TD1bis - Nicolas Chenavier

Universit´e du Littoral Cˆote d’Opale
Math 2
L1 MSPI
Ann´ee 2016-2017 Fiche n◦1 bis. R´ecurrence.
1. Principe de r´ ecurrence simple
Exercice 1. On consid`ere la suite (un) d´efinie par :
(u0= 2
∀n∈N, un+1 =√un
Montrer que la suite (un) est minor´ee par 1.
Exercice 2. Soient aet qdeux nombres r´eels tels que q6∈ {0,1}. On d´efinit la suite (un) par :
u0=a
∀n∈N, un+1 =q·un
Montrer par r´ecurrence que pour tout entier n, on a :
(1) un=u0·qn;
(2) Pn
k=0 uk=u0·qn+1−1
q−1.
Exercice 3. D´emontrer par r´ecurrence que :
(1) pour tout entier n≥0, on a : Pn
k=0 k2=1
6·n(n+ 1)(2n+ 1) ;
(2) pour tout entier n≥10, on a : 2n≥n3;
(3) pour tout entier n≥1, on a : 1
1×2×3+1 2×3×4+··· +1 n×(n+1)×(n+2) =n(n+1) 4(n+1)(n+2) .
Exercice 4. On consid`ere l’ensemble P={n∈N|9 divise 10n+1}.
(1) Montrer que si n∈ P, alors n+ 1 ∈ P.
(2) A-t-on P=N?
Exercice 5. Soit f:R→Rla fonction d´efinie pour tout x∈Rpar : f(x) = xex.
(1) Pr´eciser sur quel intervalle la fonction fest d´erivable et calculer sa d´eriv´ee.
(2) Montrer par r´ecurrence que, pour tout n∈N∗et pour tout x∈R, on a f(n)(x)=(x+n)ex,
o`u f(n)d´esigne la d´eriv´ee d’ordre nde f.
Exercice 6. Pour tout n≥1, on d´esigne par S1(n), S2(n), S3(n) les sommes suivantes :
S1(n) = 1 + 2 + 3 + ··· +n;
S2(n) = 12+ 22+ 32+··· +n2;
S3(n) = 13+ 23+ 33+··· +n3.
(1) A l’aide de l’identit´e remarquable (x+ 1)3=x3+ 3x2+ 3x+ 1, trouver une relation entre
S2(n) et S1(n). En d´eduire la valeur de S2(n).
(2) Montrer par r´ecurrence que, pour tout entier n≥1, on a : S3(n)=(S1(n))2. En d´eduire
une expression de S3(n).
Exercice 7. Montrer que pour tout entier n≥2, le nombre r´eel Sn= 1 + 1
2+··· +1 nn’est pas
un entier.
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2. Principe de r´ ecurrence double
Exercice 8. Soit (un) la suite d´efinie par :
u0= 2
u1= 3
∀n∈N, un+1 = 3un+1 −2un.
Montrer, par r´ecurrence double, que pour tout entier n≥0, on a : un= 1 + 2n.
Exercice 9. On consid`ere la suite (un) d´efinie par :
u0= 4
u1= 1
un+2 = 5un+1 + 6un
(1) Montrer que pour tout entier n, on a : un= 11 ×2n−7×3n.
(2) En d´eduire u6.
Exercice 10. Soit x∈Run nombre tel que x+1
x∈Z.
(1) Montrer, par r´ecurrence double, que pour tout entier n, on a xn+1
xn∈Z.
(2) D´eterminer un r´eel xnon entier tel que x+1
x∈Z.
Exercice 11. Soit (fn) la suite dite de Fibonacci, d´efinie par : f0= 0, f1= 1, fn+2 =fn+fn+1.
Montrer que pour entier nnon nul et pour tout entier m, on a : fn+m=fn−1fm+fnfm+1.
3. Principe de r´ ecurrence forte
Exercice 12. Soit (un) la suite d´efinie par :
u0= 1
∀n∈N, un+1 =
n
X
k=0
uk.
(1) Montrer, par r´ecurrence forte, que pour tout n∈N, on a : un= 2n−1.
(2) Montrer que pour tout n∈N, on a : un≤2n.
Exercice 13. Montrer, par r´ecurrence forte, que : ∀n∈N∗,∃(p, q)∈N2, n = 2p(2q+ 1).
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