chapitre 2

Fonctions :
étude qualitative
Chapitre
2
Ce chapitre 2 donne toutes les bases générales et indispensables pour étudier
une fonction, l’essentiel étant de faire le lien avec la courbe représentative
dès que cela est possible.
Pour commencer, il aborde toutes les méthodes de résolution graphique
d’une équation ou d’une inéquation ; fournissant ainsi l’occasion d’introduire
la notion d’antécédent (volontairement écartée dans le chapitre 1).
La comparaison avec 0 permet aussi d’introduire le signe d’une fonction.
Ce chapitre présente ensuite les notions fondamentales de sens de variation
et d’extremum. L’objectif principal est que l’élève perçoive la signification
d’une fonction croissante ou décroissante sans nécessairement utiliser
les définitions formelles. En particulier, le tableau de variations ne sera pas
ici justifié algébriquement, mais sera plutôt obtenu, soit par une conjecture
d’ordre graphique, soit par une considération d’ordre géométrique ou
économique de bons sens.
Les définitions formelles données page 50 sont seulement appliquées,
par exemple pour comparer deux images, ou pour commencer à justifier
la présence d’un extremum dans certains cas simples. Les justifications
seront plutôt généralisées au cours des chapitres 3 à 5, lors de l’étude
des fonctions de référence.
© Éditions Belin 2010
Ouverture
Le jour d’une étape de montagne d’une
course cycliste les quotidiens publient la
courbe représentant l’altitude des points
du parcours en fonction de la distance au
point de départ. On peut ainsi suivre les
difficultés de l’étape, savoir que la première
grande difficulté se situe à 83 km du point
de départ, qu’ensuite une longue descente
conduit au pied du col suivant…
On peut aussi savoir quel est le col le plus
élevé du parcours, le col dont la montée est
la plus raide…
Cette lecture, très naturelle, est l’objet de ce
chapitre ; comprendre les mots : croissante,
décroissante, maximum et aussi savoir
apprécier la rapidité associée au mot crois-
sant, décroissant. Évidemment, le coefficient
directeur d’une fonction affine permettra au
chapitre suivant de bien illustrer ces différentes notions.
La question proposée est destinée à attirer
l’attention des élèves sur le phénomène de
symétrie d’une courbe par rapport à un axe
vertical (ici le milieu de la distance horizontale entre le départ et le sommet).
Les deux images laissent apparaître des chemins (ou traces ou courbes) à ne pas confondre
avec la représentation graphique d’une fonction. Si on voulait représenter l’altitude en
fonction du temps, alors on verrait une courbe
qui « monte » pour la montée, mais une courbe
qui « descend » pour la descente : alors que le
chemin emprunté serait le même, on voit que
les courbes des fonctions altitude « montée »
ou « descente » sont différentes et représentent
donc deux fonctions différentes.
Chapitre 2 ■ Fonctions : étude qualitative
17
Pour bien commencer
Exercice 1
Activité 1
a/ Vrai car f(−3,5) ≈ 5 donc
f(−3,5) ⬎ 0.
b/ Vrai car la courbe est strictement audessus de l’axe des abscisses sur [−4 ; 3].
c/ Vrai car f(3) = 1.
d/ Vrai car 4 est atteint pour
x ≈ −3 ou x ≈ −0,6 ou x ≈ 2,2.
e/ Vrai car f(1,5) ≈ 5 et f(2,5) ≈ 3.
f/ Faux car la plus petite image par f semble
être égale à 1.
g/ Vrai car l’abscisse augmente de −4 à 3.
h/ Faux car l’ordonnée augmente lorsque
l’abscisse augmente de −2 à 1.
Exercice 2
1. b/, c/ et d/. 2. d/. 3. a/ et c/.
4. b/ et c/.
n
Activités d’introductio
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Commentaires
Les activités 1 et 2 permettent d’aborder le
début du cours concernant les résolutions
graphiques d’équations ou d’inéquations.
Dans l’activité 1, on pourra parler de la notion
d’antécédent volontairement écartée dans le
chapitre 1. Elles pourront donner l’occasion
de montrer que la résolution peut se faire sur
une calculatrice graphique. Dans l’activité 2,
l’emploi d’un logiciel de géométrie dynamique
peut aussi être intéressant pour visualiser les
différentes valeurs des aires, avant que l’élève
ait l’idée de choisir une variable, chercher les
expressions des aires, et faire un graphique.
L’activité 3 introduit la notion de sens de
variation et d’extremum d’une fonction,
en lui donnant un sens d’ordre géométrique. Elle peut aussi être poursuivie par la
recherche algébrique de la fonction ᐉ 哫 MA
complétée par sa représentation graphique.
L’activité 4 permet aussi la recherche d’un
maximum, mais demande plus d’initiative de
la part de l’élève. On pourra inciter l’élève,
ne sachant pas démarrer, à expérimenter sur
des valeurs remarquables, afin de constater
que le volume obtenu est variable…
18
Chapitre 2 ■ Fonctions : étude qualitative
a/ Graphiquement :
6, 3 t
= 1 ⇔ t ≈ 0,335 3 h ≈ 20 min et 07 s
t2 + 2
ou t ≈ 5,964 7 h ≈ 5 h 53 s.
b/ Graphiquement :
6, 3 t
⬎ 2 ⇔ 0,881 7 ⬍ t ⬍ 2,268 3 (environ)
t2 + 2
⇔ 52 min 54 s ⬍ t ⬍ 2 h 16 min 06 s.
c/ Graphiquement :
6, 3 t
⭐ 0,5 ⇔ 0 ⭐ t ⭐ 0,160 8 ou t ⭓ 12,439 2
t2 + 2
⇔ 0 ⭐ t ⭐ 09 min 39 s ou t ⭓ 12 h 26 min 21 s.
Activité 2 a/ On pose x = AM. Comme
M ∈ [AB] et AB = 4, on a x ∈ [0 ; 4].
Aire du triangle CDM :
f(x) = aire(ABCD) − aire(ADM) − aire(BCM).
6+2
6 x 2( 4 − x )
f(x) =
×4−
−
= 12 − 2x.
2
2
2
Aire du rectangle AMKH : g(x) = AM × AH.
Or (CE) // (KH) donc, d’après le théorème
de Thalès appliqué au triangle CDE, on a :
DH KH
DH
x
=
=
soit
d’où DH = x.
DE
CE
6−2 4
Donc g(x) = x(6 − x) = 6x − x2.
Graphiquement : f(x) = g(x) ⇔ x = 2. L’aire
de CDM est égale à l’aire de AMKH si et seulement si AM = 2 (M est le milieu de [AB]).
b/ Graphiquement :
f(x) ⬎ g(x) ⇔ 0 ⭐ x ⬍ 2 ⇔ 0 ⭐ AM ⬍ 2.
c/ Graphiquement :
f(x) ⬍ g(x) ⇔ 2 ⬍ x ⭐ 4 ⇔ 2 ⬍ AM ⭐ 4.
Activité 3 1. a/ • Lorsque M se déplace de
F vers G : ᐉ augmente de 0 m à 3 m, et AM
augmente de 4 m à 42 + 32 = 5 m.
• Lorsque M se déplace de G vers K (projeté
orthogonal de A sur [HG]) : ᐉ augmente de
3 m à 7 m, et AM diminue de 5 m à 3 m.
• Lorsque M se déplace de K vers H : ᐉ augmente de 7 m à 9 m, et AM augmente de
3 m à 22 + 32 = 13 m.
