IMPLICATIONS ET ÉQUIVALENCES 09-10x

IMPLICATIONS ET ÉQUIVALENCES
Soient A et B deux phrases mathématiques, encore appelées propositions, pouvant être chacune vraie
ou bien fausse.
On dit que « A ⇒
⇒⇒
⇒ B » (on lit « A implique B ») est une implication
et que « B ⇒ A » est l’implication réciproque.
Pour démontrer que l’implication « A ⇒
⇒⇒
⇒ B » est vraie on démontre qu’à chaque fois que la proposition A est
vraie alors la proposition B est également vraie, ou bien qu’à chaque fois que la proposition B est fausse alors
la proposition A est également fausse.
Pour exprimer l’implication « A ⇒ B » on peut également utiliser l’une des formulations suivantes :
• Si A alors B.
• A donc B.
• Pour avoir B il suffit d’avoir A. Pour avoir A il faut avoir B. Pour avoir A il est indispensable d’avoir B.
• A est une condition suffisante pour avoir B.
En ajoutant « mais pas nécessaire » on précise que la réciproque est fausse.
• B est une condition nécessaire pour avoir A.
En ajoutant « mais pas suffisante » on précise que la réciproque est fausse.
Exemple : Soient les propositions A : « x = 1 » et B : « x ² = 1 » , où x est un réel quelconque.
La proposition A est bien une phrase : le sujet est « x » et le verbe est « égaler ».
Chaque proposition est vraie ou bien fausse selon les valeurs du réel x. Ainsi, pour x = 5, la proposition A est
évidemment fausse.
• « x = 1 » est une condition suffisante pour avoir « x ² = 1 ». Ce qui se traduit par « x = 1 ⇒ x ² = 1 ».
Par contre ce n’est pas une condition nécessaire car sa réciproque « x ² = 1 ⇒ x = 1 » est fausse.
En effet : en prenant x égal à – 1 la proposition « x ² = 1 » est vraie mais la proposition « x = 1 » est fausse.
• « x ≠ 0 » est une condition nécessaire pour avoir « x ² = 1 ». Ce qui se traduit par « x ² = 1 ⇒ x ≠ 0 ».
Par contre ce n’est pas une condition suffisante car sa réciproque « x ≠ 0 ⇒ x ² = 1 » est fausse.
En effet : en prenant par exemple x égal à 2 la proposition « x ≠ 0 » est vraie
mais la proposition « x ² = 1 » est fausse.
• « x = 1 ou x = – 1 » est une condition nécessaire et suffisante pour avoir « x ² = 1 ».
Ce qui se traduit par la double implication « x = 1 ou x = – 1 ⇒ x ² = 1 » et « x ² = 1 ⇒ x = 1 ou x = – 1 ».
Dans ce cas on dit que les conditions sont équivalentes et on écrit « x ² = 1 ⇔ x = 1 ou x = – 1 »
On dit que « A ⇔
⇔⇔
⇔ B » (on lit « A équivaut à B ») est une équivalence.
L’équivalence « B ⇔ A » a la même signification.
L’équivalence « A ⇔ B » est vraie quand les propositions A et B sont vraies ensemble ou bien fausses ensemble
Pour démontrer l’équivalence « A ⇔ B » on peut démontrer les implications « A ⇒ B » et « B ⇒ A » , ou bien
établir, grâce à des propriétés du cours énoncées sous la forme d’équivalences, que l’une des propositions
(A ou bien B) est successivement équivalente à différentes propositions, jusqu’à obtenir l’autre proposition.
Cette dernière méthode est utilisée en particulier lors de la résolution d’(in)équations.
Pour exprimer l’équivalence A ⇔ B on peut également utiliser l’une des formulations suivantes :
• A équivaut à B.
• A si, et seulement si, B.
• Pour avoir A il faut et il suffit que B.
• A est une condition nécessaire et suffisante pour avoir B.