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MPSI A - MPSI B
2010-2011 DS commun 2
17 mars 2017
Partie I. Cas particulier
Le devoir comporte deux problèmes indépendants.
Bien traiter quelques questions rapporte des points, les bâcler toutes n’en rapporte
aucun. Il sera tenu compte de la rigueur, du soin et de la rédaction dans la notation.
Seuls les résultats convenablement présentés seront considérés comme des résultats.
Dans cette partie, n = 2 avec X = (−1, 0, 1). On définit des fonctions dans
[−1, 1] par :
(
0 si x < 0
2
3
∀x ∈ [−1, 1], f0 (x) = 1, f1 (x) = x, f2 (x) = x , f3 (x) = x , f4 (x) =
x3 si x ≥ 0
Problème I. Splines cubiques.
Dans cette partie, on note S au lieu de SX et M au lieu de MX .
1. Montrer que f0 , f1 , f2 , f3 , f4 appartiennent à S.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les réels α1 , β1 , γ1 , δ1 , α2 ,
β2 , γ2 , δ2 pour que la fonction f définie au dessous appartienne à S.
α1 x3 + β1 x2 + γ1 x + δ1 si x < 0
f : x 7→
α2 x3 + β2 x2 + γ2 x + δ2 si x > 0
Dans tout ce problème, on identifie un polynôme et sa fonction polynomiale
associée. Pour n ∈ N, on désigne par Rn [X] le R-espace vectoriel des polynômes à
coefficients réels de degré plus petit que n. On note F(I) l’ensemble des fonctions
définies sur un intervalle I de R et à valeurs réelles. On rappelle que cet ensemble,
muni des opérations usuelles sur les fonctions, est un R-espace vectoriel.
Pour une fonction f définie sur R et un intervalle I de R, on note f|I la restriction
de f à cet intervalle.
L’objet de ce texte est d’introduire les fonctions splines. Une fonction spline est
une fonction « polynomiale par morceaux » qui vérifie des conditions supplémentaires
de régularité.
Soit n ∈ N∗ et X = (x0 , x1 , · · · , xn ) une famille de réels telle que :
3. Montrer que (f0 , f1 , f2 , f3 , f4 ) forme une base de S. En déduire la dimension
de S.
Partie II. Calcul de dimension par récurrence.
Dans cette partie, on considère x0 < · · · < xn < xn+1 avec
x0 < x1 < · · · < xn
X = (x0 , · · · , xn ),
Une fonction f définie dans [x0 , xn ] est dite polynomiale par morceaux si et seulement si
On note S = SX et S 0 = SX 0 .
On suppose que S est de dimension d et on considère une base (f1 , . . . , fd ) une
base de S.
1. L’ensemble S est-il un sous-espace vectoriel de S 0 ?
2. Pour chaque i ∈ J1, dK, on note pi ∈ R3 [X] le polynôme tel que
∀i ∈ J0, n − 1K, ∃Pi ∈ R3 [X] tq ∀x ∈]xi , xi+1 [, f (x) = Pi (x)
L’ensemble des fonctions polynomiales par morceaux est noté MX .
On définit
0
CX = MX ∩ C ([x0 , xn ]),
1
DX = MX ∩ C ([x0 , xn ]),
∀x ∈]xn−1 , xn [, pi (x) = fi (x)
2
SX = MX ∩ C ([x0 , xn ])
On définit alors fei dans [x0 , xn+1 ]
(
fi (x) si x ∈ [x0 , xn [
fei : x 7→
pi (x) si x ∈ [xn , xn+1 ]
Les fonctions de SX sont appelés des splines cubiques.
Noter que les polynômes considérés sont tous de degré au plus trois et que les
ensembles de fonctions dépendent de la famille X = (x0 , · · · , xn ).
