Sur les algèbres différentielles graduées commutatives

SUR LES ALG ` EBRES DIFF ´ ERENTIELLES GRADU ´ EES COMMUTATIVES
GEOFFREY POWELL
TABLE DES MATI ` ERES
1. Objectifs 1
2. Complexes de chaˆ ıne 2
3. Alg` ebres diff´ erentielles gradu´ ees commutatives 3
4. Enrichissement simplicial 6
Annexe A. Alg` ebres simpliciales 8
R´ ef´ erences 9
On fixe Run anneau commutatif, unitaire. Pour les applications ` a la th´ eorie
homotopique des alg` ebres diff´ erentielles gradu´ ees commutatives, on supposera
de plus que Q⊂R.
Dans ces notes, on utilise la notation homologique, tandis que [PTVV13] utilise la
notation cohomologique.
1. OBJECTIFS
L’objectif est d’introduire la cat´ egorie des sch´emas affines d´eriv´es (` a la To¨ en-Vezzosi
[TV08]), telle qu’elle est utilis´ ee dans [PTVV13].
L’avantage principal du cadre d´eriv´e est qu’il nous permet de former des r´ esolutions
par des objets construits ` a partir d’alg` ebres lisses. Ceci est important :
(1) en th´ eorie des d´ eformations (introduction du complexe cotangent) ;
(2) pour la th´ eorie (co)homologique des anneaux commutatifs, la cohomologie
d’Andr´e-Quillen ;
(3) en ´ etudiant les intersections (les limites homotopiques se comportent mieux).
(Voir [To¨ e14, Section 1] ou [Cal14] pour un survol de cette motivation.)
Rappelons que, en g´ eom´ etrie alg´ ebrique classique, la cat´ egorie des sch´ emas
affines est ´ equivalente ` a l’oppos´ee de la cat´ egorie des anneaux commutatifs. La
cat´ egorie des sch´ emas affines d´ eriv´ es est en fait une ∞-cat´ egorie, plus pr´ ecis´ ement
la (∞,1)-cat´ egorie associ´ ee ` a une cat´ egorie de mod` ele.
Si Q⊂R, la cat´ egorie sous-jacente est
dAffR∼(cdga+
R)op
o` ucdga+
Rest la cat´
egorie des alg` ebres diff´ erentielles gradu´ ees commutatives concentr´ ees
en degr´ es (homologiques) non-n´ egatifs. Pour rendre ceci plus pr´ ecis, il faut intro-
duire la structure homotopique de cdga+
R.
Date: Version pr´ eliminaire (l´ eg` erement retouch´ ee) : 19 janvier 2016.
1

2 GEOFFREY POWELL
2. COMPLEXES DE CHAˆ INE
Soit ChRla cat´ egorie des complexes de chaˆ ıne de R-modules (Z-gradu´ es, no-
tation homologique, diff´ erentiel de degr´ e−1, morphismes de degr´ e0) ; (ChR,⊗,)
est une cat´ egorie sym´ etrique mono¨ ıdale, o ` u est le module R, consid´ er´ e comme
complexe concentr´ e en degr´ e0et ⊗est le produit tensoriel habituel :
(X⊗Y)n:= M
i
Xi⊗RYn−i
d(x⊗y)=(dx)⊗y+ (−1)|x|x⊗dy.
La sym´ etrie τ:X⊗Yτ →Y⊗Xintroduit les signes de Koszul :
τ(x⊗y)=(−1)|x||y|y⊗x.
Notation 2.1.Soit Ch+
R⊂ChRla sous-cat´
egorie pleine des complexes N-gradu´ es
(Xn= 0 si n < 0).
Remarque 2.2.La structure sym´ etrique mono¨ ıdale se restreint ` a une structure sym´ etrique
mono¨ ıdale (Ch+
R,⊗,).
L’inclusion i:Ch+
R→ChRadmet un adjoint `
a droite t+:
i:Ch+
RChR:t+,
o` ut+est la troncature intelligente :
(t+X)n=
0n < 0
ker d0n= 0
Xnn > 0.
Th´eor`eme 2.3. [Hov99] Les cat´egories Ch+
Ret ChRadmettent les structures de mod`ele
suivantes :
(1) ChR:W= quasi-isomorphismes ; Fib = surjections ;
(2) Ch+
R:W= quasi-isomorphismes ; Fib = surjections en degr´es strictement posi-
tifs.
Par rapport `a ces structures, l’adjonction iat+est une adjonction de Quillen 1.
Remarque 2.4.Il s’agit de la structure de mod` ele projective sur ChR. La cat´ egorie
homotopique Ho(ChR)associ´ ee est un mod` ele pour la cat´ egorie d´ eriv´ ee D(R)non-
born´ ee de la cat´ egorie des R-modules.
Notation 2.5.Pour n∈Z, soient R[n]∈ChRle complexe Rconcentr´ e en degr´ enet
D[n]le complexe concentr´ e en degr´ es n,n−1:
. . . 0→Rid →R→0. . .
de sorte qu’il existe une suite exacte courte de complexes :
0→R[n−1] →D[n]→R[n]→0.
Exercice 2.6. Montrer que, pour X∈ChRet n∈Z:
HomChR(D[n], X)∼
=Xn
HomChR(R[n], X)∼
=ker dn
et que la surjection D[n]R[n]induit l’inclusion ker dn→Xn.
Exercice 2.7. Soit f:C→C0un morphisme de ChR. Montrer que :
1. t+envoie une surjection sur un morphisme surjectif en degr´ es strictement positifs et pr´ eserve les
quasi-isomorphismes

