Leçon 15. Alg`ebre et Géométrie. Séries formelles `

Leçon 15. Algèbre et Géométrie.
Séries formelles à une indéterminée, fonctions génératrices.
Applications.
Agrégation. Université Denis Diderot∗. Paris.
Table des matières
1 Introduction
1
2 Généralités.
2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Topologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2
3 Familles sommables de séries.
3
4 Applications des Séries formelles.
4.1 Séries génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Équations différentielles du type de Fuchs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
5 Bibliographie.
4
1
Introduction
Les séries formelles sont des objets purement algébriques qui sont utilisés comme tels dans
la résolution de problèmes qui vont des équations différentielles aux langages formels en passant par
la combinatoire. On donnera dans un premier temps quelques définitions, propriétés et théorèmes
généraux, avant d’évoquer des applications diverses.
Grosso modo, une série formelle est une écriture qui permet d’appréhender une suite, généralement à valeurs dans un anneau. Il existe plusieurs types de séries formelles, suivant l’ensemble auquel
appartiennent les indices et les termes de la suite :
– séries à une indéterminée indexées par les entiers naturels.
– séries à une indéterminée indexées par les entiers relatifs.
– séries à plusieurs indéterminées indexées par les entiers naturels ou relatifs.
Le cadre d’étude le plus général de ces objets est l’algèbre l − adique. Le domaine où on les rencontre le plus est l’analyse complexe multivariable ou pas où ils donnent les théorèmes de préparation
de Weierstraß. On les rencontre également, par les fonctions génératrices, qui en sont une très fructueuse application, en algèbre homologique et en algèbre commutative (Série de Poincaré des modules
gradués), en théorie des systèmes dynamiques, en géométrie algébrique et en théorie des nombres.
∗
Auteur et donc responsable de ce contenu : Marzouk Brahim. Pour toute erreur, suggestion ou n’importe quoi
d’autre : [email protected]
1
2
GÉNÉRALITÉS.
2
Voir le livre d’algèbre de Serge Lang.
Pour cette leçon, on se restreint aux séries formelles à une indéterminée. Personnellement, je me
suis inspiré du livre de Wulfram Giorgi.
2
Généralités.
2.1
Définitions
Soit A un anneau unitaire. L’anneau des séries formelles à coefficients dans A n’est autre que
AN = A[[X]]. Il est muni des opérations classiques de l’anneau des polynômes A[X] = A(N) qui en
est un sous-anneau.
P
n
Si S est dans A[[X]] : S = ∞
n=0 an X , avec cn (S) = an . On note w(S) la valuation de S qui
est définie par :
w(S) = inf {n ∈ N | cn (S) 6= 0} . P ar convention w(0) = ∞.
2.2
Propriétés.
Théorème. 2.1 Si A est commutatif alors A[[X]] l’est aussi. Si A est intègre, il en est de même
pour A[[X]]. Par contre A peut être factoriel sans que A[[X]] le soit.
√ √ √
Contre-exemple : avec l’anneau A = Q[ 2, 3 5, 7 7] que Pierre Samuel a exhibé dans son polycopié. A[[X]] n’est pas factoriel et pourtant A, l’est. On peut se demander s’il n’y a pas de
contre-exemple plus simple.
Propriétés de la valuation :
w(S + T ) ≥ inf (w(S), w(T )).
w(ST ) ≤ w(S) + w(T ).
Propriété. 2.1 Éléments inversibles de A[[X]] en supposant A commutatif.
– Les éléments inversibles pour la multiplication de A[[X]] sont les séries de termes constants
inversibles dans A.
– A[[X]] est un anneau local, d’idéal maximal, les séries de termes constants non inversibles dans
A.
Remarque. On prouve cette dernière assertion en montrant que les séries non inversibles constituent un idéal. 1
2.3
Topologie.
A[[X]] peut être muni d’une structure d’espace métrique qui en fait un anneau topologique.
