Chapitre 20 : Séries numériques.

ECS3 Carnot
Chapitre 20
2013/2014
Chapitre 20 : Séries numériques.
1
Généralités
1.1
Définitions
Définition 1.1.1
Soit (un ) une suite de nombres réels. On appelle série de terme général un la suite (Sn )n
définie par
n
X
S n = u0 + · · · + un =
uk
k=0
Pour tout n, un est appelé terme d’indice n et Sn est la somme partielle d’ordre (ou
P
d’indice) n. On note
un la série de terme général un .
P
On dit que la série
un est convergente lorsque la suite (Sn )n de ses sommes
partielles converge. La limite S de cette suite est alors appelée somme de la série et
+∞
P
P
notée
un . Si
un ne converge pas, on dit qu’elle diverge. Etudier la nature d’une
n=0
série, c’est déterminer si elle converge ou non.
Remarque. Il faut prendre garde aux notations :
un (i.e. la suite de ses sommes partielles), alors que
P
+∞
P
un désigne la série de terme général
un désigne sa somme. Cette dernière
n=0
notation ne s’emploi que si on s’est assuré de la convergence de la série et désigne
la limite de ses sommes partielles.
L’étude des séries n’est donc « que » l’étude de suites particulières qui apparaissent
comme somme partielles. Ce point de vu est par contre beaucoup plus riche en théorèmes
et propriétés, ce qui justifie leur étude.
Remarque. Si (un ) n’est définie qu’à partir d’un certain rang, la série de terme général
un l’est aussi.
Exemple. La série
P 1
est convergente. En effet sa somme partielle d’indice n est Sn =
2n
1
1 − N +1
n 1
P
2
=
converge vers 2. On obtient donc de plus la somme de la série :
k
1
k=0 2
1−
2
+∞
P 1
= 2.
n
n=0 2
Exemple. La série
P1
définie à partir du rang 1 est divergente. En effet notons Sn =
n
n 1
P
sa somme partielle d’indice n. Si cette suite (Sn ) était convergente, on aurait lim S2n −
k=1 k
J. Gärtner.
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Sn = 0 (puisque la suite (S2n ) est extraite de (Sn ). Mais
2n
2n
X
X
1
1
1
S2n − Sn =
>
>
k
2n
2
k=n+1
k=n+1
donc (S2n − Sn ) ne converge pas vers 0 et la série
P 1
diverge.
n>1 n
Proposition 1.1.1
P
Si
un converge, on appelle reste d’ordre n le réel Rn = S − Sn . On a
+∞
X
Rn =
uk
k=n+1
Dans ce cas la suite (Rn ) converge vers 0.
Démonstration : On a par définition Rn =
+∞
P
lim
N
P
N →+∞ k=0
uk −
n
P
k=0
uk =
lim
N
P
N →+∞ k=n+1
uk =
uk .
k=n+1
De plus lim Rn = lim S − Sn = S − S = 0.
n→+∞
1.2
n→+∞
Exemples
Nous reprenons les exemples ci-dessus pour les regrouper en famille...
Proposition 1.2.1 (Séries géométriques)
Soit q ∈ R. La série de terme général q n converge si et seulement si |q| < 1 et alors
+∞
X
qn =
n=0
1
1−q
Démonstration : Exercice.
Proposition 1.2.2 (Série harmonique)
1
La série de terme général est divergente.
n
Démonstration : C.f. exemple ci-dessus.
Proposition 1.2.3 (Série exponentielle)
Pour tout réel x, on a
x
e =
+∞ k
X
x
k=0
k!
Démonstration : Cette proposition admise pour l’instant découle de la formule de Taylor
avec reste intégral (que l’on démontre par récurrence). Donnons-là dans ce cas :
Z x
n
X
xk
et
ex =
(x − t)n dt
+
k!
n!
0
k=0
J. Gärtner.
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t
|x|n+1
R x
ne
dt 6
max(ex , 1) −→
Si x est fixé, on a par comparaison de limites 0 (x − t)
n→+∞
n!
n!
