Homologie cyclique relative, d`après Feigin et Tsygan

HOMOLOGIE CYCLIQUE RELATIVE, D’APRÈS FEIGIN ET TSYGAN
GEOFFREY POWELL
1. R APPELS
On fixe un anneau commutatif R 3 1 ; ChR dénote la catégorie des complexes
de chaı̂nes de R-modules Z-gradués.
Notation 1.1. Pour n ∈ Z, soit R[n] le complexe de chaı̂nes tel que R[n]t = 0 si t 6= n
et R[n]n = R et soit CR[n] le complexe acyclique CR[n]t = 0 si t 6∈ {n, n + 1} et
CR[n]n = CR[n]n+1 = R, de sorte qu’il existe un morphisme R[n] → CR[n] qui
est un isomorphisme en degré n.
La catégorie ChR est munie d’une structure de catégorie de modèles projective,
pointée (par 0), et la structure est cofibremment engendrée par les ensembles I (les
cofibrations élémentaires) et J (les cofibrations acycliques élémentaires) suivants :
– I = {R[n] → CR[n] | n ∈ Z}
– J = {0 → CR[n] | n ∈ Z}.
Remarque 1.2. Les équivalences faibles de la structure projective sont les quasiisomorphismes et les fibrations les surjections. En particulier, la structure projective sur ChR est fibrante : tout objet est fibrant.
La catégorie homotopique associée H o(ChR ) est la catégorie dérivée (nonbornée) DR des complexes de R-modules.
La catégorie des complexes de chaı̂nes Z-gradués ChR est munie d’une structure monoı̈dale symétrique fermée, fournit par le produit tensoriel habituel de
complexes ⊗R , l’objet neutre R (concentré en degré zéro) et HomR (−, −), le hom
interne.
Remarque 1.3. Le produit tensoriel ⊗R induit une structure monoı̈dale symétrique
sur la catégorie dérivée :
⊗LR : DR × DR → DR .
Définition 1.4. La catégorie DGAR des algèbres différentielles graduées est la
catégorie des monoı̈des de ChR : une algèbre différentielle graduée A est un complexe de chaı̂nes muni de morphismes de structure ηA : R → A et µA : A ⊗ A → A
qui vérifient les axiomes habituels.
Noter que l’objet initial de DGAR est R et l’objet final 0.
Notation 1.5. Soit T : ChR → DGAR l’adjoint à gauche du foncteur oubli DGAR →
ChR (T est le foncteur algèbre tensorielle).
L’approche générale de Schwede et Shipley [SS00] fournit le résultat suivant
(qu’on peut démontrer directement) :
Théorème 1.6. La catégorie DGAR est munie d’une structure de modèles cofibremment
engendrée telle que
T : ChR DGAR
soit une adjonction de Quillen ; T(I) (respectivement T(J)) est l’ensemble des cofibrations
élémentaires (resp. cofibrations acycliques élémentaires) pour cette structure.
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Remarque 1.7.
(1) Les équivalences faibles de cette structure de modèles sur DGAR sont les
quasi-isomorphismes et les fibrations les surjections ; les cofibrations sont
les rétractes d’extensions presque libres (cf. [FHT95]).
(2) Cette structure de modèles sur DGAR est fibrante.
(3) Le fait que DGAR soit cofibremment engendrée entraı̂ne l’existence de factorisations fonctorielles.
Remarque 1.8. Pour toute algèbre différentielle graduée A, le coproduit A q 0 est
l’objet final 0.
Définition 1.9. Soit Rhxi l’algèbre différentielle graduée donnée par l’algèbre tensorielle T(x) sur un générateur de degré 1, munie de la différentielle dx = 1. Pour
A ∈ ObDGAR , soit Ahxi := A q Rhxi.
Lemme 1.10. Soit A ∈ ObDGAR . L’inclusion canonique A Ahxi est une cofibration
et fournit une factorisation du morphisme A → 0 :
'
A Ahxi 0.
Démonstration. Exercice !
Notation 1.11. Soit Ωass l’algèbre différentielle graduée T(CR[−1]).
