sujet de revision bac math n 4

Prof : Mr Khammour.K
4ème Math
Sujet de révision n°4
Mai 2015
Exercice n°1 :
Répondre par vrai ou faux.
1) Soit f une fonction dérivable sur [0,1], strictement croissante telle que f(0)=0 et f-1 sa fonction
x
f(x)
0
0
réciproque. Si on pose pour tout x∈[0 ,1] F  x    f  t dt et G  x  
 f  t dt. alors on a :
1
F(x) = xf(x) – G(x).
2) L’entier 5 est un inverse modulo 6 de 5.
3) Soit x un entier naturel , si pgcd(x,1451) = 1 alors on a : x2900  11451 .
 1  ei 
4) Soit le nombre complexe Z  
i 
 1 e 
2015
,   0,   . Z est imaginaire pur.
Exercice n°2 :
Soit dans l’ensemble C l’équation (E) : z3  4 z 2   5  e2i  z  2  1  e2i   0 où    0,   .




1) a) Vérifier que 2 est une solution de (E).
b) Résoudre alors dans l’ensemble des nombres complexes C l’équation (E). On désigne par z et z les
1
2
deux autres solutions tel que Im z  0 .
1
c) Ecrire z et z sous forme trigonométriques.
1
2
2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; u, v) ,on considère les points A , B et C d’affixes
respectives : 2 ; 1 ei et 1 ei
 
z 2
a) Calculer le nombre complexe 2
.Quelle est la nature du triangle ABC ?
z1  2
b) Déterminer  pour que le triangle ABC soit isocèle .

c) Pour   , montrer que OABC est un carré.
2
Exercice n°3 :


ABC est un triangle rectangle et isocèle tel que AB, AC 

2
 2  . On pose D = SA(C). Soit 
la similitude
indirecte qui envoie A en B et B en C.
1) Déterminer le centre  de  et vérifier que  =D.
2) Le plan P muni d’un repère orthonormé A, AB, AC . Soit f : P  P ; M ( z)  M '( z ') tel que z '   1 i  z  1

a) Montrer que f est une similitude indirecte.
b) Montrer que f =  .
Exercice n°4 :
 n  13  19 
.
 n  6  12 
On considère le système  S  

1) a) Démontrer qu’il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que : 19u + 12v = 1.
b) Vérifier que, pour un tel couple, le nombre N  13 12v  6 19u est une solution de (S).
 n  n0  19 
.
 n  n0  12 
2) a) Soit n0 une solution de (S), vérifier que le système (S) équivaut à 
 n  n0  19 
 n  n0  12 
b) Démontrer que le système 
équivaut à n  n0  12  19  .
3) a) Trouver un couple (u ; v) solution de l’équation 19u + 12v = 1 et calculer la valeur de N
correspondante
b) Déterminer l’ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2. b.).
Exercice n°5 :
A)
1) On considère la fonction g définie sur IR par : g ( x)  x  e x 1 .
a) Dresser le tableau de variation de g Calculer g(1), en déduire le signe de g.
1
b) En déduire que pour tout réel x, xe  x  , puis que 1  xe x  0 .
e
1
2) On désigne par f la fonction définie sur IR pa f  x  
. Soit C sa courbe représentative dans le
1  xe x
plan rapporté à un repère orthonormé (unités : 3 cm)
a) Déterminer lim f  x  et lim f  x  . Dresser son tableau de variations de f.
x 
x 
b) Ecrire une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0. Tracer T puis C.
3) a) Déterminer les images par f des intervalles [0, 1] et [1,  [.
4) b) En déduire que 1  f ( x ) 
B) Soit f  x  
e
pour tout x positif ou nul.
e1
1
1
définie sur [0, 1] .On pose I   f  x dx .
1  xe x
0
1
1) Soit n un nombre entier naturel non nul, et J n   x n e nx dx .
0
2
e
a) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que J1  1  .
b) On se propose de calculer J2 sans utiliser une intégration par parties : déterminer les coefficients a, b et
c tels que la fonction H(x) définie par H( x)  ( ax 2  bx  c)e2 x soit une primitive de h( x)  x 2 e2 x . En déduire
1
5
que J2   1  2  .
4
e 
n
2) Pour tout entier n non nul, on pose U n   J k .
k 0
a) Montrer que pour tout réel x, U n 
n
x e
k  kx
k 0

1  ( xe  x ) n 1
1  xe  x
1
 n 1 x
b) En déduire que I  U n  x n 1e   f  x  dx

0
c)
Montrer que pour tout x positif ou nul : 0  x n1 e( n1) x 
.Déterminer lim un .
n
1
n 1
e
. En déduire que 0  x n1 e( n1) x f ( x) 
1
e  e1 
n