Soit λ un réel compris strictement entre zéro et un. Soit (S, T ) un couple de séries formelles. Posons
dλ (S, T ) = λw(S−T ) . Alors on a la :
Propriété. 2.2 dλ munit A[[X]] d’une structure d’anneau topologique complet.
Remarque. Cette distance est ultramétrique comme les distances p − adiques : pour tout triplet
(S, T, U ) de séries on a :
dλ (S, U ) ≤ inf (dλ (S, T ), dλ (T, U ))
Propriété. 2.3 A[[X]] a une structure d’anneau topologique complet : c’est le complété de A[X]
qui y est par conséquent dense.
1
Je suis arrivé à le montrer dans le cas où A est un corps mais dans le cas général, je ne suis pas parvenu à
une conclusion probante. Á creuser.
3
FAMILLES SOMMABLES DE SÉRIES.
3
3
Familles sommables de séries.
On va donner une justification à l’écriture usuelle des séries : S =
P∞
n=0 an X
n.
Définition. 3.1 Soit = = (Si )i∈ I une famille de séries formelles. On dit que = est sommable si et
seulement si pour tout n de N, In = {i ∈ I | w(Si ) ≤ n} est fini. Plus brutalement :
= = (Si )i∈ I est sommable ⇐⇒ ∀ n ∈ N, |In | = | {i ∈ I | w(Si ) ≤ n} | < ∞.
Proposition. 3.1 (Critère de Cauchy). Avec les mêmes notations que ci-dessus. = = (Si )i∈ I est
sommable si et seulement si, pour tout > 0, il existe une partie finie Γ de =, telle que pour toute
partie finie Θ de =, contenant Γ, on ait d(SΘ , SΓ ) < . En ayant soin de noter que : d(SΘ , SΓ ) =
inf( θ, γ)∈ Θ×Γ (d(Sθ , Sγ )). Plus schématiquement :
= = (Si )i∈ I est sommable ⇔ ∀ > 0, ∃ Γ(f ini) ⊆ =, : ∀ Θ(f ini) ⊇ Γ, : d(SΘ , SΓ ) < .
Une fois défini, le concept de famille sommable, on peut en envisager plusieurs applications,
notamment celle de substitution et de reversion. Ceci fait l’objetPdes propriétés qui suivent. Avant
n
notons que la famille (an X n )n∈ N est sommable ! Et l’expression ∞
n=0 an X a un sens !
P∞
P
n deux séries formelles.
n
Propriété. 3.1 (Substitution). Soient S = ∞
nY
n=0 a
n=0 an X et T =
P
n
Alors (an T n )n∈ N est sommable dès que w(T ) > 0, et S ◦ T = S(T ) = ∞
n=0 an T a un sens.
Remarque. Si w(S) = 1, ie S =
en facteur dans cette somme.
P∞
n=0 an X
n
de valuation un, alors a0 = 0 et on peut mettre X
Propriété. 3.2 (Réversion). On suppose que A est un corps, noté K. Soit S, une série de K[[X]],
si S a pour valuation un, id est, w(S) = 1 alors il existe une unique série Sr , également de valuation
un, w(Sr ) = 1, telle que S ◦ Sr = Sr ◦ S = 1. On dit alors que S est réversible.
Théorème. 3.1 (Schur). Si S est une série réversible, pour tout n ∈ N∗ et tout k ≥ n on a, en
S
notant Q = X
:
k !
n
1
n
cn (Sr ) = ck−n
.
k
Q
Remarque. Q1 a un sens car S admet un pour valuation et Q est alors inversible. Ce théorème
de Schur a pour principale application, la propriété suivante, qui donne la formule de réversion de
Lagrange.
Propriété. 3.3 (Formule de réversion de Lagrange). Si S est une série réversible alors pour tout
entier k non nul :
k !
