TD 6. Indépendance de variables aléatoires

École des Mines de Nancy Année 2015-2016
Denis Villemonais, [email protected]
FICM 1A – Probabilités
TD 6. Indépendance de variables aléatoires
Exercice 1. (*) Soient A1, A2, . . . , Andes événements d’un espace de probabilités (Ω,F,P)et
X1, . . . , Xnles variables aléatoires à valeurs dans {0,1}, définies par
Xi(ω) = 1Ai(ω) = (1si ω∈Ai
0sinon.
Montrer que les événements A1, . . . , Ansont indépendants si et seulement si les variables aléatoires
X1, . . . , Xnsont indépendantes.
Exercice 2. Soient Xet Ydeux variables aléatoires exponentielles indépendantes de paramètres
respectifs λX>0et λY>0.
1. Donner la loi du couple (X, Y ).
2. Donner la loi de T= inf(X, Y ).
Exercice 3. Soient X1, . . . , Xndes variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que, pour
tout i∈ {1, . . . , n},Xiest de loi gaussienne de moyenne mi∈Ret de variance σ2
i≥0. Montrer que,
pour toute famille a1, . . . , an∈R, la variable aléatoire
Y=a1X1+··· +anXn
est une variable aléatoire gaussienne, dont on donnera la moyenne et la variance.
Exercice 4. Soit (X, Y )un vecteur aléatoire de loi absolument continue dont la densité fest donnée
sur R2par
f(x, y) = √3
2πexp −1 2(4x2+ 2xy +y2),∀(x, y)∈R2.
1. Déterminer la loi de Xet celle de Y.
Aide : On se souviendra avec profit que, pour tout m∈Ret tout σ > 0,
1
√2πσ e−(x−m)2
2σ2,
est la densité d’une variable d’une loi gaussienne N(m, σ).
1

2. Les variables aléatoires réelles Xet Ysont-elles indépendantes ?
Exercice 5. Soient Xet Ydeux v.a. indépendantes de loi uniforme sur [0,1]. On pose U= inf(X, Y )
et V= sup(X, Y ).
1. Calculer la loi de X+Y.
2. (a) Calculer la fonction de répartition de Vet en déduire que cette v.a. admet une densité
que l’on explicitera.
(b) Même question pour la variable U.
3. Montrer que T=U/V suit une loi uniforme sur [0,1].
Aide : On pourra montrer que, pour tout t∈]0,1[,
P({U≤tV }∩{X≤Y}) = P(X≤tY ).
Exercice 6. Soit (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires indépendantes de même loi, de fonction
caractéristique ϕ. Soit Yune variable aléatoire réelle de loi P(λ), où λ > 0. Nous supposons que les
variables aléatoires Yet Xn,n∈N, sont mutuellement indépendantes. Posons
Z=
Y
X
n=1
Xn,
avec la convention P0
n=1 Xn= 0 (on admettra que Zest mesurable).
1. Déterminer la fonction caractéristique de Z.
2. Supposons que, pour tout n≥0,Xnadmet des moments de tout ordre (c’est-à-dire que Xp
est intégrable pour tout p∈N).
(a) Soit p∈N. Est-ce que Zadmet un moment d’ordre p?
(b) Déterminer, si elle existe, la variance de Z, c’est-à-dire Var(Z) = E(Z2)−E(Z)2.
Exercice 7. (*) Soit (Yn)n∈Nune suite de variables aléatoires à valeurs dans N, indépendantes et de
même loi.
1. Montrer que
∞
X
n=0
P(Yn≥n) = E(Y0)+1.
2. En déduire que la suite (Yn/n)n∈Nest bornée par 1à partir d’un certain rang avec probabilité
1si et seulement si E(Y0)<∞.
Aide : on pourra définir les événements An={Yn/n ≥1},∀n∈N.
3. Soit c > 0. Montrer que la suite (Yn/n)n∈Nest bornée par cà partir d’un certain rang avec
probabilité 1 si et seulement si E(Y0)<∞.
Aide : on pourra s’intéreeser à la suite de variables aléatoire indépendantes et de même loi
(bYn/c + 1c/n)n∈N.
4. Montrer que la suite (Yn/n)n∈Ntend vers 0presque sûrement si et seulement si elle est bornée
à partir d’un certain rang avec probabilité 1.
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