La fonction aléatoire du mouvement brownien

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
L AURENT S CHWARTZ
La fonction aléatoire du mouvement brownien
Séminaire N. Bourbaki, 1956-1958, exp. no 161, p. 327-349
<http://www.numdam.org/item?id=SB_1956-1958__4__327_0>
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Séminaire BOURBAKI
(Février 1958)
LA FONCTION
ALÉATOIRE
DU MOUVEMENT BROWNIEN
par Laurent SCHWARTZ
1. Principes essentiels du calcul des probabilités.
Une loi de probabilité
sure de
Radon £
/ -mesurable,
x 6
X
~.0
sur
espace
X~
sur
de
mesure
soit dans
E
topologique localement compact X est une metotale 1 . Si E est une partie de X ~
cette partie est appelée la probalité pour que
masse
de
probabilité
ou
E
de
suivant la loi
j~ et
se
note
’
ou
(?
~
De même qu’en algèbre il est souvent commode de
supposer que tous les éléments
qu’on considèrera dans une théorie ou dans un livre sont dans un même
corps fourrétout Q. ( domaine universel; CL
et on n’introduit
est algébriquement clos ;
~1 ~
des sous-corps de
de même, en calcul des
au
sort d’une
élément
~
lesquels û
probabilités,
théorie
ou
ce
il
est de
sera
gros" ~ ~
point de
un
au
variable
aléatoire ?
presque partout définie et
sur un
mesurable,
X
est localement
la;loi de probabilité
03BE(03C9)
pour
~(~ (E))
il n’y
comme
Il
a
une
compact,
espace
Alors,
E, soit
existe; même si X n’est
probabilité
pas de loi de
variable aléatoire
tirage au sort
de probabilité
gros". Alors :
topologique
X
est
une
fine
sur
que la
X 3
une mesure
est
une
qui sera
probabilité
partie de X ~ la
existe et et seulement ci
compacta
et si par
toujours définir
on
pourra
X
soit contenu dans
topologie induite.
mais elle
application
X.
"
que
tirages
d’un
dira aueei que c’est une épreuLa probabilité de
partie
pas localement
de ~.
arrivera, pratiquement toujours,
topologie plus
E
si
infinie),
03A9,on
de ~ dans
définit
T
de ? .
soit dans
(P(~"(E)).
avec une
seul
muni d’une loi
sort. Un événement est une
tirage
Yl
l’événement est la mesure de cette partie.
Si
un
que nous entendons par "assez
Un événement élémentaire est
ou un
degré
que
de transcendance
commode de supposer que tous les
d’un liwre sont réduits à
d’un compact "assez
Nous dirons plus loin
a.
sur
a une
loi de
un
Alors 03BE
probabilité
(P(?(ao)eE)
compact
est
conséquent
a
~
X~
fortiori
sur
qui se trouve concentrée sur X (et même en fait sur une réunion dénombrable de
parties de X ~ compactes pour la topologie initiale de X). Pour toute
partie E
327
de
~ (c~) E E ~
X,
Deux variables aléatoires
~(~) ~z(w )
=
classe
toute
X
Xf Y,
des espaces
une
et
fsi,( )
comme
se
Y
sont localement
l’image
b~
dans
prolonge
f(S(dw»
et Y
X
application
en une
Soient 5 1 , ~2
d.
X . Si
X
f o
X
dans
sont
e.
continue
et
X~
~z
f
indépendantes, lorsque
et
lité de la variable produit
produit
quels que soient
(dGU)
A C.
une
x
de
le même espace topologique
seront dites semblables si elles
sur
Cela revient à dire que,
1 1 (E ) )
~z variables
-~E ) ~ existent
semblables
et
en
pour définition des
X
est contenu dans
X
sur
un
de :)
X
x
et
Y
de
X .
sont dites
X
gd’une
(dcu) famille
de
(W --~ (~(~o) ~ ~
revient
1 . Cela
-.1
@ ( (A ) ) et
existe aussi et est
égale
à leur
comme
elles le
sur
sur
sur
X
compact
si et seulement si
~~ tels que
égale au produit
cas de l’indépendance
Y .
Y .
dans
probabiest
à dire que,
j~(v~ l -1 (B) )
produit ;
ce
sont pas localement
et
ne
l’indépendance si
comme dans b , cela signifie que
est
au
sont
sera
de
(f(P))(doo)
Ceci subsistera
X ~ Y , respectivement,
localement compacts, si la loi
( ~des~ r~lois)
- X)(A ~ B))
(?((? définition
~ ~ )"
(03BE,~)(d03C9)
tion évidente
Y
f( ) ~
sur
coïncident
B C
pris comme
compacts. Si X ex,
sera
est
compacts X ~ Y , et si f
52
~z (d r,~) .
aléatoires
~~~~
X~
le
X
de
et
seront semblables
f ~ notée
probabilité
probabilité
de la loi de
compact. Si
c’est-à-dire si
Deux variables
existent,
X
application continue
une
image par
son
sont contenus dans des
probabilité :
51
sur
f
la loi de
compacts,
compact, 51
n’est pas localement
b~
sur
~ : w --~ f ( ( w ) ) ~
quelle que soit la partie E de X ~
même temps et sont égales ; ceci sera prie
si
soit
deux variables aléatoires
localement
est
ont même loi de
X~
sur
par
est
équiva-
deux variables
Y .
dans
X
si
X .
topologiques, et
aléatoire
Sidéfinition
~ est levariable
variable aléatoire
Si
toujours
variable aléatoire
une
Li dans
de
équivalentes
dites
sur X,
On identifiera
rigueur,
d’applications mesurables
Soient
c.
de
dit,
en
~1 f ~ z ~
partout.
presque
lentes Autrement
()E.
est alors bien
Y
sur
la
X
x
mesure
Y . Généralisa-
dénombrable de variables
aléatoires.
On
peut
encore
indépendants
si
dire ceci. Deux événements
(~(A)
et
(P(B)
existent,
sont dits
et
B) = (P(A)@(B) .
Alors
(B) ~
~ (A) ~ ~
images (au
Des
~bles~
sont
de
sens
indépendants.
c)
X
compacts X, Y ,
comme
dans
et
B
de
les événements
indépendantes.
sont
X ~ 7 1 ~ ~?2~
indépendantes, de même
sont
Y sont
A
des variables sembla-
sur
si et~ 1 ~ ~ i ~
(et ~ ~ ~) localement
(~2 ~ ~2~
parties
existent,
indépendantes
de variables
et
Y,
sur
que soient les
(P(~~(B))
et
sont des variables semblables
alors
si
(P(7~(A))
telles que
Y,
"
indépendantes~ si, quelles
sont
~ et
X et
sont-elles semblables
que ~ ~ ~ C’est
~ 9 ~ vrai
sur
X
x
Y ?
compacts, ou plus généralement contenus dans des
b ; autrement, BOURBAKI n’en sait trop rien et refuse
de le savoir.
fl Soit
L/’
un
filtre
J ;
sur
V
sûrement suivant
pont définies
~_
~.(~)
si les
famille do variables aléatoires
une
On dit que
est un espace
dit que les
on
variable
vers une
convergent
limite ?
