2
On note, pour tout entier naturel n non nul :
• An l’évènement : « la nième cible est atteinte ».
• Bn l’évènement : « la nième cible n’est pas atteinte.
• an la probabilité de l’évènement An
• bn la probabilité de l’évènement Bn.
1. Donner a1 et b1. Calculer a2 et b2. On pourra utiliser un arbre pondéré.
a 1 = p(A1 ) =
1
1
et b1 = p(B1 ) =
2
2
a 2 = p(A 2 ) = p(A1 ! A 2 ) + p(B1 ! A 2 ) = p(A1 )pA (A 2 ) + p(B1 )p B (A 2 ) =
1
et donc p(B2 ) = 1 # p(A) =
1
1 3 1 1 5
" + " =
2 4 2 2 8
3
8
2. Montrer que, pour tout n ∈ N, n >1 : an+1 =
3
1
1
1
an + bn puis que an+1 = an +
4
2
4
2
a n +1 = p(A n +1 ) = p(A n ! A n +1 ) + p(Bn ! A n +1 ) = p(A n )pAn (A n +1 ) + p(Bn )p B (A n +1 ) = a n "
n
a n +1 =
3
1
a n + bn
4
2
Or b n = 1 # a n , les évènement sont contraires, soit a n
a n +1 =
3
1
+ bn "
4
2
3
1 $3
+ (1 # a n ) = & #
4
2 %4
1'
1
an +
)
2(
2
1
1
an +
4
2
3. Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n non nul, U n = an !
2
.
3
a. Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique. On précisera la raison et le premier termeU1.
U n = an !
2
3
U n+1 = a n +1 !
2 1
1 2 1
1 1"
2%
1
= a n + ! = a n ! = $ a n ! ' soit U n+1 = U n
3 4
2 3 4
6 4#
3&
4
La suite (U n ) est donc géométrique de raison
1
2 1 2
1
et de premier terme U 1 = a 1 ! = ! = !
4
3 2 3
6
b. En déduire l’expression de Un en fonction de n, puis l’expression de an en fonction de n.
1 ! 1$
Donc U n = - # &
6 " 4%
n-1
2
2 1 ! 1$
et a n = U n + soit an = - # &
3
3 6 " 4%
n-1
c. Déterminer la limite de la suite (an).
" 1%
2 1
lim an = - lim $ '
n!+!
3 6 n!+! # 4 &
n-1
=
2
(0
3
car 0 <
1
2
< 1 donc lim a n =
n!+!
4
3
d. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que : an >0,6665.
2 1 " 1%
an > 0,6665 ! - $ '
3 6 # 4&
" 1%
!$ '
# 4&
" 1%
$# 4 '&
n (1
n (1
n-1
1 " 1%
> 0,6665 ! $ '
6 # 4&
"2
%
" 1%
< 6 $ ( 0,6665' ! $ '
#3
&
# 4&
n (1
<
2
( 0,6665
3
n (1
< 0,001
" 1%
ln(0,001)
< 0,001 ! (n ( 1) ln $ ' < ln(0,001) soit n > (
+ 1 ) 5,982...
ln(4)
# 4&
Donc à partir de n = 6
Exercice 4 6 points
Commun à tous les candidats
Soit f une fonction définie pour tout nombre réel x par f (x) = (1+x)e−x .
!!
Le plan est rapporté à un repère orthonormal O;i; j d’unité graphique 1 cm.
(
1. a. Étudier le signe de f (x) sur
)
!.
" Si x ! -1 alors f(x) ! 0
e! x > 0 donc f(x) est du signe de 1 + x sur !. #
$ Si x < -1 alors f(x) < 0
b. Déterminer la limite de la fonction f en −∞.
Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
$ lim (x + 1) = "#
& x!" !
par produit, lim f(x) = - #
%
"x
x!" !
lim
e
=
+#
&' x!" !
ex
x
lim
=
+ # donc lim x = 0
!
x!+! e
x(
1 + x!+! x TH des Cr.comp
f(x) = x * 1 + donc par produit lim f(x) = 0
x!+!
x,
e )
(
1+
lim * 1 + - = 1
x!+! )
x,
L'axe des abscisse est asymptote horizontale mà (Cf ) en +#
c. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur ! .
Calculer, pour tout nombre réel x, f ′(x). En déduire les variations de la fonction f sur
!x
!x
f est dérivable sur ! et f '(x) = 1e + (x + 1)(!e ), soit f '(x) = !xe
!.
!x
Donc f est strictement croissante sur #$ !";0 #$ et f est strictement décroissante sur %&0;+" %&
d. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur J’intervalle [−2 ; 5].
2. On note (In) la suite définie pour tout entier naturel n par : I n =
!
n
-1
f(x)dx
Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de In en
fonction de n.
a. Montrer que, pour tout n ∈ ! : In ≥ 0.
n
I n = ! f(x)dx
-1
n ! 0 > -1 et f > 0 sur "# -1;n $% donc (th) I n > 0
b. Montrer que la suite (In ) est croissante.
I n+1 - I n = !
n+1
-1
n
n+1
-1
n
f(x)dx - ! f(x)dx = !
f(x)dx > 0
car f(x) > 0 sur "# n;n + 1$%
Donc la suite I n est strictement croissante
3. a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tous réels a et b :
!
b
a
f(x)dx = (-2 - b)e-b + (2 + a)e-a .
!
b
a
et
b
f(x)dx = ! (x + 1)e" x dx soit
a
u = x +1
v' = e
b
b
"x
alors
u' = 1
v = "e
"x
soit u ' v = "e" x
b
b
b
"x
"x
"x
"x
"x
"b
"a
"a
"b
!a (x + 1)e dx = #$ "(x + 1)e %&a + !a e dx = #$ "(x + 1)e %&a + #$ "e %&a = "(b + 1)e + (a + 1)e + e " e
Soit
!
b
a
f(x)dx = (-2 - b)e-b + (2 + a)e-a .
b. En déduire l’expression de In en fonction de n.
In =
!
n
-1
f(x)dx = (-2 - n)e-n + e .
c. Déterminer :
lim I n
n!+!
I n = -f(n) ! e + e
-n
lim f(n) = 0
n"+!
lim e-n = 0
donc par somme lim I n = e
n"+!
n"+!
d. Donner une interprétation graphique de cette limite.
L’aire de la partie du plan comprise entre la courbe (Cf), l’axe des abscisse , pour x ≥ -1 est finie, égale à
e.
4. Déterminer α ∈ ! tel que :
"
!
-1
"
!
-1
f(x)dx = e. Ce calcul intégral correspond-il à un calcul d’aire ?
f(x)dx = e # ($2 $ !)e $! + e = e
# (! + 2)e $! = 0
# ! = $2
Il ne s'agit pas d 'un calcul d 'aire car sur %& $2;$1'( f(x) ! 0
)-2 ! x ! -1
Ou c'est l'aire définie par : *
+ f(x) ! y ! 0