chapitre 3

32
Chapitre 3 ■ Fonctions affi nes et problèmes du 1er degré
© Éditions Belin 2010
Ce chapitre consacré aux fonctions affi nes et aux problèmes du premier degré
est partiellement connu des élèves puisqu’il fi gure au programme des classes
de troisième. La présence naturelle des fonctions affi nes lors de changements
d’unités, lors du calcul d’un prix de revient … offre la possibilité d’une
approche concrète et motivante de la notion de fonction affi ne.
À l’étude des fonctions affi nes s’ajoutent les problèmes du premier degré.
Connus depuis la plus lointaine antiquité, comme le prouve le manuscrit
de Rhind (voir exercice communiquer p. 89), ceux ci sont étudiés par
les méthodes usuelles, utilisant l’usage d’inconnues mais on pourra,
à l’occasion de cet aspect historique, parler de la méthode dite de « fausse
position » utilisée au Moyen Empire (vers 2000 avant J.-C.).
Fonctions affi nes
et problèmes
du 1er degré Chapitre 3
Ouverture
La question proposée est destinée à attirer
l’attention des élèves sur le fait que si une
fonction affi ne est représentée par une droite
dans le plan repéré, la réciproque n’est pas vraie
comme ils le découvriront dans le chapitre 8.
Pour bien commencer
Exercice 1 Fonctions affi nes : a/, c/, d/ et e/.
Fonction linéaire : d/.
Fonction constante : e/.
Exercice 2 Les courbes Ꮿ2, Ꮿ4 et Ꮿ5 repré-
sentent des fonctions affi nes.
Exercice 3 1. c/. 2. a/ et c/. 3. d/.
Exercice 4 1. c/. 2. b/. 3. b/.
Activités d’introduction
Commentaires
Les fonctions affi nes étant déjà connues
depuis le collège, les activités de ce chapitre
porteront non pas sur la notion de fonction
affi ne mais sur leurs propriétés : sens de
variation, zéro et signe d’une fonction affi ne.
L’activité 1 repose sur l’aspect graphique et
permet de bien différencier les notions de
coeffi cient directeur et d’ordonnée à l’ori-
gine que les élèves confondent parfois, elle
peut être traitée en classe entière à l’aide
d’un vidéo projecteur avant le cours sur le
sens de variation d’une fonction affi ne ;
l’activité 2 elle, est purement algébrique et
permet de revoir la résolution des équations
du premier degré ; quant à l’activité 3, elle
mêle les aspects graphiques et algébriques
des résolutions d’équations et d’inéquations
du premier degré et permet la généralisa-
tion dans le cours du signe de ax + b.
Activité 1 1. @ fi chier Geogebra corrigé
disponible sur www.libtheque.fr/mathslycee.
2. Le point de coordonnées (0 ; 2) est commun
à toutes les droites Ᏸa car pour tout réel a,
fa(0) = 2.
3. Si a ⬎ 0, alors fa est strictement croissante,
si a = 0, alors fa est constante et si a ⬍ 0
alors, fa est strictement décroissante.
5. a/ Non, b n’a pas d’infl uence sur le sens
de variation de fb.
b/ b est l’ordonnée du point d’intersection
de la droite et de l’axe des ordonnées. On
ne peut pas toujours la lire précisément.

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Chapitre 3 ■ Fonctions affi nes et problèmes du 1er degré
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© Éditions Belin 2010
Activité 2 1. a/
x=−2
3
(avec le logiciel Xcas,
on pourra saisir : « resoudre(3x+2,x) ») ;
b/ x = 0 ; c/ ∅ ; d/ x = 1 000 000.
2. a/ On conjecture que :
• si a ≠ 0, l’équation ax + b = 0 admet pour
seule solution xb
a
=− ;
• si a = 0, l’équation ax + b = 0 n’admet
pas de solution lorsque b ≠ 0 et admet pour
solution tout nombre réel lorsque b = 0.
b/ ax + b = 0 ⇔ ax = − b ⇔ xb
a
=− lorsque
a ≠ 0.
Si a = 0 l’équation devient b = 0 égalité qui
n’est jamais vérifi ée si b ≠ 0 et qui est tou-
jours vraie si b = 0.
