TD 6. Indépendance de variables aléatoires

École des Mines de Nancy
Denis Villemonais, [email protected]
Année 2015-2016
FICM 1A – Probabilités
TD 6. Indépendance de variables aléatoires
Exercice 1. (*) Soient A1 , A2 , . . . , An des événements d’un espace de probabilités (Ω, F, P) et
X1 , . . . , Xn les variables aléatoires à valeurs dans {0, 1}, définies par
(
1 si ω ∈ Ai
Xi (ω) = 1Ai (ω) =
0 sinon.
Montrer que les événements A1 , . . . , An sont indépendants si et seulement si les variables aléatoires
X1 , . . . , Xn sont indépendantes.
Exercice 2. Soient X et Y deux variables aléatoires exponentielles indépendantes de paramètres
respectifs λX > 0 et λY > 0.
1. Donner la loi du couple (X, Y ).
2. Donner la loi de T = inf(X, Y ).
Exercice 3. Soient X1 , . . . , Xn des variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que, pour
tout i ∈ {1, . . . , n}, Xi est de loi gaussienne de moyenne mi ∈ R et de variance σi2 ≥ 0. Montrer que,
pour toute famille a1 , . . . , an ∈ R, la variable aléatoire
Y = a1 X 1 + · · · + an X n
est une variable aléatoire gaussienne, dont on donnera la moyenne et la variance.
Exercice 4. Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire de loi absolument continue dont la densité f est donnée
sur R2 par
√
3
1
2
2
exp − (4x + 2xy + y ) , ∀(x, y) ∈ R2 .
f (x, y) =
2π
2
1. Déterminer la loi de X et celle de Y .
Aide : On se souviendra avec profit que, pour tout m ∈ R et tout σ > 0,
(x−m)2
1
√
e− 2σ2 ,
2πσ
est la densité d’une variable d’une loi gaussienne N (m, σ).
1
2. Les variables aléatoires réelles X et Y sont-elles indépendantes ?
Exercice 5. Soient X et Y deux v.a. indépendantes de loi uniforme sur [0, 1]. On pose U = inf(X, Y )
et V = sup(X, Y ).
1. Calculer la loi de X + Y .
2. (a) Calculer la fonction de répartition de V et en déduire que cette v.a. admet une densité
que l’on explicitera.
(b) Même question pour la variable U .
3. Montrer que T = U/V suit une loi uniforme sur [0, 1].
Aide : On pourra montrer que, pour tout t ∈]0, 1[,
P({U ≤ tV } ∩ {X ≤ Y }) = P(X ≤ tY ).
Exercice 6. Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi, de fonction
caractéristique ϕ. Soit Y une variable aléatoire réelle de loi P(λ), où λ > 0. Nous supposons que les
variables aléatoires Y et Xn , n ∈ N, sont mutuellement indépendantes. Posons
Z=
Y
X
Xn ,
n=1
avec la convention
P0
n=1
Xn = 0 (on admettra que Z est mesurable).
1. Déterminer la fonction caractéristique de Z.
2. Supposons que, pour tout n ≥ 0, Xn admet des moments de tout ordre (c’est-à-dire que X p
est intégrable pour tout p ∈ N).
(a) Soit p ∈ N. Est-ce que Z admet un moment d’ordre p ?
(b) Déterminer, si elle existe, la variance de Z, c’est-à-dire Var(Z) = E(Z 2 ) − E(Z)2 .
Exercice 7. (*) Soit (Yn )n∈N une suite de variables aléatoires à valeurs dans N, indépendantes et de
même loi.
1. Montrer que
∞
X
P(Yn ≥ n) = E(Y0 ) + 1.
n=0
2. En déduire que la suite (Yn /n)n∈N est bornée par 1 à partir d’un certain rang avec probabilité
1 si et seulement si E(Y0 ) < ∞.
Aide : on pourra définir les événements An = {Yn /n ≥ 1}, ∀n ∈ N.
3. Soit c > 0. Montrer que la suite (Yn /n)n∈N est bornée par c à partir d’un certain rang avec
probabilité 1 si et seulement si E(Y0 ) < ∞.
Aide : on pourra s’intéreeser à la suite de variables aléatoire indépendantes et de même loi
(bYn /c + 1c/n)n∈N .
4. Montrer que la suite (Yn /n)n∈N tend vers 0 presque sûrement si et seulement si elle est bornée
à partir d’un certain rang avec probabilité 1.
2