chapitre 2

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Chapitre 2 ■ Fonctions : étude qualitative
© Éditions Belin 2010
Ce chapitre 2 donne toutes les bases générales et indispensables pour étudier
une fonction, l’essentiel étant de faire le lien avec la courbe représentative
dès que cela est possible.
Pour commencer, il aborde toutes les méthodes de résolution graphique
d’une équation ou d’une inéquation ; fournissant ainsi l’occasion d’introduire
la notion d’antécédent (volontairement écartée dans le chapitre 1).
La comparaison avec 0 permet aussi d’introduire le signe d’une fonction.
Ce chapitre présente ensuite les notions fondamentales de sens de variation
et d’extremum. L’objectif principal est que l’élève perçoive la signifi cation
d’une fonction croissante ou décroissante sans nécessairement utiliser
les défi nitions formelles. En particulier, le tableau de variations ne sera pas
ici justifi é algébriquement, mais sera plutôt obtenu, soit par une conjecture
d’ordre graphique, soit par une considération d’ordre géométrique ou
économique de bons sens.
Les défi nitions formelles données page 50 sont seulement appliquées,
par exemple pour comparer deux images, ou pour commencer à justifi er
la présence d’un extremum dans certains cas simples. Les justifi cations
seront plutôt généralisées au cours des chapitres 3 à 5, lors de l’étude
des fonctions de référence.
Fonctions :
étude qualitative Chapitre 2
Ouverture
Le jour d’une étape de montagne d’une
course cycliste les quotidiens publient la
courbe représentant l’altitude des points
du parcours en fonction de la distance au
point de départ. On peut ainsi suivre les
diffi cultés de l’étape, savoir que la première
grande diffi culté se situe à 83 km du point
de départ, qu’ensuite une longue descente
conduit au pied du col suivant…
On peut aussi savoir quel est le col le plus
élevé du parcours, le col dont la montée est
la plus raide…
Cette lecture, très naturelle, est l’objet de ce
chapitre ; comprendre les mots : croissante,
décroissante, maximum et aussi savoir
apprécier la rapidité associée au mot crois-
sant, décroissant. Évidemment, le coeffi cient
directeur d’une fonction affi ne permettra au
chapitre suivant de bien illustrer ces diffé-
rentes notions.
La question proposée est destinée à attirer
l’attention des élèves sur le phénomène de
symétrie d’une courbe par rapport à un axe
vertical (ici le milieu de la distance horizon-
tale entre le départ et le sommet).
Les deux images laissent apparaître des che-
mins (ou traces ou courbes) à ne pas confondre
avec la représentation graphique d’une fonc-
tion. Si on voulait représenter l’altitude en
fonction du temps, alors on verrait une courbe
qui « monte » pour la montée, mais une courbe
qui « descend » pour la descente : alors que le
chemin emprunté serait le même, on voit que
les courbes des fonctions altitude « montée »
ou « descente » sont différentes et représentent
donc deux fonctions différentes.
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18
Chapitre 2 ■ Fonctions : étude qualitative
© Éditions Belin 2010
Pour bien commencer
Exercice 1 a/ Vrai car f(−3,5) ≈ 5 donc
f(−3,5) ⬎ 0.
b/ Vrai car la courbe est strictement au-
dessus de l’axe des abscisses sur [−4 ; 3].
c/ Vrai car f(3) = 1.
d/ Vrai car 4 est atteint pour
x ≈ −3 ou x ≈ −0,6 ou x ≈ 2,2.
e/ Vrai car f(1,5) ≈ 5 et f(2,5) ≈ 3.
f/ Faux car la plus petite image par f semble
être égale à 1.
g/ Vrai car l’abscisse augmente de −4 à 3.
h/ Faux car l’ordonnée augmente lorsque
l’abscisse augmente de −2 à 1.
Exercice 2 1. b/, c/ et d/. 2. d/. 3. a/ et c/.
4. b/ et c/.
