Trigonométrie du triangle quelconque

e
Mathématiques 2 Niv.1 et 2
Troisième partie : Géométrie
Théorie chapitre 1
CHAPITRE 1
TRIGONOMETRIE DU TRIANGLE QUELCONQUE
§1.1 Résolution de triangles
On sait que deux triangles sont semblables si leurs angles sont égaux deux à deux et ces triangles sont
égaux si leurs côtés sont égaux deux à deux. La donnée des longueurs des trois côtés d'un triangle doit
nous permettre de déterminer les angles de ce triangle. Résoudre un triangle serait dans ce cas chercher les
angles du triangle. Un triangle peut être également déterminé par deux de ses côtés et la mesure de l'angle
compris entre ces deux côtés. Résoudre un triangle dans ce cas, c'est calculer le troisième côté et les deux
angles inconnus.
De manière générale, résoudre un triangle, c'est déterminer toutes les grandeurs (longueurs des côtés et
mesures des angles) d'un triangle à partir de certaines d'entre elles.
En première année, nous avons abordé uniquement le cas particulier du triangle rectangle.
1.1.1 Le triangle rectangle
Chaque triangle rectangle est semblable à un triangle dans le cercle trigonométrique. En effet, traçons le
cercle trigonométrique avec son centre en A, un des sommets du triangle et plaçons l'axe des x sur la
cathète du triangle ABC passant par le centre du cercle. Soit P l'intersection du cercle avec l'hypoténuse ou
son prolongement; par P, traçons la parallèle à l'axe des y jusqu'à H. Les triangles ABC et AHP sont
semblables , ce qui nous permet d'avoir les égalités suivantes :
B
c
P
sin( α )
€
A
cos( α )
H
b
a
€
sinα 1
=
a
c
sinα a
=
1
c
cos α 1
=
b
c
cos α b
=
1
c
€
sinα a
tgα =
=
cos α b
€
€
C
€
€
€
€
d'où :
a = c.sin α
b = c.cos α
a = b.tg α
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Troisième partie : Géométrie
côté opposé à α
use
én
h
t
po
hy
α
b
c
(
"côtéadjacent"
)
"hypoténuse"
a
sin α =
c
€
€
(
"côtéopposé"
)
"hypoténuse"
a
tg α =
b
€
€
(
"côtéopposé"
)
"côtéadjacent"
cos α =
côté adjacent à α
€
1.1.2 Triangles quelconques
Théorie chapitre 1
€
Théorème du sinus
Soit un triangle quelconque ABC, soient a,b,c les mesures des côtés et r le rayon du cercle circonscrit
au triangle. Alors on a :
a
b
c
=
=
= 2r
sinα sinβ sin γ
Démonstration : Il faut envisager 2 cas, selon l'angle α, à savoir :
€
α est aigu
α est obtus
A
α
A
B
α
a
H
r
r
O
α
C
π−α
r
O
r
2α
B
H
a
C
Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC
∠BOC = 2. ∠BAC = 2α
∠BOC = 2π - 2. ∠BAC = 2π - 2α = 2(π - α)
(en vertu du théorème de l'angle inscrit).
(en vertu du théorème de l'angle inscrit).
H est le pied de la hauteur du triangle OBC issue de O. Le triangle est isocèle, car OB = OC = r; par
€
conséquent, OH est la bissectrice de l'angle en O du triangle OBC.
1
1
1
1
BOH= .∠BOC = .(2α) = α,
∠BOH = .∠BOC = .(2(π - α)) = π - α,
€
2
2
2
2€
a
OH est aussi la médiane de OBC, par conséquent, BH = .
2
a
a
€
€
€
€
BH 2
BH 2
a
a
On a donc : sin α =
=
=
,
On a donc : sin(π - α) =
=
=
,
€
r
r
2r
2r
OB
OB
€
a
a
a
donc
= 2r
donc
= 2r
ou
= 2r
sinα
sin(π − α)
sinα
€ €
€
a
= 2r
Dans les deux cas, on a donc :
sinα
€
€
€
b
c
Par permutations circulaires, on obtient également :
= 2r et
= 2r
sinβ
sin γ
€
€
€
€
€
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Remarque :
Si le triangle ABC est rectangle en A, l'hypoténuse BC est aussi le diamètre du cercle circonscrit au
triangle (a = 2r).
a
= 2r correspond à l'égalité a = 2r, puisque sin 90° = 1.
sinα
b
c
Des autres égalités,
=
= 2r, on peut retrouver les égalités du paragraphe précédent, à
sinβ
sin γ
b
c
savoir : sin β = et sin γ = .
a
a
€
€
€
Exemple d'application :
€
€
Calcul de l'aire d'un triangle ABC, connaissant deux côtés a et b et l'angle γ compris entre ces deux
côtés.
1
a.ha et
2
h
sinγ = a , d'où ha = b.sin γ.
b
1
=
a.b.sin γ
€Aire
2
1
=
b.c.sin α
€
2
1
=
c.a.sin β .
€
2
A
c
Aire =
b
ha
B
γ
a
C
€
Exemples numériques :
1.
€
Soit un triangle ABC (voir ci-dessus) dont on connait les longueurs des côtés a et b et la mesure de
l'angle γ ( a = 15, b = 10 et γ = 30°) Calculer l'aire du triangle ABC.
1
A = .10.15.sin30° = 37,5 (unités)
2
A
€
2.
Calculer la longueur des côtés b et c.
Calculer l'aire du triangle ABC ci-contre.
α = 180 - β - γ = 110°.
