Chapitre 20 : Séries numériques.

ECS3 Carnot Chapitre 20 2013/2014
Chapitre 20 : Séries numériques.
1 Généralités
1.1 Définitions
Définition 1.1.1
Soit (un)une suite de nombres réels. On appelle série de terme général unla suite (Sn)n
définie par
Sn=u0+···+un=
n
X
k=0
uk
Pour tout n,unest appelé terme d’indice net Snest la somme partielle d’ordre (ou
d’indice) n. On note Punla série de terme général un.
On dit que la série Punest convergente lorsque la suite (Sn)nde ses sommes
partielles converge. La limite Sde cette suite est alors appelée somme de la série et
notée
+∞
P
n=0
un. Si Punne converge pas, on dit qu’elle diverge. Etudier la nature d’une
série, c’est déterminer si elle converge ou non.
Remarque. Il faut prendre garde aux notations : Pundésigne la série de terme général
un(i.e. la suite de ses sommes partielles), alors que
+∞
P
n=0
undésigne sa somme. Cette dernière
notation ne s’emploi que si on s’est assuré de la convergence de la série et désigne
la limite de ses sommes partielles.
L’étude des séries n’est donc « que » l’étude de suites particulières qui apparaissent
comme somme partielles. Ce point de vu est par contre beaucoup plus riche en théorèmes
et propriétés, ce qui justifie leur étude.
Remarque. Si (un)n’est définie qu’à partir d’un certain rang, la série de terme général
unl’est aussi.
Exemple. La série P1
2nest convergente. En effet sa somme partielle d’indice nest Sn=
n
P
k=0
1
2k=
1−1
2N+1
1−1
2
converge vers 2. On obtient donc de plus la somme de la série :
+∞
P
n=0
1
2n= 2.
Exemple. La série P1
ndéfinie à partir du rang 1 est divergente. En effet notons Sn=
n
P
k=1
1
ksa somme partielle d’indice n. Si cette suite (Sn)était convergente, on aurait lim S2n−
J. Gärtner. 1

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Sn= 0 (puisque la suite (S2n)est extraite de (Sn). Mais
S2n−Sn=
2n
X
k=n+1
1
k>
2n
X
k=n+1
1
2n>1 2
donc (S2n−Sn)ne converge pas vers 0 et la série P
n>1
1
ndiverge.
Proposition 1.1.1
Si Punconverge, on appelle reste d’ordre nle réel Rn=S−Sn. On a
Rn=
+∞
X
k=n+1
uk
Dans ce cas la suite (Rn)converge vers 0.
Démonstration : On a par définition Rn= lim
N→+∞
N
P
k=0
uk−
n
P
k=0
uk= lim
N→+∞
N
P
k=n+1
uk=
+∞
P
k=n+1
uk.
De plus lim
n→+∞
Rn= lim
n→+∞
S−Sn=S−S= 0.
1.2 Exemples
Nous reprenons les exemples ci-dessus pour les regrouper en famille...
Proposition 1.2.1 (Séries géométriques)
Soit q∈R. La série de terme général qnconverge si et seulement si |q|<1et alors
+∞
X
n=0
qn=1
1−q
Démonstration : Exercice.
Proposition 1.2.2 (Série harmonique)
La série de terme général 1
nest divergente.
Démonstration : C.f. exemple ci-dessus.
Proposition 1.2.3 (Série exponentielle)
Pour tout réel x, on a
ex=
+∞
X
k=0
xk
k!
Démonstration : Cette proposition admise pour l’instant découle de la formule de Taylor
avec reste intégral (que l’on démontre par récurrence). Donnons-là dans ce cas :
ex=
n
X
k=0
xk
k!+Zx
0
(x−t)net
n!dt
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Si xest fixé, on a par comparaison de limites 
Rx
0(x−t)net
n!dt
6|x|n+1
n!max(ex,1) −→
n→+∞
0. Donc lim |ex−Sn|= 0 et Sn→ex, ce qui prouve la convergence de la série et la valeur
de sa somme.
La proposition suivante sera généralisée un peu plus loin.
Proposition 1.2.4 (Premières séries géométriques dérivées)
Soit q∈Ravec |q|<1. Alors les séries de terme général nqn−1et n(n−1)qn−2appelées
séries géométriques dérivées sont convergente et
+∞
X
n=1
nqn−1=1
(1 −q)2
+∞
X
n=2
n(n−1)qn−2=2
(1 −q)3
Démonstration : Soit n>2et fn:x7→ 1−xn+1
1−xdéfinie pour x6= 1. On a
f′
n(x) = −(n+ 1)xn(1 −x) + 1 −xn+1
(1 −x)2=nxn+1 −(n+ 1)xn+ 1 (1 −x)2
et
f′′
n(x) = −n(n−1)xn+1 + 2(n2−1)xn−n(n+ 1)xn−1+ 2
(1 −x)3
Mais on a aussi fn(x) =
n
P
k=0
xkdonc f′
n(x) =
n
P
k=1
kxk−1et f′′
n(x) =
n
P
k=2
k(k−1)xk−2. On
pose x=qet on fait tendre nvers +∞. On a alors, puisque qn=o1
n
lim
n→+∞
n
X
k=1
kqk−1= lim
n→+∞
nqn+1 −(n+ 1)qn+ 1
(1 −q)2=1 (1 −q)2
De même pour Pn(n−1)qn−2.
1.3 Propriétés
Commençons par remarquer que le comportement d’une série de dépend pas de ses
premiers termes.