X~
û ~
sur
de
complémentaire négligeable, et
vers ~ (c~) .
convergent vers 03BE , suivant F ,
les 03BEj
la même espace
presque
variables ~ X.~ siconvergent
les applications
même partie de
sur une
sur
presque partout
en
probabilité,
si
X
si, quel
l’entourage ~L , et quel que soit
~
pour j
K
((j)
Si X est localement compact, ou contenu dans un
compact ~ comme dans b (et en
supposant alors la structure uniforme de X plus fine que celle qui est induite
la convergence en probabilité
entraîne la convergence
~
>
0 ,
uniforme,
e~
il existe
K
~d(~
vers
vague de
et
que soit
(P((~
tel que,
(parce
, ~(~) ~) ~ .
de 03BEj vers 5’
que toute fonction continue à
est uniformément continue et
bornée) ;
si
~
support compact
est à base
dénombrable,
la convergence presque sure entraîne la
convergence en probabilité, donc, si
est localement compact ou C X
compact, la convergence vague des lois.
g. Une variable
est
une
aléatoire %
loi de
est réelle si
probabilité
sur
Une telle variable est dite d’ordre
à la
X
est la droite réelle
X
R. Alors
R.
p ~
1
si ?
est dans
LP (relativement
Alors
mesure
Si 03BE ~ L103C9 ,
l’espérance mathématique (03BE)
2 sont
à
0
3
B
E
(
0
3
C
9
)
d
0
3
C
9
=
x
0
3
B
E
(
d
0
3
C
9
)
.
variables
03BE,
~
,
d’ordre
indépendantes,
(03BE~) (03BE) (~) ; particulier, si 03BE et ~ sont
indépendantes et de moyenne nulle
elles sont orthogonales
(&(?)= ~(~)=0)~
de la structure hilbertienne de
des variables
est la moyenne d’ordre
est
p
égale
Si deux
on a
au sens
=
en
1 ~espace
1~
aléatoires réelles
d’ordre
2:~()=0.
spécifier
Nous pouvons maintenant
.il
des
épreuves était
existe-t-il
une
autre
assez
ce
Soit .5 1
gros.
variable:) 2
faux).
points,
trop petite
on
pourra
Alors
produit
de 03A9’ dans X ;
on
aléatoire
on a
indépendante
muni de la
x
est bien
pr2
l’espace
X ;
besoin de cela. Si û est
identifier ~ 1 à ~ i
pourra
et
sur
si -~ est réduit à deux
suit. Soit
comme
disant que
en
à~1
semblable
pratique
alors la
et
variable
(par exemple,
Or dans la
l’agrandir
entendions
une
X~
sur
Ce n’est évidemment pas certain
c’est évidemment
nous
que
mesure
prl ’ application
indépendante de b 1
o
i *
On supposera alors
a.
l’énoncé d’un
(si
cette loi
x
qui suit :
probabilité sur un espace localement compact X, rencontrée
théorème, il existe une variable aléatoire ~ sur X ayant
n’était pas vérifiée on y parviendrait en remplaçant D. par
Pour toute loi de
dans
-Q
ce
cela
X).
b. Pour toute famille
dénombrable
(5), existe
1o
théorème,
tervenant dans l’énoncé d’un
telle que
mille
soit semblable
~
2. Variables aléatoires
X
du
dual de
K- .
sur
E.V.T, réel
un
le munit de la
logique
donc
une
une
en
et
indépendante
topologie
compact X =
des espaces vectoriels
(1),
(localement
affaiblie,
R
En
loi de
et que la fa-
:lI
topologiques.
séparée
comme
à
toujours).
Si
on
sous-espace topode R ~ X’ le
un
compactification
X au point
(03B1’ , x >)03B1’ ~ X’
point
est une application linéaire continue d’un E.V.T.
faiblement continue., et se prolonge donc en une
est
une
Y . Une
probabilité 5 (d w)
PROPOSITION 1. -
(1)
connexe
de $ ,
peut être identifié
il
qu’elles
So~ ient ~ 1 ’ "5 2 ’
soient semblables, il
aléatoire ? X
concentrée
variable
sur
réunion dénombrable de compacts de
X . Pour
une
X : il suffit d’identifier le
outre, si X
dans un autre, elle est aussi
application continue de X dans
de
il
soit libre.
des
Soit
de variables aléatoires ino
X~
sur
X
sur
et même
définit
sur
X .
deux variables aléatoires sur
faut et il suffit que, p
Nous prenons tous les espaces vectoriels
sur
our
R~
un
tout
seulement pour
E,V ,T.
o(’ C Xt
simplifier.
les variables aléatoires réelles
Pour
une
oC ‘ t ’ ~ (w ) ~ .
~ --a
La
est la variable aléatoire réelle
03B1’, 03BE>
sur X ,
variable ?
soient semblables.
~ ~’ ~ ~ ~~ ~ p~’ ~ z ~
.
proposition
X
Soit d’abord
jn. == ~ (dcv)
est évidente dans lc
de dimension finie.
~ ~ ?
détermine
mation dans
cc cas.
continue de
faut" ; démontrons qu"’il suffit".
de la
de Fourier
L’image
de Radon
mesure
X
maintenant
X
dans
images
un
soit le sous-ensemble
Y
X
est
de dimension
X ~ vérifient
qui démontre
ce
quelconque. Si
E.V.T.
l’énoncé, il
la condition de
fini J
de
X’ ~
les
images
de
X
définies par l’application
~~
et
~~
et si
finie,
notre affir-
application linéaire
une
donc celles-ci sont semblables. En
Y~
sur
de la variable aléatoire réelle
probabilité
donc
variables aléatoires, sur
de leurs
"il
est la fonction
Donc la connaissance de la loi de
Supposone
sens
est de même
on
particulier,
~1 et R" ,2
quel que
seront
dans
semblables.
sait que, si deux mesures
sont toiles que, pour tout sous-ensemble fini
Mais
RJ
03BE2(d03C9) ,
on
coïncident,
alors
ces
deux
mesures
J
de
coincident ;3
X. ~
donc
X’ ,
sur le
produit
projections
leurs
et
S1
52
sur
sont
’
bien semblables
REMARQUES.
légère modification
semblables si, pour tout a.’
1 ° Une
les variables réelles
2° On
que 03BE1
et
d’un sous-espace faiblement dense
~1 ~
peut toujours appeler image
o(’ --~ ~ (exp(-
(2)
~o( l ~
du raisonnement montre
et
( ~’~ ~ z )
de Fourier
de $
i ~ ~,~, ~ ) ) ) . Elle caractérise ~
~z)
03BE2
sont
XI
de
sont semblables. On
la fonction
à
une
un
X’ ,
remplace
X’ :
sur
similitude
On ne peut pas remplacer un sous-espace vectoriel dense par
total : la condition n’est pas linéaire en oC ~ .
encore
près.
sous-ensemble
Elle est continue
eur
X1
muni de le.