Lemme 1.12. L’inclusion R Ωass est une cofibration acyclique. Pour B ∈ ObDGAR ,
B q Ωass est un objet chemin pour B :
Y
'
B B q Ωass B
B.
Rappeler qu’une algèbre différentielle graduée C ∈ ObDGAR est commutative
si µC τ = µC , où τ : C ⊗ C échange les facteurs de C (il s’agit d’une partie de la
structure de catégorie monoı̈dale symétrique de ChR ).
Notation 1.13. Soit Ω l’algèbre différentielle graduée commutative engendrée par
CR[−1], munie de la surjection canonique Ωass Ω.
Lemme 1.14. Si Q ⊂ R, alors R → Ω est une équivalence faible et, pour B ∈ ObDGAR ,
il existe un diagramme commutatif naturel :
'/
B q Ωass
B G/ G
LLL
GG
LLL
GG
'
G
LLL
' GGG L% %
# / / B Q B.
B⊗Ω
En particulier, si A ∈ ObDGAR est cofibrant, deux morphismes f, g : A ⇒ B sont
homotopes si et seulement s’il existe une homotopie h : A → B ⊗ Ω entre f et g.
Remarque 1.15. Le morphisme B → B ⊗ Ω n’est pas une cofibration, donc B ⊗ Ω
n’est pas un très bon objet chemin pour B (en suivant la terminologie de [DS95]).
2. L E FONCTEUR (−)\
Définition 2.1. Pour A ∈ ObDGAR , soient :
(1) [A, A] le complexe de chaı̂nes des commutateurs de A : explicitement le
sous-complexe de chaı̂nes engendré (en tant que R-module) par les éléments
de la forme [a1 , a2 ], ai des éléments homogènes de A, muni de l’inclusion
canonique dans ChR : [A, A] ,→ A;
(2) (−)\ : DGAR → ChR le foncteur A 7→ A\ := A/[A, A].
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Remarque 2.2.
(1) Malheureusement, le foncteur (−)\ n’est pas un foncteur de Quillen.
(2) Attention : il ne s’agit pas du quotient par l’idéal (sur A) engendré par les
commutateurs !
Lemme 2.3. Soient A, C ∈ DGAR , telles que C est commutative. Alors il existe un
isomorphisme naturel dans DGAR
(A ⊗ C)\ ∼
= A\ ⊗ C.
Démonstration. Exercice.
Théorème 2.4. Si Q ⊂ R, le foncteur (−)\ : DGAR → ChR admet un foncteur dérivé à
gauche :
L(−)\ : H o(DGAR ) → DR .
Démonstration. Dans [BKR11], ce résultat est démontré en passant par le lemme de
Brown : il suffit de montrer que (−)\ envoie est cofibrations acycliques entre objets
cofibrants sur des isomorphismes de DR . Cependant, on se réduit aussitôt à un
lemme sur la préservation d’homotopies.
Ainsi, l’ingrédient principal de la démonstration est l’étape suivante. Soient
f, g : A ⇒ B deux morphismes homotopes, où A est cofibrant ; par le Lemme
1.14, il existe une homotopie de la forme h : A → B ⊗ Ω. En appliquant le foncteur
(−)\ , par le Lemme 2.3, h\ fournit une homotopie A\ → B\ ⊗ Ω entre f\ et g\ . Remarque 2.5. Le foncteur dérivé L(−)\ envoie B ∈ ObDGAR à la classe d’homotopie de (QB)\ , où QB est une résolution cofibrante de B.
3. H OMOLOGIE CYCLIQUE EN CARACT ÉRISTIQUE 0
Notation 3.1. Soit AlgR la catégorie des R-algèbres associatives, considérée comme
sous-catégorie AlgR ,→ DGAR des objets concentrés en degré 0.
Définition 3.2. Soient A ∈ ObAlgR et M un A-bimodule. Le complexe de Hochschild C• (A; M ) est le complexe de chaı̂nes (N-gradué) dont Cn (A; M ) := M ⊗
A⊗n , muni de la différentielle b donnée par
b(m ⊗ a1 ⊗ . . . ⊗ an )
= ma1 ⊗ a2 ⊗ . . . ⊗ an +
X
(−1)i m ⊗ a1 ⊗ . . . ⊗ ai ai+1 ⊗ . . . ⊗ an
+(−1)n an m ⊗ a1 ⊗ . . . ⊗ an−1 .
