DW - COURS SUR LES POLYNOMES

DW - COURS SUR LES POLYNOMES
Dans ce qui suit les ensembles de nombres considérés seront soit l’ensemble Rdes nombres réels, soit
l’ensemble Cdes nombres complexes. Sauf lorsque la situation l’exige, on ne précisera pas la nature
des nombres utilisés.
On ne donne pas ici une définition mathématiquement correcte d’un polynôme. (Ceci sera fait en
deuxième année). On s’appuie simplement sur ce que vous avez vu dans le secondaire.
On appelle monôme à une indéterminée à coefficient réel (respectivement complexe) un terme de
la forme akXk, et polynôme à une indéterminée à coefficients réels (respectivement complexes) une
somme de monômes
P(X) = a0+a1X+···+apXp,
où les nombres a0,a1, . . . ansont réels (respectivement complexes).
On posera ak= 0 si le terme en Xkne figure pas dans la somme.
Un polynôme est donc caractérisé par la suite a0, a1,...,ak,...de ses coefficients et tous les coefficients
sont nuls à partir d’un certain rang.
Il y a deux cas possibles :
– il existe au moins un coefficient aknon nul. On appellera degré de Pet on notera deg P, le plus
grand entier ktel que aksoit non nul.
– tous les coefficients sont nuls. Le polynôme Pest le polynôme nul, ou polynôme 0on dira par conven-
tion que deg P=−∞.
Deux polynômes seront égaux s’ils ont les mêmes suites de coefficients.
Remarque : lorsque l’on écrit P= 0, cela signifie que le polynôme Pest nul, c’est-à-dire que tous ses
coefficients sont nuls.
Les polynômes de degré 0 sont des polynômes ayant comme terme non nul le coefficient a0uniquement.
On dit que ce sont des polynômes constants.
Notations :
– nous noterons indifféremment Pou P(X)un polynôme de l’indéterminée X;
– l’ensemble des polynômes à coefficients dans R(resp. dans C) sera noté R[X](resp. C[X]) ;
– l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n, à coefficients dans R(resp. dans C) sera
noté Rn[X](resp. Cn[X]).
Nous n’insistons pas sur la signification de la lettre X. Elle désigne simplement un polynôme particu-
lier, celui dont la suite des coefficients est (0,1,0,0,...). A priori, un polynôme n’est pas défini comme

DW 2
une fonction. Nous verrons plus loin comment associer une fonction à un polynôme.
Dans ce qui suit nous allons considérer les polynômes d’un point de vue formel purement algébrique,
et définir des opérations sur les polynômes, ces opérations ne font intervenir que leurs coefficients.
I. Opérations sur les polynômes
1) Somme de deux polynômes
Si P(X) = a0+a1X+···+apXpet Q(X) = b0+b1X+···+bqXq, (avec deg P=pet deg Q=q),
le polynôme P+Qest obtenu en additionnant terme à terme les coefficients des monômes de même
degré. Si p≤qpar exemple
(P+Q)(X) = (a0+b0) + (a1+b1)X+···+ (ap+bp)Xp+bp+1Xp+1 +···+bqXq.
On remarque que si p6=q, alors deg(P+Q)est le plus grand des deux nombres pet q. Par contre si
p=q, le degré de P+Qva diminuer lorsque aq+bq= 0. Donc
deg(P+Q)≤max(deg P, deg Q).
On a égalité si et seulement si, une des deux situations suivantes a lieu
–deg P6= deg Q,
–deg P= deg Q=pet ap+bp6= 0.
Remarque : ce qui précède est vrai également si Pou Qest le polynôme 0.
2) Multiplication d’un polynôme par un nombre
Si P(X) = a0+a1X+···+apXp(avec deg P=p), et λest un nombre non nul, on définit λP en
multipliant chaque coefficient de Ppar λ.
λP (X) = λa0+λa1X+···+λapXp.
On ne change donc pas le degré :
deg(λP ) = deg P .
Par contre si λ= 0, le polynôme λP est le polynôme 0.
3) Produit de deux polynômes
Si P(X) = a0+a1X+···+apXpet Q(X) = b0+b1X+···+bqXq, (avec deg P=pet deg Q=q),
le polynôme P Q est obtenu en développant le produit
(a0+a1X+···+apXp)(b0+b1X+···+bqXq).

DW 3
On obtient un polynôme de la forme
(P Q)(X) = c0+c1X+···+cp+qXp+q,
où
ck=a0bk+a1bk−1+···+asbk−s+···+akb0.
Si Pet Qne sont pas le polynôme 0, le coefficient de Xp+qvaut en particulier apbq, et il est non nul.
Il en résulte que
deg(P Q) = deg P+ deg Q ,
ce qui reste vrai si Pou Qest le polynôme 0.
On constate en particulier que si Pet Qne sont pas le polynôme nul, P Q ne l’est pas non plus, et
donc on en déduit que P Q = 0 si et seulement si P= 0 ou Q= 0.
D’autre part si An’est pas le polynôme 0et si l’on a l’égalité AP =AQ alors A(P−Q) = 0 et donc
d’après ce qui précède P−Q= 0 c’est-à-dire P=Q. On peut donc simplifier par un polynôme non nul.
Remarques
1) Il revient au même de multiplier un polynôme Ppar le nombre λou par le polynôme constant λ.
2) Les opérations ci-dessus vérifient les mêmes propriétés que les opérations somme et produit dans
l’ensemble des nombres réels ou complexes que nous ne rappellerons pas ici.
4) Composition de deux polynômes
Si P(X) = a0+a1X+···+apXpet Q(X) = b0+b1X+···+bqXq, (avec deg P=pet deg Q=q), le
polynôme P◦Qnoté encore P(Q)est le polynôme que l’on obtient en remplaçant dans P(X), la lettre
Xpar Q(X).
Donc
P◦Q(X) = a0+a1Q(X) + ···+apQ(X)p.
Si Q6= 0 le terme de plus haut degré de P◦Qest obtenu en développant apQ(X)p, c’est donc apbp
qXpq,
et l’on a alors
deg(P◦Q) = deg Pdeg Q .
Par contre si Q= 0, on a P◦Q=a0.
Par exemple si P(X) = X3−X+ 1, et Q(X) = X2, on a P(Q)(X2) = X6−X2+ 1.
5) Dérivation d’un polynôme
Si P(X) = a0+a1X+···+apXp, (avec deg P=p), on appelle polynôme dérivé, et on note P′(X)le
polynôme qui est défini par
P′(X) = a1+ 2a2X+···+papXp−1si p > 0
0si p≤0.