• Lorsque M se déplace de H vers E : ᐉ augmente de 9 m à 12 m, et AM diminue de
13 m à 2 m.
b/ La longueur minimale de [MA] est 2 m,
atteinte pour ᐉ = 12 m (pour M = E).
c/ La longueur maximale de [MA] est 5 m,
atteinte pour ᐉ = 3 m (pour M = G).
c/ Exemple de courbe possible :
d/
艎
MA
0
3
5
7
9
y
2
1
13
3
4
12
2. • Lorsque M se déplace de F vers G : ᐉ
augmente de 0 m à 3 m, et aire(AFM) augmente de 0 m2 à 6 m2.
• Lorsque M se déplace de G vers H : ᐉ
augmente de 3 m à 9 m, et aire(AFM) reste
constante et égale à 6 m2.
• Lorsque M se déplace de H vers E : ᐉ augmente de 9 m à 12 m, et aire(AFM) diminue
de 6 m2 à 0 m2.
艎
Aire(AFM)
0
3
6
9
6
12
0
0
Activité 4
On note x la longueur du côté
de chaque carré découpé dans la plaque
d’aluminium.
Pour pouvoir découper un carré dans chaque
coin, on a nécessairement 0 ⭐ x ⭐ 0,9
Les dimensions du solide ainsi obtenu sont
x ; 2,6 − 2x ; 1,8 − 2x.
Le volume du solide est donc
V(x) = x(2,6 − 2x)(1,8 − 2x)
= 4x3 − 8,8x² + 4,68x.
Graphiquement, on voit que, sur [0 ; 0,9], le
volume maximal est environ 0,732 m3 pour
x ≈ 0,349 m.
Le récipient de plus grand volume a pour
dimensions (environ) 0,349 m ; 1,902 m et
1,102 m.
x
O
es
FONCTIONS, ÉQUATIONS, INÉQUATIONS
2
4 1. a/ f(x) = 1 ⇔ x ∈ {−2 ; 3 ; 5} ;
b/ f(x) = 2 ⇔ x ∈ {−3 ; −1 ; 2,7 ; 6} ;
c/ f(x) = 4 ⇔ x ∈ {0 ; 2} ;
d/ f(x) = 6 n’a pas de solution ;
e/ f(x) = −1 ⇔ x ∈ {4}.
2. a/ f(x) ⬎ 1 ⇔ x ∈ [−3 ; −2[ ∪ ]−2 ; 3[ ∪ ]5 ; 6] ;
b/ f(x) ⭓ 1 ⇔ x ∈ [−3 ; 3] ∪ [5 ; 6];
c/ f(x) ⬍ 4 ⇔ x ∈ [−3 ; 0[ ∪ ]2 ; 6];
d/ f(x) ⭐ 4 ⇔ x ∈ [−3 ; 0] ∪ [2 ; 6];
e/ f(x) ⬎ −1 ⇔ x ∈ [−3 ; 4[ ∪ ]4 ; 6].
5 1. a/ f(x) = −1 ⇔ x ∈ {1,6 ; 4,1} ;
b/ f(x) = 6 n’a pas de solution ;
c/ f(x) = 1 ⇔ x ∈ {0,6 ; 4,7} ;
d/ f(x) = −1,5 ⇔ x ∈ {3};
e/ f(x) = 0 ⇔ x ∈ {1 ; 4,5} ;
2. a/ f(x) ⬎ 2 ⇔ x ∈ ]5 ; 6] ;
b/ f(x) ⬍ 2 ⇔ x ∈ ]0 ; 5[ ;
c/ f(x) ⭓ 1 ⇔ x ∈ [0 ; 0,6] ∪ [4,7 ; 6] ;
d/ f(x) ⭐ 1 ⇔ x ∈ [0,6 ; 4,7] ;
e/ f(x) ⬎ 0 ⇔ x ∈ [0 ; 1[ ∪ ]4,5 ; 6].
7 a/
−2
−3
x
−
f (x)
Exercices et problèm
1
2
+
0
0
4
−
5
+
0
b/
x
1
0
+
f (x)
0
4,5
−
0
6
+
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c/
−4
1 1. c/. 2. c/. 3. d/.
x
2 a/ −5 ∈ ]−∞ ; −1[, donc f(−5) ⬎ 0.
f (x)
0 ∈ ]−1 ; 2[, donc f(0) ⬍ 0.
1,99 ∈ ]−1 ; 2[, donc f(1,99) ⬍ 0.
b/ f(x) = 0 ⇔ x = −1 ou x = 2.
f(x) ⬎ 0 ⇔ x ∈ ]−∞ ; −1[ ∪ ]2 ; +∞[.
f(x) ⬍ 0 ⇔ x ∈ ]−1 ; 2[.
4
+
0
8
t
T
3
0
+
0
9
−
0
24
+
Chapitre 2 ■ Fonctions : étude qualitative
19
10 1. a/ Faux ; b/ vrai ; c/ vrai ; d/ vrai.
2. a/ f(x) = 1 ⇔ x ∈ {2 ; 5} ;
b/ g(x) = 1 ⇔ x ∈ {5 ; 7,5} ;
c/ f(x) = g(x) ⇔ x ∈ {5 ; 8} ;
d/ f(x) = f(1) = 2 ⇔ x ∈ {1 ; 4}.
3. a/ f(x) ⬎ g(x) ⇔ x ∈ [0 ; 5[ ∪ ]8 ; 9] ;
b/ f(x) ⭓ g(x) ⇔ x ∈ [0 ; 5] ∪ [8 ; 9] ;
c/ f(x) ⬍ g(x) ⇔ x ∈ ]5 ; 8[ ;
d/ f(x) ⭐ g(x) ⇔ x ∈ [5 ; 8].
11 1. a/ f(x) = −1 ⇔ x ∈ {−2 ; 3 ; 5} ;
b/ f(x) ⬎ −1 ⇔ x ∈ ]−2 ; 3[ ∪ ]5 ; 7] ;
c/ f(x) ⭐ f(−1) ⇔ f(x) ⭐ 1
⇔ x ∈ [−4 ; −1] ∪ [2 ; 6,5].
2. a/ g(x) = −1 ⇔ x ∈ {−2 ; 3} ;
b/ g(x) ⬎ −1 ⇔ x ∈ [−4 ; −2[ ∪ ]3 ; 7] ;
c/ g(x) ⭐ g(−1) ⇔ g(x) ⭐ −1,5 ⇔ x ∈ [−1 ; 1,5].
3. a/ f(x) = g(x) ⇔ x ∈ {−2 ; 3 ; 6};
b/ f(x) ⬎ g(x) ⇔ x ∈ ]−2 ; 3[ ∪ ]6 ; 7] ;
c/ f(x) ⭐ g(x) ⇔ x ∈ [−4 ; −2] ∪ [3 ; 6].
2. 80 a un seul antécédent qui est 2,5 par
la fonction f. À 2,5 m du train, le niveau
sonore est de 80 dB. 2,5 est la solution de
l’équation f(R) = 80.
3. Le niveau sonore est strictement supérieur à 60 dB lorsque la distance du train est
strictement inférieure à 27,5 m (environ).
Ainsi L ⬎ 60 ⇔ 0 ⭐ R ⬍ 27,5. On vient de
résoudre l’inéquation f(R) ⬎ 60.
13 a/
1
−5
−3
0
1
2
5
b/
1
12 1.
−2
L (en dB)
60
© Éditions Belin 2010
2
4
15 a/ Le volume total du bloc est
93 = 729 (cm3).
Soit h la hauteur retirée (en cm) avec
0 ⭐ h ⭐ 9.
Le volume retiré est h × 9² = 81h (en cm3).