0. Donc lim |ex − Sn | = 0 et Sn → ex , ce qui prouve la convergence de la série et la valeur
de sa somme.
La proposition suivante sera généralisée un peu plus loin.
Proposition 1.2.4 (Premières séries géométriques dérivées)
Soit q ∈ R avec |q| < 1. Alors les séries de terme général nq n−1 et n(n − 1)q n−2 appelées
séries géométriques dérivées sont convergente et
+∞
X
nq
n−1
n=1
Démonstration : Soit n > 2 et fn : x 7→
fn′ (x) =
+∞
X
1
=
(1 − q)2
n=2
n(n − 1)q n−2 =
2
(1 − q)3
1 − xn+1
définie pour x 6= 1. On a
1−x
−(n + 1)xn (1 − x) + 1 − xn+1
nxn+1 − (n + 1)xn + 1
=
(1 − x)2
(1 − x)2
et
−n(n − 1)xn+1 + 2(n2 − 1)xn − n(n + 1)xn−1 + 2
(1 − x)3
n
n
n
P
P
P
Mais on a aussi fn (x) =
xk donc fn′ (x) =
kxk−1 et fn′′ (x) =
k(k − 1)xk−2 . On
k=0
k=1
k=2
1
pose x = q et on fait tendre n vers +∞. On a alors, puisque q n = o
n
fn′′ (x) =
lim
n→+∞
De même pour
1.3
P
n
X
nq n+1 − (n + 1)q n + 1
1
=
n→+∞
(1 − q)2
(1 − q)2
kq k−1 = lim
k=1
n(n − 1)q n−2 .
Propriétés
Commençons par remarquer que le comportement d’une série de dépend pas de ses
premiers termes.
Proposition 1.3.1
P
P
Si (un ) et (vn ) ne diffèrent que d’un nombre fini de termes, alors
un et
vn on
même nature.
P
Démonstration
: Notons Un les sommes partielles de
un et Vn les sommes partielles de
P
vn . Puisqu’il existe n0 tel que pour n > n0 on ait un = vn , on a Un − Un0 = Vn − Vn0 .
Ainsi les suites (Un ) et (Vn ) diffèrent d’une constante et sont de même nature.
Le lien entre suite et série permet parfois de montrer la convergence de suites à l’aide
de théorèmes sur les séries
Proposition 1.3.2
Soit (un ) une suite réelle. Alors la suite (un ) converge si et seulement si la série de
terme général un+1 − un converge.
J. Gärtner.
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Démonstration
: Il suffit en effet de remarquer que les sommes partielles sont télescopiques :
Pn
u
−
uk = un+1 − u0 . La suite des sommes partielles est donc convergente si et
k=0 k+1
seulement si la suite (un ) l’est.
Théorème 1.3.1
Si la série de terme général un converge, alors la suite (un ) converge vers 0.
Démonstration : En effet, si n > 1, on a Sn − Sn−1 = un . Si
ℓ ∈ R et lim un = ℓ − ℓ = 0.
P
un converge, alors lim Sn =
1
1
1
. Alors pour tout n > 1 on a un = −
. La série de
n(n + 1)
n n+1
terme général un est convergente, de somme 1 puisque sa somme partielle de rang n est
1
.
Sn = 1 −
n+1
Définition 1.3.1
Exemple. Soit un =
Si le termePgénéral un d’une série ne tend pas vers 0, cette série est divergente. On dit
alors que
un diverge grossièrement.
si
Remarquons, et c’est ce qu’on a utilisé pour la série harmonique, que plus généralement,
P
un converge, alors
∀p ∈ N, lim Sn+p − Sn = 0
n
1.4
Opérations sur les séries
Proposition 1.4.1
P
P
Soit
un et
vn deux séries, et λ ∈ R. Alors
+∞
+∞
P
P
P
P
1. Si
un converge,
λun converge et sa somme vaut
λun = λ
un .
n=0
2. Si
P
un et
+∞
P
P
n=0
+∞
P
P
vn convergent, alors (un +vn ) converge, et sa somme vaut
(un +
n=0
+∞
P
vn ) =
un +
vn .
n=0
n=0
P
P
P
3. Si
un converge et
vn diverge, alors (un + vn ) diverge.
