MPSI A - MPSI B 2010-2011 DS commun 2 17 mars 2017
Le devoir comporte deux probl`emes ind´ependants.
Bien traiter quelques questions rapporte des points, les bˆacler toutes n’en rapporte
aucun. Il sera tenu compte de la rigueur, du soin et de la r´edaction dans la notation.
Seuls les r´esultats convenablement pr´esent´es seront consid´er´es comme des r´esultats.
Probl`eme I. Splines cubiques.
Dans tout ce probl`eme, on identifie un polynˆome et sa fonction polynomiale
associ´ee. Pour n∈N, on d´esigne par Rn[X] le R-espace vectoriel des polynˆomes `a
coefficients r´eels de degr´e plus petit que n. On note F(I) l’ensemble des fonctions
d´efinies sur un intervalle Ide Ret `a valeurs r´eelles. On rappelle que cet ensemble,
muni des op´erations usuelles sur les fonctions, est un R-espace vectoriel.
Pour une fonction fd´efinie sur Ret un intervalle Ide R, on note f|Ila restriction
de f`a cet intervalle.
L’objet de ce texte est d’introduire les fonctions splines. Une fonction spline est
une fonction «polynomiale par morceaux »qui v´erifie des conditions suppl´ementaires
de r´egularit´e.
Soit n∈N∗et X= (x0, x1,· · · , xn) une famille de r´eels telle que :
x0< x1<· · · < xn
Une fonction fd´efinie dans [x0, xn] est dite polynomiale par morceaux si et seule-
ment si
∀i∈J0, n −1K,∃Pi∈R3[X] tq ∀x∈]xi, xi+1[, f (x) = Pi(x)
L’ensemble des fonctions polynomiales par morceaux est not´e MX.
On d´efinit
CX=MX∩ C0([x0, xn]),DX=MX∩ C1([x0, xn]),SX=MX∩ C2([x0, xn])
Les fonctions de SXsont appel´es des splines cubiques.
Noter que les polynˆomes consid´er´es sont tous de degr´e au plus trois et que les
ensembles de fonctions d´ependent de la famille X= (x0,· · · , xn).
Question pr´eliminaire
Montrer que MX,CX,DX,SXsont des sous-espaces vectoriels de F([x0, xn]),
et pr´eciser les inclusions entre eux.
Partie I. Cas particulier
Dans cette partie, n= 2 avec X= (−1,0,1). On d´efinit des fonctions dans
[−1,1] par :
∀x∈[−1,1], f0(x) = 1, f1(x) = x, f2(x) = x2, f3(x) = x3, f4(x) = (0 si x < 0
x3si x≥0
Dans cette partie, on note Sau lieu de SXet Mau lieu de MX.
1. Montrer que f0,f1,f2,f3,f4appartiennent `a S.
2. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur les r´eels α1,β1,γ1,δ1,α2,
β2,γ2,δ2pour que la fonction fd´efinie au dessous appartienne `a S.
f:x7→ α1x3+β1x2+γ1x+δ1si x < 0
α2x3+β2x2+γ2x+δ2si x>0
3. Montrer que (f0, f1, f2, f3, f4) forme une base de S. En d´eduire la dimension
de S.
Partie II. Calcul de dimension par r´ecurrence.
Dans cette partie, on consid`ere x0<· · · < xn< xn+1 avec
X= (x0,· · · , xn), X0= (x0,· · · , xn, xn+1)
On note S=SXet S0=SX0.
On suppose que Sest de dimension det on consid`ere une base (f1, . . . , fd) une
base de S.
1. L’ensemble Sest-il un sous-espace vectoriel de S0?
2. Pour chaque i∈J1, dK, on note pi∈R3[X] le polynˆome tel que
∀x∈]xn−1, xn[, pi(x) = fi(x)
On d´efinit alors e
fidans [x0, xn+1]
e
fi:x7→ (fi(x) si x∈[x0, xn[
pi(x) si x∈[xn, xn+1]
On d´efinit enfin fd+1 dans [x0, xn+1] par
fd+1 :x7→ (0 si x∈[x0, xn[
(x−xn)3si x∈[xn, xn+1]
Montrer que e
f1,· · · ,e
fd, fd+1 ∈ S0.
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1S1007E