TD n 2 : Espérance, variance et quantiles.

M1 BIBS
Mise à niveau en Mathématiques
Année universitaire 2016-2017
TD n◦ 2 : Espérance, variance et quantiles.
Exercice n◦ 1 : Une loi non-usuelle
Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f donnée par :
f (x ) =
3
2
8 (1 − x )
3
2
8 (1 − (x − 2) )
0
si x ∈ [−1, 1] ,
si x ∈ ]1, 3] ,
sinon
(a) Tracer la courbe représentative de f .
(b) Calculer la fonction de distribution FX de X .
Exercice n◦ 2 : Loi bêta B(2, 2)
La densité de la loi bêta B(2, 2) est définie par
f (x ) := 6x (1 − x )10≤x ≤1 .
Soit X une variable aléatoire distribuée selon une loi bêta B(2, 2).
(a) Calculer la fonction de répartion de X .
(b) Calculer l’espérance de X et la variance de X .
(c) Calculer P(0.25 ≤ X < 0.75) et tracer l’aire représentant cette probabilité sur un graphique de
la fonction de densité.
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TD
Exercice n◦ 3 : Une loi non-usuelle II
Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f donnée par :
1 − 2|x |
f (x ) = 1 − 2|x − 1|
0
si x ∈ [−0.5, 0.5] ,
si x ∈ ]0.5, 1.5] ,
sinon
(a) Tracer la courbe représentative de f .
(b) Calculer la fonction de distribution FX de X .
(c) Calculer l’espérance E(X ) et l’écart-type σX de X .
Exercice n◦ 4 : Loi Exponentielle
Rappel : X v.a. continue suit la loi exponentielle de paramètre 1/µ si sa densité de probabilité est
définie par :
€ Š

1
x
si x ≥ 0
 µ exp − µ
f (x ) =

0
sinon.
On prendra µ = 2 dans cet exercice.
(a) Calculer P(1 < X ≤ 2).
(b) Calculer à la main l’espérance de X .
(c) Quelle est la loi de 2X + 3 ?
(d) Calculer la médiane de X .
Exercice n◦ 5 : Moyenne et médiane
Soit X une variable aléatoire réelle telle que E[X 2 ] < ∞. On dit que m est une médiane pour X ssi
P(X > m ) ≤
1
≤ P(X ≥ m ) .
2
(a) Pour x1 < . . . < xn , déterminer les médianes de la loi uniforme sur l’ensemble {x1 , . . . , xn }.
(b) Montrer que E[(X − a )2 ] ≥ Var(X ) pour tout a ∈ R.
Exercice n◦ 6 : Loi Normale
Soit X une variable aléatoire de loi gaussienne N (2, 9).
(a) Sous R, calculer P(X ≥ −1, 3).
(b) Recalculer cette quantité en cherchant dans les tables.
(c) Sous R, trouver la valeur de t telle que P(|X − 2| ≤ t ) = 95%.
Exercice n◦ 7 : Loi de Bernoulli
(a) Calculer l’espérance et la variance de X suivant une loi de Bernoulli de paramètre p .
(b) En se souvenant que la loi binomiale B(n , p ) est la loi de la somme de n variables aléatoires
indépendantes suivant toutes la même loi de Bernoulli de paramètre p , calculer l’espérance
et la variance de Y suivant une loi binomiale B(n , p ).
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