Activités d’introduction
Commentaires
Les activités 1 et 2 permettent d’aborder le
début du cours concernant les résolutions
graphiques d’équations ou d’inéquations.
Dans l’activité 1, on pourra parler de la notion
d’antécédent volontairement écartée dans le
chapitre 1. Elles pourront donner l’occasion
de montrer que la résolution peut se faire sur
une calculatrice graphique. Dans l’activité 2,
l’emploi d’un logiciel de géométrie dynamique
peut aussi être intéressant pour visualiser les
différentes valeurs des aires, avant que l’élève
ait l’idée de choisir une variable, chercher les
expressions des aires, et faire un graphique.
L’activité 3 introduit la notion de sens de
variation et d’extremum d’une fonction,
en lui donnant un sens d’ordre géomé-
trique. Elle peut aussi être poursuivie par la
recherche algébrique de la fonction ᐉ 哫 MA
complétée par sa représentation graphique.
L’activité 4 permet aussi la recherche d’un
maximum, mais demande plus d’initiative de
la part de l’élève. On pourra inciter l’élève,
ne sachant pas démarrer, à expérimenter sur
des valeurs remarquables, afi n de constater
que le volume obtenu est variable…
Activité 1 a/ Graphiquement :
63
2
,t
t2+
= 1 ⇔ t ≈ 0,335 3 h ≈ 20 min et 07 s
ou t ≈ 5,964 7 h ≈ 5 h 53 s.
b/ Graphiquement :
63
2
,t
t2+
⬎ 2 ⇔ 0,881 7 ⬍ t ⬍ 2,268 3 (environ)
⇔ 52 min 54 s ⬍ t ⬍ 2 h 16 min 06 s.
c/ Graphiquement :
63
2
,t
t2+
⭐ 0,5 ⇔ 0 ⭐ t ⭐ 0,160 8 ou t ⭓ 12,439 2
⇔ 0 ⭐ t ⭐ 09 min 39 s ou t ⭓ 12 h 26 min 21 s.
Activité 2 a/ On pose x = AM. Comme
M ∈ [AB] et AB = 4, on a x ∈ [0 ; 4].
Aire du triangle CDM :
f(x) = aire(ABCD) − aire(ADM) − aire(BCM).
f(x) = 62
246 2
24
2
+×−− −xx()
= 12 − 2x.
Aire du rectangle AMKH : g(x) = AM × AH.
Or (CE) // (KH) donc, d’après le théorème
de Thalès appliqué au triangle CDE, on a :
DH
DE
KH
CE
= soit DH
62 4−=x d’où DH = x.
Donc g(x) = x(6 − x) = 6x − x2.
Graphiquement : f(x) = g(x) ⇔ x = 2. L’aire
de CDM est égale à l’aire de AMKH si et seu-
lement si AM = 2 (M est le milieu de [AB]).
b/ Graphiquement :
f(x) ⬎ g(x) ⇔ 0 ⭐ x ⬍ 2 ⇔ 0 ⭐ AM ⬍ 2.
c/ Graphiquement :
f(x) ⬍ g(x) ⇔ 2 ⬍ x ⭐ 4 ⇔ 2 ⬍ AM ⭐ 4.
Activité 3 1. a/ • Lorsque M se déplace de
F vers G : ᐉ augmente de 0 m à 3 m, et AM
augmente de 4 m à 435
22
+=
m.
• Lorsque M se déplace de G vers K (projeté
orthogonal de A sur [HG]) : ᐉ augmente de
3 m à 7 m, et AM diminue de 5 m à 3 m.
• Lorsque M se déplace de K vers H : ᐉ aug-
mente de 7 m à 9 m, et AM augmente de
3 m à 23 13
22
+= m.
• Lorsque M se déplace de H vers E : ᐉ aug-
mente de 9 m à 12 m, et AM diminue de
13 m à 2 m.
b/ La longueur minimale de [MA] est 2 m,
atteinte pour ᐉ = 12 m (pour M = E).
c/ La longueur maximale de [MA] est 5 m,
atteinte pour ᐉ = 3 m (pour M = G).

