Appendice. Objets quasi-projectifs.

Appendice. Objets quasi-projectifs. (Par Alberto Arabia.)
Soit Cune cat´egorie ab´elienne v´erifiant:
(C-a) Tout syst`eme inductif de Cposs`ede une limite inductive dans C.
(C-b) Pour tout ensemble partiellement ordonn´e et filtrant sup´erieurement A:=
(A,), le foncteur lim
−→ de la cat´egorie des syst`emes inductifs de Cparam´e-
tr´es par Avers la cat´egorie C, est exact.
(C-c) Les classes d’isomorphie des sous-objets de chaque objet de Cconstituent
un ensemble.
Remarques, notations et rappels
•Les propri´et´es (C-∗) sont v´erifi´ees lorsque Cest une cat´egorie de modules.
•La propri´et´e(C-a) est ´equivalente `a l’existence de sommes directes arbitraires.
•La propri´et´e(C-b) concerne uniquement l’exactitude `a gauche du foncteur
lim
−→ qui est toujours exact `a droite. Les morphismes canoniques Mα→
lim
−→ MAdes objets d’un syst`eme inductif filtrant de monomorphismes MA:=
{Mα
ϕβ,α
−−−−−−−−−−→Mβ}αβ∈Avers une limite inductive de MA, sont donc des mono-
morphismes.Demˆeme, une limite inductive d’un syst`eme inductif filtrant de
sous-objets d’un objet Mest un sous-objet de M.
•Pour Q∈Ob(C), on notera EQ:= MorC(Q,Q)etMod-EQla cat´egorie des
EQ-modules `a droite. Le foncteur MorC(Q,):CMod -EQadmet un ad-
joint `a gauche que nous noterons ( )⊗Q:Mod-EQC; c’est un foncteur
exact `a droite qui commute aux limites inductives et v´erifie EQ⊗Q=Q.
•L’objet Qest dit de type fini dans Csi pour tout syst`eme inductif filtrant de
monomorphismes MA(cf. ci-dessus) l’application canonique
lim
−→ αMorC(Q,Mα)→MorC(Q,lim
−→ αMα)
est bijective.
En particulier, α∈AMorC(Q,Mα)≡MorC(Q,α∈AMα), pour toute
famille {Mα}α∈Ad’objets.
Un quotient d’un objet de type fini est de type fini.
A.1. Q-torsion
D´efinition. Soient Qet Mdeux objets de C. On dira que Mest de Q-torsion si
MorC(Q,M)=0;etqueMposs`ede de la Q-torsion, s’il existe un sous-objet non
nul de Mqui est de Q-torsion.
On notera T
Q{M}la famille des sous-objets de Q-torsion de Mordonn´ee par
la relation d’ordre partiel “sous-objet de”.
1

Proposition 1. Soit Qun objet de type fini dans C.
(a) Pour tout objet M, la famille T
Q{M}poss`ede des ´el´ements maximaux.
(b) Soit Nun ´el´ement maximal de T
Q{M}de conoyau ν:MM, alors M
est sans Q-torsion et MorC(Q,ν)est injective.
Supposons que Qest un objet projectif d’une sous-cat´egorie pleine DQde C,
qui est stable par sommes directes et par sous-quotients dans C.
(c) Pour chaque objet Mde DQ, la famille T
Q{M}poss`ede un unique objet
maximal qu’on notera T
Q(M).
(d) Soient M1,M2∈Ob(DQ)et ϕ∈MorC(M1,M2),onaϕ(T
Q(M1)) ⊆
TQ(M2)d’o`u un morphisme induit T
Q(ϕ):T Q(M1)→T Q(M2). La corre-
spondance T
Q:DQDQqui associe MT Q(M)et ϕT Q(ϕ)est
fonctorielle.
(e) Un conoyau LQde la transformation naturelle de foncteurs T
Q( ) →idDQ
est un adjoint `a gauche du foncteur d’inclusion D
Q⊆DQ,o`uD Qd´esigne
la sous-cat´egorie pleine de DQdes objets sans Q-torsion.
D´emonstration
(a) Lemme de Zorn.
(b) Pour R⊆Mde Q-torsion, on a une suite exacte courte:
0→N
−−−−−−−−−−−−−→ν−1(R)−−−−−−−−−−−−−→→ R→0
o`u MorC(Q,) est bijectif. Par cons´equent, MorC(Q,ν−1(R)) = 0,etparla
maximalit´edeN,est un isomorphisme et R=0.
(c) La cat´egorie DQest ab´elienne et donc stable par limites inductives dans C.
Comme Qest projectif la somme de deux sous-objets de Q-torsion de M
est encore de Q-torsion, la famille TQ{M}est alors filtrante et sa limite est
le sous-objet de Mnot´e TQ(M).
(d) Il suffit de montrer que pour tout ´epimorphisme p:NNdans C,o`uN
est un objet de DQde Q-torsion, l’objet Nest encore de Q-torsion. Ceci
r´esulte du fait que DQest stable par quotient et que par la projectivit´ede
Qdans DQ, MorC(Q,p) est surjective.
(e) Pour tous N∈Ob(D
Q)etM∈Ob(DQ), on a l’´epimorphisme ν:M
LQ(M) et l’application naturelle:
MorC(LQ(M),N)MorC(ν,N)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→MorC(M,N)
est trivialement bijective.
2

