notes2 - Département de mathématiques et de statistique

3. Logique
Après cet introduction à la théorie des ensemble nous allons faire une introduction à la logique,
et surtout comment la logique est utilisée dans les mathématiques. Nous allons aussi continuer de
faire des constructions avec des ensembles !
Définition 3.1. 6Une "proposition (logique)" est un énoncé qui peut être vrai ou faux, mais non
les deux à la fois.
Un énoncé dans la vraie vie peut être vrai et faux au même temps : dans ce cas ce n’est pas
considéré comme une proposition logique.
Exemples :
—p1:="Toronto est la capitale du Canada" (faux)
—p2:= "le chat est un animal" (vrai)
—p3:="1 + 1 = 3" (faux)
—p4:="si x∈Eet E⊆Falors x∈F" (vrai)
—p5:="Chaque nombre naturel n > 2pair est la somme de deux nombres premier" (vrai ou
faux, mais inconnu)
On a le sentiment qu’on pourrait décomposer p4comme une combinaison d’autres propositions
plus simples. En effet, c’est le cas. Et aussi, qu’on pourrait combiner des propositions pour obtenir
des propositions plus compliquées. En effet.
Un énoncé est alors appelé une proposition logique, si cet énoncé peut être vrai ou faux. Mais
ce n’est pas nécessaire d’aussi connaître la réponse, de connaître la vérité de la proposition. C’est
le but des mathématiques (et les sciences) de formuler des propositions logiques et d’en décider la
vérité. Plusieurs propositions ont été proposées dans les mathématiques, dont on ne connaît pas
encore la vérité. Si on a des raisons de croire qu’une proposition soit vraie, mais on ne peut pas le
montrer dit que c’est une conjecture. Par exemple, Goldbach 7semble avoir cru que la proposition
p5soit vraie.
Conjecture 3.1 (Goldbach).Chaque nombre naturel n > 2pair est la somme de deux nombres
premier.
Plus précisement, le but des mathématiques est à partir de quelques hypothèses de base (des
propositions logiques qu’on suppose vraie), de produire une longue liste de propositions logiques
qui sont alors aussi vraies (et espérons intéressantes et/ou utiles). Et ça en respectant les règles
de la logique et en utilisant les ensembles et leurs fonctions. L’hypothèse de base de loin la plus
importante est qu’on suppose que l’ensemble des entiers Navec ses propriétés élémentaires EXISTE.
On va discuter ses propriétés plus tard.
3.1. Les combinaisons simples logiques. Soient pet qdeux propositions logiques.
Comme dans la vraie vie, la proposition "pou q", et on écrit
p∨q,
6. Voir [R, p.2]
7. Voir "Conjecture de Goldbach" dans wikipedia
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est par définition une proposition logique qui est vraie si pest vraie ou si qest vraie (ou si tous
les deux sont vraies). Et est donc fausse sinon (c.-à-d. si pet qsont fausses). (Parfois on dit la
disjonction de pet de q.)
Il faut faire attention, parce que dans la vraie vie il y a deux "ou"’s. L’autre est plus strict :
La proposition "pou-strict q", et on écrit
p⊕q,
est aussi une proposition logique qui est par définition vraie si soit pest vraie, soit qest vraie (mais
pas si toutes les deux sont vraies). Et cette proposition est donc fausse si pet qsont toutes les deux
fausses ou si pet qsont toutes les deux vraies. (Parfois on dit la disjonction exclusive de pet de q,
et parfois on écrit pxor q, mais pas dans ce cours.)
La proposition "pet q", et on écrit
p∧q,
est aussi une proposition logique qui est par définition vraie si pest vraie et si aussi qest vraie. Et
c’est fausse sinon, c.-à-d. si pest fausse ou si qest fausse (ou toutes les deux sont fausses). (Parfois
on dit la conjonction de pet de q.)
La proposition "non-p" (ou "pas-p"), et on écrit
¬p,
est aussi une proposition logique qui est par définition vraie si pest fausse. Et ¬pest fausse sinon,
c.-à-d. si pest vraie.. On dit aussi la négation de p.
La proposition "si palors q", ou "pimplique q", et on écrit
p→q,
est aussi une proposition logique, qui est par définition vraie si (pest vraie et qest vraie) ou (si p
est fausse). Et c’est fausse sinon, c.-à-d. uniquement si pest vraie mais qest fausse. On dit pest
l’hypothèse et qla conclusion de "l’implication p→q"
Dernière définition. La proposition "psi et seulement si q" , on écrit
p↔q,
est aussi une proposition logique, qui est par définition vraie si (pet qsont tous les deux vraies) ou
si (pet qsont tous les deux fausses). Et c’est fausse sinon, c.-à-d. une des deux est vraie et l’autre
est fausse. (On dit aussi "pbiconditionnelle q".)
Remarque. Soient pet qdeux propositions logiques. Il faut bien comprendre : p→qest une
proposition logique, qui peut être vraie ou fausse.
Qu’est-ce qu’on peut dire a propos de la vérité de pet qsi on sait que l’implication
p→q
est vraie ? Il y a deux possibilités :
soit pest fausse (et qn’importe : "je m’en fous"), soit pET qsont vraies. Le sense inverse est
aussi correct.
Si p→qest fausse alors nécessairement : pest vraie et qest fausse.