L’homologie de Hochshild de A à coefficients dans M est
HH∗ (A; M ) := H∗ (C• (A; M )).
Lorsque M = A, muni de la structure de bimodule canonique, Cn (A; A) =
A⊗n+1 et on écrit HH∗ (A) au lieu de HH∗ (A; A).
Rappeler que, pour V un R-module, le groupe symétrique Sn agit par permutations de changement de place sur V ⊗n . On peut tordre cette action par le caractère
signature ; ainsi, le groupe Z/(n + 1) = hti agit sur A⊗n+1 par
t(a0 ⊗ . . . an ) = (−1)n (an ⊗ a1 ⊗ . . . ⊗ an−1 ).
Connes a observé que cette action est compatible avec le bord du complexe de
Hochschild.
Définition 3.3. Soit C•λ (A) le complexe de chaı̂nes de Connes, donné par
Cnλ (A) := A⊗n+1 /Z/(n+1)
muni de la différentielle bλ induite par b. On écrit H∗λ (A) pour H∗ (C•λ (A)).
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Exemple 3.4. On a H0λ (A) ∼
= A/[A, A] = A\ . (Exercice !)
Voir [Lod98, Chapitre 2] pour la définition générale de l’homologie cyclique
HC• (−).
Proposition 3.5. ([Lod98], par exemple.) Si Q ⊂ R, il existe un isomorphisme naturel
HC∗ (A) ∼
= H∗λ (A).
L’observation fondamentale de Feigin et Tysgan [FT85, FT87] est que, lorsque
Q ⊂ R, en raison de la proposition 3.5 et de l’exemple 3.4, on peut considérer
l’homologie cyclique comme foncteur dérivé de (−)\ .
Rappeler que Ahxi dénote la factorisation canonique de A → 0.
Proposition 3.6. [FT85] Soit A ∈ ObAlgR ; si Q ⊂ R, alors, pour n ∈ N, il existe un
isomorphisme naturel
HCn (A) ∼
= Hn+1 (Ahxi/(A + [Ahxi, Ahxi])).
Démonstration. (Indications.) Il existe un morphisme R-linéaire
A⊗n+1 → Ahxin
qui envoie a0 ⊗ . . . ⊗ an à a0 xa1 x . . . xan . On vérifie (exercice !) que, pour n > 0,
le morphisme A⊗n+1 → A⊗n , a0 ⊗ . . . ⊗ an 7→ an a0 ⊗ a1 ⊗ . . . ⊗ an−1 induit un
isomorphisme de complexes
∼
=
λ
Ahxi/(A + [Ahxi, Ahxi]) → C•−1
(A).
(Exercice : vérifier les détails, en particulier que le morphisme est bien défini !) Remarque 3.7. Le morphisme canonique A Ahxi induit un monomorphisme
A\ ,→ (Ahxi)\ et on dispose d’un isomorphisme naturel :
Ahxi/(A + [Ahxi, Ahxi]) ∼
= (Ahxi)\ /A\ .
Ainsi, on peut voir l’homologie cyclique comme cas particulier d’un foncteur dérivé
à gauche du foncteur qui envoie le morphisme S → B de DGAR au mapping cône
de S\ → B\ . (Il faut faire bien attention à cette notion de foncteur dérivé.)
4. I NTERLUDE FORMEL
Soient C une catégorie de modèles et A ∈ ObC . La catégorie coslice A ↓ C est
munie d’une structure naturelle de catégorie de modèles telle qu’un morphisme
f
A → X → Y de A ↓ C est une équivalence faible (respectivement cofibration, resp.
fibration) ssi f l’est dans C . Autrement dit, la structure est créée par le foncteur
oubli :
A ↓ C → C.
Définition 4.1. La catégorie MorC est la catégorie des foncteurs C M , où M est la
catégorie représentée par
• → •.