SUR LES ALG ` EBRES DIFF ´ ERENTIELLES GRADU ´ EES COMMUTATIVES 3
(1) tout carr´ e commutatif de la forme suivante admet un rel` evement (en poin-
till´ es) :
0// C
f
D[n]//
==
C0
si et seulement si Cn→C0
nest surjectif ;
(2) tout carr´ e commutatif de la forme suivante admet un rel` evement (en poin-
till´ es) :
R[n−1]
//C
f
D[n]//
;;
C0
si et seulement si, ∀(x∈C0
n, z ∈Cn−1)tels que dz = 0 et f(z) = dx, il existe
˜x∈C0
ntel que f(˜x) = xet d˜x=z.
Notation 2.8.Soient I, J les ensembles de morphismes de ChRsuivants :
I:= {R[n−1] D[n]|n∈Z}
J:= {0→D[n]|n∈Z}
et I+, J+les ensembles de morphismes de Ch+
R:
I+:= {R[n−1] D[n]|0< n ∈Z}∪{0→R[0]}
J+:= {0→D[n]|0< n ∈Z}
Remarque 2.9.Les morphismes de I,I+sont des cofibrations et les morphismes de
J,J+sont des cofibrations triviales (en particulier des quasi-isomorphismes).
Th´eor`eme 2.10. [Hov99] La structure de mod`ele sur ChRest cofibremment engendr´ee
par (I, J):
(1) Fib =Jt;
(2) Fib ∩W=It.
Idem pour Ch+
Rpar rapport `a (I+, J+).
D´emonstration. Exercice (en admettant l’existence des structures de mod` ele). 
3. ALG ` EBRES DIFF ´ ERENTIELLES GRADU´ EES COMMUTATIVES
D´efinition 3.1. Soient cdgaR(respectivement cdga+
R) la cat´
egorie des mono¨ ıdes
unitaires, commutatifs de ChR(resp. Ch+
R) et cdgaR→ChR(resp. cdga+
R→Ch+
R) le
foncteur oubli de structure.
Remarque 3.2.Un objet de cdgaRest une alg` ebre diff´ erentielle gradu´ ee commuta-
tive (unitaire) A, donc une alg` ebre unitaire Z-gradu´ ee dont le produit est commu-
tatif :
ab = (−1)|a||b|ba,
munie d’une diff´ erentielle dqui est une d´ erivation :
d(ab) = (da)b+ (−1)|a|a(db).
Cette structure est encod´ ee par les morphismes de structure dans ChR
η:→A
µ:A⊗A→A
qui munissent Ad’une structure de mono¨ ıde commutatif.