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Il faut aussi bien comprendre que p↔qest soi-même une proposition logique, qui peut être
vraie ou fausse.
Si p↔qest vraie on a deux possibilités : (i) pET qsont vraies ou (ii) pET qsont fausses.
Si p↔qest fausse alors on a deux possibilités : (i) (pest vraie ET qest fausse) ou (ii) (pest
fausse ET qest vraie).
Remarque. Vous ne devez pas confondre les symbôles ∨et ∪,∧et ∩, et pour une proposition p
nous avons défini ¬p, mais pas p. Vous n’avez pas le droit d’utiliser vos propres notations !
3.2. Tableau de vérité. Nous présentons ces définitions en forme de tableaux de vérité, où
V :=vrai, et F :=faux.
Pour la négation :
p¬p
V F
F V
Pour nos autres définitions de base :
p q p ∨q p ⊕q p ∧q p →q p ↔q
V V V F V V V
V F V V F F F
F V V V F V F
F F F F F V V
Remarquons que p↔qest vraie si et seulement si (p⊕q)est faux.
3.3. Propositions logiques composées. Commençons maintenant à combiner.
Si p,qet rsont trois propositions logiques, alors
P:= ((¬q)∧(p∨r)) →p
est aussi une proposition logique. La valeur de vérité de Pdépend des valeurs de vérité de p,qet
r.
Par exemple : supposons pet qsont fausses et rvraie. Alors ¬qest vraie et p∨rest vraie aussi.
Alors l’hypothèse de l"implcation P, c-à-d., (¬q)∧(p∨r)), est vraie aussi mais la conclusion, p, est
fausse. Alors par définition l’implication Pest fausse (dans le cas p,qfausses et rvraie).
Ainsi nous pouvons calculer la valeur de vérité de Ppour les huit variations des valeurs de vérité
de p, q, r. Le résultats des calculs est résumé dans le tableau suivant :
p q r ¬q p ∨r(¬q)∧(p∨r) ((¬q)∧(p∨r)) →p
V V V F V F V
V V F F V F V
V F V V V V V
V F F V V V V
F V V F V F V
F V F F F F V
F F V V V V F
F F F V F F V

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En regardant la dernière colonne on se rend compte que Pest faux si et seulement si pest faux
et qest faux et rest vraie, ou en formule que
((¬p)∧(¬q)) ∧r)
est vraie.
Ou que Pest vraie si et seulement si
¬(((¬p)∧(¬q)) ∧r)
est vraie.
Posons Q:= ¬(((¬p)∧(¬q)) ∧r)et calculons de nouveau ses valeurs de vérité :
p q r ¬p¬q(¬p)∧(¬q) ((¬p)∧(¬q)) ∧rQ
V V V F F F F V
V V F F F F F V
V F V F V F F V
V F F F V F F V
F V V V F F F V
F V F V F F F V
F F V V V V V F
F F F V V V F V
Considérons aussi la proposition R=p∨(q∨(¬r). On peut aussi calculer son tableau.
p q r P Q R
V V V V V V
V V F V V V
V F V V V V
V F F V V V
F V V V V V
F V F V V V
F F V F F F
F F F V V V
Conclusion : les propositions composées P,Qet Ront la même valeur de vérité, n’importe
les valeurs de p, q,r. On dit P,Qet Rsont des propositions composées (ou formules logiques)
logiquement équivalentes.
Calculons aussi les vérités de la proposition P↔Q:

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p q r P Q P ↔Q
V V V V V V
V V F V V V
V F V V V V
V F F V V V
F V V V V V
F V F V V V
F F V F F V
F F F V V V
On voit que la proposition logique composée P↔Qest toujours vraie, n’importe les valeurs de
vérité de p, q et r. On dit P↔Qest une tautologie, notation P⇔Q.
3.4. Tautologie et contradiction. Nous généralisons.
Définition 3.2. Une proposition logique composée (ou une formule logique) qui est toujours vraie,
quelles que soient les valeurs de vérité des propositions qui la composent, est appelée une tautologie.
Notation : P⇔V, ici V=Vraie.
Par exemple : p∨(¬p)⇔Vet ((p∧q)→(p∨q)) ⇔V.
Définition 3.3. Une proposition logique composée (ou une formule logique) qui est toujours fausse,
quelles que soient les valeurs de vérité des propositions qui la composent, est appelée une contra-
diction. Notation : P⇔F, ici F=Fausse.
Par exemple : p∧(¬p)⇔F.
Définition 3.4. Deux formules logiques Pet Qsont appelées logiquement équivalentes si la pro-
position logique P↔Qest une tautologie. Notation : P⇔Q.
Par exemple : (p↔q)⇔[(p→q)∧(q→p)]., ou (p↔q)⇔ ¬(p⊕q).
Définition 3.5. Si P→Qest une tautologie, où Pet Qsont deux formules logiques, on dit que
P→Qest une règle d’inférence. Notation P⇒Q.
Par exemple : (p∧q)⇒q.
3.5. Propositions logiquement équivalents à l’implication. Considérons la proposition sui-
vante.
Proposition 3.1. Les trois formules logiques "p→q", "(¬q)→(¬p)" et "(¬p)∨q" sont logiquement
équivalentes. Ou
(p→q)⇔((¬q)→(¬p)) ⇔((¬p)∨q).
Démonstration. Nous vérifions par un tableau de vérité.
p q p →q¬q¬p(¬q)→(¬p) (¬p∨q)
V V V F F V V
V F F V F F F
F V V F V V V
F F V V V V V