Word Pro - Geometrie_TD_03.lwp - Université de Picardie Jules Verne

Université de Picardie Jules Verne
Mathématiques
UE Libre : Géométrie
Td 3
2nd semestre
2011-2012
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Exercice 1
1.
2.
3.
Soit ABCD un carré et soient E, F, G et H les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [AD].
Comparer l'aire des carrés ABCD et EFGH.
Soit O l'intersection de (AC) et (BD). Soit C le cercle de centre O et de rayon OE.
Soient E', F', G' et H' les intersections de C avec respectivement les demi-droites [OA), [OB),
[OC) et [OD). Comparer l'aire des carrés ABCD et E'F'G'H'.
En déduire le rapport EF du 1°.
AB
Exercice 2
Soit ABC un triangle isocèle et rectangle en A.
Sachant que l'hypoténuse vaut 1, déterminer les cosinus et sinus des angles B̂ et Ĉ.
Exercice 3
Soit ABC un triangle équilatéral de longueur de côté a.
1.
Déterminer le cosinus d'un angle
2.
En déduire le sinus.
3.
Quelle est la longueur des hauteurs?
Exercice 4
Lorsque l'on mesure à partir d'un endroit donné l'angle que fait le point supérieur d'une tour avec le sol,
on obtient 21°. Lorsque l'on s'approche de 50 m, la mesure de l'angle est maintenant de 40°.
Donner une valeur approchée de la hauteur de la tour.
Exercice 5
(Fibonacci) Deux tours sont situées à 50 mètres l'une de l'autre. L'une mesure 30 mètres de haut, l'autre
40. Entre les deux se trouve une fontaine à équidistance des sommets des tours.
a.
Déterminer les distances de la fontaine aux tours.
b.
Déterminer l'angle issu de la fontaine et joignant les sommets des tours.
Exercice 6
Soient C un cercle de centre O et T un point à l'extérieur du cercle.
Soient M et N les points de C tels que (TM) et (TN) soient tangents à C.
On suppose de plus que le triangle TMN est équilatéral.
Déterminer les angles suivants :
a.
OMT
b.
MTN
c.
NOM
Francis Wlazinski
Exercice 7
Soient trois carrés de côtés de longueur a et positionnés de la façon suivante :
B
A
E
1.
2.
3.
C


F
D

G
H
Déterminer sin , cos , sin , cos , sin .
Calculer sin  cos   sin  cos .
En déduire une relation entre ,  et .
Exercice 8
Un airbus A320 de notre compagnie nationale décolle de l'aéroport Charles de Gaulle pour relier
l'Angleterre. Sa trajectoire prévue passe au dessus de l'aéroport de Beauvais-Tillé (histoire de regarder de
haut les compagnies low-cost qui oeuvrent à cet endroit).
On suppose qu'au cours de son vol, il est aperçu de l'aéroport de Beauvais faisant un angle de 18° avec
l'horizon (en regardant vers CDG) et, au même instant de l'aéroport Charles de Gaulle, faisant un angle de
14° avec l'horizon (en regardant vers l'aéroport de Beauvais).
En admettant que la terre est plate (au moins entre Beauvais et Goussainville!) et que la distance entre les
aéroports est de 70 km, à quelle altitude est l'avion au moment où les mesures sont faites?
Exercice 9
Deux phares sont à une distance de 5 km l'un de l'autre le long d'une côte supposée rectiligne.
Du premier phare, on peut apercevoir un bateau en mer. La mesure (au niveau du phare) de l'angle défini
par le bateau, le phare et la côte est de 38°.
Du deuxième phare, la mesure de l'angle défini par le bateau, le phare et la côte est de 57°.
Donner une valeur approchée de la distance entre le bateau et la côte.
Exercice 10
Soit ABC un triangle isocèle en A tel que mes BAC  36°.
Soit M le point d'intersection de [AB] avec la bissectrice issue de C.
1.
Montrer que les triangles AMC et CMB sont isocèles.
2.
Soit H le projeté orthogonal de M sur [AC] et soit H' le pied de la hauteur issue de C.
Soient a  BC, b  AC et x  ba .
a.
Montrer que H est le milieu de [AC].
b.
Montrer que AB  AM  2 cos 36° et en déduire que x  2 cos 36°.
c.
Exprimer AH' en fonction de a et b.
d.
Exprimer 2 cos 36° en fonction de x à partir du triangle AH'C.
e.
En déduire la valeur de x.
f.
Que valent les rapports CM et AB ?
BM
AM
Francis Wlazinski