PROPOSITION 2. - Soient
toires resp.
X
sur
~~
et
Y
~’ , ,~ )
03BE
soient
des variables aléa-
~
indépendantes, il
montrons que suffisant.
à ~ ~ /~
et
et
compacte.
~
faut et il
les variables aléatoires réelles
Soient
03BE1 , ~ 1 ,
mais
des variables
Considérons
indépendantes.
X x Y ;
1~1)
(
~
~
(
1
~
)
sont semblables,
qui prouvera l’indépendance
qu’elles
sur
cola, d’après
tout
~ E Y1 ~
nous
allons
do 03BE et ~. X~
ce
Pour
et
deux E.V.T.,
et tout ~~~ Y ’ ,
soient indépendantes.
aléatoires respectivement semblables
les deux variables aléatoires
montrer
de la convergence
X’
nécessaire,
Evidemment
et
Y . Pour qu’elles
st
que, pour tout
suffit
~ p~’ ~
X
topologie
il suffit de montrer que, pour tout
et
le s variables réelles
(
la
propostion 1 ,
((
sont semblables.
p~ ’ , fi ’ ) , ( 1 ~ 1~)
« ’, 1 >
et
A’, ji>
#’ est
, n
de même de
03B1’,
o( ~,~ ) ~ ( ~ ) ?
variables s 1 écrivent
Or
ces
encore
fl’, ~ , comme) et £i sont
semblables, il
£ > et 03B1’, 03BE1> sont ; 03B2’, ~>doncet
sont
aussi
indépendantes
semblables ; mais 03BE1 et ’11
§
03B2’, ~103B1’,
et
aussi
03B2’, 1? ; ( 03B1’, 03BE> et 03B2’,~> sont indépen03BE1>
d’où le résultat.
dantes
+
+
en
par
hypothèse,
REMARQUE. - On peut
se
borner à
riels faiblement denses
prendre
~( ~1
de
Y~ .
X~ ~
dans des sous-espaces vec.to-
et
Variables gaussiennes (ou laplaciennes).
3.
Soit
X
un
espace vectoriel de dimension finie
variable aléatoire
~’
sur
2 . Cela revientà
03B1’ y
03BE
>
2 ;
ou encore
produit scalaire
Le
cas
le
plus intéressant
ci~X’ ,
la variable aléatoire réelle
5
~X
sûrement dans
®
Lz’ . Alors
application
le seul pour
lequel,
pour
on
un
ait
est
"F défini t
injective,
ce
X’
qui
sous-espace vectoriel strict de
exprime
X ; alors on peut identifier X’1 à un sous-espace de
est euclidien ; X est par là même un espace euclidien,
que S
dual. Une
03BE> de X’ dans L203C9 , qui induit sur
que
est celui où cette
n’est pas presque
son
est d’ordre
est dite d’ordre 2 si
que, pour tout
est d’ ordre
l’application linéaire 03B1’ ~ 03B1’,
le
X
X~
R~
sur
n
L,
et
et
son
produit scalaire
produit scalaire est
son
Q
Soit maintenant
Q (loi
de
une
quadratique définie positive
forme
Gauss-Laplace associée à Q)
la loi de
X .
sur
probabilité
Appelons
définie
X
sur
par
étant la
dx
dx?
dxi
mesure
dn
...
(c’est-à-dire égale
coordonnées Q-orthonormales). Les
associée à Q
Haar
de
pour des
à
coefficients
sont choisis de telle manière que t
b.
pour 03B1 ~ X , 03B2 E X ,
03B1|03BE)( 03B2|03BE
on
duit scalaire étant celui qui est défini par
X
Pour
=
si
R~
R
est la forme
Q . On
.
quadratique
u
a
))
(
-
‘~ ( o~ ~ ) = 0 ..
tou j ours
û
-~6-~ ~
le pro-
03B1|03B2),
dx
on a
=~
du
~ ~
et on
a
alors
=
0 ~ ~ ~u’‘ )
6’ ’‘ ; cS’
=
variable aléatoire définie par
variable gaussienne
X
sur
telle que
~~dc,~) ~
sont semblables. La forme
et
une
adjointe Q’
forme
Q’
par 03BE
d’ordre 2 de la
ou norme
à
Q,
est
variable
une
aléatoire ?
gaussiennes associées à
isomorphisme canonique de X sur X’
toutes les variables
Q
sur
variable réelle strictement
donc
X , associée
sur
Q
type
A~..
strictement
Une
est l’écart
définit
un
0, (
X’ . Pour tout
gaussienne d’écart type
est la forme induite par
l’infection canonique
~~
de
Xr
dans
Q,
Soit §
F
une
riable réelle
L~
définie
Los moments d’ordre 2
s
~( ~ ~ ~
donc
une
et
les
L203C9 .
de § , c’est-à-dire
déterminent
pour
X’,
~~
/%~à ? ~ ~similitude
donc
près.
= X
est
donc
Q’,
une
variable
X
sur
~~~ ~ ?~
gaussienne. Soit
en
elle est définie
positive.
effet
telle que, pour
soit strictement
Q’1
la forme
tout ~ 6
X’
gaussienne ; alors
quadratique sur X’ ::
et
P
~0
la
va-
est strictement
Soit
Q
la forme
est semblable
adjointe
X . Alors pour tout
sur
à ~ ~"~ est
1~ semblable
~ si 1
associée à Q ;
donc 5
D’ailleurs l’image de Fourier de
Soit
Xl un
gaussienne 03BE
est
une
est
une
X’,
03B1,03BE>
variable strictement gaussienne
donc strictement gaussienne.
à ? iest~ la fonction
~ (dW )
X~ :
sur
sous-espace vectoriel de
X, associée à
sur
variable strictement
X ; l’image d’une variable strictement
Q , par la projection Q-orthogonale X ~
gaussienne 03BE1
sur
associée à
Xl ’
X1,
forme qua-
y
dratique induite par Q sur
Donc, si Xz est un sous-espace vectoriel de
est strictement gausX, l’image de ~ par l’application canonique X ..-~
sienne. Alors l’ image ~ de § par toute application linéaire épij ective X -+Y
est strictement gaussienne ; la forme quadratique
Qy relative à ~ est telle que
i
son adjointe
soit induite sur Y’ par l’adjointe
(l’épijection X
a une transposée
Y’ --~ X’ injective, donc Y’ est un sous-espace vectoriel de
X/X2
X’ ) .
~i
Si
et
sont des variables
z
respectivement,
associées à
est strictement
gaussienne, associée
sienne
et si
X~
sur
1~
ges
à
Q1 ~ Q2 .
( ~ 1 ~ ~ z)
Si 03BE
projections orthogonales
et
Xl
sur
Xz
Xl X2
sur
x
est strictement gaus-
sont deux sous-espaces vectoriels de
Xl ’ Xz
par les
la variable
et
Q1
gaussiennes indépendantes
X
-.~ X1 f
X~
X
les ima-
--~ Xz ~
sont
indépendantes, si et seulement si Xl et X2 sont totalement Q-orthogonaux.