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Chapitre 2 ■ Fonctions : étude qualitative
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d/
艎037 9 12
MA 4
5
3
13
2
2. • Lorsque M se déplace de F vers G : ᐉ
augmente de 0 m à 3 m, et aire(AFM) aug-
mente de 0 m2 à 6 m2.
• Lorsque M se déplace de G vers H : ᐉ
augmente de 3 m à 9 m, et aire(AFM) reste
constante et égale à 6 m2.
• Lorsque M se déplace de H vers E : ᐉ aug-
mente de 9 m à 12 m, et aire(AFM) diminue
de 6 m2 à 0 m2.
艎03912
Aire(AFM) 0
6 6
0
Activité 4 On note x la longueur du côté
de chaque carré découpé dans la plaque
d’aluminium.
Pour pouvoir découper un carré dans chaque
coin, on a nécessairement 0 ⭐ x ⭐ 0,9
Les dimensions du solide ainsi obtenu sont
x ; 2,6 − 2x ; 1,8 − 2x.
Le volume du solide est donc
V(x) = x(2,6 − 2x)(1,8 − 2x)
= 4x3 − 8,8x² + 4,68x.
Graphiquement, on voit que, sur [0 ; 0,9], le
volume maximal est environ 0,732 m3 pour
x ≈ 0,349 m.
Le récipient de plus grand volume a pour
dimensions (environ) 0,349 m ; 1,902 m et
1,102 m.
Exercices et problèmes
FONCTIONS, ÉQUATIONS, INÉQUATIONS
1
1
1. c/. 2. c/. 3. d/.
2
2
a/ −5 ∈ ]−∞ ; −1[, donc f(−5) ⬎ 0.
0 ∈ ]−1 ; 2[, donc f(0) ⬍ 0.
1,99 ∈ ]−1 ; 2[, donc f(1,99) ⬍ 0.
b/ f(x) = 0 ⇔ x = −1 ou x = 2.
f(x) ⬎ 0 ⇔ x ∈ ]−∞ ; −1[ ∪ ]2 ; +∞[.
f(x) ⬍ 0 ⇔ x ∈ ]−1 ; 2[.
c/ Exemple de courbe possible :
O12
x
y
1
4
4
1. a/ f(x) = 1 ⇔ x ∈ {−2 ; 3 ; 5} ;
b/ f(x) = 2 ⇔ x ∈ {−3 ; −1 ; 2,7 ; 6} ;
c/ f(x) = 4 ⇔ x ∈ {0 ; 2} ;
d/ f(x) = 6 n’a pas de solution ;
e/ f(x) = −1 ⇔ x ∈ {4}.
2. a/ f(x) ⬎ 1 ⇔ x ∈ [−3 ; −2[ ∪ ]−2 ; 3[ ∪ ]5 ; 6] ;
b/ f(x) ⭓ 1 ⇔ x ∈ [−3 ; 3] ∪ [5 ; 6];
c/ f(x) ⬍ 4 ⇔ x ∈ [−3 ; 0[ ∪ ]2 ; 6];
d/ f(x) ⭐ 4 ⇔ x ∈ [−3 ; 0] ∪ [2 ; 6];
e/ f(x) ⬎ −1 ⇔ x ∈ [−3 ; 4[ ∪ ]4 ; 6].
5
5
1. a/ f(x) = −1 ⇔ x ∈ {1,6 ; 4,1} ;
b/ f(x) = 6 n’a pas de solution ;
c/ f(x) = 1 ⇔ x ∈ {0,6 ; 4,7} ;
d/ f(x) = −1,5 ⇔ x ∈ {3};
e/ f(x) = 0 ⇔ x ∈ {1 ; 4,5} ;
2. a/ f(x) ⬎ 2 ⇔ x ∈ ]5 ; 6] ;
b/ f(x) ⬍ 2 ⇔ x ∈ ]0 ; 5[ ;
c/ f(x) ⭓ 1 ⇔ x ∈ [0 ; 0,6] ∪ [4,7 ; 6] ;
d/ f(x) ⭐ 1 ⇔ x ∈ [0,6 ; 4,7] ;
e/ f(x) ⬎ 0 ⇔ x ∈ [0 ; 1[ ∪ ]4,5 ; 6].
