Leçon 15. Alg`ebre et Géométrie. Séries formelles `

Le¸con 15. Alg`ebre et G´eom´etrie.
S´eries formelles `a une ind´etermin´ee, fonctions g´en´eratrices.
Applications.
Agr´egation. Universit´e Denis Diderot∗. Paris.
Table des mati`eres
1 Introduction 1
2 G´en´eralit´es. 2
2.1 D´efinitions........................................ 2
2.2 Propri´et´es......................................... 2
2.3 Topologie......................................... 2
3 Familles sommables de s´eries. 3
4 Applications des S´eries formelles. 3
4.1 S´eries g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4.2 ´ Equations diff´erentielles du type de Fuchs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5 Bibliographie. 4
1 Introduction
Les s´eries formelles sont des objets purement alg´ebriques qui sont utilis´es comme tels dans
la r´esolution de probl`emes qui vont des ´equations diff´erentielles aux langages formels en passant par
la combinatoire. On donnera dans un premier temps quelques d´efinitions, propri´et´es et th´eor`emes
g´en´eraux, avant d’´evoquer des applications diverses.
Grosso modo, une s´erie formelle est une ´ecriture qui permet d’appr´ehender une suite, g´en´erale-
ment `a valeurs dans un anneau. Il existe plusieurs types de s´eries formelles, suivant l’ensemble auquel
appartiennent les indices et les termes de la suite :
– s´eries `a une ind´etermin´ee index´ees par les entiers naturels.
– s´eries `a une ind´etermin´ee index´ees par les entiers relatifs.
– s´eries `a plusieurs ind´etermin´ees index´ees par les entiers naturels ou relatifs.
Le cadre d’´etude le plus g´en´eral de ces objets est l’alg`ebre l−adique. Le domaine o`u on les ren-
contre le plus est l’analyse complexe multivariable ou pas o`u ils donnent les th´eor`emes de pr´eparation
de Weierstraß. On les rencontre ´egalement, par les fonctions g´en´eratrices, qui en sont une tr`es fruc-
tueuse application, en alg`ebre homologique et en alg`ebre commutative (S´erie de Poincar´e des modules
gradu´es), en th´eorie des syst`emes dynamiques, en g´eom´etrie alg´ebrique et en th´eorie des nombres.
∗Auteur et donc responsable de ce contenu : Marzouk Brahim. Pour toute erreur, suggestion ou n’importe quoi
d’autre : [email protected]
1

2 G ´ EN ´ ERALIT ´ ES. 2
Voir le livre d’alg`ebre de Serge Lang.
Pour cette le¸con, on se restreint aux s´eries formelles `a une ind´etermin´ee. Personnellement, je me
suis inspir´e du livre de Wulfram Giorgi.
2 G´en´eralit´es.
2.1 D´efinitions
Soit Aun anneau unitaire. L’anneau des s´eries formelles `a coefficients dans An’est autre que
AN=A[[X]].Il est muni des op´erations classiques de l’anneau des polynˆomes A[X] = A(N)qui en
est un sous-anneau.
Si S est dans A[[X]] :S=P∞
n=0 anXn, avec cn(S) = an.On note w(S)la valuation de Squi
est d´efinie par :
w(S) = inf {n∈N|cn(S)6= 0}. P ar convention w(0) = ∞.
2.2 Propri´et´es.
Th´eor`eme. 2.1 Si Aest commutatif alors A[[X]] l’est aussi. Si Aest int`egre, il en est de mˆeme
pour A[[X]]. Par contre Apeut ˆetre factoriel sans que A[[X]] le soit.
Contre-exemple : avec l’anneau A=Q[√2,3
√5,7 √7] que Pierre Samuel a exhib´e dans son po-
lycopi´e. A[[X]] n’est pas factoriel et pourtant A, l’est. On peut se demander s’il n’y a pas de
contre-exemple plus simple.
Propri´et´es de la valuation :
w(S+T)≥inf (w(S), w(T)).
w(ST )≤w(S) + w(T).
Propri´et´e. 2.1 ´ El´ements inversibles de A[[X]] en supposant Acommutatif.
– Les ´el´ements inversibles pour la multiplication de A[[X]] sont les s´eries de termes constants
inversibles dans A.