Le volume restant est donc V(h) = 729 − 81h
(en cm3).
V(h) = 405 ⇔ 729 − 81h = 405 ⇔ h = 4.
La hauteur retirée doit donc être de 4 cm
pour que le volume restant soit de 405 cm3.
b/ Si on prend h = 8 au lieu de h = 4, on
obtient un volume restant de 81 cm3 qui est
405
.
différent de
2
70
20
1
14 a/ L’équation h(t) = k admet exactement
deux solutions pour k = 1,2.
b/ L’équation h(t) = k admet exactement
une seule solution pour k ∈ ]1,2 ; 1,8].
c/ L’équation h(t) = k admet exactement
cinq solutions pour k ∈ ]0 ; 0,8[.
80
50
0
0 5
R (en m)
50
Chapitre 2 ■ Fonctions : étude qualitative
16 1. a/ « f(x) ⭐ 3 » signifie que la température est inférieure ou égale à 3 °C.
b/ Une solution de l’inéquation f(x) ⭐ 3
représente l’instant x (en min) pour lequel la
température est inférieure ou égale à 3°C.
2. a/ 7 ∉ S ;
b/ [4 ; 5] ⊂ S ;
c/ 2 ∈ S ;
d/ {0 ; 1 ; 10} ⊂ S ;
e/ [8 ; 9] ⊄ S ;
f/ {1 ; 5} ⊂ S ;
g/ ([0 ; 1] ∪ [3 ; 5]) ⊂ S ;
h/ [0 ; 5,5] ∪ [8,5 ; 11] = S.
17 a/ x ∈ [−3 ; −1] ∪ [3 ; 4] ;
b/ x ∈ [−3 ; −1] ∪ [3 ; 4] ;
c/ x ∈ [−3 ; 5] ;
d/ x ∈ ]−1 ; 0[ ∪ ]2 ; 3[ ;
e/ Pas de solution ;
f/ x ∈ ]−3 ; −1[ ∪ ]0 ; 2[ ∪ ]3 ; 5].
18 1. a/ R(3) = 165 et C(3) = 227 donc
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R(3) ⬍ C(3). Ainsi, pour 3 objets fabriqués et
vendus, la recette est strictement inférieure
au coût de fabrication (l’artisan fait donc de
la perte).
b/ R(20) = 1 100 et C(20) = 762,5 donc
R(20) ⬎ C(20). Ainsi, pour 20 objets fabriqués et vendus, la recette est strictement
supérieure au coût de fabrication (l’artisan
fait donc du bénéfice).
2. a/ L’artisan doit fabriquer et vendre 5 objets
pour que la recette soit égale au coût de
fabrication.
b/ L’artisan doit fabriquer et vendre au moins
6 objets pour que la recette soit strictement
supérieure au coût de fabrication.
19 On pose x = AM avec 0 ⭐ x ⭐ 8.
Le théorème de Thalès appliqué au triangle
x MN
, donc
ABC avec (MN) // (BC) donne =
8
6
3
MN = x.
4
Aire du triangle AMN :
1
3
3
f(x) = x × x = x 2 .
2
4
8
Aire du rectangle BMNP :
3
3
g(x) = x ( 8 − x ) = 6 x − x 2 .
4
4
Graphiquement, on voit que f(x) ⭓ g(x) pour
5,3 ⭐ x ⭐ 8 (environ).
Remarque : il faudra attendre le chapitre 4
pour avoir une méthode algébrique permet16
tant de justifier que f(x) ⭓ g(x) ⇔
⭐ x ⭐ 8).
3
20 a/ Sur la calculatrice, avec −5 ⭐ x ⭐ 5 et
−5 ⭐ y ⭐ 5, on obtient :
f(−1) = 0 ; f(3) = 0 ; g(−1) = 0 ; g(3) = 0.
b/ Tableau de signes de f :
−1
−5
x
+
f (x)
0
3
−
5
+
0
Tableau de signes de g :
−1
−5
x
+
g(x)
0
3
−
5
+
0
On constate que f et g admettent le même
tableau de signes.
c/ f(2) = −0,6 et g(2) = −3,6 donc f(2) ≠ g(2).
Ainsi, les fonctions f et g ne sont pas égales
sur [−5 ; 5].
21 a/
−∞
x
+
f (x)
−∞
x
g(x)
x
0
+
+∞
0
−
0
−
0
−∞
x
h(x)
+∞
3
−
+∞
0
+
+∞
9
k(x)
0
x
−∞
+
+∞
+
d(x)
−∞
x
e(x)
+∞
−
b/ On vérifie graphiquement les tableaux
précédents à l’aide d’une calculatrice ou
d’un logiciel adapté.
Chapitre 2 ■ Fonctions : étude qualitative
21
VARIATIONS D’UNE FONCTION
22 1. f est définie sur [−2 ; 8].
2. f est croissante sur [1 ; 4].
3. L’image de 1 par f est 0.
4. a/ Plus x augmente de 1 à 4, plus son
image f(x) augmente de 0 à 3.
b/ Plus x augmente de 4 à 8, plus son image
f(x) diminue de 3 à 1.
5. a/ Le point le plus haut de la courbe de f
a pour coordonnées (4 ; 3).
b/ Le point le plus bas de la courbe de f a
pour coordonnées (1 ; 0).
6. a/ Le maximum de f sur [−2 ; 8] est 3 ;
il est atteint en x = 4 ; donc si −2 ⭐ x ⭐ 8
alors f(x) ⭐ 3.
b/ Le minimum de f sur [−2 ; 8] est 0 ; il est
atteint en x = 1 ; donc si −2 ⭐ x ⭐ 8 alors
f(x) ⭓ 0.
c/ On peut en déduire que, si −2 ⭐ x ⭐ 8,
alors 0 ⭐ f(x) ⭐ 3.
23 a/ Si, pour tous réels a et b appartenant
à [−3 ; 5] tels que a ⭐ b, f(a) ⭐ f(b), alors f
est croissante sur [−3 ; 5].
b/ Si, pour tous réels a et b appartenant à
[0 ; 8] tels que a ⭐ b , f(a) ⭓ f(b), alors f est
décroissante sur [0 ; 8].
c/ Si, pour tous réels a et b appartenant à
]0 ; +∞[ tels que a ⭓ b , f(a) ⭓ f(b), alors f
est croissante sur ]0 ; +∞ [.
d/ Si, pour tous réels a et b tels que a ⭓ b,
f(a) ⭐ f(b), alors f est décroissante sur ⺢.
e/ Si, pour tous réels a et b positifs tels que
a ⬍ b, f(a) ⬍ f(b), alors f est strictement
croissante sur [0 ; +∞ [.
f/ Si, pour tous réels a et b tels que
−2 ⭐ a ⬍ b ⭐ 6, f(a) = f(b), alors f est
constante sur [−2 ; 6].
© Éditions Belin 2010
24 1. a/ Une fonction f est décroissante sur
[0 ; 4] lorsque, pour tous réels a et b appartenant à [0 ; 4] tels que a ⭐ b, f(a) ⭓ f(b).
b/ La proposition est vraie (considérer la
définition précédente, avec le cas particulier
a = 0 et b = 4).
2. a/ f(0) = 5 et f(4) = 1.
b/ 0 ⭐ 4 et f(0) ⭓ f(4).
c/ La réciproque est fausse : en effet, le fait
d’avoir les inégalités de la question 2. b/ ne
22
Chapitre 2 ■ Fonctions : étude qualitative
permet pas de dire que les inégalités sont
vraies pour a et b quelconques entre 0 et 4.
Par exemple, 0 ⭐ 1 et f(0) ⬍ f(1) car f(0) = 5
et f(1) = 7.