P
P
4. Si
un et
vn divergent, on ne peut rien dire.
Démonstration : Cette proposition résulte du théorème analogue sur les limites de suites,
que l’on applique aux sommes partielles. Donnons deux exemples pour le dernier point.
P
P
P
1
1
Soit un =
et vn = − alors
un et
vn divergent mais
un + vn est convergente
n
n
(de somme nulle).
P
P
P
1
1
Si un =
et vn = −
, alors
un et
vn divergent, mais
un + vn converge
n
n+1
(puisque les sommes partielles sont télescopiques).
2
Séries à termes positifs
On s’intéresse dans cette section aux séries de termes de signe constant. On ne parlera
que de séries de terme général positif, les énoncés concernant les séries de terme général
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négatif se déduisent en considérant −un ...
2.1
Règles de comparaison
Proposition 2.1.1
P
Soit
un une série P
à termes positifs. La suite de ses sommes partielles (Sn ) est alors
croissante. La série
un converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles
P
est majorée. Si
un diverge, alors lim Sn = +∞.
Démonstration : En effet Sn −Sn−1 = un > 0. La suite (Sn ) est donc croissante. Le théorème
de la limite monotone permet de conclure.
1
Exemple. La série de terme général un = 2 est convergente. En effet, si n > 2 on a
n
1
1
1
1
6
=
− . On en déduit que
2
n
n(n − 1)
n−1 n
Sn 6 1 +
n
X
k=2
1
1
1
− 61+1− 62
k−1 k
n
D’où le résultat puisque la suite des sommes partielles est majorée.
Théorème 2.1.1 (Comparaison des termes généraux de séries positives par inégalités )
Soit (un ) et (vn ) deux suites réelles. Supposons qu’à partir d’un certain rang on ait
0 6 un 6 vn . Alors
P
P
1. Si
vn converge, alors
un converge.
P
P
2. Si
un diverge, alors
vn diverge.
Démonstration : Quitte à changer un nombre fini de termes, on peut supposer
que
P
P 0 6 un 6
vn pour tout n. Notons Un et Vn les
sommes
partielles
d’ordre
n
de
u
et
vn . On a
n
P
alors
pour
tout
n
0
6
U
6
V
.
Si
v
converge,
alors
(V
)
est
majorée,
donc
(U
n
n
n
n
n ) aussi
P
et
un converge. Ceci prouve le premier point. Le deuxième en est la contraposée.
Remarque. Attention, dans ce théorème on compare les termes généraux qui doivent
être de signe constant à partir d’un certain rang.
Proposition 2.1.2 (Comparaison des termes généraux de séries positives par équivalents ou petits « o »))
Soit (un ) et (vn ) deux suites positives.
P
P
1. Si un ∼ vn alors
un et
vn ont même nature.
P
P
2. Si un = o (vn ) et si
vn converge, alors
un converge.
1
Démonstration : Si un ∼ vn , il existe un entier N tel que pour n > N on ait 0 6 vn 6 un 6
2
3
vn . On déduit alors le premier point du théorème ci-dessus.
2
Si un = o (vn ) alors il existe N ∈ N tel que pour n > N on ait 0 6 un 6 vn , ce qui
prouve le second point.
1
Exemple. Soit x > 0 et un =
. Alors la série
1
+ n
x
x 6= 1. En effet remarquons que un > 0 et
xn
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P
un converge si et seulement si
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et la série de terme général un diverge grossièrement.
2
1
– Si x > 1 on a un ∼ n qui est le terme général d’une série géométrique convergente.
x
– Si 0 < x < 1 alors un ∼ xn qui est le terme général d’une série géométrique convergente.