3. a/ x + 2 = 0 et 3 x + 4 = 4x + 6.
b/ x−3 = 0 et 3x + 1 = 4.
Activité 3 1. 10 + 0,2x ⭐ 0,4x soit
−0,2x + 10 ⭐ 0.
2.
05
x
y
1
y = – 0,2x + 10
M
3. L’ordonnée de M vaut yM = −0,2 xM + 10.
4. −0,2x + 10 = 0 ⇔ x = 50.
5. c/ Grâce à la partie foncée de l’axe des
abscisses, on lit x ⭐ 50.
6. c/ Grâce à la partie claire de l’axe des abs-
cisses, on lit x ⭓ 50.
7.
x−∞ 50 +∞
Signe de –0,2x + 10 +0–
8. a/ 60 ⬎ 50 donc le forfait économique
sera plus intéressant.
b/ L’économie mensuelle réalisée s’élève à
0,4 × 60 − (10 + 0,2 × 60) = 2 .
Exercices et problèmes
FONCTIONS AFFINES – GÉNÉRALITÉS
1
1
a/ Faux ; b/ vrai ; c/ faux ; d/ faux ;
e/ faux.
3
3
a/ f(x) = −27x + 31, a = − 27 et b = 31.
b/ f(x) = ()22 2−+x, a = 22− et b = 2.
c/ f(x) = 1
63x+, a = 1 6 et b = 3.
5
5
01
x
y
1
y = g(x)
y = h(x)
y = f(x)
y = k(x)
6
6
01
x
y
1
y = g(x)
y = f(x)
7
7
a/ f(0) = −0,2 ; f(1) = 3,8 ; f(2) = 7,8 ;
f(100) = 399,8.
b/ c/ f défi nie par f(x) = 41
5
x− est une fonc-
tion affi ne.
8
8
a/ f(0) = 1 ; f(1) = 3 ; f(2) = 5 ; f(100) = 201.
b/ c/ f défi nie par f(x) = 2x + 1 est une fonc-
tion affi ne.
9
9
a/ f(0) = 1 ; f(1) = 2 ; f(2) = 3 ; f(100) = 101.
b/ c/ f défi nie par f(x) = x + 1 est une fonction
affi ne.

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Chapitre 3 ■ Fonctions affi nes et problèmes du 1er degré
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10
10
f correspond à Y2, g correspond à Y1 et
h correspond à Y3.
11
11
a/ f défi nie par f(x) = 3x − 23 est une
fonction affi ne.
b/ f défi nie par f(x) = 1
3x est une fonction affi ne.
c/ f défi nie par f(x) = x2 + 1 n’est pas une
fonction affi ne.
d/ f défi nie par f(x) = 3
2x est une fonction affi ne.
e/ f défi nie par f(x) = 2
3x est une fonction affi ne.
f/ f défi nie par f(x) = 4x − 12 est une fonction
affi ne.
12
12
a/ f défi nie par f(x) = 0,10x est une fonction
linéaire.
b/ f défi nie par f(x) = 1,10x est une fonction
linéaire.
c/ f défi nie par f(x) = 0,99x est une fonction
linéaire.
d/ f défi nie par f(x) = 3,3x est une fonction
linéaire.
e/ f défi nie par f(x) = 1,10x + 3,3 est une
fonction affi ne non linéaire.
13
13
a/ f défi nie par f(x) =
3
26x+ est une
fonction affi ne.
b/ f défi nie par f(x) = 23x est une fonction
affi ne et linéaire.
c/ ᐂ défi nie par ᐂ(h) = 9πh est une fonction
affi ne et linéaire.
d/ ᐂ défi nie par ᐂ(r) = 5πr2 n’est pas une
fonction affi ne.
14
14
On utilise dans cet exercice le système
décimal pour les heures.
a/ d:t → 5t ; b/ d:h → 5h − 40 ;
c/ t:d → 0,2d ; d/ h:d → 0,2d + 8.
15
15
Benoît a tort car 0,001 ≠ 0 donc f n’est
pas constante.
16
16
1. a/
0
1x
y
1
y = f(x)
b/ Graphiquement, une valeur approchée
de l’image de 1 par f est –2,6.