26 Cas 1 :
a/ f est définie sur [−5 ; 6]
b/ f est croissante sur [−5 ; −2], décroissante
sur [−2 ; 3] et croissante sur [3 ; 6].
c/
x
f (x)
−5
−2
3
6
3
4
−2
1
Cas 2 :
a/ f est définie sur [−9 ; 2]
b/ f est décroissante sur [−9 ; −5], croissante
sur [−5 ; 0] et décroissante sur [0 ; 2].
c/
x
f (x)
−9
−5
0
4
2
2
−3
−1
28 @ fichier GeoGebra corrigé disponible
sur www.libtheque.fr/mathslycee.
L’ensemble des valeurs de x est [0 ; 5] car
AB = 5.
2. a/ Plus x augmente de 0 à 5, plus l’aire
f(x) augmente de 0 à 6. Donc f est croissante
sur [0 ; 5].
b/
x
f (x)
0
5
6
0
c/ Le théorème de Thalès aboutit à
donc BP = 4 −
On a aussi
MP
3
4
5
=
x et PC =
5− x
5
⎛
3 ⎞
3 + ⎜ 3 − x⎟
⎝
5 ⎠
4
5
BP
4
=
5− x
5
,
x.
, donc MP = 3 −
3
5
x.
4
12
6 2
× x=
x−
x .
2
5
5
25
On vérifie bien graphiquement que f est
croissante sur [0 ; 5].
3. a/ Plus x augmente de 0 à 5, plus l’aire
g(x) diminue de 6 à 0. Donc g est décroissante sur [0 ; 5].
Ainsi f(x) =
b/
x
f (x)
0
6
5
0
⎛
4 ⎞ ⎛
3 ⎞
c/ g(x) = × ⎜ 4 − x⎟ × ⎜ 3 − x⎟
2 ⎝
5 ⎠ ⎝
5 ⎠
12
6 2
=6−
x+
x .
5
25
On vérifie graphiquement que g est décroissante sur [0 ; 5].
1
29 1. a/ @ fichier GeoGebra corrigé disponible sur www.libtheque.fr/mathslycee.
f(0) = 6 ; f(1) = 4 ; f(3) = 0 ; f(5) = 4.
b/ L’ensemble des valeurs de x est [0 ; 5] car
AB = 5.
c/ Plus x augmente de 0 à 3, plus l’aire f(x)
diminue de 6 à 0, donc f est décroissante sur
[0 ; 3].
Plus x augmente de 3 à 5, plus l’aire f(x)
augmente de 0 à 4, donc f est croissante
sur [3 ; 5].
d/
x
f (x)
0
6
3
5
4
0
2. a/ g(0) = 5 ; g(1) = 2 5 ≈ 4,47 ; g(3) = 4 ;
g(5) = 2 5 ≈ 4,47.
b/ L’ensemble des valeurs de x est toujours
[0 ; 5].
c/ Plus x augmente de 0 à 3, plus la longueur
g(x) diminue de 5 à 4, donc g est décroissante
sur [0 ; 3].
Plus x augmente de 3 à 5, plus la longueur
g(x) augmente de 4 à 2 5 , donc g est
croissante sur [3 ; 5].
d/
x
f (x)
0
5
3
5
2 5
4
© Éditions Belin 2010
31 1. a/ Le minimum de f sur [−2 ; 6] est
−2,5 (environ) ;
b/ le minimum de f sur [1 ; 6] est −2,5
(environ) ;
c/ le minimum de f sur [1 ; 3] est −2.
2. a/ Le maximum de f sur [−2 ; 6] est 4 ;
b/ le maximum de f sur [−2 ; 4] est 4 ;
c/ le maximum de f sur [3 ; 5] est 3.
32 1. Sur [−4 ; 4], f a pour maximum 3 et
pour minimum 0.
2. Sur [−3 ; 5], f a pour maximum 3 et pour
minimum −1.
3. Sur [0 ; 10], f a pour maximum 45 et
pour minimum 9.
4. Sur ⺢, f a pour maximum 5 mais n’a pas
de minimum.
Remarque : cet exercice se traite graphiquement ; on peut néanmoins justifier certains
résultats algébriquement. En effet, dans
la question 3, on peut dire que, pour tout
réel x appartenant à [0 ; 10], f(x) ⭓ 9 et
f(4) = 9 donc 9 est le minimum de f sur
[0 ; 10]. Et, dans la question 4, on peut dire
que, pour tout réel x, f(x) ⭐ 5 et f(0) = 5
donc 5 est le maximum de f sur ⺢.
34 1. a/ 2 ⭐ 3 et f est décroissante sur [2 ; 3]
donc f(2) ⭓ f(3).
b/ 5 ⭐ 7 et f est croissante sur [5 ; 7] donc
f(5) ⭐ f(7).
c/ f(0) = 3 et f(8) = 2, donc f(0) ⬎ f(8).
2. f est décroissante sur [8 ; 9], donc si x1 et
x2 sont deux réels tels que 8 ⭐ x1 ⭐ x2 ⭐ 9,
alors f(x1) ⭓ f(x2).
3. a/ f est croissante sur [4 ; 8], donc si
4 ⭐ x ⭐ 8, alors f(4) ⭐ f(x) ⭐ f(8), soit
−1 ⭐ f(x) ⭐ 2.
b/ f est décroissante sur [0 ; 4], donc
si 0 ⭐ x ⭐ 4 alors f(0) ⭓ f(x) ⭓ f(4), soit
−1 ⭐ f(x) ⭐ 3.
c/ f n’est pas monotone sur [0 ; 9], donc
on ne peut pas appliquer la méthode précédente.
Sur [0 ; 9], f a pour minimum −1 et pour
maximum 3, donc si 0 ⭐ x ⭐ 9 alors
−1 ⭐ f(x) ⭐ 3.
35 1. a/ −5 ⭐ −3 et f est décroissante sur
[−5 ; −3], donc f(−5) ⭓ f(−3).
b/ 1 ⭐ 2 et f est croissante sur [1 ; 2], donc
f(1) ⭐ f(2).
c/ 5,5 ⭐ 6 et f est décroissante sur [5,5 ; 6],
donc f(5,5) ⭓ f(6).
Chapitre 2 ■ Fonctions : étude qualitative
23
d/ On ne peut pas comparer f(3) et f(6) car
on ne connaît pas ces valeurs et f n’est pas
monotone sur [3 ; 6].
e/ f(0) = 1 et f(8) = 0, donc f(0) ⬎ f(8).
f/ On ne peut pas comparer f(−4) et f(4).
g/ f est décroissante sur [5 ; 8], donc si
5 ⭐ a ⭐ b ⭐ 8, alors f(a) ⭓ f(b).
2. a/ f est croissante sur [0 ; 5], donc si
0 ⭐ x ⭐ 5, alors f(0) ⭐ f(x) ⭐ f(5), soit
1 ⭐ f(x) ⭐ 6.
b/ f est décroissante sur [5 ; 8], donc si
5 ⭐ x ⭐ 8, alors f(5) ⭓ f(x) ⭓ f(8), soit
0 ⭐ f(x) ⭐ 6.
c/ f est décroissante sur [−8 ; 0], donc si
−8 ⭐ x ⭐ 0, alors f(−8) ⭓ f(x) ⭓ f(0), soit
1 ⭐ f(x) ⭐ 5.
d/ Sur [0 ; 8], f a pour minimum 0 et pour
maximum 6, donc si 0 ⭐ x ⭐ 8, alors
0 ⭐ f(x) ⭐ 6.
