Homologie cyclique relative, d`après Feigin et Tsygan

HOMOLOGIE CYCLIQUE RELATIVE, D’APR ` ES FEIGIN ET TSYGAN
GEOFFREY POWELL
1. RAPPELS
On fixe un anneau commutatif R31;ChRd´ enote la cat´ egorie des complexes
de chaˆ ınes de R-modules Z-gradu´ es.
Notation 1.1.Pour n∈Z, soit R[n]le complexe de chaˆ ınes tel que R[n]t= 0 si t6=n
et R[n]n=Ret soit CR[n]le complexe acyclique CR[n]t= 0 si t6∈ {n, n + 1}et
CR[n]n=CR[n]n+1 =R, de sorte qu’il existe un morphisme R[n]→CR[n]qui
est un isomorphisme en degr´ en.
La cat´ egorie ChRest munie d’une structure de cat´ egorie de mod` eles projective,
point´ ee (par 0), et la structure est cofibremment engendr´ ee par les ensembles I(les
cofibrations ´el´ementaires) et J(les cofibrations acycliques ´el´ementaires) suivants :
–I={R[n]→CR[n]|n∈Z}
–J={0→CR[n]|n∈Z}.
Remarque 1.2.Les ´ equivalences faibles de la structure projective sont les quasi-
isomorphismes et les fibrations les surjections. En particulier, la structure projec-
tive sur ChRest fibrante : tout objet est fibrant.
La cat´ egorie homotopique associ´ ee Ho(ChR)est la cat´ egorie d´ eriv´ ee (non-
born´ ee) DRdes complexes de R-modules.
La cat´ egorie des complexes de chaˆ ınes Z-gradu´ es ChRest munie d’une struc-
ture mono¨ ıdale sym´ etrique ferm´ ee, fournit par le produit tensoriel habituel de
complexes ⊗R, l’objet neutre R(concentr´ e en degr´ e z´ ero) et HomR(−,−), le hom
interne.
Remarque 1.3.Le produit tensoriel ⊗Rinduit une structure mono¨ ıdale sym´ etrique
sur la cat´ egorie d´ eriv´ ee :
⊗L
R:DR×DR→DR.
D´efinition 1.4. La cat´ egorie DGARdes alg` ebres diff´ erentielles gradu´ ees est la
cat´ egorie des mono¨ ıdes de ChR: une alg` ebre diff´ erentielle gradu´ ee Aest un com-
plexe de chaˆ ınes muni de morphismes de structure ηA:R→Aet µA:A⊗A→A
qui v´ erifient les axiomes habituels.
Noter que l’objet initial de DGARest Ret l’objet final 0.
Notation 1.5.Soit T: ChR→DGARl’adjoint ` a gauche du foncteur oubli DGAR→
ChR(Test le foncteur alg`ebre tensorielle).
L’approche g´ en´ erale de Schwede et Shipley [SS00] fournit le r´ esultat suivant
(qu’on peut d´ emontrer directement) :
Th´eor`eme 1.6. La cat´egorie DGARest munie d’une structure de mod`eles cofibremment
engendr´ee telle que
T: ChRDGAR
soit une adjonction de Quillen ; T(I)(respectivement T(J)) est l’ensemble des cofibrations
´el´ementaires (resp. cofibrations acycliques ´el´ementaires) pour cette structure.
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Remarque 1.7.
(1) Les ´ equivalences faibles de cette structure de mod` eles sur DGARsont les
quasi-isomorphismes et les fibrations les surjections ; les cofibrations sont
les r´ etractes d’extensions presque libres (cf. [FHT95]).
(2) Cette structure de mod` eles sur DGARest fibrante.
(3) Le fait que DGARsoit cofibremment engendr´ ee entraˆ ıne l’existence de fac-
torisations fonctorielles.
Remarque 1.8.Pour toute alg` ebre diff´ erentielle gradu´ ee A, le coproduit Aq0est
l’objet final 0.