En utilisant le théorème du sinus, on a :
a.sinβ
b=
= 6,97 cm
sinα
a.sin γ
c=
= 4,64 cm
sinα
1
2
Aire = .a.b.sin γ = 15,9 cm .
2
€
43°
B
9,6 cm
27°
C
€
€
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Théorème du cosinus
Soit un triangle quelconque ABC, soient a,b,c les mesures des côtés.
On a :
2
2
2
a = b + c - 2b.c.cos α
2
2
2
b = a + c - 2a.c.cos β
2
2
2
c = a + b - 2a.b.cos γ
Démonstration :
α est aigu.
α est obtus
C
C
a
h
a
b
b
α
A
x
c - x
H
B
H est compris entre A et B
x
cos α =
b
α
x
A
c
B
H est alors à l'extérieur du segment AB
x
cos(π - α) =
b
cos(π - α) = -cosα
x = b.cos α
€
Dans le triangle AHC, on a :
2
H
π−
α
h
2
x = -b.cos α
€
Dans le triangle AHC, on a :
2
2
2
1) x + h = b .
2
1) x + h = b .
Dans le triangle HBC, on a :
Dans le triangle HBC, on a :
2
2
2
2
2
2
2
2
2) (c + x) + h = a .
2
2
2
De 1), h = b - x
2) (c - x) + h = a .
De 1), h = b - x
2
2
De 2), h = a - (c - x)
2
2
2
De 2), h = a - (c + x)
2
2
D 'où :
D 'où :
2
2
2
a - (c - x) = b - x
2
2
2
2
2
2
2
2
a = b - x + c - 2cx + x
2
2
2
a - (c + x) = b - x
2
2
a = b + c - 2bc.cos α
2
2
2
2
2
2
2
a = b - x + c + 2cx + x
2
a = b + c - 2bc.cos α
Les deux autres égalités peuvent être déduites en permutant cycliquement les côtés et les angles du
triangle, à savoir (a b c) ↔ (c a b) ↔ (b c a)
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Théorie chapitre 1
Remarques :
1.
Si le triangle ABC est rectangle en A, on a :
2
2
2
2
2
2
2
a = b + c - 2bc.cos α = b + c - 2bc.cos 90° , et puisque α = 90°, cos 90° = 0, a = b + c
2
Le théorème du cosinus est donc une généralisation du théorème de Pythagore.
2.
2
2
2
De a < b + c , on déduit cos(α) > 0 et donc que l'angle α est aigu.
2
2
2
De a > b + c , on déduit cos(α) < 0 et donc que l'angle α est obtus.
Exemple d'application :
Calcul des grandeurs d'un triangle ABC, connaissant deux côtés a et b et l'angle γ compris entre ces
deux côtés.
On donne la mesure de l'angle α et les longueurs
A
α
des côtés b et c.
Déterminer la longueur du côté a et les mesures
c
b
des angles β et γ. En utilisant le théorème du
cosinus, on obtient la valeur de a :
2
2
B
β
2
a = b + c - 2bc.cosα.
γ
a
C
En utilisant le théorème de sinus, on peut trouver
ensuite la valeur des angles β et γ.
Exemple numérique :
Soit b = 11,4 cm, c = 6,2 cm et α = 133°.
Calculer la longueur de a et la mesure des angles β et γ.
2
2
2
a = (11,4) + (6,2) - 2.11,4.6,2.cos133°, d'où a = 16,27 cm
b.sinα 11.4.sin133°
sin β =
=
, d'où β = 30,8° (β = 180 - 30,8 pas possible).
a
16.27
De même, on peut calculer γ et on trouve γ = 16,2°, résultat que l'on peut vérifier aisément .
Remarque :
€
€
En conclusion, il est possible de résoudre un triangle connaissant un côté et deux autres grandeurs, le
petit tableau récapitulatif ci-dessous en donne un résumé.
a
a
c
Marche à suivre
β
γ
γ
b
b
Théorème du sinus
(2)
2
Théorème du cosinus
1
1
Recherche de l'angle
manquant
(3)
(3)
COLLEGE SISMONDI (S.Z.)
2012 - 2013
2
1
CH. 1, P.5
c
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Troisième partie : Géométrie
Théorie chapitre 1
Cependant, certains problèmes n'ont pas une solution unique, notamment si l'on a deux côtés a et b et
l'angle opposé à l'un d'eux.
Exemple :
a = 35 cm; b = 25 cm et β = 40°
a.sinβ
sin α =
= 0,90
b
on obtient les solutions suivantes :
α = 64,15 °
€
α = 115,85°
⇒
γ = 75,85°
⇒
c = 37,71
⇒
γ = 24,15°
⇒
c = 15,91
Selon les calculs ci-dessus, on trouve donc
deux valeurs pour α.
Ceci correspond bien à une réalité
C
géométrique.
En effet, ci-contre, partant des côtés a et b et
a
de l'angle β, on a pu construire les triangles
A1CB et A2CB.
β
B
b
α
A
b
α
1
A2
Cependant, le fait d'avoir deux solutions est
dépendant de l'inégalité des côtés b < a.
Exemple (avec b > a) :
a = 35 cm; b = 63 cm et β = 40°
a.sinβ
sin α =
= 0,36.
b
C
a
b
β
A2 B
On obtient les solutions suivantes :
α = 20,92 ° et α = 159,08° .
€
La valeur 159,08° n'est pas acceptable,
b
α
car l'on a : α + β = 199,08° > 180°.
A1
Ceci correspond à la réalité géométrique cicontre. Seul, le triangle A1CB a un sens par
rapport aux données du problème.
De même, si a = b, il y a une seule solution, le triangle étant isocèle et α = β.
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