36 a/ f(−5) = 3 et f(3) = −2, donc f(−5) ⬎ f(3).
b/ f est croissante sur [−4 ; −3], donc, puisque
−4 ⭐ −3, on a f(−4) ⭐ f(−3).
c/ f est décroissante sur [0 ; 2], donc,
puisque 0 ⭐ 2, on a f(0) ⭓ f(2).
d/ 3 ⭐ f(−3) ⭐ 5 et −2 ⭐ f(2) ⭐ 0, donc
f(−3) ⬎ f(2).
e/ f(1) = 0 et f(4) = 0, donc f(1) = f(4).
f/ 0 ⭐ f(0,5) ⭐ 4 et −2 ⭐ f(3,8) ⭐ 0, donc
f(0,5) ⭓ f(3,8).
−∞
2
3
f (x)
b/
8
+∞
x
f (x)
0
10
100
0
c/ f(x) = 102 − (10 − x)2 = −x2 + 20x. On
vérifie alors graphiquement le tableau de
variations de f.
3. a/ Plus x augmente de 0 à 10, plus l’aire
restante g(x) diminue de 100 à 0, donc g est
décroissante sur [0 ; 10].
b/
g(x)
0
100
10
0
c/ g(x) = (10 −
= −20x + 100.
On vérifie alors graphiquement le tableau de
variations de g.
−3
3
−1 0
x2
40 a/
x
2
5
8
11
−3
© Éditions Belin 2010
2. a/ Plus x augmente de 0 à 10, plus l’aire
f(x) augmente de 0 à 100, donc f est croissante sur [0 ; 10].
b/
x)2
1
38 a/ Faux (donner comme contre exemple,
une courbe qui « monte » et qui est audessous de l’axe des abscisses sur [0 ; 5]).
b/ Vrai (prendre une fonction constante sur
[1 ; +∞ [).
24
39 1. L’ensemble des valeurs de x est [0 ; 10].
x
37 a/
x
c/ Faux (la fonction peut changer de variation sur [−3 ; 6]).
d/ Faux (f peut être croissante sur [4 ; 4,5]
par exemple et décroissante sur [4,5 ; 5]).
e/ Faux (la définition n’est pas la bonne car
il manque « pour tous réels a et b… »).
f/ Vrai (c’est la définition d’une fonction
croissante sur ]0 ; 1[).
g/ Vrai (f est décroissante sur [−3 ; 2] donc,
si −3 ⭐ x ⭐ 2, alors f(−3) ⭓ f(x) ⭓ f(2)).
h/ Vrai (donner un exemple de courbe qui
« monte » mais qui reste strictement audessous de la droite d’équation y = 5).
Chapitre 2 ■ Fonctions : étude qualitative
f(x)
x
g(x)
0
12
3
3
0
12
3
3
On constate que f et g admettent, sur [0 ; 3],
le même sens de variation, le même minimum 3 et le même maximum 12.
b/ On a f(2) = 3,2 et g(2) = 4, donc f(2) ≠ g(2).
Ainsi, f et g ne sont pas égales sur [0 ; 3] (on
peut aussi voir que leurs courbes représentatives sont différentes).
41 1. @ fichier GeoGebra corrigé disponible sur www.libtheque.fr/mathslycee.
On conjecture une aire minimale lorsque
AI = 2,5 cm, donc pour I milieu de [AB].
2. a/ L’ensemble des valeurs de x est
Ᏸf = [0 ; 5].
x (5 − x )
b/ On a f(x) = 25 − 4 ×
2
= 2x2 − 10x + 25 ;
2
⎛
5⎞
25
= 2x2 − 10x + 25, donc
or 2 ⎜ x − ⎟ +
⎝
2⎠
2
⎛
5⎞
f(x) = 2 ⎜ x − ⎟
⎝
2⎠
2
+
25
2
SUR L’ENSEMBLE DU CHAPITRE
44 a/
a
m
c
b
f(a) × f(b) ⬍ 0 et f(a) × f(m) ⬎ 0
b/
.
a
2
⎛
5⎞
c/ Pour tout réel x de Ᏸf , 2 ⎜ x − ⎟ ⭓ 0,
⎝
2⎠
⎛ 5⎞ 25
25
. Avec f ⎜ ⎟ =
. Donc l’aire
donc f(x) ⭓
⎝ 2⎠
2
2
25
5
minimale de IJKL est de
cm² pour x = ,
2
2
5
soit AI = cm.
2
© Éditions Belin 2010
d/ Pour tout réel t ∈ Ᏸf , (t − 1)2 ⭓ 0 , donc
9
1
9
− ( t − 1)2 ⭐ 0 ; d’où f(t) ⭐ . Or f(1) = ,
2
2
2
donc l’aire du trapèze AMNI est maximale et
égale à 4,5 cm² lorsque t = 1 soit BM = 1 cm.
42 Erratum : on cherche la position de M
(et non la position de I) pour que l’aire du
trapèze AMNI soit maximale.
1. @ fichier GeoGebra corrigé disponible sur
www.libtheque.fr/mathslycee.
On conjecture que l’aire de AMNI est maximale lorsque BM = 1 cm.
2. a/ L’ensemble des valeurs de t est
Ᏸf = [0 ; 4].
b/ AM = 4 − t et MN = BM = t (car le triangle
ABC est rectangle et isocèle en A, donc
a pour mesure 45°, donc le
l’angle MBN
triangle BMN est aussi rectangle et isocèle
en M).
Remarque : on peut aussi utiliser le théorème de Thalès.
2+ t
1
c/ f(t) =
× ( 4 − t ) = − t 2 + t + 4.
2
2
1
9
1 2
2
Or − ( t − 1) + = − t + t + 4, donc
2
2
2
1
9
2
f(t) = − ( t − 1) + .
2
2
c
m
b
f(a) × f(b) ⬍ 0 et f(a) × f(m) ⬍ 0
c/
a
m
c
b
f(a) × f(b) ⬍ 0 et f(a) × f(m) ⬎ 0
d/
a
c
m
b
f(a) × f(b) ⬍ 0 et f(a) × f(m) ⬍ 0
45 1. On vérifie que la courbe représentative de f coupe une seule fois l’axe des
abscisses sur [3 ; 4].
2. La méthode de dichotomie donne
3,851 562 5 < α < 3,859 375.
47 Remarque : on utilise les méthodes a/
et b/ données page 53 du manuel.
a/ f(x) = 0 ⇔ x = −1 ou x = 3 ;
b/ f(x) ⭓ 0 ⇔ x ∈ [−3 ; −1] ∪ [3 ; 5] ;
c/ f(x) ⬍ 0 ⇔ x ∈ ]−1 ; 3[ ;
d/ f(x) = 5 ⇔ x = −2 ou x = 4 ;
e/ f(x) ⬎ 5 ⇔ x ∈ [−3 ; −2[ ∪ ]4 ; 5] ;
f/ f(x) ⭐ 5 ⇔ x ∈ [−2 ; 4].
Chapitre 2 ■ Fonctions : étude qualitative
25
48 Remarque : on utilise la méthode a/
donnée page 53 du manuel.
1
2
3
1. x = x + ⇔ x = (en effet,
4
7
7
1 2 1 3 1
= × + = ).
4 7 4 7 2
2
2
2. a/ L’équation x = x + n’admet pas
3
3
de solution ; une vérification algébrique
(passage au carré) ne peut s’effectuer au
niveau seconde.