D´efinition 1.9. Soit Rhxil’alg` ebre diff´ erentielle gradu´ ee donn´ ee par l’alg` ebre ten-
sorielle T(x)sur un g´ en´ erateur de degr´ e1, munie de la diff´ erentielle dx = 1. Pour
A∈ObDGAR, soit Ahxi:= AqRhxi.
Lemme 1.10. Soit A∈ObDGAR. L’inclusion canonique AAhxiest une cofibration
et fournit une factorisation du morphisme A→0:
AAhxi' 0.
D´emonstration. Exercice ! 
Notation 1.11.Soit Ωass l’alg` ebre diff´ erentielle gradu´ ee T(CR[−1]).
Lemme 1.12. L’inclusion RΩass est une cofibration acyclique. Pour B∈ObDGAR,
BqΩass est un objet chemin pour B:
B' BqΩass BYB.
Rappeler qu’une alg` ebre diff´ erentielle gradu´ ee C∈ObDGARest commutative
si µCτ=µC, o ` uτ:C⊗C´ echange les facteurs de C(il s’agit d’une partie de la
structure de cat´ egorie mono¨ ıdale sym´etrique de ChR).
Notation 1.13.Soit Ωl’alg` ebre diff´ erentielle gradu´ ee commutative engendr´ ee par
CR[−1], munie de la surjection canonique Ωass Ω.
Lemme 1.14. Si Q⊂R, alors R→Ωest une ´equivalence faible et, pour B∈ObDGAR,
il existe un diagramme commutatif naturel :
B//'//
'
##
G
G
G
G
G
G
G
G
G
GBqΩass
%%%%
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
'
B⊗Ω////BQB.
En particulier, si A∈ObDGARest cofibrant, deux morphismes f, g :A⇒Bsont
homotopes si et seulement s’il existe une homotopie h:A→B⊗Ωentre fet g.
Remarque 1.15.Le morphisme B→B⊗Ωn’est pas une cofibration, donc B⊗Ω
n’est pas un tr`es bon objet chemin pour B(en suivant la terminologie de [DS95]).
2. LE FONCTEUR (−)\
D´efinition 2.1. Pour A∈ObDGAR, soient :
(1) [A, A]le complexe de chaˆ ınes des commutateurs de A: explicitement le
sous-complexe de chaˆ ınes engendr´ e (en tant que R-module) par les ´ el´ ements
de la forme [a1, a2],aides ´ el´ ements homog` enes de A, muni de l’inclusion
canonique dans ChR:[A, A]→A;
(2) (−)\: DGAR→ChRle foncteur A7→ A\:= A/[A, A].

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Remarque 2.2.
(1) Malheureusement, le foncteur (−)\n’est pas un foncteur de Quillen.
(2) Attention : il ne s’agit pas du quotient par l’id´ eal (sur A) engendr´ e par les
commutateurs !
Lemme 2.3. Soient A, C ∈DGAR, telles que Cest commutative. Alors il existe un
isomorphisme naturel dans DGAR
(A⊗C)\∼
=A\⊗C.
D´emonstration. Exercice. 
Th´eor`eme 2.4. Si Q⊂R, le foncteur (−)\: DGAR→ChRadmet un foncteur d´eriv´e `a
gauche :
L(−)\:Ho(DGAR)→DR.
D´emonstration. Dans [BKR11], ce r´ esultat est d´ emontr´ e en passant par le lemme de
Brown : il suffit de montrer que (−)\envoie est cofibrations acycliques entre objets
cofibrants sur des isomorphismes de DR. Cependant, on se r´ eduit aussitˆ ot ` a un
lemme sur la pr´ eservation d’homotopies.
Ainsi, l’ingr´ edient principal de la d´ emonstration est l’´ etape suivante. Soient
f, g :A⇒Bdeux morphismes homotopes, o ` uAest cofibrant ; par le Lemme
1.14, il existe une homotopie de la forme h:A→B⊗Ω. En appliquant le foncteur
(−)\, par le Lemme 2.3, h\fournit une homotopie A\→B\⊗Ωentre f\et g\.