Le foncteur d’inclusion de la sous-catégorie discrète de M induit le foncteur
(s, t) : MorC → C × C .
Définition 4.2. La structure de modèles projective (à la Bousfield-Kan) sur MorC
est la structure telle que g est une fibration (respectivement équivalence faible) de
MorC si et seulement si (s, t)g l’est dans C × C . Un morphisme (X1 → Y1 ) →
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(X2 → Y2 ) est une cofibration dans cette structure si et seulement si les morphismes indiqués sont des cofibrations :
/ Y1
%JJJ
JJJ
JJJ
JJ
%
/ Y1 qX1 X2 /
/ Y2 .
X 1
X2
On a le plongement évident : A ↓ C ,→ MorC comme sous-catégorie.
Remarque 4.3. Supposons A ∼
6 ∅.
=
(1) A ↓ C ,→ MorC n’est pas un foncteur de Quillen.
(2) Le plongement A ↓ C ,→ MorC ne respecte pas l’objet initial ; l’objet initial
=
de A ↓ C est A → A, tandis que celui de Mor(C ) est ∅ → ∅.
(3) Un objet f : A → X de A ↓ C est cofibrant si et seulement si f est une cofibration ; f est cofibrant dans MorC si et seulement si f est une cofibration
et A est cofibrant.
(4) Le foncteur t : MorC → C admet un adjoint à droite C → MorC , qui
=
envoie X ∈ ObC à X → X.
On note la propriété de compatibilité suivante :
Lemme 4.4. Le plongement A ↓ C ,→ MorC préserve les classes de morphismes (cofibrations, équivalences faibles, fibrations).
Démonstration. Évident.
Un foncteur F : C → D entre catégorie de modèles induit un diagramme commutatif (à naturelle équivalence près)
A ↓ C
_
/ F A ↓ D
_
MorC
/ MorD.
Remarque 4.5. En raison de la différence entre la condition cofibrante pour un objet A ↓ C , selon la catégorie ambiente, il faut faire attention en considérant les
foncteurs dérivés.
5. M APPING C ÔNE
Soit (C , ∗) une catégorie de modèles pointée. Alors, le foncteur
C
→ MorC
X
7→ (∗ → X)
est adjoint à droite du foncteur ’cône’
MorC
→
(X → Y ) 7→
C
∗ qX Y.
Ceci est une adjonction de Quillen ; donc le foncteur (X → Y ) 7→ ∗ qX Y admet
un foncteur dérivé à gauche ; il s’agit du mapping cône.
Exemple 5.1. On applique cette construction lorsque C = ChR , pointée par 0.
La construction du mapping cône fournit une partie de la structure de catégorie
triangulée de la catégorie dérivée DR . En particulier, tout morphisme f : X → Y
de ChR figure en un triangle distingué dans DR :
f
X → Y → Cf → .
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Remarque 5.2. Dans ChR , afin de construire un mapping cône de f : X → Y , il
suffit de prendre une résolution cofibrante dans X ↓ ChR de f .
6. H OMOLOGIE CYCLIQUE RELATIVE COMME FONCTEUR D ÉRIV É
On suppose dans cette section que Q ⊂ R. Suivant Feigin et Tsygan [FT85,
FT87], Berest, Khachatryan et Ramadoss [BKR11] ont considéré la définition de
l’homologie cyclique relative dans le cadre des algèbres différentielles graduées.
Remarque 6.1. La démonstration du [BKR11, Théorème 3.1] me semble être incorrecte ; ainsi il faut définir l’homologie cyclique relative comme foncteur dérivé sur
MorDGAR .
Proposition 6.2. Le foncteur (−)\ : MorDGAR → MorChR admet un foncteur dérivé
à gauche :
L(−)\ : H o(MorDGAR ) → H o(MorChR ).
Démonstration. Conséquence du théorème 2.4.
Définition 6.3. Soit
K + : H o(MorDGAR ) → DR
le foncteur obtenu en composant avec le foncteur dérivé mapping cône. Explicitement, K + est donné par :
n
o
(Qf )\
f
K + (S → A) := MCone (QS)\ → (QX)\ ,
où Qf : QS → QX est une résolution cofibrante dans MorDGAR de f .