1
3
b/ x = x + ⇔ x = 9 ; en effet,
6
2
1
9
x = x+
6
6
⇔ 6 x = (x + 9)
⇔ 36x = x2 + 18x + 81
⇒ (x − 9)2 = 0
⇔ x = 9.
b/ g(t) = 6 ⇔ t = 35. Pierre est situé à 6 km
du phare uniquement à l’instant t = 35 min.
c/ g est croissante sur [0 ; 50] : Pierre s’éloigne
du phare sur toute la durée des 50 minutes.
g est constante sur [20 ; 25] : Pierre reste
immobile, à 4 km du phare, entre les instants
20 et 25 min.
d/
t
g(t)
© Éditions Belin 2010
f (t)
30
8
50
0
0
e/ Elise a parcouru 16 km en 50 min, donc
sa vitesse moyenne est 19,2 km/h.
2. a/ g(0) = 2 ; g(30) = 5 ; g(50) = 8 ; ainsi Pierre
est situé à 2 km du phare à l’instant t = 0 min,
à 5 km du phare à l’instant t = 30 min, puis à
8 km du phare à l’instant t = 50 min.
26
Chapitre 2 ■ Fonctions : étude qualitative
4
4
50
8
6 Distance h(t) au port (en km)
5
4
3
2
1
50 1. a/ f(0) = 0 ; f(30) = 8 ; f(50) = 0 ; ainsi,
0
25
e/ Pierre a parcouru 6 km en 50 min, donc
sa vitesse moyenne est 7,2 km/h.
3. f(t) = g(t) ⇔ t = 10 ou t = 35. Ainsi, au
bout de 10 min, Elise ratrappe Pierre à 3 km
du phare et au bout de 35 min, elle retrouve
Pierre à 6 km du phare.
4. a/ h(t) = 8 − g(t).
donnée page 53 du manuel. Cet exercice
vient compléter l’activité 1 page 44.
On constate graphiquement que la concentration semble maximale à l’instant t ≈ 1,414 h
soit environ 1 h 25 min (pour une concentration maximale d’environ 2,227 4 ml).
t
20
2
49 Remarque : on utilise la méthode c/
Elise est située au phare aux instants 0 et 50
min, et se trouve au port (à 8 km du phare)
à l’instant t = 30 min.
b/ f(t) = 6 ⇔ t = 20 ou t = 35. Elise est située
à 6 km du phare aux instants 20 ou 35 min.
c/ f est croissante sur [0 ; 30] : Elise s’éloigne
du phare au cours des 30 premières minutes.
f est décroissante sur [30 ; 50] : Elise se rapproche du phare les 20 minutes suivantes.
d/
0
t (en min)
0
10 20 30 40 50
b/
t
0
6
h(t)
20
25
4
4
50
0
51 1. a/ Plus l’entreprise produit, plus le
coût mensuel de production augmente.
x
p(x)
0
0
13
325
b/
300 Milliers d’euros
250
e
ell
200
150
tte
u
ns
e
m
ce
Re
100
50
Coût mensuel
x
de production (en tonne)
0
2
4
6
8
10
12
14
2. r(x) = 20x.
3. a/ r(x) = p(x) ⇔ x = 3 ou x = 12.
b/ r(x) ⬎ p(x) ⇔ x ∈ ]3 ; 12[.
c/ La recette est égale au coût de production
lorsque l’entreprise produit 3 ou 12 tonnes
d’engrais (bénéfice nul). La recette est strictement supérieure au coût de production lorsque
l’entreprise fabrique entre 3 et 12 tonnes
d’engrais (bénéfice strictement positif).
4. a/ b(x) = r(x) − p(x)
= 20x −(0,5x3 − 7,5x2 + 38x)
= −0,5x3 +7,5x2 − 18x.
b/
Milliers d’euros
Bénéfice
mensuel
75
50
35
x
(en tonne)
−35
−50
−75
x
© Éditions Belin 2010
b(x)
2
4
6
8
3
0
−
0
10
12
14
12
+
0
13
52 1. @ fichier GeoGebra corrigé disponible sur www.libtheque.fr/mathslycee.
Il semble que l’aire est maximale lorsque le
triangle est équilatéral (de côté mesurant
6 cm).
2. a/ BC = 18 − 2x. Pour éviter d’avoir un
triangle aplati, il ne faut pas que A soit
confondu avec le milieu de [BC] et il ne faut
pas que B et C soient confondus. Donc il
faut que x ∈ ]4,5 ; 9[.
b/ ABC est isocèle en A donc [AH] est la hauteur issue de A. Le théorème de Pythagore
donne AH = x 2 − ( 9 − x )2 = 18 x − 81.
1
c/ f(x) = × (18 − 2 x ) 18 x − 81
2
= ( 9 − x ) 18 x − 81.
d/ À l’aide de la courbe de f, on vérifie que
l’aire f(x) semble bien maximale pour x = 6,
donc lorsque le triangle ABC est équilatéral.
53 a/ Le
m−1
m
=
théorème
1
yN
de
, donc yN =
Thalès
m
m−1
donne
(on pouvait
aussi rechercher l’équation réduite de la
droite (AM)).
m2
1
b/ f(x) = × m × yN =
.
2( m − 1)
2
c/ À l’aide de la courbe de f, on conjecture
que l’aire du triangle OMN est minimale
lorsque M a pour abscisse m = 2.
POUR ALLER PLUS LOIN
−
Si 0 ⭐ x ⬍ 3 ou si 12 ⬍ x ⭐ 13, alors b(x) ⬍ 0
c’est-à-dire r(x) ⬍ p(x).
Si x = 3 ou x = 12, alors b(x) = 0 c’est-à-dire
r(x) = p(x).
Si 3 ⬍ x ⬍ 12 alors b(x) ⬎ 0 c’est-à-dire
r(x) ⬎ p(x) .
c/ Sur la courbe de b, on constate que le bénéfice semble maximal pour x ≈ 8,6 t (c’est la
quantité pour laquelle l’écart entre la courbe de
r et celle de p est le plus important). Ce bénéfice
maximal est environ 82 milliers d’euros.
54 a/ Pour 50 ouvriers dans l’usine, le salaire
mensuel d’un ouvrier est de
45 375
50 × 15 +
= 1 657,50 €.
50
b/ Pour 50 + x ouvriers dans l’usine, le salaire
mensuel d’un ouvrier est
45 375
s(x) = 15(50 + x) +
50 + x
45 375
.
= 750 + 15x +
50 + x
Chapitre 2 ■ Fonctions : étude qualitative
27
c/ On conjecture le sens de variation de s
à partir de la courbe de s (pour la fenêtre,
on pourra prendre xmin = 0 ; xmax = 20 ;
ymin = 1 620 ; ymax = 1 720).
x
s(x)
0
1 657,5
5
+∞
1650
Lorsque le nombre d’ouvriers augmente
jusqu’à 5 ouvriers supplémentaires, le salaire
diminue et passe de 1 657,5 € à 1 650 €.
Lorsque le nombre d’ouvriers supplémentaires augmente en dépassant 5, le salaire
augmente.
d/ Le point d’intersection de la courbe de s
et de la droite d’équation y = 1 657,5 a pour
abscisse 10,5. Il faut donc embaucher au moins
11 ouvriers supplémentaires pour que le salaire
soit strictement supérieur à 1 657,50 €.
c/
=
=
1
2
1
2
1
2
(
)2
64 − x 2 − 8
64 − x 4 + 16 x 2 − 64
(
)
x 2 16 − x 2 =
Donc f(x) =
1
1
2
x 16 − x 2 car x ⭓ 0.
(
)2
64 − x 2 − 8 .