2. a/ f(x) = 4
34x−.
b/ f(1) = −8
3 or −≈−
8
3267, donc ce résultat
est cohérent avec la lecture graphique.
17
17
a/ Faux ; b/ vrai ; c/ vrai ; d/ faux ;
e/ vrai.
18
18
Ᏸ représente la fonction f défi nie par
f(x) = 0,82x + 0,46 or f(1,3) = 1,526 ≠ 1,5
donc le point A n’appartient pas à Ᏸ.
19
19
1. Ᏸ a pour coeffi cient directeur
38
4095
,,=
donc f est défi nie par f(x) = 0,95x.
2. Cela correspond à une diminution de 5 %.
SENS DE VARIATION
ET SIGNE D’UNE FONCTION AFFINE
20
20
a/ f est croissante ; b/ g est décroissante ;
c/ h est croissante ; d/ k est décroissante ;
e/ l est décroissante.
21
21
a/ Si on pose f(x) = ax + b alors
f(3) = 2 ⇔ b = 2 − 3a.
Il suffi t alors de choisir a positif, par exemple
f(x) = x − 1 ou f(x) = 2x − 4, il y a une infi nité
de possibilités.
b/ Il suffi t de choisir a négatif, par exemple
f(x) = −x + 5 ou f(x) = −2x + 8.
23
23
a/ Ᏸ2 ; b/ Ᏸ1 ; c/ Ᏸ4 ; d/ Ᏸ5 ; e/ Ᏸ3.
25
25
a/
01
x
y
1
y = g(x)
y = f(x)
b/
x−∞ 2+∞
Variation de f0
Signe de f(x)−0+

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Chapitre 3 ■ Fonctions affi nes et problèmes du 1er degré
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x−∞ 3+∞
Variation de g0
Signe de g(x)+0−
26
26
a/
01
x
y
1
y = g(x)
y = f(x)
b/
x−∞ 4
3+∞
Variation de f0
Signe de f(x)−0+
x−∞ 10 +∞
Variation de g0
Signe de g(x)+0−
SUR L’ENSEMBLE DU CHAPITRE
28
28
a/ Algébriquement :
5x − 2 = 1 − 2x ⇔ 7x = 3 ⇔ x = 3
7.
01
x
y
1
y = 1 – 2x
y = 5x – 2
Graphiquement, l’abscisse du point d’inter-
section des deux droites vaut environ 0,4.
b/ Algébriquement :
5x − 2 ⭐ 1 − 2x ⇔ 7x ⭐ 3 ⇔ x ⭐ 3
7.
Graphiquement, la droite pleine se situe en
dessous de la droite en pointillée pour x ⭐ 0,4.
c/ Avec
une casio :
Avec
une TI :
d/ La méthode graphique ne donne que des
valeurs approchées contrairement à la méthode
algébrique qui donne les solutions exactes.
30
30
On appelle 2n, 2n + 2 et 2n + 4 les trois
nombres cherchés avec n un entier.
2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 78
⇔ 6n = 72 ⇔ n = 12.
Les trois nombres qui répondent au problème
sont : 24, 26 et 28.
31
31
On appelle x l’âge auquel Diophante est
mort.
xxxxx =+ +++
6127 29 ⇔ x = 84.
Diophante est mort à 84 ans.
32
32
Soit x la note du quatrième contrôle.
14 8 11
412
++ + = x
⇔ 33 + x = 48 ⇔ x = 15.
Un 15 au quatrième contrôle permet d’obtenir
12 de moyenne.
33
33
Diabolo : soit h la hauteur du cône de
révolution,
2
3 × π × 9 × h = 200 ⇔ h = 200 6π ≈ 10,6 cm.
La hauteur totale du diabolo est donc d’en-
viron 21,2 cm.
Pyramide : soit h la hauteur de la pyramide,
25 + 1
3 × 25 × h = 200 ⇔ h = 21 cm.
La hauteur totale du fl acon est donc 22 cm
(21 + 1 cm pour le pavé droit). Le parfumeur
choisira donc le fl acon en forme de diabolo.