– Si x = 1 un =
1
1
1
Exemple. La série de terme général un = sin diverge car sin ∼ > 0. Donc un est
n
n
n
P
P1
poisitve à partir d’un certain rang et
un est de même nature que
.
n
2.2
Séries de Riemann
Le théorème suivant est très important tant par le résultat (qui permet de connaître le
comportement de beaucoup de séries) que par la démonstration (qui est un exemple de
comparaison série/intégrale).
Théorème 2.2.1
Soit α ∈ R. La série (dite de Riemann)
P 1
est convergente si et seulement si α > 1.
nα
– Si α = 1 le cas a déjà été traité (série harmonique).
P 1
1
1
diverge.
– Si α < 1 alors pour tout n on a nα 6 n et 0 6 6 α . Donc
n
n
nα
n
R
P 1
1
n
– Si α > 1. Soit f : x 7→ α . On va comparer Sn =
et 1 f (t)dt pour montrer
α
x
k
k=1
que la suite (Sn ) est majorée. La fonction f est décroissante sur [1, +∞[ donc pour
tout t ∈ [k, k + 1] on a f (k + 1) 6 f (t). On intègre cette relation entre k et k + 1 et
il vient
Z k+1
Z k+1
1
dt
f (k + 1) =
6
f
(t)dt
6
α
(k + 1)α
t
k
k
Démonstration :
Si l’on somme de 1 à n − 1, la relation de Chasles donne
Sn − 1 =
Le calcul de l’intégrale donne
on a
Rn
1
f (t)dt 6
1
donc
α−1
Rn
1
n−1
X
k=1
1
6
(k + 1)α
f (t)dt =
Z
n
f (t)dt
1
t−α+1
−α + 1
n
1
=
1 − n−α+1
. Puisque α > 1
α−1
1
α−1
La suite des sommes partielles est majorée : elle converge.
Sn 6 1 +
On utilise souvent une comparaison avec les séries de Riemann de la façon suivante :
Proposition 2.2.1
Soit (un ) une suite positive.
1. Si il existe α >P1 tem que (nα un ) est majorée (par exemple si cette suite converge),
alors la série
un est convergente.
2. Si il existe α 6 1 tel que (nα un ) est minorée par un nombre strictement positif
P
(par exemple si cette suite a une limite dans R+∗ ∪ {+∞}) alors la série
un
diverge.
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Démonstration : Exercice : il suffit de comparer avec une série de Riemann.
ln n
Exemple. La série de terme général un = 2 est convergente. En effet on a, puisque
n
√
1
3/2
ln n = o √ , n un = n ln n → 0 donc n3/2 un 6 1 à partir d’un certain rang et
n
P 1
P
puisque
converge,
on
a
la
convergence
de
un .
n3/2
3
Séries à termes de signe quelconque : Convergence absolue
La notion de convergence absolue permet de se ramener à l’étude de séries positives,
pour lesquelles on dispose de nombreux critères de convergence.
Définition 3.0.1
P
Soit (un ) une suite réelle. On
un est absolument convergente si la
P dit que la série
série de terme général |un |
|un | converge.
Proposition 3.0.2
Soit (un ) une suit réelle. Si
P
un est absolument convergente, alors elle converge.
Démonstration : On définit les suites (vn ) et (wn ) par
vn =
|un | + un
2
wn =
|un | − un
2
P
On a 0 6 vn 6 |un | et 0 6 wn 6 |un | donc par comparaison, puisque
un est absolument
convergente, les séries
de
terme
général
v
et
w
sont
convergentes.
Puisque
un = vn + wn ,
n
n
P
on en déduit que
un converge comme somme de deux séries convergentes.
Une autre manière, peut être plus simple, est d’écrire u comme différence de deux
suites positives qui sont le terme général de séries convergentes : u = (u + |u|) − |u| =
max(u, 0) − max(−u, 0).
P (−1)n
est absolument convergente si α > 1, grosnα
sièrement divergente si α 6 0 et semi-convergente si α ∈]0, 1]. Pour prouver ce dernier
point, on montre que les sommes partielles convergent en considérant les suites extraites
(S2n ) et (S2n+1 ) (qui sont adjacentes : Exercice !).
