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MPSI A - MPSI B 2010-2011 DS commun 2 17 mars 2017
Le devoir comporte deux probl`emes ind´ependants.
Bien traiter quelques questions rapporte des points, les bˆacler toutes n’en rapporte
aucun. Il sera tenu compte de la rigueur, du soin et de la r´edaction dans la notation.
Seuls les r´esultats convenablement pr´esent´es seront consid´er´es comme des r´esultats.
Probl`eme I. Splines cubiques.
Dans tout ce probl`eme, on identifie un polynˆome et sa fonction polynomiale
associ´ee. Pour n∈N, on d´esigne par Rn[X] le R-espace vectoriel des polynˆomes `a
coefficients r´eels de degr´e plus petit que n. On note F(I) l’ensemble des fonctions
d´efinies sur un intervalle Ide Ret `a valeurs r´eelles. On rappelle que cet ensemble,
muni des op´erations usuelles sur les fonctions, est un R-espace vectoriel.
Pour une fonction fd´efinie sur Ret un intervalle Ide R, on note f|Ila restriction
de f`a cet intervalle.
L’objet de ce texte est d’introduire les fonctions splines. Une fonction spline est
une fonction «polynomiale par morceaux »qui v´erifie des conditions suppl´ementaires
de r´egularit´e.
Soit n∈N∗et X= (x0, x1,· · · , xn) une famille de r´eels telle que :
x0< x1<· · · < xn
Une fonction fd´efinie dans [x0, xn] est dite polynomiale par morceaux si et seule-
ment si
∀i∈J0, n −1K,∃Pi∈R3[X] tq ∀x∈]xi, xi+1[, f (x) = Pi(x)
L’ensemble des fonctions polynomiales par morceaux est not´e MX.
On d´efinit
CX=MX∩ C0([x0, xn]),DX=MX∩ C1([x0, xn]),SX=MX∩ C2([x0, xn])
Les fonctions de SXsont appel´es des splines cubiques.
Noter que les polynˆomes consid´er´es sont tous de degr´e au plus trois et que les
ensembles de fonctions d´ependent de la famille X= (x0,· · · , xn).
Question pr´eliminaire
Montrer que MX,CX,DX,SXsont des sous-espaces vectoriels de F([x0, xn]),
et pr´eciser les inclusions entre eux.
Partie I. Cas particulier
Dans cette partie, n= 2 avec X= (−1,0,1). On d´efinit des fonctions dans
[−1,1] par :
∀x∈[−1,1], f0(x) = 1, f1(x) = x, f2(x) = x2, f3(x) = x3, f4(x) = (0 si x < 0
x3si x≥0
Dans cette partie, on note Sau lieu de SXet Mau lieu de MX.
1. Montrer que f0,f1,f2,f3,f4appartiennent `a S.
2. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur les r´eels α1,β1,γ1,δ1,α2,
β2,γ2,δ2pour que la fonction fd´efinie au dessous appartienne `a S.
f:x7→ α1x3+β1x2+γ1x+δ1si x < 0
α2x3+β2x2+γ2x+δ2si x>0
3. Montrer que (f0, f1, f2, f3, f4) forme une base de S. En d´eduire la dimension
de S.
Partie II. Calcul de dimension par r´ecurrence.
Dans cette partie, on consid`ere x0<· · · < xn< xn+1 avec
X= (x0,· · · , xn), X0= (x0,· · · , xn, xn+1)
On note S=SXet S0=SX0.
On suppose que Sest de dimension det on consid`ere une base (f1, . . . , fd) une
base de S.
1. L’ensemble Sest-il un sous-espace vectoriel de S0?
2. Pour chaque i∈J1, dK, on note pi∈R3[X] le polynˆome tel que
∀x∈]xn−1, xn[, pi(x) = fi(x)
On d´efinit alors e fidans [x0, xn+1]
e
fi:x7→ (fi(x) si x∈[x0, xn[
pi(x) si x∈[xn, xn+1]
On d´efinit enfin fd+1 dans [x0, xn+1] par
fd+1 :x7→ (0 si x∈[x0, xn[
(x−xn)3si x∈[xn, xn+1]
Montrer que e f1,· · · ,e fd, fd+1 ∈ S0.
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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3. Soit fune fonction quelconque dans S0.
a. Montrer qu’il existe (a1, . . . , ad)∈Rdtel que
∀x∈[x0, xn], f(x) =
d
X
i=1
aifi(x)
b. On note
F=f−
d
X
i=1
aie fi
Montrer que sur [xn, xn+1], Fest un polynˆome rde degr´e inf´erieur ou
´egal `a 3 v´erifiant r(xn) = r0(xn) = r00(xn) = 0.