7
7
a/
x−3−22 4
5
f(x)−0+0−0+
b/
x01 4,5 6
f(x)+0−0+
c/
x−44
f(x)+0
8
8
t039
24
T+0−0+

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Chapitre 2 ■ Fonctions : étude qualitative
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10
10
1. a/ Faux ; b/ vrai ; c/ vrai ; d/ vrai.
2. a/ f(x) = 1 ⇔ x ∈ {2 ; 5} ;
b/ g(x) = 1 ⇔ x ∈ {5 ; 7,5} ;
c/ f(x) = g(x) ⇔ x ∈ {5 ; 8} ;
d/ f(x) = f(1) = 2 ⇔ x ∈ {1 ; 4}.
3. a/ f(x) ⬎ g(x) ⇔ x ∈ [0 ; 5[ ∪ ]8 ; 9] ;
b/ f(x) ⭓ g(x) ⇔ x ∈ [0 ; 5] ∪ [8 ; 9] ;
c/ f(x) ⬍ g(x) ⇔ x ∈ ]5 ; 8[ ;
d/ f(x) ⭐ g(x) ⇔ x ∈ [5 ; 8].
11
11
1. a/ f(x) = −1 ⇔ x ∈ {−2 ; 3 ; 5} ;
b/ f(x) ⬎ −1 ⇔ x ∈ ]−2 ; 3[ ∪ ]5 ; 7] ;
c/ f(x) ⭐ f(−1) ⇔ f(x) ⭐ 1
⇔ x ∈ [−4 ; −1] ∪ [2 ; 6,5].
2. a/ g(x) = −1 ⇔ x ∈ {−2 ; 3} ;
b/ g(x) ⬎ −1 ⇔ x ∈ [−4 ; −2[ ∪ ]3 ; 7] ;
c/ g(x) ⭐ g(−1) ⇔ g(x) ⭐ −1,5 ⇔ x ∈ [−1 ; 1,5].
3. a/ f(x) = g(x) ⇔ x ∈ {−2 ; 3 ; 6};
b/ f(x) ⬎ g(x) ⇔ x ∈ ]−2 ; 3[ ∪ ]6 ; 7] ;
c/ f(x) ⭐ g(x) ⇔ x ∈ [−4 ; −2] ∪ [3 ; 6].
12
12
1.
5050
50
60
70
80
L (en dB)
R (en m)
2. 80 a un seul antécédent qui est 2,5 par
la fonction f. À 2,5 m du train, le niveau
sonore est de 80 dB. 2,5 est la solution de
l’équation f(R) = 80.
3. Le niveau sonore est strictement supé-
rieur à 60 dB lorsque la distance du train est
strictement inférieure à 27,5 m (environ).
Ainsi L ⬎ 60 ⇔ 0 ⭐ R ⬍ 27,5. On vient de
résoudre l’inéquation f(R) ⬎ 60.
13
13
a/
10−3−525
1
b/
10−224
1
14
14
a/ L’équation h(t) = k admet exactement
deux solutions pour k = 1,2.
b/ L’équation h(t) = k admet exactement
une seule solution pour k ∈ ]1,2 ; 1,8].
c/ L’équation h(t) = k admet exactement
cinq solutions pour k ∈ ]0 ; 0,8[.
15
15
a/ Le volume total du bloc est
93 = 729 (cm3).
Soit h la hauteur retirée (en cm) avec
0 ⭐ h ⭐ 9.
Le volume retiré est h × 9² = 81h (en cm3).
Le volume restant est donc V(h) = 729 − 81h
(en cm3).
V(h) = 405 ⇔ 729 − 81h = 405 ⇔ h = 4.