4 GEOFFREY POWELL
Remarque 3.3.La cat´ egorie cdga+
Rest la sous-cat´
egorie pleine de cdgaRdes objets
dont le complexe sous-jacent appartient ` aCh+
R.
Exercice 3.4. Montrer que l’adjonction iat+induit une adjonction
i:cdga+
RcdgaR:t+.
Notation 3.5.Soit S:ChR→cdgaRle foncteur mono¨ıde commutatif libre, qui se
restreint ` a un foncteur :
S:Ch+
R→cdga+
R.
Remarque 3.6.Par d´ efinition, S:ChR→cdgaRest l’adjoint ` a gauche du foncteur
oubli cdgaR→ChR(idem pour cdga+
R).
Exercice 3.7. D´ ecrire le foncteur Sexplicitement.
Proposition 3.8. La cat´egorie cdgaR(respectivement cdga+
R) est complet et co-complet.
En particulier
(1) son objet initial est et son objet final 0;
(2) le coproduit de A, B ∈cdgaRest A⊗Bet le produit A⊕B.
Th´eor`eme 3.9. Supposons que Q⊂R. Alors cdgaR(respectivement cdga+
R) est munie
d’une structure de mod`eles dont les ´equivalences faibles sont les quasi-isomorphismes et
les fibrations sont les surjections (resp. les morphismes surjectifs en degr´es strictement
positifs).
De plus, les adjonctions :
S:ChRcdgaR
S:Ch+
RcdgaR
sont des adjonctions de Quillen et l’adjonction de troncation :
cdga+
RcdgaR:t+
est ´egalement une adjonction de Quillen.
D´emonstration. Pour la d´ emonstration pour des alg` ebres diff´ erentielles gradu´ ees
commutatives concentr´ ees en degr´ es non-positifs, voir [BG76], [GM03, Section
V.3].
Voir [Lur14, Proposition 7.4.1.10] pour le cas Z-gradu´ e. 
Remarque 3.10.Tout objet de cdgaR(respectivement cdga+
R) est fibrant.
Exemple 3.11. Supposons Q⊂R. Soit 0< n ∈N; l’inclusion R[n−1] D[n]de
I+induit une cofibration g´en´eratrice
S(R[n−1]) S(D[n]).
Soient A∈cdga+
R; un morphisme α:S(R[n−1]) →Aest ´
equivalente ` a la donn´ ee
d’un cycle dans An−1(qu’on notera α, par abus de notation). La somme amal-
gam´ ee
S(R[n−1]) α//
R
A
S(D[n]) //A⊗S(R[n−1]) S(D[n])
fournit l’alg` ebre diff´ erentielle gradu´ ee :
A⊗S(R[n−1]) S(D[n]) ∼
=(A⊗S(yn), d),
o` uAest un sous-objet, |yn|=net dyn=α(par abus de notation).

SUR LES ALG ` EBRES DIFF ´ ERENTIELLES GRADU ´ EES COMMUTATIVES 5
La cofibration
A(A⊗S(yn), d)
est l’exemple type d’une cofibration de cdga+
R.
Dans le cas n= 0, on consid` ere le morphisme 0→R[0], ce qui fournit la cofi-
bration : 0S(y0)ainsi que
A(A⊗S(y0), dy0= 0).
D´efinition 3.12. Une extension semi-libre dans cdga+
Rest un monomorphisme de
cdga+
R:
A →(A⊗S(V), d)
o` uVest un R-module N-gradu´ e tel que chaque Vnest un R-module libre. 
Remarque 3.13.Lorsqu’on travaille dans cdgaR, il faut imposer une condition sur
la diff´ erentielle, ` a savoir V∼
=Ln∈NV(n), o `
uV(n)sont des R-modules Z-gradu´ es
tel que chaque V(n)iest un R-module libre, et la diff´ erentielle envoie :
d:V(n)→A⊗S(
n−1
M
i=0
V(i)).
(Il s’agit d’une condition de type cellulaire.)
La d´ emonstration du Th´ eor` eme 3.9 utilise le r´ esultat suivant, qui donne ´ egalement
une caract´ erisation des cofibrations.
Proposition 3.14. Supposons Q⊂R. Alors
(1) tout morphisme f:A→Bde cdga+
Rse factorise en
A(A⊗S(V), d)' B;
en particulier, tout B∈cdga+
Radmet une r´esolution semi-libre
(S(V), d)' B;
(2) un morphisme est une cofibration si et seulement s’il est r´etracte d’une extension
semi-libre.
D´emonstration. Version alg´ ebrique d’approximation cellulaire. 
Notation 3.15.D´ enotons par dAffRla cat´ egorie homotopique des sch´emas affines
d´eriv´es :
(dAffR)op := Ho(cdga+
R)∼
=cdga+
R[W−1].
(Pour ˆ etre plus pr´ ecis, on travaillera avec la ∞-cat´ egorie associ´ ee ; voir la remarque
4.8.)
Exercice 3.16. Montrer que la structure de mod` ele sur cdgaR(respectivement cdga+
R)
est cofibremment engendr´ ee
(1) cofibrations g´ en´ eratrices : S(I)(respectivement S(I+)) ;
(2) cofibrations triviales g´ en´ eratrices : S(J)(resp. S(J+)).
Remarque 3.17.Les r´ esolutions semi-libres jouent le rˆ ole de r´esolutions lisses. Com-
parer la d´ efinition d’un morphisme formellement lisse, qui est ´ egalement donn´ ee
par une propri´ et´ e de rel` evement.