4. Montrer que ( e f1,· · · ,e fd, fd+1) est une base de S0.
5. En d´eduire la dimension de SYpour une famille Y= (y0,· · · , ym) avec
y0<· · · < ym.
Partie III. Calcul de dimension par dualit´e.
La famille X= (x0,· · · , xn) est fix´ee, on note
M=MX,C=CX,D=DX,S=SX.
Dans les paragraphes suivants, on d´efinit des fonctions de Mdans R. En fait
ces fonctions sont lin´eaires, il s’agit donc de formes lin´eaires qui appartiennent `a
L(E, R) = M∗. La v´erification de cette lin´earit´e n’est pas demand´ee.
Pour tout i∈J0, nK, on d´efinit une fonction ϕide Mdans Rpar
∀f∈ M, ϕi(f) = f(xi)
Pour chaque i∈J0, n −1K, et chaque f∈ M, il existe un unique Pi,f ∈R3[X] tel
que
∀x∈]xi, xi+1[, f (x) = Pi,f (x).
On peut donc d´efinir des fonctions
δ0, δ0
0, δ00 0, δ1, δ0 1, δ00 1,· · · δn−1, δ0 n−1, δ00 n−1
de Mdans Rpar
∀i∈J0, n −1K,∀f∈ M :δi(f) = Pi,f (xi), δ0
i(f) = P0 i,f (xi), δ00 i(f) = P00 i,f (xi)
On d´efinit de mˆeme des fonctions
γ1, γ0
1, γ00 1, γ2, γ0 2, γ00 n,· · · γn, γ0 n, γ00 n
de Mdans Rpar
∀i∈J1, nK,∀f∈ M :γi(f) = Pi−1,f (xi), γ0
i(f) = P0 i−1,f (xi), γ00 i(f) = P00 i−1,f (xi)
1. Dans cette question, Eest un R-espace vectoriel de dimension det (α1,· · · , αd)
est une base de E∗=L(E, R).
a. Montrer que
∃(a1,· · · , ad)∈Edtq ∀(i, j)∈J1, dK2, αi(aj) = δi,j =(0 si i6=j
1 si i=j
b. Montrer que (a1,· · · , ad) est une base de E. Quelles sont les coordonn´ees
d’un vecteur x∈Edans cette base ?
c. Soit 0 ≤p≤d, pr´eciser une base de ker α1∩ · · · ∩ ker αp.
d. Soit (β1,· · · , βp) une famille libre de formes lin´eaires. Montrer que
dim (ker β1∩ · · · ∩ ker βp) = dim(E)−p
2. En pr´ecisant l’image d’un
(P0,· · · , Pn−1, v0,· · · , vn)∈R3[X]n×Rn+1,
d´efinir un isomorphisme de R3[X]n×Rn+1 dans M. En d´eduire dim(M).
3. Montrer que la famille
(ϕ0−δ0,· · · , ϕn−1−δn−1, ϕ1−γ1,· · · , ϕn−γn)
est libre dans M∗. En d´eduire dim(C).
4. En raisonnant comme dans la question pr´ec´edente, calculer dim(D) et dim(S).
Attention `a bien pr´eciser les espaces vectoriels contenant les familles consid´er´ees
et `a justifier qu’elles sont libres.
Partie IV. Interpolation d’Hermite.
On fixe deux r´eels aet bavec a<bet on d´efinit des polynˆomes :
A1=X−a, B1=X−b, A2= (X−a)2(X−b), B2= (X−a)(X−b)2
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
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1. Soit (α1, α2, β1, β2)∈R4et
P=α1A1+α2A2+β1B1+β2B2.
Exprimer P(a), P(b), P0(a), P0(b) en fonction de (α1, α2, β1, β2).
2. Montrer que (A1, A2, B1, B2) est une base de R3[X]. En d´eduire que
(R3[X]→R4
P7→ (P(a), P 0(a), P (b), P 0(b))
est un isomorphisme.
3. Une majoration.
a. En ´etudiant des fonctions, calculer max[a,b]|A2|et max[a,b]|B2|.
b. Montrer que, pour tout P∈R3[X],
max
[a,b]|P| ≤ 35
27 (|P(a)|+|P(b)|) + 4 27 (|P0(a)|+|P0(b)|) (b−a)
4. Interpolation d’Hermite. Soit f∈ C4([a, b]) et M4= max[a,b]f(4).
a. Montrer qu’il existe un unique P∈R3[X] tel que
P(a) = f(a), P 0(a) = f0(a), P (b) = f(b), P 0(b) = f0(b).
b. Pour xfix´e dans ]a, b[, on d´efinit une fonction ϕdans [a, b] par :
∀t∈[a, b], ϕ(t) = f(t)−P(t)−K(t−a)2(t−b)2
o`u K∈Rest choisi pour que ϕ(x) = 0. Montrer que
∃c∈]a, b[ tq 4! K=f(4)(c)
c. Montrer que
max
[a,b]|f−P| ≤ M4
384(b−a)4
Partie V. Contraintes.