Exemple. La série de terme général
Définition 3.0.2
Une série convergente qui n’est pas absolument convergente est dite semi-convergente.
4
Compléments
4.1
Somme des séries géométriques dérivées
Les calculs de sommes de cette section sont à connaitre en vu des calculs d’espérance
et de variance de variables aléatoires discrètes.
Proposition 4.1.1
Pour tout x ∈] − 1, 1[ et p ∈ N
+∞
X
n=p
J. Gärtner.
n(n − 1) . . . (n − p + 1)xn−p =
7
p!
(1 − x)p+1
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1
et gn : x 7→ xn . Alors, sous réserve de convergence on
Démonstration : Soit f : x 7→
1−x
P+∞ (p)
P+∞
p!
a n=p n(n − 1) . . . (n − p + 1)xn−p = n=0 gn (x) et
= f (p) (x) (ce qu’on
(1 − x)p+1
montre par récurrence).
PN
1 − xN +1
Posons uN (x) = n=0 xn =
= f (x) − xN +1 f (x). Comme uN est de classe
1−x
C ∞ , la formule de Leibniz donne
(p)
uN (x) = f (p) (x) −
p X
p
(N + 1) . . . (N + 2 − k)xN +1−k f (p−k) (x)
k
k=0
Si p, x et k ∈ [[ 0 ; p ]] sont fixés, on a
(N + 1) . . . (N + 2 − k)xN +1−k
∼
N →+∞
N k xN +1−k
Par croissance comparée, on a
lim(N + 1) . . . (N + 2 − k)xN +1−k = 0
N
p!
.
(1 − x)p+1
Ceci montre que la série de terme général n(n − 1) . . . (n − p + 1)xn−p converge et que
p!
.
sa somme est
(1 − x)p+1
(p)
Donc lim uN (x) = f (p) (x) =
N
Proposition 4.1.2 (Formule du Binôme négatif )
Pour tout entier p et x ∈] − 1, 1[ on a
+∞ X
n+p
n=0
p
xn =
+∞ X
n
n=p
p
xn−p =
Démonstration : En effet, la formule précédente donne
résultat suit d’un changement d’indice.
4.2
1
(1 − x)p+1
P+∞
n=p
n
p
n−p
x
=
1
. Le
(1 − x)p+1
Critères de convergence : HP cf TD
Les critères de cette section ne sont pas explicitement au programme, mais ils peuvent
parfois rendre service, même si ils suffisent rarement. En cas d’utilisation, vous serez invités
à les redémontrer. Le principe est de comparer à des séries géométriques : ce qu’on peut
toujours faire au cas par cas.
Proposition 4.2.1 (Critère de D’Alembert )
un+1
Soit (un ) une suite à termes strictement positifs. On suppose que lim
= λ ∈ R.
n→+∞ un
P
1. Si λ < 1 alors
un converge.
P
2. Si λ > 1 alors
un diverge.
3. Si λ = 1 on ne peut rien dire.
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Démonstration : Si λ < 1, il existe q ∈]λ, 1[. Alors par définition de limite, à partir d’un
un+1
certain rang N , on a
6 q. On montre alors par récurrence que pour n > N on a 0 6
un
n−N
un 6 uN q
. OnP
a majoré un par le terme général d’une série géométrique convergente :
par comparaison,
un est convergente.
Si λ > 1 : on choisit q ∈]1, λ[. On a de même à partir d’un certain rang un > uN q n−N ,
ce qui permet de conclure.
P
1
Si λ = 1, les séries de Riemann fournissent des exemples : un = donne λ = 1 et
un
n
P
1
un converge.
diverge, tandis que un = 2 donne
n
un+1
xn
donc
=
Exemple. La série exponentielle est convergente si x > 0 : on a un =
n!
un
x
→ 0 < 1.
n+1
Proposition 4.2.2 (Critère de Cauchy )
√
Soit (un ) une suite à termes strictement positifs. On suppose que lim n un = λ ∈ R.
n→+∞
P
1. Si λ < 1 alors
un converge.