(Si -en effet ces projections sont indépendantes, alors pour Dtl E
0(z E Xz
sont gaussiennes
tous deux £ 0 , les variables réelles
donc
indépendantes, donc orthogonales :
( ~. ~Î ~o)n = 0 ~ et
Xz sont bien orthogonales3 la réciproque est évidente
‘~ ( ( p~ ~ ) ( pC ~ ) ) ~. 0 ~
prenant
en
riables
une
base orthonormale
convenable).
f 0~~~ ~ ) ~ ~ ~~ ( ~ sont
réelles c’est-à-dire
si elles sont
|03B2 )’ = 0 ,
(
les
indépendantes
va-
si et seulement si
orthogonales :
Généralisation évidente à
un
nombre fini de
projections orthogonales
ou
d’éléments
X’ .
Si
X,
03BE1, 03BE2,
associées à
gaussienne,
gaussienne
sur
la
X ;
somme
car
sur
+
gaussiennes,indépendantes
sur
es.t aussi strictement
~
-1
+
~
z
elle est l’image du produit ~ 1 ~ ~ z~ ~ variable strictement
X
X
la forme
Qi
sont deux variables strictement
Q2
Q2 ’
leur
somnie
X , par l’appliaation linéaire ’(xi
quadratique Q de 5 est alors telle
(on peut le voir aussi par Fourier).
x
, x~)
que
En
son
x~
de
adjointe
Q’
+
particulier,
x
soit
si deux
X
variables strictement gaussiennes réelles sont indépendantes d’écarts
leur somme est strictement gaussienne d’écart type
types 03C3,
~.’‘ + ,~ 4 ,
Si maintenant
X
riable gaussienne
dans
est
espace vectoriel de dimension
un
(non strictement)
sous-espace vectoriel X1
Les variables gaussiennes ont des
un
strictement
de
une
et définit
cautions à
et strictement
à
toujours ?
une
finie,
appellera
op
va-
variable presque sûrement contenue
X,
propriétés analogues
Q n’existe plus, mais Q’
gaussiennes ;
dégénérée)
ment
X
sur
gaussienne
X~ .
sur
à celles des variables
existe
toujours (éventuelle-
similitude prés ;
il y
a
moins de
pré-
des
prendre, car on n’est pas obligé de prendre des éléments / 0 de X~ ~
applications linéaires épijectives etc. L’application X’
n’est plus
--~ Lz w
injective.
Si des variables gaussiennes
probabilité
base
ou en
moyenne
dénombrable,
’5
bien
est
X
convergent
4. Variables aléatoires
X
un
vers une
variable
les .5 j
généralisées
d’ordre 2.
espace vectoriel
topologique localement
complet.
R , séparé
convexe sur
Si on cherche à définir une variable
sur X ~ d’ordre
doit certainement pas se contenter de dire que c’est un élément de X
faut prendre un quelconque produit tenooriel topologique complété.
aléatoire ?
Nous
serons
en
ou presque sûrement suivant un filtre à
même
si
sont strictement gausgaussienne ;
ne l’est pas nécessairement
quadratique,
évidemment $
siennes,
Soit
sur
2,
on ne
8
co
amenés à prendre
-
B~
Un
élément §
appelé
variable aléatoire
généralisée
d’ordre 2
X.
sur
5 définit
dans
un
de cet espace sera
une
Pour
application
on
linéaire ?
notera
de
X’
~, ~ ~
variable aléatoire réelle d’ordre 2.
produit scalaire
dans L203C9 , continue de
l’élément
correspondant ~(~)
L’application
~
~
est
X’
induit
i
sur
X’
~
injective, auquel cas on peut considérer X’ comme sous-espace vecsi
toriel algébrique de
la topologie de
Xt est plus fine que la topologie
induite par
(qui est la topologie
définie par
L~
préhilbertienne
D’autre
1 6
L203C9
est
un
généralisée
Une variable
X,
L203C9 dans
définit une application linéaire de
élément de X
part, §
d’ordre 2 n’est
pas faire
X ; l’image
pas en général une variable aléatoire vraie
à ~ une application mesurable
de
sur
peut
correspondre
de S1 dans X ; c’est une variable vraie si X est de dimension
finie, ou plus généralement si c’est un espace de Fréchet nucléaire (car alors
le diagramne général
car on ne
-> ~
w
montre que
3 espaces sont confondus si
ces
X
nucléaire ;
est
X
si
aussi
que
Y
Y~
Y~
muni d’une
X -4Y
l’injection
si alors
sur
est
un
sera une
fine que la
topologie plus
définisse une injection
Fréchet,
donc
variable aléatoire vraie.
Remarquons qu’inversement
2,
p~ ...~~
et si
Pour les variables
a.
X
E
est
Soit
Y
X
L203C9
une
Y
variable aléatoire
une
~
~~(’ ~ ~ ?
généralisées
une
Lz ; w
sur
~1 ~ ~z ~
est continue de
d’ordre
avec
X ~
la définition
déjà
(proposition 1).
généralisées ~o(/~.~ ~ ~
dites indépendantes si,
pour tout
( o( ~ ~
avec
(proposition 2) :
n’est pas
~,
est
donnera les définitions suivantes :
on
sur le même espace
Deux variables
toires réelles
~’ ~
L~ .
dans
X~
X
variable
et
X
Y .
sont des variables aléatoires vraies
Cela coïncide
2,
sur
oC~C X ~ ~ ,~
les variables aléatoires réelles
pour tout
sont semblables. Cela coincide
c.
vraie ?
comme
application linéaire continue. Elle permet de définir
donc l’ image 11 d’une variable généralisée ’J sur
généralisée
variable
b. Deux variables
si,
oomplet
topologie induite,et
complet, 03BE , considérée
nécessairement d’ordre 2 ; elle l’est si, pour tout
d’ordre
est
un
sous-espace de
un
X~
es-
Fréchet. Rappelons que RN est un Fréchet nucléaire). Souvent
pourra considérer un espace localement convexe Y ~ tel que X soit
est
on
Lz ~X) ~
et
pace des classes de fonctions de carré sonmable à valeurs dans
X’
~~~ ~ I~ j
semblables,
( ~~~ ~ 1 ? ~ ~~( ~~ ~2~
et
donnée
si 51
X ~ Y , respectivement,
sur
et
seront dites
tout 03B2’~Y’ ,
sont
~~
seront
les variables aléa-
indépendantes.
la définition antérieure pour des variables aléatoires vraies
dans
ces
deux définitions
b ,
c ,
on
peut
se
borner à
des éléments de sous-espaces vectoriels faiblement denses des duals.
prendre
Une variable aléatoire
est de dimension
finie,
ce
~,~ 0 ~
injective, puisque, pour
n ’ est j amais 1 ’ élément nul de
X’
sur
respondant à
même
Si
sur
est
forme
une
~
topologie moins fine
quadratique analogue à
que
X’ ~
strictement
~/~ ~
préhilbertienne
une
p~’ ~ ~ j
l’application 03BE :
~
L~ . Donc
structure
une
gaussienne si,
est gaussienne. Si
dite
sera
à la définition antérieure.
dernier cas,
strictement gaussienne. Dans
X
sur
réelle
équivalent
c’est
est
définit
d’ordre 2
la variable aléatoire
pour tout
X
généralisé©
et
X’ .