A.2. Cat´egories CQ,∗et C
Q,∗
D´efinitions
•On note CQla sous-cat´egorie pleine de Cdont les objets sont les quotients
des sommes directes de copies de Q. La cat´egorie CQest stable par limite
inductive et par quotients dans C. On note C
Qla sous-cat´egorie pleine de CQ
des objets sans Q-torsion.
•Un objet Mde CQsera dit Q-fini, s’il est quotient d’une somme finie de copies
de Q. Plus g´en´eralement, M∈Ob(CQ) sera dit Q-quasi-coh´erent (resp. Q-
coh´erent), s’il est le but d’un conoyau d’un morphisme entre sommes directes
(resp. finies) de copies de Q.
•On notera CQ,coh ,CQ,q-coh ,CQ,f.,C
Q,f.les sous-cat´egories pleines de CQ
des objets respectivement Q-coh´erents, Q-quasi-coh´erents, Q-finis et Q-finis
sans Q-torsion.
•Les notations Mod coh-EQ,Mod
t.f.-EQd´esigneront, les sous-cat´egories pleines
de Mod -EQdes EQ-modules respectivement coh´erents et de type fini.
On a les ´egalit´es d’image essentielle:
CQ,q-coh =Mod -EQ⊗Q;
CQ,coh =Mod coh-EQ⊗Q.
Proposition 2
1) Si CQest stable par “sous-objets dans C”, on a
CQ=CQ,q-coh =C
Q.
2) Lorsque Qde type fini dans C,ilya´equivalence entre:
(a) Les quotients de Qdans Csont sans Q-torsion.
(b) CQ=C
Q.
D´emonstration
1) Lorsque les sous-objet dans Cdes objets de CQsont dans CQ, le noyau de
tout ´epimorphisme AQMest un quotient d’une somme de copies de Q
et CQ=CQ,q-coh ; d’autre part, tout sous-objet Nde Q-torsion de Mest quo-
tient d’une somme de copies de Qce qui n’est possible que si N=0, donc
CQ=C
Q.
2) (a)⇒(b). Soit un ´epimorphisme p:AQM, et supposons qu’il existe
un sous-objet N⊆Mnon nul de Q-torsion. Il existe alors une partie finie
F⊆Atelle que p(FQ) rencontre N. En effet, autrement pour tout conoyau
ν:MRde N⊆M, les restrictions de νaux images p(FQ) seraient
des monomorphismes et comme Mest la limite inductive du syst`eme (filtrant)
3