–A[[X]] est un anneau local, d’id´eal maximal, les s´eries de termes constants non inversibles dans
A.
Remarque. On prouve cette derni`ere assertion en montrant que les s´eries non inversibles consti-
tuent un id´eal. 1
2.3 Topologie.
A[[X]] peut ˆetre muni d’une structure d’espace m´etrique qui en fait un anneau topologique.
Soit λun r´eel compris strictement entre z´ero et un. Soit (S, T )un couple de s´eries formelles. Posons
dλ(S, T ) = λw(S−T). Alors on a la :
Propri´et´e. 2.2 dλmunit A[[X]] d’une structure d’anneau topologique complet.
Remarque. Cette distance est ultram´etrique comme les distances p−adiques : pour tout triplet
(S, T, U)de s´eries on a :
dλ(S, U)≤inf(dλ(S, T ), dλ(T, U))
Propri´et´e. 2.3 A[[X]] a une structure d’anneau topologique complet : c’est le compl´et´e de A[X]
qui y est par cons´equent dense.
1Je suis arriv´e `a le montrer dans le cas o`u Aest un corps mais dans le cas g´en´eral, je ne suis pas parvenu `a
une conclusion probante. ´ A creuser.

3 FAMILLES SOMMABLES DE S ´ ERIES. 3
3 Familles sommables de s´eries.
On va donner une justification `a l’´ecriture usuelle des s´eries : S=P∞
n=0 anXn.
D´efinition. 3.1 Soit == (Si)i∈Iune famille de s´eries formelles. On dit que =est sommable si et
seulement si pour tout nde N,In={i∈I|w(Si)≤n}est fini. Plus brutalement :
== (Si)i∈Iest sommable ⇐⇒ ∀ n∈N,|In|=|{i∈I|w(Si)≤n}| <∞.
Proposition. 3.1 (Crit`ere de Cauchy). Avec les mˆemes notations que ci-dessus. == (Si)i∈Iest
sommable si et seulement si, pour tout  > 0, il existe une partie finie Γde =, telle que pour toute
partie finie Θde =, contenant Γ, on ait d(SΘ, SΓ)<  . En ayant soin de noter que : d(SΘ, SΓ) =
inf(θ, γ)∈Θ×Γ(d(Sθ, Sγ)). Plus sch´ematiquement :
== (Si)i∈Iest sommable ⇔ ∀  > 0,∃Γ(f ini)⊆ =,:∀Θ(f ini)⊇Γ,:d(SΘ, SΓ)<  .
Une fois d´efini, le concept de famille sommable, on peut en envisager plusieurs applications,
notamment celle de substitution et de reversion. Ceci fait l’objet des propri´et´es qui suivent. Avant
notons que la famille (anXn)n∈Nest sommable ! Et l’expression P∞
n=0 anXna un sens !
Propri´et´e. 3.1 (Substitution). Soient S=P∞
n=0 anXnet T=P∞ n=0 anYndeux s´eries formelles.
Alors (anTn)n∈Nest sommable d`es que w(T)>0, et S◦T=S(T) = P∞
n=0 anTna un sens.
Remarque. Si w(S) = 1, ie S=P∞
n=0 anXnde valuation un, alors a0= 0 et on peut mettre X
en facteur dans cette somme.
Propri´et´e. 3.2 (R´eversion). On suppose que Aest un corps, not´e K. Soit S, une s´erie de K[[X]],
si Sa pour valuation un, id est, w(S) = 1 alors il existe une unique s´erie Sr, ´egalement de valuation
un, w(Sr) = 1, telle que S◦Sr=Sr◦S= 1.On dit alors que Sest r´eversible.
Th´eor`eme. 3.1 (Schur). Si Sest une s´erie r´eversible, pour tout n∈N∗et tout k≥non a, en
notant Q=S
X:
cn(Sn
r) = n
kck−n 1 Qk!.
Remarque.1
Qa un sens car Sadmet un pour valuation et Qest alors inversible. Ce th´eor`eme
de Schur a pour principale application, la propri´et´e suivante, qui donne la formule de r´eversion de
Lagrange.