On
la forme Q
ne
peut
du
cas
gaussienne,
quadratique Q’
forme
une
pour
Idem
L,
cor-
luipas définir
de la dimension finie.
sur
X
application linéaire continue, et si 5 est gaussienne
est gaussienne sur Y ; de plus, si l’image u(X)
X ~ son image
est strictement gausdense dans Y , et T strictement gaussienne,
X
Y
est
une
u( )
u( ?)
sienno .
’temples.
5.
Prenons par
réelle
une
fonctions
variable
espace
X
_
°
~
continues
C/~Bi
d’une
variable généralisée d’ordre 2 ,
exemple
t . Alors
une
fonction continue
aléatoire
sur
L,
donc
tend
vers
0 , ’~ (t
probabilité,
mais
non
h
que
est
une mesure
à
L~ ;
à valeurs dans
R
d’ordre 2
généralisé©
élément de
comme un
des
,
+
sur
R. Pour tout
tend
vers ’~ (t)
nécessairement presque
support compact
sur
~l’appellera
~ ~ L~e ~ (L )
R,
R~
en
est
fonction continue
on
peut
définir ~ (t)
variable aléatoire réelle d’ordre
comme une
h)
on
moyenne
quadratique
2 ; lorsdonc
en
sûrement ; plus généralement, si
’~ (t)
~~, ~ ~ est une variable
R ~ à valeurs vectorielles, est sûre-
aléatoire réelle. Une fonction continue sur
ment localement de carré sommable pour la mesure de Lebesgue, donc
donc, considérée
comme
variable aléatoire
vraie ; pour presque tout
on
peut
de fonctions localement de carré sommable
()
appelons
Nous
sommable. N’importe
mesure de
Lebesgue.
quelle
l’espace
mesure
sur
sur
L,
c’est
une
définir ? (ou)
variable aléatoire
comme une
classe
R.
des classes de fonctions localement de carré
de Radon %0 sur R peut remplacer ici la
Un
03A9 R, tel que, pour tout ,
partout
(t) d (t) ,
0
3
B
E
à valeurs dans
L203C9,
c’est-à-dire
aucun
(ôJ)
03C9 , 03BE
03A9
ble
.CY
sur
et 03C9 ~
est
une
ot
si ,
finira,
t)
03C9 ~ 03BE(03C9,
L
dans
2
,
et si
uniquement définie
03A9;
sur
~ 03BE (03C9)
~ 03BE(03C9,
t
élément de
comme
t) .
est
Donc 03BE
une
ot ;
dans
,
d (t) ; 03BE
n ~ 03BE, >
sera
est
sur
mesura-
et
la même variable aléatoire vraie
03BE1(03C9)
= 03BE2 (03)
variable aléatoire
une
R .
1 o
sur
L
dans
une
x
Alors ?
dé-
réelle 03BE, est
>:
d’ordre 2 si et seulement si
est continue de
qu’une
fonction
dans ot, S
sur
~
mesure
Pour presque tout
03BE (03C9, t) est continue
?* (uj) ! t ~inversement.
Deux fonctions
03A9 R , définissent
sur
~~ .
sur
jQ R définisse
fonction 03BE mesurable
il est donc nécessaire que :
vraie d’ordre 2
ot ,
Pour
R
elle n’a de valeur détermi-
doit être mesurable de 03A9
pour presque tout
pour toute
03BE1(t , 03C9) = 03BE2(t , 03C9)
variable aléatoire vraie
fonction
mesurables
Deux
fl.
est mesurable de 03A9
03BE(03C9)
à L203C9,
sur
est
sur
le même élément de
R, définissent
R,
tout
intégrale
de
une
réciproquement.
> ~ L203C9 est l’intégrale
03BE
,
~ ’ot,
d’une fonction continue vectorielle
pour presque tout
R;
x
03BE1, 03BE2 ,
sur
point ~
fonction mesurable
une
3 et
L203C9
t ~.
classe de fonctions
comme
R . Comme 03C9
x
cette
maintenant 1
Soit
pour
rapport
par
1~ ~
née pour
si,
-Q . Pour
sur
définipar
dans
03BE1, 03BE2, sur 03A9
et seulement
presque
R
soit continue de
fonction mesurables
ot ~ L203C9 si
donc être
peut
03BE(t):03C9~03BE(03C9,t)ap rtien
(t)
t ~ 03BE
et que
0.. ~ L203C9
de
élément 03BE
03BE, >
2
w
variable aléatoire
sur
nue sur
R~
et que
b. pour tout
t
(c~) :
pour presque tout
a.
2014~
~(t)
~
t~~
2014~
CA3
§ ( ce ,
t)
2014~
une
dans
soit continue continue
variable aléatoire vraie
pour presque tout 03C9 ,
mes
de Riemann
y
aléatoires,
coïncident
grâce
continue de
vers
à
b.~
l’intégrale
vectorielle
sur
i) 03BE(03C9,
03A3
R dans
fonction conti-
~ ~
L~ ~ et que
L
a.
.
entraîne
ti) ;
t)
L~ ~
on
mais
effet
On
comme une
ces
sommes,
ti+1) 03BE(ti) , et
2(ti , elles
vectorielle définie
( ?(t)
?(t) du(t)
une
~.. Soit ~ ~~ *
l’intégrale
£ ( ce ,
t.
avec
soit
soit dans
Ces conditions sont suffisantes. La condition
’soit
t)
soit mesurable de ~ dans
§(ce )
(t) :
t 2014~
que 03BE
peut représenter
limite de
son-
comme
variables
t ~
03BE(t)
est,
convergent on moyenne quadratique
cela prouve que l’intégrale
(r
comme
L~ ~
par b. coïncide
avec
03C9~ 03BE(03C9,t)d (t)
définie
L203C9, donc 03BE
intégrale vectorielle
L
est d’ordre
dans
la
presque toutes les valeurs de
R, 03BE
do
généralisée
aléatoire
On dira
~ L203C9 , définit,
6
que 03BE
tème fini
a
=
sur
toute
par
K
partie
K.
t~
t.
t..
"
R
restriction,
à valeurs
définie pour
Q
sur
(a ~ b)
intervalle
sur un
fonction continue
une
(a ~ b) :
de
tp
...
comme
indépendants, si, pour tout sysb de nombres réels , les fonctions
=
généralisées 03BE(a)
03BEKi - 03BE(ti) ,
sont
variables aléatoires
des
l’intervalle
(ti’
est
et
indépendantes
d’ordre 2
d’ordre 2
est à accroissements aléatoires
continues aléatoires
où
03BE(03C9,t)d (t) ,
de carré sommable
et
généralisée
Une fonction aléatoire continue
à la fois
d’une fonction continue de
03C9 ~
~
~’0
G c dans
est continue de
L peut s’écrire
03BE, > ~
’P(t) du(t)
]fonction
ou comme
,
et
2,
>
H ~ 03BE,
alors que
par a. ; mais b prouve
( ).