DW 4
On constate donc que
deg P′=(deg P)−1si deg P≥1
−∞ si deg P≤0.
Cette dérivation possède les propriétés usuelle de la dérivation, à savoir
(P+Q)′=P′+Q′,(λP )′=λP ′,(P Q)′=P Q′+QP ′,(P◦Q)′= (P′◦Q)Q′,
(Toutes ses formules peuvent se démontrer en utilisant la définition ci-dessus sans utiliser la notion de
limite).
On peut généraliser ceci en calculant les dérivées successives, et en définissant par récurrence
P(k)= (P(k−1))′.
(On notera également P(0) =P). On obtient facilement
deg P(k)=(deg P)−ksi deg P≥k
−∞ si deg P≤k−1.
Remarquons en particulier que si P(X) = Xnet si 1≤k≤n, alors
P(k)(X) = n(n−1) ···(n−k+ 1)Xn−k.
6) Conjugué d’un polynôme
Si P(X) = a0+a1X+···+apXp, (avec deg P=p) est un polynôme à coefficients complexes, on note
P(X)le polynôme conjugué obtenu en prenant le conjugué de tous les coefficients de P. Soit
P(X) = ¯a0+ ¯a1X+···+ ¯apXp.
C’est donc un polynôme de même degré que P. La conjugaison possède les mêmes propriétés que dans
l’ensemble des nombres complexes. Par exemple
P+Q=P+Q , P Q =P Q , P =P .
On remarque aussi que Pest à coefficients réels si et seulement si P=P.
On a également
(P)′= (P′).
II Fonction polynomiale
Si Pest le polynôme P(X) = a0+a1X+··· +apXpà coefficients dans K=Rou C, on peut lui
associer une fonction de Kdans Knotée e P, en posant, pour tout xdans K,
e
P(x) = a0+a1x+···+apxp.

DW 5
Le polynôme Pet la fonction polynomiale e Psont deux objets différents. On le voit par exemple si l’on
examine ce que signifie P= 0 et e P= 0 :
– dire que P= 0 signifie que tous les coefficients du polynôme Psont nuls.
– dire que e P= 0 signifie que, pour tout xdans K, on a e P(x) = 0
Bien sûr à toute opération sur les polynômes, on fait correspondre la même opération sur les fonctions.
Par exemple
^
P+Q=e P+e Q , g P Q =e Pe Qetc ...
Si αest un nombre de K, on peut alors calculer e P(α)qui est également dans K. Nous noterons, avec
un abus de notation, P(α)au lieu de e P(α). En particulier si P(X) = X−αon a P(α) = 0.
Lorsque P(α) = 0, on dira que αest une racine ou un zéro de P.
III La division euclidienne
Théorème 1 Soit Aet Bdeux polynômes non nuls. Il existe un couple unique de polynômes Q
et R, avec deg R < deg Btel que
A=BQ +R .
(De plus si deg A≥deg B, alors deg Q= deg A−deg B).
Lorsque l’on écrit A=BQ +Ravec les conditions ci-dessus, on dit que l’on a effectué la division
euclidienne de Apar B. On appelle aussi cette division “division suivant les puissances décroissantes”
car dans cette division on écrit les polynômes Aet Bsuivant les puissances décroissantes. (Il existe un
autre type de division suivant les puissances croissantes qui ne sera pas abordé ici). On appelle Qle
quotient et Rle reste dans la division euclidienne de Apar B.
Si deg A < deg B, le couple Q= 0,R=Aest le seul possible.
Si deg A≥deg Bnous ne donnerons pas la démonstration générale. Elle suit la méthode de détermi-
nation de Qet de Rpar l’algorithme de division présenté sur l’exemple numérique suivant :
on veut diviser A(X) = 2X3−X2+4 par B(X) = X2+ 2X+ 2. Le procédé consiste à multiplier B(X)
par un monôme pour faire disparaître le terme de plus haut degré de A(X), puis à réitérer l’opération.
1ère étape Le terme de plus haut degré de B(X)est X2, pour obtenir celui de A(X), qui est 2X3, il
faut le multiplier par 2Xque l’on place dans la partie droite du tableau ci-dessous. On effectue alors
A(X)−2XB(X) = −5X2−4X+ 4 .
Dans le tableau la deuxième ligne de la partie gauche est −2B(X)puis la troisième est A(X)−2XB(X).