P
2. Si λ > 1 alors
un diverge.
3. Si λ = 1 on ne peut rien dire.
Démonstration : Exercice.
P
nα
1
√
Exemple. Soit un = n . Alors n un → quelque soit le choix de α. Ainsi la série
un
2
2
converge.
4.3
Séries alternées
Les séries alternée ne figurent pas au programme officiel, mais fournissent une large
classe de séries convergentes.
Définition 4.3.1
P
La série
un est dite alternée si pour tout n, un s’écrit un = (−1)n an avec an une
suite positive.
Le théorème suivant doit être redémontré à chaque emploi (au cas par cas), puisqu’il
ne figure pas au programme.
Théorème 4.3.1
P
Soit un = (−1)n an où (an ) est une suite positive décroissante de limite 0. Alors
un
est convergente, les sommes partielles (S2n ) et (S2n+1 ) sont adjacentes, et le reste Rn
est du signe de (−1)n et vérifie |Rn | 6 an+1
Démonstration : On a S2n+2 −S2n = a2n+2 −a2n+1 6 0 et S2n+3 −S2n+1 = −a2n+3 +a2n+2 >
0. Comme S2n+1 − S2n = a2n+1 → 0 on a que (S2n ) et (S2n+1 ) sont adjacentes, de
même limite S. Il en résulte que (Sn ) converge (d’après une proposition du cours sur les
suites). On note S sa somme. Alors S2n+1 6 S 6 S2n et S2n+1 6 S 6 S2n+2 . Donc
|R2n | = |S − S2n | 6 |S2n − S2n+1 | 6 a2n+1 et |R2n+1 | 6 |S2n+2 − S2n+1 | 6 a2n+2 .
(−1)n
est convergente
nα
si et seulement si α > 0. Dans le cas où α ∈]0, 1] cette série est semi-convergente.
Exemple (Séries de Riemann alternées). La série de terme général
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9
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4.4
Chapitre 20
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Compléments pour les Probabilités
Proposition 4.4.1 (Ordre des termes)
P
Si la P
série
un est absolument convergente, alors pour tout bijection σ : N → N, la
série
uσ(n) est absolument convergente et
+∞
X
un =
+∞
X
uσ(n)
n=0
n=0
Démonstration : On applique le théorème de convergence par paquets à f = σ −1 . On a
vnm = un si f (n) = m (i.e. n = σ(m)) et 0 sinon.
Ce théorème dit donc qu’en cas de convergence absolue, ni la convergence ni la valeur
de la somme ne dépendent de l’ordre choisi des termes. C’est d’une importance capitale
pour la définition de l’espérance dans les prochains chapitres.
Remarque. LaP
proposition ci-dessus est fausse pour les séries semi-convergentes : on peut
montrer que si
un est semiPconvergente, pour tout ℓ ∈ R il existe une bijection σ telle
que les sommes partielles de
uσ(n) aient pour somme ℓ.
(−1)n+1
Exemple. Donnons un exemple de la remarque ci-dessus. Soit un =
. C’est le
n
terme général d’une série semi-convergente. On réordonne les termes en écrivant un terme
d’indice impair suivi de deux termes d’indice pair. Les premiers termes de cette nouvelle
suite (vn ) sont
1
1
1
1 1 1 1 1
,−
,−
,...
1, − , − , , − , − , . . . ,
2 4 3 6 8
2n + 1 4n + 2 4n + 4
1
1
1
1
1
1
On a V3n =
−
1−
+ ··· +
= Un . Or (Un ) converge vers la
2
2
2 2n + 1 2n + 2
2
1
U
somme U de la série, et Un > donc U 6= 0. De plus on a lim V3n = . En considérant
2
2
P
U
6= U .
(V3n+1 ) et (V3n+2 ) on pourrait montrer que vn converge, mais que sa somme est
2
J. Gärtner.
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