TD1bis - Nicolas Chenavier

Université du Littoral Côte d’Opale
Math 2
L1 MSPI
Année 2016-2017
Fiche n◦ 1 bis. Récurrence.
1. Principe de récurrence simple
Exercice 1. On considère la suite (un ) définie par :
(
u0 = 2
∀n ∈ N, un+1 =
√
un
Montrer que la suite (un ) est minorée par 1.
Exercice 2. Soient a et q deux nombres réels tels que q 6∈ {0, 1}. On définit la suite (un ) par :
u0 = a
∀n ∈ N, un+1 = q · un
Montrer par récurrence que pour tout entier n, on a :
(1) un = u0 · q n ;
Pn
q n+1 −1
(2)
k=0 uk = u0 · q−1 .
Exercice 3. Démontrer par récurrence que :
Pn
(1) pour tout entier n ≥ 0, on a : k=0 k 2 =
(2) pour tout entier n ≥ 10, on a : 2n ≥ n3 ;
(3) pour tout entier n ≥ 1, on a :
1
1×2×3
+
1
6
· n(n + 1)(2n + 1) ;
1
2×3×4
+ ··· +
1
n×(n+1)×(n+2)
=
n(n+1)
4(n+1)(n+2) .
Exercice 4. On considère l’ensemble P = {n ∈ N|9 divise 10n+1 }.
(1) Montrer que si n ∈ P, alors n + 1 ∈ P.
(2) A-t-on P = N ?
Exercice 5. Soit f : R → R la fonction définie pour tout x ∈ R par : f (x) = xex .
(1) Préciser sur quel intervalle la fonction f est dérivable et calculer sa dérivée.
(2) Montrer par récurrence que, pour tout n ∈ N∗ et pour tout x ∈ R, on a f (n) (x) = (x + n)ex ,
où f (n) désigne la dérivée d’ordre n de f .
Exercice 6. Pour tout n ≥ 1, on désigne par S1 (n), S2 (n), S3 (n) les sommes suivantes :
S1 (n) = 1 + 2 + 3 + · · · + n;
S2 (n) = 12 + 22 + 32 + · · · + n2 ;
S3 (n) = 13 + 23 + 33 + · · · + n3 .
(1) A l’aide de l’identité remarquable (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1, trouver une relation entre
S2 (n) et S1 (n). En déduire la valeur de S2 (n).
(2) Montrer par récurrence que, pour tout entier n ≥ 1, on a : S3 (n) = (S1 (n))2 . En déduire
une expression de S3 (n).
Exercice 7. Montrer que pour tout entier n ≥ 2, le nombre réel Sn = 1 +
un entier.
1
1
2
+ ··· +
1
n
n’est pas
2. Principe de récurrence double
Exercice 8. Soit (un ) la suite définie par :


 u0 = 2
u1 = 3

 ∀n ∈ N, u
n+1
= 3un+1 − 2un .
Montrer, par récurrence double, que pour tout entier n ≥ 0, on a : un = 1 + 2n .
Exercice 9. On considère la suite (un ) définie par :


 u0 = 4
u1 = 1

u
n+2 = 5un+1 + 6un
(1) Montrer que pour tout entier n, on a : un = 11 × 2n − 7 × 3n .
(2) En déduire u6 .
Exercice 10. Soit x ∈ R un nombre tel que x +
1
x
∈ Z.
(1) Montrer, par récurrence double, que pour tout entier n, on a xn +
(2) Déterminer un réel x non entier tel que x +
1
x
1
xn
∈ Z.
∈ Z.
Exercice 11. Soit (fn ) la suite dite de Fibonacci, définie par : f0 = 0, f1 = 1, fn+2 = fn + fn+1 .
Montrer que pour entier n non nul et pour tout entier m, on a : fn+m = fn−1 fm + fn fm+1 .
3. Principe de récurrence forte
Exercice 12. Soit (un ) la suite définie par :

u =1

 0

 ∀n ∈ N, un+1 =
n
X
uk .
k=0
(1) Montrer, par récurrence forte, que pour tout n ∈ N, on a : un = 2n−1 .
(2) Montrer que pour tout n ∈ N, on a : un ≤ 2n .
Exercice 13. Montrer, par récurrence forte, que : ∀n ∈ N∗ , ∃(p, q) ∈ N2 , n = 2p (2q + 1).
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