On définit enfin fd+1 dans [x0 , xn+1 ] par
(
0 si x ∈ [x0 , xn [
fd+1 : x 7→
(x − xn )3 si x ∈ [xn , xn+1 ]
Question préliminaire
Montrer que MX , CX , DX , SX sont des sous-espaces vectoriels de F([x0 , xn ]),
et préciser les inclusions entre eux.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
X 0 = (x0 , · · · , xn , xn+1 )
Montrer que fe1 , · · · , fed , fd+1 ∈ S 0 .
1
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3. Soit f une fonction quelconque dans S 0 .
17 mars 2017
On définit de même des fonctions
a. Montrer qu’il existe (a1 , . . . , ad ) ∈ Rd tel que
∀x ∈ [x0 , xn ], f (x) =
d
X
γ1 , γ10 , γ100 ,
∀i ∈ J1, nK, ∀f ∈ M :
b. On note
F =f−
···
γn , γn0 , γn00
de M dans R par
ai fi (x)
i=1
d
X
γ2 , γ20 , γn00 ,
0
00
γi (f ) = Pi−1,f (xi ), γi0 (f ) = Pi−1,f
(xi ), γi00 (f ) = Pi−1,f
(xi )
1. Dans cette question, E est un R-espace vectoriel de dimension d et (α1 , · · · , αd )
est une base de E ∗ = L(E, R).
a. Montrer que
(
0 si i 6= j
d
2
∃(a1 , · · · , ad ) ∈ E tq ∀(i, j) ∈ J1, dK , αi (aj ) = δi,j =
1 si i = j
ai fei
i=1
Montrer que sur [xn , xn+1 ], F est un polynôme r de degré inférieur ou
égal à 3 vérifiant r(xn ) = r0 (xn ) = r00 (xn ) = 0.
4. Montrer que (fe1 , · · · , fed , fd+1 ) est une base de S 0 .
b. Montrer que (a1 , · · · , ad ) est une base de E. Quelles sont les coordonnées
d’un vecteur x ∈ E dans cette base ?
5. En déduire la dimension de SY pour une famille Y = (y0 , · · · , ym ) avec
y0 < · · · < ym .
c. Soit 0 ≤ p ≤ d, préciser une base de ker α1 ∩ · · · ∩ ker αp .
Partie III. Calcul de dimension par dualité.
d. Soit (β1 , · · · , βp ) une famille libre de formes linéaires. Montrer que
La famille X = (x0 , · · · , xn ) est fixée, on note
M = MX ,
C = CX ,
dim (ker β1 ∩ · · · ∩ ker βp ) = dim(E) − p
D = DX ,
S = SX .
2. En précisant l’image d’un
Dans les paragraphes suivants, on définit des fonctions de M dans R. En fait
ces fonctions sont linéaires, il s’agit donc de formes linéaires qui appartiennent à
L(E, R) = M∗ . La vérification de cette linéarité n’est pas demandée.
Pour tout i ∈ J0, nK, on définit une fonction ϕi de M dans R par
(P0 , · · · , Pn−1 , v0 , · · · , vn ) ∈ R3 [X]n × Rn+1 ,
définir un isomorphisme de R3 [X]n × Rn+1 dans M. En déduire dim(M).
3. Montrer que la famille
∀f ∈ M, ϕi (f ) = f (xi )
(ϕ0 − δ0 , · · · , ϕn−1 − δn−1 , ϕ1 − γ1 , · · · , ϕn − γn )
est libre dans M∗ . En déduire dim(C).
Pour chaque i ∈ J0, n − 1K, et chaque f ∈ M, il existe un unique Pi,f ∈ R3 [X] tel
que
∀x ∈]xi , xi+1 [, f (x) = Pi,f (x).
4. En raisonnant comme dans la question précédente, calculer dim(D) et dim(S).
Attention à bien préciser les espaces vectoriels contenant les familles considérées
et à justifier qu’elles sont libres.