2
d/ Pour tout réel x ∈ [0 ; 4], −(x2 − 8)2 ⭐ 0,
donc 64 − (x2 − 8)2 ⭐ 64
(
)2
et 64 − x 2 − 8 ⭐ 8, d’où f(x) ⭐ 4.
Or, d’après l’expression de la question c/,
f(x) ⭐ 4 et f(x) = 4 ⇔ x = 8 = 2 2.
Donc l’aire f(x) maximale est de 4 cm2 pour
x = 2 2 cm.
e/ L’aire maximale de AMN est de 4 cm2 ;
l’aire de AMN ne peut donc pas dépasser la
moitié de l’aire du triangle ABC qui est 4 cm2.
55 1. a/ Le théorème de Pythagore donne :
r = 100 − h2 .
1
π
b/ v(h) = × πr 2 × h = (−h3 + 100h).
3
3
2. a/ Graphiquement, sur [0 ; 10], et à l’aide
de la méthode c/ page 53 du manuel, on
voit que le volume v(h) semble maximal
pour h ≈ 5,773 5 cm.
b/ Pour h ≈ 5,773 5 on a
© Éditions Belin 2010
r = 100 − 5, 773 52 ≈ 8,16 cm.
2π r
α
=
, donc α = 36r ≈ 293,8°.
Or
2π × 10 360
r
8,16
≈ 1, 413,
En outre, tan β = ≈
h 5, 773 5
d’où β ≈ 54,7°.
c/ Dans un disque de rayon 10 cm, découper la partie correspondant à un angle de
α ≈ 293,8°.
56 1. @ fichier GeoGebra corrigé disponible
sur www.libtheque.fr/mathslycee.
L’aire maximale de AMN semble être de 4 cm2
pour AM ≈ 2,8 cm.
2. a/ Comme M ∈ [AB], 0 ⭐ x ⭐ 4, donc
Ᏸf = [0 ; 4].
b/ Le théorème de Pythagore, appliqué au
triangle AMN, donne AN = 16 − x 2 , donc
1
f(x) = x 16 − x 2.
2
28
Chapitre 2 ■ Fonctions : étude qualitative
PROBLÈMES OUVERTS
57 On note x = AM avec 0 ⭐ x ⭐ 5,
f(x) = aire(AME) et g(x) = aire(MBFG).
Le théorème de Pythagore (ou la trigonométrie) donne la mesure de la hauteur h du
3
triangle équilatéral AME : h = x
. Donc
2
3 2
f(x) =
x .
4
D’autre part g(x) = (5 − x)2.
La résolution graphique de l’équation f(x) = g(x)
donne : f(x) = g(x) ⇔ x ≈ 3 cm.
Ainsi, l’aire du triangle AME est égale à l’aire
du carré MBFG lorsque M est à environ 3 cm
du point A.
58 On note x la masse en gramme d’un
des deux morceaux, l’autre étant 20 − x,
avec 0 ⭐ x ⭐ 20.
La valeur des deux morceaux est
f(x) = x2 + (20 − x)2 = 2x2 − 40x + 400.
Graphiquement, le minimum de f sur [0 ; 20]
semble être 200 pour x = 10.
Ainsi, on pourra retirer au moins 200 € de
la vente des deux morceaux.
59 Soit x le nombre de baisses de 1,50 € (avec
x entier tel que 0 ⭐ x ⭐ 16 car 1,5x ⭐ 24).
La recette en fonction de x est
f(x) = (24 − 1,5x)(500 + 100x)
= −150x2 + 1 650x + 12 000 (en euro).
Graphiquement, le maximum de f sur [0 ; 16]
semble être 16 537,5 pour x = 5,5.
Or x est entier. La recette maximale est donc
16 500 € pour x = 5 ou x = 6 baisses de
1,50 €.
Il faut donc faire payer la place 16,50 € ou
15 € pour avoir une recette maximale.
60 Soit h la hauteur de l’armoire (1 ⭐ h ⬍ 3)
et ᐉ la largeur de l’armoire (0 ⬍ ᐉ ⭐ 4) en
mètre.
La profondeur étant constante, pour une
largeur donnée, le volume de l’armoire
sera maximal lorsque h est maximale, donc
lorsque l’armoire touche le plafond mansardé. Soit x la longueur à ajouter aux 4 m
de la longueur de la pièce.
x
1
Le théorème de Thalès donne
= ,
4+ x
3
donc x = 2 ; ainsi, la longueur de la pièce
est de 6 m.
2
1
= ,
Le théorème de Thalès donne
6−ᐉ h
donc ᐉ = 6 − 2h.
Le volume de l’armoire est alors
v(h) = 0,4h(6 − 2h) = 2,4h − 0,8h2.
Graphiquement, le volume maximal de
l’armoire semble être de 1,8 m3 pour une
hauteur h = 1,5 m (et une largeur de 3 m).
Travaux encadrés
c/ À droite de l’axe des ordonnées, on obtient
la courbe représentative de la fonction CM 哫 ᐉ
qui semble décroissante sur [0 ; 1,7] et
croissante sur [1,7 ; 6]. On visualise alors les
variations de la longueur de l’élastique trouvées géométriquement dans la question 2.
2. a/ Une symétrie axiale conserve les longueurs, donc A’M + MB = AM + MB = ᐉ.
b/ l est minimale lorsque A’M + MB est minimale, donc lorsque M est aligné avec A’ et B.
c/ Soit E le projeté orthogonal de A’ sur (BD).
Le théorème de Thalès dans le triangle A’BE
MD BD
5 × 6 30
donne :
=
=
donc MD =
.
A´E BE
5+2
7
30 12
=
.
Il en résulte que CM = 6 −
7
7
Le théorème de Pythagore appliqué au
triangle A’BE donne une longueur minimale
ᐉ = A’B = 85.
Remarque : on pouvait exprimer l en fonction
de x = CM ; ᐉ = x 2 + 4 + ( 6 − x )2 + 25 ,
puis conjecturer graphiquement le minimum
de la fonction x 哫 ᐉ, mais cette méthode ne
permet pas de déterminer la valeur exacte
du minimum et celle de x = CM.
Travaux pratiques 2
1.
y
0,4
0,3
0,2
0,1
0
−0,1 0,1
−0,2
−0,3
−0,4
x
0,3
0,5
0,7
0,9
© Éditions Belin 2010
Travaux pratiques 1
1. a/ @ fichier GeoGebra corrigé disponible
sur www.libtheque.fr/mathslycee.
b/ Il semble que, lorsque CM augmente de
0 à environ 1,7, la longueur de l’élastique
diminue ; puis lorsque CM augmente d’environ
1,7 à 6, la longueur de l’élastique augmente.
La longueur minimale de l’élastique est d’environ 9,22 cm pour CM ≈ 1,7 m.
2. a/ f semble croissante sur [0 ; 1].
b/ La courbe de f coupe une seule fois l’axe
des abscisses, donc l’équation f(x) = 0 admet
une seule solution.
3. L’algorithme de dichotomie permet de
donner un encadrement de la solution α
de l’équation f(x) = 0.
Il donne 0,562 5 ⭐ α ⭐ 0,625 avec 4 étapes.
Chapitre 2 ■ Fonctions : étude qualitative
29
4. Erratum : on cherche un encadrement
d’amplitude 10−1 (et non 10−2).
@ fichier Open office Calc corrigé disponible sur www.libtheque.fr/mathslycee.
Dans la cellule G2 : « =SI(E2*F2<0 ;D2−
B2 ;C2−D2) ».
Dans B3 : « =SI(E2*F2<0 ;B2 ;D2) ».
Dans C3 : « = SI(E2*F2<0 ;D2 ;C2) ».
Puis copier jusqu’à ce que p ⭐ 0,1.
