-EXERCICE 30bis.2- OPTIQUE ONDULATOIRE • ENONCE :

Physique
OPTIQUE ONDULATOIRE
EXERCICE D’ ORAL
-EXERCICE 30bis.2• ENONCE :
« Modulateur linéaire à effet Kerr »
• Un champ électrique appliqué à une substance isotrope peut la rendre anisotrope, et lui
communiquer des propriétés de biréfringence : c’est le cas des cellules à effet Kerr.
• L’indice suivant la direction du champ appliqué
r
Ea est extraordinaire ( nE ), et est ordinaire ( nO )
selon une direction perpendiculaire.
nE − nO = k λ0 Ea2
• Kerr a établi que :
où
λ0 = longueur d’onde du faisceau incident, et k = constant de Kerr
• On considère le montage suivant :
U
(∆1 )
(∆ 2 )
r
Ea
z
d
source
e
( P1 )
( P2 ) = analyseur
♦ la source émet une onde plane, monochroma tique, de longueur d’onde
♦
λ0
( P1 ) et ( P2 ) sont deux polariseurs croisés, ( ∆1) et (∆ 2 ) représentant leurs directions de
polarisation respectives
♦ on considère que
e?d ,
de sorte que le champ
r
Ea est considéré comme uniforme entre
les plaques métalliques soumises à la tension U
ϕ introduit par la cuve entre les rayons extraordinaire et
ordinaire, en fonction de k , e , d et U .
1) Exprimer le déphasage
2)
Pour le nitrobenzène (substance toxique), la constante
k
vaut
3,84.10 −12 mV −2 ; avec
e = 2cm et d = 1cm , calculer la tension U1 permettant d’obtenir une lame demi-onde.
Conclure quant aux inconvénients d’une telle cellule.
3)
Page 1
r
Ea à
r
45° des directions ( ∆1) et (∆ 2 ) : déterminer les composantes du champ électrique E1
du faisceau lumineux en sortie du polariseur ( P1) (on pourra prendre pour axe Ox la
r
direction du champ appliqué Ea , l’axe Oy lui étant perpendiculaire). En déduire celles du
Un modulateur de lumière à effet Kerr est réalisé en orientant le champ appliqué
Christian MAIRE
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r
r
E2 après la cellule à effet Kerr, puis celles du champ électrique E3 en sortie de
l’analyseur ( P2 ) .
champ
4)
I 3 = α E32
Exprimer l’intensité lumineuse
fonction de
I1 ,U et U1 ( ...
t
t
en fonction de
I1 = α E12
t
et de
ϕ , puis en
représente la valeur moyenne temporelle de la grandeur
considérée).
5)
U (t ) est une tension variable qui s’écrit : U (t ) = U 0 + u (t ) , avec u( t ) = U 0 , où U0 est
la valeur de
U
pour laquelle la pente de la courbe
premier ordre, on peut écrire :
I 3 (t ) ;
I 3 (U ) est maximale ; montrer qu’au
I1 
u (t ) 
1− π ×

2
U0 
En déduire le rôle du montage.
Montrer que cette cellule permet également de fabriquer des obturateurs.
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• CORRIGE :
«Modulateur linéaire à effet Kerr »
1) Le déphasage introduit par la cuve s’écrit :
Or, le champ appliqué étant uniforme, il vient :
2) Une lame demi-onde est caractérisée par
ϕ=
Ea =
2π
( nE − nO ) e = 2π kEa2e
λ0
U
d
2
⇒
ϕ = π ⇒ U1 =
U 
ϕ = 2π ke  
d
d
2ke
A.N :
U1 = 25,5kV
Rq : ce type de cellule utilise un matériau toxique et nécessite des tensions élevées.
r
r
E1 est parallèle à l’axe ( ∆1 ) , lui-même à 45° du champ appliqué Ea définissant
r
l’axe Ox ⇒ le champ E1 est également à 45° de l’axe Oy ⇒ sur la base (Ox,Oy), on a :
r
E
r E
r
E1 = 0 cos(ωt − kz ) ex + 0 cos(ωt − kz ) ey
2
2
3)
Le champ
ψ commun aux rayons ordinaire et extraordinaire (dû à la
traversée de la cuve) et du déphasage supplémentaire ϕ , on obtient :
r
E
r E
r
E2 = 0 cos(ω t − kz −ψ )ex + 0 cos(ωt − kz − ψ + ϕ )e y
2
2
• En tenant compte d’un déphasage
r
( P2 ) ne va laisser « passer » que les projections des composantes du champ E2
r
r
sur son axe optique ( ∆2 ) ; or ex et ey font un angle de 45° avec ( ∆2 ) , d’où :
r  1 E0
r
1 E0
r
E3 = 
×
cos(ωt − kz −ψ ' ) +
×
cos(ωt − kz −ψ ' + ϕ )  i
( i = vecteur unitaire à 45° de
2
2
2
 2

• L’analyseur
Ox)
⇒
4) Sachant que
•
r E
r
E3 = 0 cos(ω t − kz −ψ ' ) + cos(ωt − kz −ψ ' + ϕ )  i
2
cos (ω t − kz ) t = 1 / 2 , il vient :
2
On
2
2
1   E0   E0   α E02
I1 = α × ×  
+
=
2   2   2  
2
a
:
α E02
I3 =
cos 2 (ωt − kz −ψ ' ) + cos 2 (ω t − kz −ψ ' + ϕ ) + 2 × cos(ωt − kz −ψ ' )cos(ωt − kz −ψ ' + ϕ )
4
α E02  1 1
1
 α E02
'
⇒
I3 =
× + + 2 × × cos(2ωt − 2 kz − 2ψ + ϕ ) + cos ϕ t  =
(1 + cos ϕ )
4  2 2
2
4

I
I 3 = 1 (1 + cos ϕ )
2
2
2
U 
I1 
 U 2 
U 
• Par ailleurs, on sait que ϕ = 2π ke   = π 
I 3 = 1 + cos  π 2  
 ⇒
2
d
 U1 
 U1  
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t
⇒
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5) La fonction
1 + cos x
valeur de tension
x = π / 2 ⇒ il
 π U 2 
I 
I 3 = 1 1 + cos  × 2 
2
 2 U 0 
a une pente maximum (en valeur absolue) en
U0 telle que : π
U 02 π
U
=
⇒ U0 = 1 ⇒
2
U1
2
2
s’agit d’une
• On peut alors passer aux développements limités :
2
π 
π U2 
 u (t ) 
U 2  u (t ) 
u (t )
u (t)  
u (t )
=
1
+
;
1
+
2
⇒
⇒
cos


 × 2  ; cos   1 + 2
  = − sin  π
 ; −π
2
U0 
U0 
U0
2
U
U
U
 2 U0 

0


0

0


I 3 (t ) ;
on trouve bien :
I1 
u (t ) 
1− π

2
U0 
• On peut donc moduler de façon linéaire l’intensité d’un faisceau lumineux, ceci de manière très
rapide : on peut obtenir des périodes de modulation de l’ordre de la nanoseconde.
Rq :
on peut également fabriquer des obturateurs extrêmement rapides ; il suffit que le
déphasage ϕ varie de
à π , donc que la tension U (t ) varie de à U1 (une tension en créneaux
de très haute fréquence fera l’affaire…).
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