La hauteur retirée doit donc être de 4 cm
pour que le volume restant soit de 405 cm3.
b/ Si on prend h = 8 au lieu de h = 4, on
obtient un volume restant de 81 cm3 qui est
différent de 405
2.
16
16
1. a/ « f(x) ⭐ 3 » signifi e que la tempéra-
ture est inférieure ou égale à 3 °C.

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Chapitre 2 ■ Fonctions : étude qualitative
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b/ Une solution de l’inéquation f(x) ⭐ 3
représente l’instant x (en min) pour lequel la
température est inférieure ou égale à 3°C.
2. a/ 7 ∉ S ; b/ [4 ; 5] ⊂ S ;
c/ 2 ∈ S ; d/ {0 ; 1 ; 10} ⊂ S ;
e/ [8 ; 9] ⊄ S ; f/ {1 ; 5} ⊂ S ;
g/ ([0 ; 1] ∪ [3 ; 5]) ⊂ S ;
h/ [0 ; 5,5] ∪ [8,5 ; 11] = S.
17
17
a/ x ∈ [−3 ; −1] ∪ [3 ; 4] ;
b/ x ∈ [−3 ; −1] ∪ [3 ; 4] ;
c/ x ∈ [−3 ; 5] ;
d/ x ∈ ]−1 ; 0[ ∪ ]2 ; 3[ ;
e/ Pas de solution ;
f/ x ∈ ]−3 ; −1[ ∪ ]0 ; 2[ ∪ ]3 ; 5].
18
18
1. a/ R(3) = 165 et C(3) = 227 donc
R(3) ⬍ C(3). Ainsi, pour 3 objets fabriqués et
vendus, la recette est strictement inférieure
au coût de fabrication (l’artisan fait donc de
la perte).
b/ R(20) = 1 100 et C(20) = 762,5 donc
R(20) ⬎ C(20). Ainsi, pour 20 objets fabri-
qués et vendus, la recette est strictement
supérieure au coût de fabrication (l’artisan
fait donc du bénéfi ce).
2. a/ L’artisan doit fabriquer et vendre 5 objets
pour que la recette soit égale au coût de
fabrication.
b/ L’artisan doit fabriquer et vendre au moins
6 objets pour que la recette soit strictement
supérieure au coût de fabrication.
19
19
On pose x = AM avec 0 ⭐ x ⭐ 8.
Le théorème de Thalès appliqué au triangle
ABC avec (MN) // (BC) donne x
86
=MN, donc
MN = 3
4x.
Aire du triangle AMN :
f(x) = 1
2
3
4
3
8
xxx×=
2.
Aire du rectangle BMNP :
g(x) = 3
486
3
4
xxxx()−=−2.
Graphiquement, on voit que f(x) ⭓ g(x) pour
5,3 ⭐ x ⭐ 8 (environ).
Remarque : il faudra attendre le chapitre 4
pour avoir une méthode algébrique permet-
tant de justifi er que f(x) ⭓ g(x) ⇔ 16
3 ⭐ x ⭐ 8).
20
20
a/ Sur la calculatrice, avec −5 ⭐ x ⭐ 5 et
−5 ⭐ y ⭐ 5, on obtient :
f(−1) = 0 ; f(3) = 0 ; g(−1) = 0 ; g(3) = 0.
b/ Tableau de signes de f :
x−5−13
5
f(x)+0−0+
Tableau de signes de g :
x−5−13
5
g(x)+0−0+
On constate que f et g admettent le même
tableau de signes.
c/ f(2) = −0,6 et g(2) = −3,6 donc f(2) ≠ g(2).
Ainsi, les fonctions f et g ne sont pas égales
sur [−5 ; 5].
21
21
a/
x−∞3+∞
f(x)+0+
x−∞0+∞
g(x)−0−
x−∞0+∞
h(x)−0+
x9+∞
k(x)0+
x−∞+∞
d(x)+
x−∞+∞
e(x)−
b/ On vérifi e graphiquement les tableaux
précédents à l’aide d’une calculatrice ou
d’un logiciel adapté.