Propri´et´e. 3.3 (Formule de r´eversion de Lagrange). Si Sest une s´erie r´eversible alors pour tout
entier knon nul :
ck(Sr) = 1
kck−1 1 Qk!.
4 Applications des S´eries formelles.
4.1 S´eries g´en´eratrices
`
A une suite de nombres entiers (an)n∈N, on associe la s´erie formelle S=P∞
n=0 anXnpuis la
s´erie enti`ere S(z) = Pn∈Nanzn. Les propri´et´es arithm´etiques et/ou de r´ecurrence de la suite initiale
se traduisent pour S(z)en termes d’´equations fonctionnelles. Si on trouve une s´erie enti`ere solution
de ces ´equations, on a alors une expression explicite des termes de la suite ´etudi´ee.

5 BIBLIOGRAPHIE. 4
Exemple. La suite de Fibonacci d´efinie par : F0= 0. F1= 1.
Fn+1 =Fn+Fn−1, n ≥1.
On lui associe F(z) = Pn∈NFnzn. L’astuce consiste juste `a ins´erer la relation de r´ecurrence
dans l’expression pr´ec´edente et de la d´evelopper ainsi :
X
n∈N
Fnzn=F0+F1z+X
n≥2
(Fn+Fn−1)zn.
On obtient ais´ement l’´equation fonctionnelle suivante : F(z) = 1 + zF (z) + z2F(z)et on en tire
que F(z) = 1
z2+z−1puis la formule d´esir´ee pour la suite de Fibonacci :
Fn=φn+ξn
√5pour tout entier n, avec φ =1 + √5
2(Nombre d0Or)et ξ =1−√5 2.
Remarque. On peut associer `a (an)n∈NPn∈NanKn(z)avec Kn(z) = zn
n!(on parle alors de
s´eries g´en´eratrices exponentielles) au lieu de Kn(z) = zn.
4.2 ´ Equations diff´erentielles du type de Fuchs.
y(x)´etant pris comme symbole d’une fonction de la variable r´eelle x, d´efinie au voisinage de z´ero
et suffisamment d´erivable pour que l’on puisse envisager l’´equation diff´erentielle suivante :
(1) xny(n)(x)+a1(x)xn−1y(n−1)(x)+ . . .+ap(x)xn−py(n−p)(x)+ . . .+an−1(x)xy0(x)+an(x)y(x) = 0.
On fait l’hypoth`ese que les aisont analytiques au voisinage de z´ero.
Th´eor`eme. 4.1 Il existe λcomplexe et une fonction Φd´eveloppable en s´erie enti`ere sur un voisinage
de z´ero, not´e Vtelle que : Φ(0) 6= 0.
x7−→ xλΦ(x)soit solution de (1) pour x > 0et x ∈V.
Remarque. On prend Φ(0) = a0= 1.
Φ(x) = Pn=∞
n=0 an(x)xn.et on a y(x) = Pn=∞
n=0 an(x)xn+λ.
Exemple. On consid`ere l’´equation du second ordre : 4xy00 + 2y0+y= 0. On obtient par la
m´ethode du th´eor`eme :
1. y1(x) = cos(√x).
y2(x) = sin(√x).Base de solutions pour x > 0.
2. y1(x) = cosh(√x).
y2(x) = sinh(√x).Base de solutions pour x < 0.
5 Bibliographie.
– Jean-Marie Arnaudi`es, Jacqueline Lelong-Ferrand.Cours de math´ematiques. Dunod.
– Jean-Marie Arnaudi`es. S´eries enti`eres, S´eries de Puiseux, S´erie de Fourer. Ellipses.
– Henri Cartan. Th´eorie des fonctions de variables complexes. Hermann.
– Earl Coddington, Norman Levinson. Theory of ordinary differential equations. Mac Graw Hill.
– Wulfram Giorgi. Th`emes math´ematiques pour l’agr´egation. Masson.
– Peter Henrici. Applied and computational complex analysis. Wiley.
– Donald Knuth, Ronald Graham, Oren Patashnik. Concrete Mathematics. Addison Wesley.
– Jean-Pierre Lafon. Les formalismes fondamentaux de l’alg`ebre commutative. Hermann.
– Serge Lang. Algebra. Addison Wesley.