Les familles X= (x0,· · · , xn) avec x0<· · · < xnet Y= (y0,· · · , yn)∈Rn+1
sont fix´ees. On d´efinit des ensembles P0et PYde splines cubiques. Pour tout
f∈ SX,
f∈ P0⇔(∀i∈J0, nK, f(xi) = 0) , f ∈ PY⇔(∀i∈J0, nK, f(xi) = yi).
1. Montrer que P0est un sous-espace vectoriel de dimension 2.
2. Montrer que PYest un plan affine de S. Quelle est sa direction ?
3. Soit (v, w)∈R2, montrer qu’il existe une unique spline f∈ PYtel que
f0(x0) = v, f 00(x0) = w
4. Soit (vi, vf)∈R2, montrer qu’il existe une unique spline f∈ PYtel que
f0(x0) = vi, f0(xn) = vf
Probl`eme II. Polynˆomes de Bernoulli.
L’objet de ce probl`eme est la d´efinition et une premi`ere ´etude des polynˆomes
de Bernoulli.
Lorsque Pet Qsont deux polynˆomes `a coefficients r´eels, on notera b P(Q) le po-
lynˆome obtenu en substituant dans l’expression de Pchaque occurrence de Xpar
Q. Si u∈R, le r´eel obtenu en substituant dans l’expression de Pchaque occurrence
de Xpar usera not´e e P(u).
On d´efinit une application lin´eaire Ψ de R[X] dans Rpar :
∀k∈N,Ψ(Xk) = 1
k+ 1
On d´efinit une application Φ par :
Φ : (R[X]→R[X]
P→b P(1 −X)
1. Soit nun entier naturel. Montrer que
n
X
k=0 n
k(−1)k k+ 1 =1 n+ 1
2. a. Pr´eciser Ψ(P) pour P=a0+a1X+· · · +apXp∈R[X].
b. Montrer que Ψ ◦Φ = Ψ.
c. Montrer que Ψ(P0) = e P(1) −e P(0) pour tout polynˆome P∈R[X].
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3. a. Montrer qu’il existe une unique suite de polynˆomes (dits de Bernoulli )
`a coefficients r´eels (Bn)n∈Nv´erifiant
(i) B0= 1
(ii) ∀n∈N∗, B0
n=nBn−1
(iii) ∀n∈N∗,Ψ(Bn)=0
La notation Bnpour d´esigner un de ces polynˆomes est valable pour tout
le reste du probl`eme. On utilisera aussi bn=e Bn(0) pour tout naturel
n.
b. Expliciter B1,B2,B3et b0,b1,b2,b3.
c. D´eterminer, pour tout entier naturel n, le degr´e et le coefficient domi-
nant de Bn.
4. a. Montrer que f Bn(1) = f Bn(0) pour tout naturel nautre que 1.
b. Montrer que Φ(Bn)=(−1)nBnpour tout entier naturel n.
c. Montrer que bn= 0 pour tous les nimpairs autres que 1.
5. a. Montrer que, pour tout naturel n,
Bn=
n
X
k=0 n
kbn−kXk
b. Montrer que, pour tout naturel psup´erieur ou ´egal `a 2,
b2p=−1
(p+ 1)(2p+ 1)
2p−2
X
k=0 2p+ 2
kbk
c. Calculer b4.
6. Montrer que, pour tous les naturels n,
Bn= 2n−1c Bn(X
2) + c
Bn(X+ 1
2)
7. Soit pun naturel non nul.
a. Montrer que B2padmet exactement deux racines dans [0,1]. Montrer
que B2p+1 admet exactement trois racines (`a pr´eciser) dans [0,1].
b. Montrer que sup[0,1] |g B2p|=|b2p|.
c. Montrer que sup[0,1] |^ B2p+1| ≤ 2p+1
2|b2p|.
8. a. Montrer que :
∀n∈N∗:c Bn(X+ 1) −Bn=nXn−1
b. Soit pun naturel non nul. Exprimer Pn
k=0 kp`a l’aide de polynˆomes de
Bernoulli.
c. En d´eduire une expression de Pn
k=0 k4en fonction de n.
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