Remarque 2.5.Le foncteur d´ eriv´ eL(−)\envoie B∈ObDGAR` a la classe d’homo-
topie de (QB)\, o ` uQB est une r´ esolution cofibrante de B.
3. HOMOLOGIE CYCLIQUE EN CARACT´ ERISTIQUE 0
Notation 3.1.Soit AlgRla cat´ egorie des R-alg` ebres associatives, consid´ er´ ee comme
sous-cat´ egorie AlgR→DGARdes objets concentr´ es en degr´ e0.
D´efinition 3.2. Soient A∈ObAlgRet Mun A-bimodule. Le complexe de Hoch-
schild C•(A;M)est le complexe de chaˆ ınes (N-gradu´ e) dont Cn(A;M) := M⊗
A⊗n, muni de la diff´ erentielle bdonn´ ee par
b(m⊗a1⊗. . . ⊗an) = ma1⊗a2⊗. . . ⊗an+
X(−1)im⊗a1⊗. . . ⊗aiai+1 ⊗. . . ⊗an
+(−1)nanm⊗a1⊗. . . ⊗an−1.
L’homologie de Hochshild de A` a coefficients dans Mest
HH∗(A;M) := H∗(C•(A;M)).
Lorsque M=A, muni de la structure de bimodule canonique, Cn(A;A) =
A⊗n+1 et on ´ ecrit HH∗(A)au lieu de HH∗(A;A).
Rappeler que, pour Vun R-module, le groupe sym´ etrique Snagit par permu-
tations de changement de place sur V⊗n. On peut tordre cette action par le caract` ere
signature ; ainsi, le groupe Z/(n+ 1) = htiagit sur A⊗n+1 par
t(a0⊗. . . an)=(−1)n(an⊗a1⊗. . . ⊗an−1).
Connes a observ´ e que cette action est compatible avec le bord du complexe de
Hochschild.
D´efinition 3.3. Soit Cλ
•(A)le complexe de chaˆ
ınes de Connes, donn´ e par
Cλ
n(A) := A⊗n+1/Z/(n+1)
muni de la diff´ erentielle bλinduite par b. On ´ ecrit Hλ
∗(A)pour H∗(Cλ •(A)).

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Exemple 3.4. On a Hλ
0(A)∼
=A/[A, A] = A\. (Exercice !)
Voir [Lod98, Chapitre 2] pour la d´ efinition g´ en´ erale de l’homologie cyclique
HC•(−).
Proposition 3.5. ([Lod98], par exemple.) Si Q⊂R, il existe un isomorphisme naturel
HC∗(A)∼
=Hλ
∗(A).
L’observation fondamentale de Feigin et Tysgan [FT85, FT87] est que, lorsque
Q⊂R, en raison de la proposition 3.5 et de l’exemple 3.4, on peut consid´ erer
l’homologie cyclique comme foncteur d´ eriv´ e de (−)\.
Rappeler que Ahxid´ enote la factorisation canonique de A→0.
Proposition 3.6. [FT85] Soit A∈ObAlgR; si Q⊂R, alors, pour n∈N, il existe un
isomorphisme naturel
HCn(A)∼
=Hn+1(Ahxi/(A+ [Ahxi, Ahxi])).
D´emonstration. (Indications.) Il existe un morphisme R-lin´ eaire
A⊗n+1 →Ahxin
qui envoie a0⊗. . . ⊗an` aa0xa1x . . . xan. On v´ erifie (exercice !) que, pour n > 0,
le morphisme A⊗n+1 →A⊗n,a0⊗. . . ⊗an7→ ana0⊗a1⊗. . . ⊗an−1induit un
isomorphisme de complexes
Ahxi/(A+ [Ahxi, Ahxi]) ∼
=
→Cλ
•−1(A).
(Exercice : v´ erifier les d´ etails, en particulier que le morphisme est bien d´ efini !) 
Remarque 3.7.Le morphisme canonique AAhxiinduit un monomorphisme
A\→(Ahxi)\et on dispose d’un isomorphisme naturel :
Ahxi/(A+ [Ahxi, Ahxi]) ∼
=(Ahxi)\/A\.