d´efini par ces images, il en r´esulterait que νest lui-mˆeme un monomorphisme
et alors N=0. Soit donc F⊆Ade cardinal minimum tel que p(FQ)
rencontre N; notons F:= {1,...,r}et µ:MMun conoyau pour
p(i=2,...,r Q)⊆M. Comme p(i=2,...,r Q) ne rencontre pas N, la restric-
tion de µ`a Nest un monomorphisme et MorC(Q,µ(N)) = 0. Le morphisme
µ◦p:i=1,...,r Q→Mse restreint au premier facteur de la somme en ques-
tion, d’o`u un morphisme Q→Mdont l’image rencontre µ(N) et comme
µ(N)=0, l’objet Q`a un quotient qui poss`ede de la Q-torsion.
L’implication (b)⇒(a) est triviale.
A.3. Objets quasi-projectifs. Un objet Qsera dit quasi-projectif si pour tout
´epimorphisme p:QM, l’application
MorC(Q,p):EQ−−−−−−−−−−−−−→MorC(Q,M)
est surjective. Il sera dit quasi-projectif de type fini,sideplusQest de type fini
dans C.
Cat´egorie DQ
Pour tout objet Q, on note DQla sous-cat´egorie pleine de Cdes objets M
tels que, pour tout ´epimorphisme p:MM, l’application canonique:
MorC(Q,p) : MorC(Q,M)−−−−−−−−−−−−−→MorC(Q,M)
est surjective.
Proposition 3. Pour tout objet Q,ona:
1) Tout sous-quotient dans Cd’un objet de DQest un objet de DQ.
2) DQest une sous-cat´egorie ab´elienne de Cet l’inclusion DQ⊆Cest un foncteur
exact.
Supposons en plus Qde type fini dans C, alors:
3) DQest stable par limites inductives et sommes directes dans C.
D´emonstration
1) Soit Mun objet de DQet consid´erons une suite exacte courte dans C:
0→Nα
−−−−−−−−−−−−−→Mβ −−−−−−−−−−−−−→L→0.
Pour L⊆L, notons M=β−1(L). Le morphisme βinduit alors un isomor-
phisme β:M/M→L/Let chaque morphisme ϕ:Q→L/L≡M/Mse
rel`eve en un morphisme ψ:Q→M. Le morphisme ˜ϕ:= β◦ψ:Q→Lrel`eve
ϕ. Donc L∈Ob(DQ).
4

Pour chaque N⊆Non a un diagramme commutatif de lignes et colonnes
exactes: 00
↓↓
N=
−−−−−−−−−−−−−→ N
0→Nα
−−−−−−−−−−−−−→ Mβ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ L→0
≡
0→N
N
α
−−−−−−−−−−−−−→ M
N−−−−−−−−→ coker(α)→0
↓↓
00
d’o`u un morphisme de suites exactes `a gauche:
0→MorC(Q,N)MorC(Q,α)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ MorC(Q,M)MorC(Q,β) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ MorC(Q,L)
≡
0→MorCQ,N
NMorC(Q,α)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ MorCQ,M
N−−−−−−−−−−−−−→ MorC(Q,coker(α))
dans lequel le morphisme vertical central est surjectif puisque M∈Ob(DQ);
la surjectivit´e de la premi`ere fl`eche verticale en d´ecoule et N∈Ob(DQ).
2) Soient M1,M2∈Ob(DQ). Pour chaque N⊆M1⊕M2on a un diagramme
de lignes et colonnes exactes:
000
↓↓↓
0→i−1
1(N)i
1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→Nπ
2
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→π2(N)→0
0→M1i1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→M1⊕M2π2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→M2→0
0→M1
i−1
1(N)
ı1
−−−−−−−−−−−−−→ M1⊕M2
N
π2
−−−−−−−−−−−−−→ M2
π2(N)→0
↓↓↓
000
o`ui1est l’injection canonique sur M1⊗0,etπ2est la projection canonique
sur le second facteur de M1⊕M2.Onanot´eπ
2la restriction de π2`a N
et i
1la restriction de i1`a i−1
1(N). Le foncteur MorC(Q,), appliqu´e au deux
derni`eres lignes, donne un diagramme commutatif de lignes exactes `a gauche:
0→MorC(Q,M1)→MorC(Q,M1⊕M2)→MorC(Q,M2)→0
0→MorCQ,M1
i−1
1(N)→MorCQ,M1⊕M2
N→MorCQ,M2 π2(N)→0
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