1
généralisées
proposition 2,
qui
l’espace des fonctions continues,
suit la
En utilisant la remarque
~
de
remarquant quo~ dans le dual
les combinaisons finies de masses ponctuelles sont faiblement
et
en
la condition
précédente est entraînée par
système a t.. t
forte : pour tout
=
aléatoires réelles
dépendantes.
Dans
E (t1) - ~(~n~
ce
(t~ ~ ~o) ~
cas, 03BE
dite
donc
une
est
gaussienne si
~~2~ " ~~1~
et
Une distribution aléatoires
à L~ ,
C!/.
(~’=
généralisée
distribution
sur
~c~~~~~§(~P)
stationnaire,
denses, on voit que
la suivante, apparemment beuacoup moins
... ~
~o = b , les variables
R
est
sont
~-1~ ~ sont ~*
~~
"
tous
seulement
"* ~
et
sur
à valeurs dans
si elle est semblable à toutes
on
r(s , t)
puisque
le produit
définit
riable
et
un
L
.
covariance
élément §
réelle. ?
comme
et
~P6
~.( ~P)
et
quelle
x
légèrement modifiée :
03BE(t0) par 03BEK0
.
est
ne
que
~( T ~P )
la fonction de deux
5 (t)) . Alors, si ~~.~
~(?(s)
est
continu
de L~
multiplicatif
L~ dans
remplacer
de
Pour toute
=
a=20140153~ définition
03BE (a) ,
sa
est
translatées. D’après la
ses
sont semblables.
ot à L203C9 ,
riable réelles
R
variable aléatoire
proposition 1~ cela revient à dire que, quelle que soit
soit la translation f sur R ~ les variables réelles
Si 03BE ~
pour
gaussiennes.
d’ordre 2
une
si,
vaon a
1
pas considérer la
va-
donc, puisque l’espérance mathématique
-
’
~
est
aléatoires 03BE
Un
SYmétriqUe
noyau
Remarquons qu’on peut
La
signification
§~ i ~
=
j~
généralisée
Tariables)
L203C9 L203C9
15 (
et
b g t)
2,
on
définira
F
:
§
=
étant
une
(03BEs % t) .
distribution à valeurs dans L203C9,
à la
produit tensoriel, correspondant
un
donc
une
en
multiplication
s , t
à valeurs dans
en une
isométrie de
de
est la
Si la distribution
sur un
écrire s,t
distribution
L103C9 , c’est
distribution scalaire s,t.
dans
x
est
d’ordre
tYPe > ° .
est la suivante:
g~
e
encore
de
sur
’
JJ
Alors, pour une distribution
la covariance par le noyau (distribution à 2
s,t est
forme linéaire continue
une
sous-espace de
d’où
.
lisée d’ordre 2 est
§à
valeurs dans L203C9
alors
se
prolonge
4
on aura
On démontre aisément que toute distribution aléatoire
généra-
distribution aléatoire vraie.
une
6. La fonction aléatoire de Wiener-Lévy (ou du mouvement brownien).
On
appelle
fonction aléatoire de
fonction continue
les
propriétés
Wiener-Lévy qur l’intervalle
aléatoire généralisée d’ordre 2 ,
est à accroissements aléatoires
b. ~
est
5(tl)
gaussienne,
ou
C"
une
orthogonales
une
vérifiant
indépendante ;
encore, quels que soient
(tz ) - S(tt)
Nous allons normaliser
est
(a ~ b)
suivantes :
a. ~
et
réel
sont
une
+
telle fonction. Soit
h) ~
e
(a ,
(a , b) ,
gaussiennes.
fonction continue croissante
~(t) ~ ~(t
tl
~(t) ~
(car T (t
d’2 (t) =
+
h)
‘~(laeomme
( (t) )z . Alors
est
des variables
donc
aléatoire 1 de ~ ~
(t)
(03C32(t))
t1 t’2 ,
03C32(t2)
posant ~
03BE
03BE (t2) - 03BE(t1) est presque sûrement nulle et ~ (03C32(t2)) = ~ (03C32(t1)) . Alors
On
en
peut
alors
remplacer..5
==
par une fonction continue
=
ï si
pour
~0z~
remplacée
est
est
fonction de
encore une
Nous reviendrons désormais
aux
notations
initiales, § ,
la fonction normalisée :
~, ( ( (t ) )z ) - t
o.
(a , b)
Wiener-Lévy, mais normalisée ;
((~ (a)~ 6* (b))
par
~ et Il = 0,
~ (tl )
d’écart-type
S(t + h) - 3(t),
est
h
gaussinne
tl . t2 ’
pour
les variables aléatoires
choix,
sont toutes semblables
fixe,
des variables gaussiennes
ce
mais supposerons
b = ao .
variable strictement
une
Grâce à
t ~
quand t varie :s
ce
sont
d’écart-type
PROPOSITION 3. - Il existe
une
fonction de
Wiener-Lévy normalisée, ,et
seule
une
une simi,~litude prè s .
Montrons d’abord l’unicité.
Elle résulte d’une
continues aléatoires
( 0 ~ + oo ) ~
sur
et
propriété plus générale : si 51 et 03BE2 sont deux fonctions
généralisées d’ordre 2, à acroissements aléatoires indépendants
si
et
~z (0) sont semblables, et
et ~ z (tz ) - ~ z ~tl ~
sont semblables. La
~1 (0)
semblables pour tout
proposition 1 ,
sont sûrement semblables
S2
et tout
sont
et de
système
de nombres réels
1 °~ dit
système fini
remarque
pour tout
cO’ cl ’
1 (t2 ) - 1et
(t. ~ t ~ ~ alors
... ,
el’
en
,...,
indépendantes,
Hilbert
)~n ~
0
..,
fonction de
une
t1
les variables
sur
et
tz ~ " , ~
aléatoires
03BE1 et 03BE2
Wiener-Lévy particulière,
suite de variables aléatoires réelles
gaussien-
de même
écart-type 1 . Elles engendrent un sous-espace de
dans lequel elles forment une base hilbertienne. Toute
binaison linéaires finie des
bles gaussiennes
une
S1
effet que
semblables ; mais cela résulte immédiatement des hypothèses
l’indépendance des accroissements aléatoires.
Il suffit donc de construire
nes
si,
couple
03B30Comme
3BD est
une
variable
gaussienne, comme
somme
com-
de varia-
indépendantes.
moyenne quadratique, de valimite,
gaussiennes est gaussienne, tout
de
est une variable aléatoire réelle gaussienne. De plus, un nombre fini de vecteurs de
des variables
riables
toute
élément
en
sont
’
gaussiennes indépendantes si et seulement si elles
Soit alors
J
4
i sométrie de
une
§É .
sur
généralisée
d’ordre
orthogonales.
peut considérer
On
ce
+
distribution aléatoires
sont
J
comme une
dont la covariance est
2,
Q,t ~ ~É~~~S ~t~ ~ ~S-t °
Soit
03B8s
la fonction
caractéristique
g (s) J(e ) ,
1 ° d’abord
§ est
est
-
posons
=
voit
on
que 03BE
a
applica.tion continue
application continue de R +
0s
une
2° j) (t2) - 03BE (t1)
de
R+
dans
Alors si
voulues:
C L203C9 ,
03C9
D ’autre
da.ns
L2t .
nous
parce que
§ (0)
part,
0 .