Remarque 6.4. Dans la terminologie de Feigin et Tsygan, il s’agit de la K-théorie
additive relative.
Proposition 6.5. Soit A ∈ ObDGAR . Alors K + (A → 0) est naturellement isomorphe
dans DR à (Ahxi)\ /A\ .
Démonstration. (Indications : à vérifier que le cas Z-gradué ne pose aucun problème.)
Soit QA → A une résolution cofibrante de A dans DGAR . Ainsi, on obtient un diagramme commutatif
/ QAhxi
QA
'
A
'
/ Ahxi
qui correspond à un morphisme entre les résolutions canoniques de QA → 0 et de
A → 0.
On vérifie que K + (A → 0) est naturellement isomorphe dans DR à (QAhxi)\ /(QA)\ ,
donc il suffit de montrer que le morphisme induit
(QAhxi)\ /(QA)\ → (Ahxi)\ /A\
est un quasi-isomorphisme. Ceci est démontré par un argument de suite spectrale (on filtre par le nombre des y). Ce résultat correspond à l’invariance par
équivalence faible de l’homologie cyclique des DGAR (voir [Lod98], par exemple).
Corollaire 6.6. Supposons que Q ⊂ R. Pour A ∈ ObAlgR et n ∈ N, il existe un
isomorphisme naturel :
HCn (A) ∼
= Hn+1 (K + (A → 0)).
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f
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g
Proposition 6.7. Supposons que Q ⊂ R. Soit A → B → C morphismes de DGAR .
Alors,
f
gf
g
K + (A → B) → K + (A → C) → K + (B → C) →
est un triangle distingué de DR .
Démonstration. Argument standard en utilisant l’axiome de l’octaèdre.
Exemple 6.8. En prenant C = 0, on obtient un triangle distingué :
f
K + (A → B) → K + (A → 0) → K + (B → 0) → .
En particulier, si A = R et f est le morphisme canonique R → A, on obtient la
construction de l’homologie cyclique réduite (voir [Lod98], par exemple, pour la
définition classique).
Proposition 6.9. Supposons que Q ⊂ R. L’homologie cyclique réduite de A ∈ ObDGAR
est isomorphe à
η
HC n (A) ∼
= Hn (K + (R → A)).
Remarque 6.10. En [BKR11], un décalage de degré est introduit dans les définitions.
Ici j’ai suivi plutôt [FT85, FT87].
R ÉF ÉRENCES
[BKR11] Yuri Berest, George Khachatryan, and Ajay Ramadoss, Derived representation schemes and cyclic
homology, arXiv :1112.1449, 2011.
[DS95]
W. G. Dwyer and J. Spaliński, Homotopy theories and model categories, Handbook of algebraic
topology, North-Holland, Amsterdam, 1995, pp. 73–126. MR 1361887 (96h :55014)
[FHT95] Yves Félix, Steve Halperin, and Jean-Claude Thomas, Differential graded algebras in topology,
Handbook of algebraic topology, North-Holland, Amsterdam, 1995, pp. 829–865. MR 1361901
(96j :57052)
[FT85]
B. L. Feı̆gin and B. L. Tsygan, Additive K-theory and crystalline cohomology, Funktsional. Anal.
i Prilozhen. 19 (1985), no. 2, 52–62, 96. MR 800920 (88e :18008)
[FT87]
, Additive K-theory, K-theory, arithmetic and geometry (Moscow, 1984–1986), Lecture
Notes in Math., vol. 1289, Springer, Berlin, 1987, pp. 67–209. MR 923136 (89a :18017)
[Lod98] Jean-Louis Loday, Cyclic homology, second ed., Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 301, Springer-Verlag, Berlin,
1998, Appendix E by Marı́a O. Ronco, Chapter 13 by the author in collaboration with Teimuraz Pirashvili. MR 1600246 (98h :16014)
[SS00]
Stefan Schwede and Brooke E. Shipley, Algebras and modules in monoidal model categories, Proc.
London Math. Soc. (3) 80 (2000), no. 2, 491–511. MR 1734325 (2001c :18006)