TD 7. Séries enti`eres. 1 Calcul de sommes

Universit´e Toulouse 2 le Mirail Ann´ee universitaire 2006/2007
L2 MASS. Analyse S4
TD 7. S´eries enti`eres.
1 Calcul de sommes
Exercice 1 Pour tout n∈N∗, on note fn(x) = xn+1
n(n+ 1) et l’on note fla somme Pfn.
1. Calculer le rayon de convergence de la s´erie Pfn.
2. Montrer que fest continue sur [−R, R] et d´erivable sur ] −R, R[.
3. Donner une expression simple de f0puis de fsur ] −R, R[.
4. En d´eduire l’´egalit´e
X
n>1
(−1)n+1
n(n+ 1) = 2 log 2 −1.
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Exercice 2 Pour tout n∈N, on pose an=n(−2)net bn= (−2)n.
1. Montrer que les s´eries enti`eres Panxnet Pbnxnont le mˆeme rayon de convergence Ret
le calculer.
2. Pour tout x∈]−R, R[, on note g(x) =
∞
X
n=0
bnxn. Donner une expression simple de gsur
]−R, R[.
3. Pour tout x∈]−R, R[, on note f(x) =
∞
X
n=0
anxn. D´eterminer la primitive de f+gqui
s’annule en 0 sous la forme d’une s´erie. On note hcette somme.
4. Exprimer hsous la forme d’une fraction rationnelle.
5. En d´eduire une expression de fsous la forme d’une fraction rationnelle.
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Exercice 3 Pour tout n∈N∗, on note
fn(x) = (−1)nx2n+1
4n2−1
1. D´eterminer le rayon de convergence Rde la s´erie enti`ere Pn>1fn(x). La s´erie converge-
t-elle pour x=R,x=−R
1

2. Montrer que
∀x∈R,|x|<1⇒
∞
X
n=1
f0
n(x) = xarctan x
3. En d´eduire la somme f=P∞
n=1 fn.
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Exercice 4 On consid`ere la s´erie entiere Pn>0fn(x) o`u fn(x) = 1
n+1 2n nxn+1. (On notera fsa
somme).
1. Calculer son rayon de convergence.
2. Etablir l’´egalit´e
2
n+ 12n n= 42n n−2n+ 2 n+ 1 .
En d´eduire une ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre v´erifi´ee par f.
3. R´esoudre cette ´equation pour obtenir une expression de f(x) `a l’interieur de l’intervalle
de convergence.
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2 D´eveloppements en s´eries enti`eres
Exercice 5 D´evelopper les fonctions suivantes en s´eries enti`eres au voisinage de 0. Pr´eciser
dans chaque cas le rayon de convergence de la s´erie obtenue.
a)f(x) = log 1+2x2
1−x2, b)h(x) = excos x, c)k(x) = Zx
0
arctan(t2)
tdt.
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Exercice 6 Soit f(x) = 5x3−2x2+x
(1 −2x)(1 −3x)(1 −x)2.
1. D´eterminer les r´eels a,b,cet dtels que pour tout x∈R\{1/3,1/2,1}, on ait
f(x) = a
1−3x+b 1−2x+c 1−x+d (1 −x)2.
2. En d´eduire le d´eveloppement en s´eries enti`eres de fau voisinage de 0. On pr´ecisera le rayon
de convergence de la s´erie obtenue, ainsi que le domaine de validit´e de ce d´eveloppement.
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