35
35
Soit x1 et x2 deux réels tels que x1 ⬍ x2
alors −4x1 ⬎ −4x2 d’où −4x1 + 5 ⬎ −4x2 + 5
soit f(x1) ⬎ f(x2).
f est donc une fonction décroissante sur ⺢.

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Chapitre 3 ■ Fonctions affi nes et problèmes du 1er degré
© Éditions Belin 2010
37
37
f non affi ne car
ff() ( ) , 10
10 21041
−
−=−≈
n’est pas égal à
ff() () , 21
21 52082
−
−=−≈
.
39
39
a/ Non, car le zéro de la fonction donné
par la calculatrice est une valeur approchée.
b/ f(x) ⭓ 0 ⇔ 7
2x − 1 ⭓ 0 ⇔ x ⭓ 2 7.
40
40
a/ ∅ ; b/ x = 3
5 ; c/ x = 0 ; d/ x = −3
4 ;
e/ x = 1
43+.
41
41
a/ x = −6 ; b/ x = −6
7 ; c/ x = −6 ; d/ x = 7
5.
42
42
a/ x + 3 = 0 et 4x + 2 = −10.
b/ 2x − 5 = 1 + 2(1 + x) et
3(2x − 1) + 4(5 + x) = 10(x + 3).
c/ 2x + 5 = 1 + 2(2 + x)
et 333
1
3
xx+= +
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟.
43
43
a/ x ⭐ 0 ; b/ ∅ ; c/ ⺢.
44
44
a/ x ⭓ 17 ; b/ x ⬍ 13
2 ; c/ x ⬎
−
18
13 ;
d/ x ⭓ 11
23.
45
45
a/ x ⭓ 32
7 ; b/ x ⭐
−
3
4;
c/ x ⬍ 1
53−.
46
46
a/ x + 3 ⭓ 5 et 4(x − 2) ⭓ x − 2 ;
b/ 2x − 1 ⭓ 0 et 5x + 2 ⭓ 3(x + 1) ;
c/ 3x − 4 ⭐ 2 ;
d/ 4x + 3 ⭐ 4(x + 1) ;
e/ 4x + 3 ⭐ 4(x − 1).
47
47
1. a/ Si x=−3
2, alors 2x + 3 = 0 ;
b/ si x⭓−3
2, alors 2x + 3 ⭓ 0.
2. Ces réciproques sont vraies.
3. On emploie le signe « équivaut à » car on
a une double implication (l’implication et sa
réciproques sont vraies).
48
48
La fonction f n’est pas affi ne car
ff() ( ) , 10
10 0 005
−
−= n’est pas égal à
ff() () , 21
21 0 015
−
−=.
49
49
a/ Les taux d’accroissement 68 59
20 15
−
−,
98 6 68
37 20
,−
−, 98 6 59 37 15
,−
− sont tous égaux (à 1,8)
donc le tableau peut correspondre aux
valeurs d’une fonction affi ne.
b/ On recherche une fonction affi ne corres-
pondant au tableau de valeurs et on trouve :
f(x) = 1,8x + 32.
c/ f(2x) = 3,6x + 32 est différent de 2f(x)
donc lorsque la température passe du
simple au double en degré Celsius, ce n’est
pas le cas en degré Fahrenheit.
50
50
1. f(−4) = 8, f(−2) = 6, f(1) = 3, f3
2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟ = 4,
f(2) = 5.
2. a/ f coïncide avec x → −x + 4 sur l’inter-
valle ]−∞ ; 1[.
b/ f coïncide avec x → 2x + 1 sur l’intervalle
[1 ; +∞[.
3.
x−∞ 1+∞
Variations
de f3
4.
01
x
y
1
y = g(x)
y = f(x)
5. a/ f(x) = 5 admet pour ensemble solution
᏿ ={−1 ; 2} ;
b/ f(x) ⬎ 5 admet pour ensemble solution
᏿ = ]−∞ ; −1[ ∪ ]2 ; +∞[ ;
c/ f(x) = g(x) admet pour ensemble solution
᏿ = {0 ; 2}.
6. f(x) = p admet 0 solution si p ⬍ 3, une seule
solution si p = 3 et deux solutions si p ⬎ 3.