Ainsi, on peut voir l’homologie cyclique comme cas particulier d’un foncteur d´ eriv´ e
`
a gauche du foncteur qui envoie le morphisme S→Bde DGARau mapping cˆone
de S\→B\. (Il faut faire bien attention ` a cette notion de foncteur d´eriv´e.)
4. INTERLUDE FORMEL
Soient Cune cat´ egorie de mod` eles et A∈ObC. La cat´ egorie coslice A↓Cest
munie d’une structure naturelle de cat´ egorie de mod` eles telle qu’un morphisme
A→Xf →Yde A↓Cest une ´ equivalence faible (respectivement cofibration, resp.
fibration) ssi fl’est dans C. Autrement dit, la structure est cr´e´ee par le foncteur
oubli :
A↓C→C.
D´efinition 4.1. La cat´ egorie MorCest la cat´ egorie des foncteurs CM, o ` uMest la
cat´ egorie repr´ esent´ ee par
•→•.
Le foncteur d’inclusion de la sous-cat´ egorie discr` ete de Minduit le foncteur
(s, t) : MorC→C×C.
D´efinition 4.2. La structure de mod` eles projective (` a la Bousfield-Kan) sur MorC
est la structure telle que gest une fibration (respectivement ´ equivalence faible) de
MorCsi et seulement si (s, t)gl’est dans C×C. Un morphisme (X1→Y1)→

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(X2→Y2)est une cofibration dans cette structure si et seulement si les mor-
phismes indiqu´ es sont des cofibrations :
X1// Y1%%
%%
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
X2//Y1qX1X2////Y2.
On a le plongement ´ evident : A↓C→MorCcomme sous-cat´ egorie.
Remarque 4.3.Supposons A6∼
=∅.
(1) A↓C→MorCn’est pas un foncteur de Quillen.
(2) Le plongement A↓C→MorCne respecte pas l’objet initial ; l’objet initial
de A↓Cest A= →A, tandis que celui de Mor(C)est ∅→∅.
(3) Un objet f:A→Xde A↓Cest cofibrant si et seulement si fest une cofi-
bration ; fest cofibrant dans MorCsi et seulement si fest une cofibration
et Aest cofibrant.
(4) Le foncteur t: MorC→Cadmet un adjoint ` a droite C→MorC, qui
envoie X∈ObC` aX= →X.
On note la propri´ et´ e de compatibilit´ e suivante :
Lemme 4.4. Le plongement A↓C→MorCpr´eserve les classes de morphismes (cofi-
brations, ´equivalences faibles, fibrations).
D´emonstration. ´ Evident. 
Un foncteur F:C→Dentre cat´ egorie de mod` eles induit un diagramme com-
mutatif (` a naturelle ´ equivalence pr` es)
A↓C//
_
F A ↓D
_
MorC//MorD.
Remarque 4.5.En raison de la diff´ erence entre la condition cofibrante pour un ob-
jet A↓C, selon la cat´ egorie ambiente, il faut faire attention en consid´ erant les
foncteurs d´ eriv´ es.
5. MAPPING C ˆ ONE
Soit (C,∗)une cat´ egorie de mod` eles point´ ee. Alors, le foncteur
C→MorC
X7→ (∗ → X)
est adjoint ` a droite du foncteur ’cˆ one’
MorC→C
(X→Y)7→ ∗ qXY.
Ceci est une adjonction de Quillen ; donc le foncteur (X→Y)7→ ∗ qXYadmet
un foncteur d´ eriv´ e` a gauche ; il s’agit du mapping cˆone.
Exemple 5.1. On applique cette construction lorsque C= ChR, point´ ee par 0.
La construction du mapping cˆone fournit une partie de la structure de cat´ egorie
triangul´ ee de la cat´ egorie d´ eriv´ ee DR. En particulier, tout morphisme f:X→Y
de ChRfigure en un triangle distingu´e dans DR:
Xf →Y→Cf→.