On vérifie bien qu’avec 4 étapes, on obtient
l’encadrement recherché : 0,5625 ⭐ α ⭐ 0,625.
Remarque : en continuant l’itération avec le
tableur, on pourrait obtenir facilement un
encadrement d’amplitude 10−2.
Aide individualisée 1
Objectif : cette aide individualisée permet de
voir si l’élève maîtrise le vocabulaire utilisé
dans ce chapitre. Le professeur insiste alors
sur les rédactions attendues ou possibles.
1. a/ La fonction f est croissante sur ]−∞ ; 0].
b/ Le maximum de f est 5.
c/ La courbe de f est strictement au-dessus
de l’axe des abscisses sur R.
d/ La fonction f est strictement positive sur ⺢.
e/ La fonction f n’admet pas de minimum
sur ⺢.
f/ La fonction f ne s’annule pas donc sa
courbe représentative ne coupe pas l’axe
des abscisses.
2. a/ Le nombre 1 a pour antécédents −2
et 2 par la fonction f.
b/ L’équation f(x) = 1 admet deux solutions
−2 et 2.
c/ Les points d’ordonnée 1 situés sur la courbe
représentative de f sont E(–2 ; 1) et F(2 ; 1).
3. a/ Aucun réel x n’a pour image 0 par la
fonction f.
b/ 0 n’admet aucun antécédent par la fonction f.
c/ La courbe représentative de f ne coupe
pas l’axe des abscisses.
1. a/ Le point de la courbe d’abscisse 3 a
pour ordonnée 1.
b/ Les points de la courbe d’ordonnée 3 ont
pour abscisses −4 ou 8.
2. a/ x a pour image 3 par la fonction f ; ou
bien x est un antécédent de 3 par la fonction f.
b/ Les solutions de l’équation f(x) = 3 sont
−4 et 8.
c/ f(x) = 1 ⇔ x = −2,4 ou x = 3 ou x = 7.
f(x) = −1 ⇔ x ≈ −1,6 ou x = 0.
f(x) = 0 ⇔ x = −2 ou x = 1 ou x = 5.
f(x) = −4 n’admet pas de solution.
f(x) = 4 ⇔ x = 8,5.
f(x) = 10 n’admet pas de solution.
3. a/ 9 a bien une image par f strictement
supérieure à 3, mais 4 a une image inférieure à 3.
b/ 8,5 et 9,5 ont une image par f strictement
supérieure à 3.
c/ f(x) ⬎ 3 pour x ∈ ]8 ; 10].
d/ f(x) ⭓ 3 pour x = −4 ou x ∈ [8 ; 10].
e/ f(x) ⬍ 3 pour x ∈ ]−4 ; 8[.
f/ f(x) ⭐ 3 pour x ∈ [−4 ; 8].
g/ f(x) ⬎ 1 pour x ∈ [−4 ; −2,4[ ∪ ]7 ; 10].
f(x) ⭐ −1 pour x ∈ [−1,6 ; 0].
f(x) ⬎ 0 pour x ∈ [−4 ; −2[ ∪ ]1 ; 5[ ∪ ]5 ; 10].
f(x) ⭓ 2 pour x ∈ [−4 ; −3] ∪ [7,6 ; 10].
f(x) ⬍ 4 pour x ∈ [−4 ; 8,5[.
f(x) ⭓ −3 pour x ∈ [−4 ; 10].
Aide individualisée 3
Objectif : cette aide individualisée permet de voir
si l’élève sait reconnaître les informations données dans un tableau de variation, un tableau
de signes et un tableau de valeurs, trois sortes
de tableaux qui ont leur utilité propre, à maîtriser
à la fin de ce chapitre, au niveau graphique.
1. a/ Tableau de variations de f :
x
f
−4
3
−1
3
1
5
−2
10
5
0
b/ Tableau de signes de f :
© Éditions Belin 2010
Aide individualisée 2
Objectif : cette aide permet de clarifier les
résolutions graphiques d’équations de la
forme f(x) = k ou d’inéquations de la forme
f(x) ⬎ k, f(x) ⬍ k, f(x) ⭐ k et f(x) ⭓ k, en
traduisant chaque étape avec des mots.
30
Chapitre 2 ■ Fonctions : étude qualitative
x
f (x)
−4
−2
+ 0
−
1
0
+
5
0
10
+
c/ Tableau de valeurs de f :
x
f(x)
−3
2
−2,5
1,1
0
−1
7
1
8
3
9
4,5
2. a/ f(0) = −1 (tableau de valeurs).
b/ Les antécédents de 0 par f sont −2 ; 1 et 5
(tableau de signes).
c/ 2 admet deux antécédents par f (tableau
de variations).
d/ Le minimum de f sur [−4 ; 10] est −2
(tableau de variations).
e/ f(0,5) ⬍ 0 (tableau de signes).
f/ f(3,5) ⬎ f(4,5) (tableau de variations).
g/ f(−3) ⬎ f(7) (tableau de valeurs).
h/ f(−3,5) ⬎ f(−1,5) (tableau de variations).
e/ −2 ⬍ f(−0,5) ⬍ 1 (tableau de variations).
Exemple sur calculatrice TI :
Communiquer 1
© Éditions Belin 2010
Objectifs : donnés par les trois pistes citées
(pouvant donc être traitées par un groupe
de trois élèves se répartissant le travail), à
partir d’un exemple de fonction dont la
courbe représentative coupe au moins une
fois l’axe des abscisses.
1/ Voir qu’un zéro ou une racine d’une
fonction f est une solution de l’équation
f(x) = 0 ; voir qu’on peut l’obtenir graphiquement ou algébriquement, parfois avec la
valeur exacte, parfois avec une valeur approchée. Suggérer à l’élève de voir comment on
peut l’obtenir sur une calculatrice, ainsi que
sur plusieurs logiciels de calcul formel.
2/ Expliquer la démarche pour rechercher
une valeur approchée de la solution, à l’aide
de la méthode de la sécante. Compte tenu
de la difficulté de cette méthode en classe de
seconde, il est souhaitable que le professeur
donne un éclairage au départ, et conseille à
l’élève d’appliquer la méthode graphiquement.
3/ Compte tenu de la lourdeur de la méthode,
faire comprendre l’intérêt d’écrire un algorithme, à l’aide d’une calculatrice ou d’un
logiciel adapté. L’élève ne pourra proposer
un algorithme que s’il maîtrise les équations
de droite (lui demander d’abord de trouver
une équation de la sécante (AB) avec A(a ; f(a))
et B(b ; f(b)), puis faire chercher l’abscisse c
du point d’intersection de la sécante (AB) et
l’axe des abscisses).
Communiquer 2
Objectif : faire prendre conscience à l’élève
des interprétations erronées possibles d’un
graphique.
1/ Montrer, sur un exemple, qu’un diagramme
des fréquences cumulées croissantes (qui
« monte » forcément) ne signifie pas que
l’effectif des valeurs du caractère étudié
augmente.
2/ Trouver une fonction que l’on croit
monotone sur un intervalle, avec une échelle
donnée, alors qu’avec un simple zoom, on
voit qu’il n’en est rien.
3/ Voir, par exemple, sur le graphique donnant le taux de croissance du P.I.B. en %
en fonction de l’année, qu’avant 1995, la
courbe « monte » alors que le taux de croissance est négatif et signifie une diminution
du PIB ; de même, de 1997 à 1998, le taux
de croissance diminue, mais est positif
donc le PIB continue de croître (alors que la
courbe « descend »).
Chapitre 2 ■ Fonctions : étude qualitative
31