=
où
=
1’ 2
(t1 , t2) ;
l’ intervalle
propriétés
toutes les
une
s
(0 , s ) .
de l’intervalle
c’est
une
est la fonction caractéristique de
1’ 2
variable gaussienne, et il en est de
de
i~~i ~ Ù
4° Reste à montrer
avons vu
page
13 ,
nous
que 03BE
°à£
03BE(tl) - 03BE(tl-1),
qu’elles sont
~~o’~i ~
REMARQUE... La relation
est
l’unique primitive
~
1
ce
de
Jt
~
f (t0) ,
elles appar-
peut aussi s ’ écrire
qui s’annule
t
pour
Wiener-Lévy est
est une application
nous
~~
’
=
que
orthogonales; or ce sont les imaqui sont bien orthogonales dans
~%_i’~t ~
g(t) _ J(03B80,t)
PROPOSITION 4. - La fonction de
tinue d’ordre 2
indépendantes ;comme
sont
il suffit de voir
~~~
~t
indépendants. D’après
devons montrer que les variables aléatoires réelles
03BE(t1) - 03BE(t0), ... ,
tiennent à
est à accroissements
0 .
vraie fonction aléatoire
une
con-
-0.
mesurable de
Il suffit de le montrer pour la fonction de
=
Wiener-Lévy normalisée, sur
simplifier (0 ~ l)
Rl .
un
inter-
(0 ~ T) , que nous prendrons pour
Rappelons (page 12 ) qu’on peut définir ..$ comme fonction mesurable sur .~.. x R~ .
Considérons alors la division de (0 ~ 1) en 2n intervalles égaux. En chacun
valle fini
des
points
=
5 (p n) . Si
à
§( ce ,
t)
la valeur
de division
nous
aux
appelons
points
t =
03BEn
p 2n
de 03BE
est
la fonction sur
et linéaire entre
une
J1.x
ces
variable aléatoire réelle
RI
qui,
est
pour
intervalles,
03BEn
est
une
égale
fonction mesurable
Cherchons
un
un
x
définissant
R~
une
module de continuité
module de la forme
Mais il existe
donc la
fi
vraie fonction aléatoire continue
sur R1 , avec 03BEn (p 2n) = 03BE(p 2n) .
d’ordre 2
chercher
sur
a
constante
Ci
probabilité précédente
est
une
Nous allons montrer
pourvu que
telle que
majorée
par
qu’on peut
Mais la fonction
Donc
--j1 a
u
V 2u
log 1 u
est croissante et
(pour
concave
u 1 e ).
l’inégalité
pour des
des
t"
t’ ,
dyadiques,
quelconques,
t’ , t" ,
à
t’
= p2 2n, t"=q2 2n,
cause
de linéarité
entraîne la même
de 03BE n( w)
inégalité
pour
dans les intervalles
~.
r
zn ~n
.
Alors 03BE
des
03C9
Mais la
de
a
n
probabilité C2
probabilité
sure
.Q,
de
On
on
peut
en
on a
leurs
~i ~
déduire
associera le
suivant: sauf pour
d’une réunion dénombrable d’évènements est
nulle. En modifiant
pour tout
,
au sens
-1 )n
probabilités ; donc, sauf
probabilité inférieure où égale à
par la somme de
03C9 de
bien le module de continuité voulu
au
besoin tout
tel
il existe
majoration
plus proche des
une
sur
den+1
n 2n,
soit
~.~ ,
qu’on
toujours majorée
pour un ensemble
on
Q. N
d’éléments
peut le supposer vide. Donc,
ait les
inégalités
(~~t)"~n(~~
t’ . Alors
n
ci-dessus pour
t)1 .
A tout
t ,
Donc,
pour tout
série
suite
t)
est
~ ( c.~ ~ t donc
) mesurable
sa limite. La
surables,
les
‘~a~(L2 )
e
donc,
est
pour tout
t) -
convergente,
fonction .5 a
sur
0
R~ .
x
b.
converge presque sûrement
Mais
ici,
en
moyenne
pour tout
sommable ;
donc mesurable
.
conditions
en
est
une
outre,
03C9
a
de
a.
plus
un
d’une
fonction continue
~
03BE0(03C9)
suite
est
sur
une
;alors 0
(voir
R ,
12 ,
et
page
et
application
peut
12 ).
non
de
d’applications
puisque otdéfinit
est métrisable ; donc S 0
et b. de la page
vraie d’ordre 2 sur (0,1)~
On
vers
t
qui est limite simple
mesurables,
interpolées linéaires
.coïncident presque partout sur H
et définir la même fonction aléatoire de
Wiener-Lévy
de carré
.et
ses
quadratique
pour tout
seulement
la
t :
converge
remplacer §
ou encore
Mais la fonction continue à valeurs vectoriel-
évidemment limite uniforme de
a. ~ n(t)
Donc § et ~ p ~
t),
uniformément pour 0 ~ t 1 , Soit
est limite d’une suite de fonctions me-
et
donc
une
vérifie les
fonction continue aléatoire
module de continuité de la fonction aléatoire. Pour
n ~
on a
Soit
(t,
t
+
11 t)
un
intervalle
avec
/~ t ~ 1 . Choisissons
n
tel que
Mais~ pour tout
donc, pour tout
on
peut choisir 14 (ce)
et pour tout
entraîne !~(~
At~~(~)
On
bien
la
peut
t
+
2 0394t log 1 0394t,
dule de continuité
PROPOSITION 5 . - La fonction de
aléatoire ~
0
tel que
~f
admet presque sûrement le
et cela
quel
Wiener-Lévy normalisée~
b. elle est à accroissements aléatoires
Lorsque
sont toutes
d.
(~) ~
nombre ~
existe
a
les
mo-
1 .
que soit
propriétés
suivantes :
~(0)=0 3 ~(D) =0 , ~(~(1))=1 ~
a.
~’
un
~t) -
fonction
dire que
donc
1,
grand qu’on veut ; il
aussi
~ ~
0
indépendants ~
les fonctions aléatoires
varie
généralisées
semblables ;
0
lorsque s >
varie
les fonctions
aléatoires
sont toutes semblables.
Elle
est, à
une
lisée d’ordre 2 à avoir
On voit
propriétés
qu’ici
on
près,
similitude
ces
remplace
d’invariance par
la seule fonction continue aléatoire
généra-
propriétés.
la condition d’être
un
gaussienne
et
normalisée par des
semi-groupe d’opérations.