Proposition 1.3.1
Si (un)et (vn)ne diffèrent que d’un nombre fini de termes, alors Punet Pvnon
même nature.
Démonstration : Notons Unles sommes partielles de Punet Vnles sommes partielles de
Pvn. Puisqu’il existe n0tel que pour n>n0on ait un=vn, on a Un−Un0=Vn−Vn0.
Ainsi les suites (Un)et (Vn)diffèrent d’une constante et sont de même nature.
Le lien entre suite et série permet parfois de montrer la convergence de suites à l’aide
de théorèmes sur les séries
Proposition 1.3.2
Soit (un)une suite réelle. Alors la suite (un)converge si et seulement si la série de
terme général un+1 −unconverge.
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Démonstration : Il suffit en effet de remarquer que les sommes partielles sont télescopiques :
Pn
k=0 uk+1 −uk=un+1 −u0. La suite des sommes partielles est donc convergente si et
seulement si la suite (un)l’est.
Théorème 1.3.1
Si la série de terme général unconverge, alors la suite (un)converge vers 0.
Démonstration : En effet, si n>1, on a Sn−Sn−1=un. Si Punconverge, alors lim Sn=
ℓ∈Ret lim un=ℓ−ℓ= 0.
Exemple. Soit un=1
n(n+ 1). Alors pour tout n>1on a un=1 n−1 n+ 1. La série de
terme général unest convergente, de somme 1 puisque sa somme partielle de rang nest
Sn= 1 −1
n+ 1.
Définition 1.3.1
Si le terme général und’une série ne tend pas vers 0, cette série est divergente. On dit
alors que Pundiverge grossièrement.
Remarquons, et c’est ce qu’on a utilisé pour la série harmonique, que plus généralement,
si Punconverge, alors
∀p∈N,lim
nSn+p−Sn= 0
1.4 Opérations sur les séries
Proposition 1.4.1
Soit Punet Pvndeux séries, et λ∈R. Alors
1. Si Punconverge, Pλunconverge et sa somme vaut
+∞
P
n=0
λun=λ
+∞
P
n=0
un.
2. Si Punet Pvnconvergent, alors P(un+vn)converge, et sa somme vaut
+∞
P
n=0
(un+
vn) =
+∞
P
n=0
un+
+∞
P
n=0
vn.
3. Si Punconverge et Pvndiverge, alors P(un+vn)diverge.
4. Si Punet Pvndivergent, on ne peut rien dire.
Démonstration : Cette proposition résulte du théorème analogue sur les limites de suites,
que l’on applique aux sommes partielles. Donnons deux exemples pour le dernier point.
Soit un=1
net vn=−1 nalors Punet Pvndivergent mais Pun+vnest convergente
(de somme nulle).
Si un=1
net vn=−1 n+ 1, alors Punet Pvndivergent, mais Pun+vnconverge
(puisque les sommes partielles sont télescopiques).
2 Séries à termes positifs
On s’intéresse dans cette section aux séries de termes de signe constant. On ne parlera
que de séries de terme général positif, les énoncés concernant les séries de terme général
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négatif se déduisent en considérant −un...
2.1 Règles de comparaison
Proposition 2.1.1
Soit Punune série à termes positifs. La suite de ses sommes partielles (Sn)est alors
croissante. La série Punconverge si et seulement si la suite de ses sommes partielles
est majorée. Si Pundiverge, alors lim Sn= +∞.
Démonstration : En effet Sn−Sn−1=un>0. La suite (Sn)est donc croissante. Le théorème
de la limite monotone permet de conclure.
Exemple. La série de terme général un=1
n2est convergente. En effet, si n>2on a
1
n261 n(n−1) =1 n−1−1 n. On en déduit que
Sn61 +
n
X
k=2
1
k−1−1 k61 + 1 −1 n62
D’où le résultat puisque la suite des sommes partielles est majorée.
Théorème 2.1.1 (Comparaison des termes généraux de séries positives par inégalités)
Soit (un)et (vn)deux suites réelles. Supposons qu’à partir d’un certain rang on ait
06un6vn. Alors
1. Si Pvnconverge, alors Punconverge.
2. Si Pundiverge, alors Pvndiverge.
Démonstration : Quitte à changer un nombre fini de termes, on peut supposer que 06un6
vnpour tout n. Notons Unet Vnles sommes partielles d’ordre nde Punet Pvn. On a
alors pour tout n06Un6Vn. Si Pvnconverge, alors (Vn)est majorée, donc (Un)aussi
et Punconverge. Ceci prouve le premier point. Le deuxième en est la contraposée.
Remarque. Attention, dans ce théorème on compare les termes généraux qui doivent
être de signe constant à partir d’un certain rang.
Proposition 2.1.2 (Comparaison des termes généraux de séries positives par équivalents ou petits « o »))
Soit (un)et (vn)deux suites positives.
1. Si un∼vnalors Punet Pvnont même nature.
2. Si un=o(vn)et si Pvnconverge, alors Punconverge.
Démonstration : Si un∼vn, il existe un entier Ntel que pour n>Non ait 061
2vn6un6
3
2vn. On déduit alors le premier point du théorème ci-dessus.
Si un=o(vn)alors il existe N∈Ntel que pour n>Non ait 06un6vn, ce qui
prouve le second point.
Exemple. Soit x > 0et un=1
xn+1
xn
. Alors la série Punconverge si et seulement si
x6= 1. En effet remarquons que un>0et
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