1
1
ck (Sr ) = ck−1
.
k
Q
4
4.1
Applications des Séries formelles.
Séries génératrices
P
n
À une suite de nombres
entiers (an )n ∈ N , on associe la série formelle S = ∞
n=0 an X puis la
P
n
série entière S(z) = n ∈ N an z . Les propriétés arithmétiques et/ou de récurrence de la suite initiale
se traduisent pour S(z) en termes d’équations fonctionnelles. Si on trouve une série entière solution
de ces équations, on a alors une expression explicite des termes de la suite étudiée.
5
BIBLIOGRAPHIE.
4
F0 = 0. F1 = 1.
Exemple. La suite de Fibonacci définie par :
Fn+1 = Fn + Fn−1 , n ≥ 1.
P
On lui associe F (z) = n ∈ N Fn z n . L’astuce consiste juste à insérer la relation de récurrence
dans l’expression précédente et de la développer ainsi :
X
X
Fn z n = F0 + F1 z +
(Fn + Fn−1 )z n .
n∈N
n≥2
On obtient aisément l’équation fonctionnelle suivante : F (z) = 1 + zF (z) + z 2 F (z) et on en tire
1
puis la formule désirée pour la suite de Fibonacci :
que F (z) = z 2 +z−1
√
√
φn + ξ n
1+ 5
1− 5
0
Fn = √
pour tout entier n, avec φ =
(N ombre d Or) et ξ =
.
2
2
5
P
zn
Remarque. On peut associer à (an )n ∈ N
n ∈ N an Kn (z) avec Kn (z) = n! (on parle alors de
séries génératrices exponentielles) au lieu de Kn (z) = z n .
4.2
Équations différentielles du type de Fuchs.
y(x) étant pris comme symbole d’une fonction de la variable réelle x, définie au voisinage de zéro
et suffisamment dérivable pour que l’on puisse envisager l’équation différentielle suivante :
(1) xn y (n) (x)+a1 (x)xn−1 y (n−1) (x)+ . . .+ap (x)xn−p y (n−p) (x)+ . . .+an−1 (x)xy 0 (x)+an (x)y(x) = 0.
On fait l’hypothèse que les ai sont analytiques au voisinage de zéro.
Théorème. 4.1 Il existe λ complexe et une fonction Φ développable en série entière sur un voisinage
Φ(0) 6= 0.
de zéro, noté V telle que :
x 7−→ xλ Φ(x) soit solution de (1) pour x > 0 et x ∈ V.
Remarque. On prend
Pn=∞
Φ(0) = aP
0 = 1.
n+λ .
n . et on a y(x) =
n=0 an (x)x
Φ(x) = n=∞
a
(x)x
n
n=0
Exemple. On considère l’équation du second ordre : 4xy 00 + 2y 0 + y = 0. On obtient par la
méthode du théorème :
√
y1 (x) = cos( x).
√
1.
Base de solutions pour x > 0.
y2 (x) = sin( x).
√
y1 (x) = cosh( x).
√
2.
Base de solutions pour x < 0.
y2 (x) = sinh( x).
5
Bibliographie.
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Jean-Marie Arnaudiès, Jacqueline Lelong-Ferrand.Cours de mathématiques. Dunod.
Jean-Marie Arnaudiès. Séries entières, Séries de Puiseux, Série de Fourer. Ellipses.
Henri Cartan. Théorie des fonctions de variables complexes. Hermann.
Earl Coddington, Norman Levinson. Theory of ordinary differential equations. Mac Graw Hill.
Wulfram Giorgi. Thèmes mathématiques pour l’agrégation. Masson.
Peter Henrici. Applied and computational complex analysis. Wiley.
Donald Knuth, Ronald Graham, Oren Patashnik. Concrete Mathematics. Addison Wesley.
Jean-Pierre Lafon. Les formalismes fondamentaux de l’algèbre commutative. Hermann.
Serge Lang. Algebra. Addison Wesley.