Il est évident que la fonction de
Wiener-Lévy
a ces
propriétés :
a.
et b. ont
déjà été vues ; pour voir c. , il suffit, puisque les fonctions considérées sont
’à accroissements indépendants,«t nulles pour t = 0, de vérifier que, pour tout tl
et
t2’ les différentes variables réelles ~ (tz ~"~ ) ’" ’~ ~tl + ~ ) sont semblaenfin
sont des variables gaussiennes, d’écart-type
bles : or ce
t pour tous tl et t2’ les différentes
pour vérifier d.. il suffit de vérifier
variables
réelles
--------
~Ïs
-
-
~’s’
sont
semblables,
or ce
sont des variables
Réciproquement,
R+ ~
sur
a~ ~. b. ,
vérifiant
normalisée,
fonction continue aléatoire
une
soit ?
c. , d. Pour montrer
il suffit de montrer que, pour tous
tl
~t - t ;
gaussienne d’écart-type
généralisée d’ordre
qu’elle est de Wiener-Lévy
2
t2 ~ (t2) . ~ (tl)
et
3 mais
est
c. affirme qu’elle est semblable à
il suffit donc de montrer que, pour tout t ~
(t) est gaussienne d’écart-type
Mais d’après d, ~
est semblable à
il suffit donc de montrer que
est gaussienne d’écart-type 1 .
S (t2 -
t1) ,
0 ~
Vt
g (t)
~,(1) ;
?(1)
Soit
l’image de Fourier do la loi de probabilité de
("fonction
caractéristique"
~(1) est
de la variable
d’après
des
variables
b. ~
aléatoire
5
(1
».
:5
(1)
,
indépendantes
somme
,
dernières
ces
,
..
g (1 n) ,
à
sont toutes semblables
est semblable à
§(1 ) .
-
iù
Finalement
..
f(1 )
est
somme
de
- §(1 ) ,
voment semblables à
n
d’après
c. , et
d. , j (1 n)
d’après
variables aléatoires
n
la fonction
indépendantes respecticaractéristique d’une somme de va-
indépendantes n est le produit des fonctions caractéristiques, donc
Il reste à montrer que cette relation fonctionnelle
implique
f (u) soit
n fonction caractéristique de la loi de Gauss: ufl (u) exp(- é) .
que
1f
Comme
z9
(1 ) est d’ordre 2 , q est deux fois continuement différentiable, donc,
pour
de a. ,et- log
0 , Lf (u) 1 - u2 0(u2) à
u2 o (1) .
(u)
q
tout
Àlors, pour
fixé, log L+ (u )= - il o(1 n) ; ét
yz
riables
on a
=
=
u
+
=
cause
=
u
+
n
donc
1f (u)
exp
(- u ) ,
et 1 (1 )
7. Extension: la mesure aléatoire de
Au lieu
une
considérons
de
03BE
distribution
sur
n
V H
0
=
R+ ,
sa
se
est bien
gaussienne d’écart-type
à-dire
à la
un
dérivée
Jt (au
prolongeant
en un
sens
des
distributions). J.
isomorphisme
de
sur
plus généralement T un espace localement compact, muni
dt 0 . Une mesure aléatoire J généralisée d’ordre 2 sur
L203C9)
élément de
mesure
dt ,
est dite de
si elle satisfait à la
Pour toute
~~~)
d’écart-type
~03C6~2
L .
(fonction
(Donc
J
Wiener-Lévy
propriété
gaussienne).
H03C9.
d’une
T
est
mesure
(c’est-
normalisée relativement
suivantet
continue à support
est
1
Wiener-Lévy.
Soit alors
de Radon
+
-
compact),
J(~)
est
gaussienne.
Il existe
si
et
Jl
plus
au
ont
J2 b
toute
J~
et
une
similitude
près :
soit
à
à la
sur
de Wiener-Lévy
système
a
dénombrable de
système
un
alors
alors
sont semblables pour
en
outre
si
dans
T
pour
une
question.
propriété
la
:2
fonctions de (fJ , orthogonal suivante
L.les
qui,
L203C9 ,
nom-
définissant
J
une mesure
libre de variables aléatoires.
C’est cette condition
car
(proposition 1 ).
sont semblables
J2
à
Jz(~ )
et
H03C9 est
isomorphe
L,
répond
mesure
un
propriétés,
ces
existe bien une, car, si
un
sous-espace hilbertien de
des
variables
dénombrablement
par
gaussiennes
indépendantes assez
breuses pour que
isométrie de
mont
ayant
propriétés,
en
engendré
est
ces
donc
Et il
La
une mesure
=
(a , b)
C
R,
(c~ ’ k)k~ K
J (tpJJ f or-
donne la condition d’accroisse-
indépendants.
ments
Si
T
est
gauche,
J
mesures
de
un
groupe localement
est stationnaire à
Wiener-Lévy,
compact,
gauche,car
dt
ses
une mesure
de Haar invariante à
translatées à gauche sont
encore
des
donc lui sont semblables.
Wiener-Lévy,d’après la proposition 5,est une fonction aléatoire
mesure aléatoire généralisée de Wiener-Lévy n’est pas une mesure
La fonction de
vraie. Mais la
aléatoire vraie. Nous
tre
qu’il
ne
peut pas être
tion localement
est presque
avons vu un
bornée ;
sûrement
une
module de continuité
amélioré,
donc 03BE’t
et
possible
pour ’5 ;
on mon-
n’est presque sûrement pas à varia-
que ?
n’est presque sûrement pas
une
mesure3 elle
1) ,
distribution d’ordre 1
EXEMPLES.
1° Prenons pour
ment de Fourier
où
an
a~
=
2
T
muni de la
mesure
dt. J
admet
un
développe-
().
J(1) est une
J(cos 2Tf nt) ~
=
d’écart-type 2 ;
(5)
R/Z
le tore
variable
bn
toutes
=
2
ces
gaussienne d’écart-type 1 , tandis
J(sin 2 TInt) ,
variables sont
sont des variables
indépendantes ;
que
gaussiennes
et c’est là
une
autre
de Fourier en cos ~ sin ~ oh m châtiment pour n’avoir
que des fonctions aléatoires réelles. Si l’on veut bien considérer des
variables complexes on voit que, si T est un groupe abélien, dt une mesure de
est aussi de Wiener-Lévy,
Haar, l’image de Fourier
=
est gaussienne d’écart type
Développement
considéré
~F03C6 ~L2 ~03C6~L2 .
manière de trouver
Si
on
considère
périodique) unique,
J .
J
périodique sur R ~ elle a une primitive (non
t
0 , et cette primitive coincide avec la fonction
l’intervalle (0 ~ 1) ;3 on a donc pour cette dernière
0 ~t ~1 :
comme mesure
nulle pour
normalisée dans
de
Wiener-Lévy
le
développement, valable
(développement convergent
pour
en
=
moyenne
quadratique
et presque
sûrement),
gaussiennes indépendantes d’écart-type
bn
sont des variables
ble
gaussienne d’écart-type
1
indépendante
des
349
a ,b .
où les
(i2t~ ~ (1)
une
an’
varia-