On peut donc définir des fonctions
δ0 , δ00 , δ000 ,
δ1 , δ10 , δ100 ,
···
0
00
δn−1 , δn−1
, δn−1
Partie IV. Interpolation d’Hermite.
de M dans R par
∀i ∈ J0, n − 1K, ∀f ∈ M :
On fixe deux réels a et b avec a < b et on définit des polynômes :
0
00
δi (f ) = Pi,f (xi ), δi0 (f ) = Pi,f
(xi ), δi00 (f ) = Pi,f
(xi )
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
A1 = X − a,
2
B1 = X − b,
A2 = (X − a)2 (X − b),
B2 = (X − a)(X − b)2
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1. Soit (α1 , α2 , β1 , β2 ) ∈ R4 et
1. Montrer que P0 est un sous-espace vectoriel de dimension 2.
2. Montrer que PY est un plan affine de S. Quelle est sa direction ?
P = α1 A1 + α2 A2 + β1 B1 + β2 B2 .
0
3. Soit (v, w) ∈ R2 , montrer qu’il existe une unique spline f ∈ PY tel que
0
Exprimer P (a), P (b), P (a), P (b) en fonction de (α1 , α2 , β1 , β2 ).
2. Montrer que (A1 , A2 , B1 , B2 ) est une base de R3 [X]. En déduire que
(
R3 [X] →R4
0
f 0 (x0 ) = v,
f 00 (x0 ) = w
4. Soit (vi , vf ) ∈ R2 , montrer qu’il existe une unique spline f ∈ PY tel que
0
P 7→ (P (a), P (a), P (b), P (b))
f 0 (x0 ) = vi ,
est un isomorphisme.
3. Une majoration.
a. En étudiant des fonctions, calculer max[a,b] |A2 | et max[a,b] |B2 |.
b. Montrer que, pour tout P ∈ R3 [X],
L’objet de ce problème est la définition et une première étude des polynômes
de Bernoulli.
Lorsque P et Q sont deux polynômes à coefficients réels, on notera Pb(Q) le polynôme obtenu en substituant dans l’expression de P chaque occurrence de X par
Q. Si u ∈ R, le réel obtenu en substituant dans l’expression de P chaque occurrence
de X par u sera noté Pe(u).
On définit une application linéaire Ψ de R[X] dans R par :
4
35
(|P (a)| + |P (b)|) +
(|P 0 (a)| + |P 0 (b)|) (b − a)
27
27
4. Interpolation d’Hermite. Soit f ∈ C 4 ([a, b]) et M4 = max[a,b] f (4) .
a. Montrer qu’il existe un unique P ∈ R3 [X] tel que
[a,b]
P 0 (a) = f 0 (a),
P (b) = f (b),
f 0 (xn ) = vf
Problème II. Polynômes de Bernoulli.
max |P | ≤
P (a) = f (a),
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P 0 (b) = f 0 (b).
∀k ∈ N, Ψ(X k ) =
b. Pour x fixé dans ]a, b[, on définit une fonction ϕ dans [a, b] par :
On définit une application Φ par :
(
∀t ∈ [a, b], ϕ(t) = f (t) − P (t) − K(t − a)2 (t − b)2
où K ∈ R est choisi pour que ϕ(x) = 0. Montrer que
Φ:
∃c ∈]a, b[ tq 4! K = f (4) (c)
1
k+1
R[X] → R[X]
P → Pb(1 − X)
1. Soit n un entier naturel. Montrer que
c. Montrer que
max |f − P | ≤
[a,b]
M4
(b − a)4
384
n X
n (−1)k
k=0
Partie V. Contraintes.
2.
n+1
Les familles X = (x0 , · · · , xn ) avec x0 < · · · < xn et Y = (y0 , · · · , yn ) ∈ R
sont fixées. On définit des ensembles P0 et PY de splines cubiques. Pour tout
f ∈ SX ,
f ∈ P0 ⇔ (∀i ∈ J0, nK, f (xi ) = 0) ,
k
k+1
=
1
n+1
a. Préciser Ψ(P ) pour P = a0 + a1 X + · · · + ap X p ∈ R[X].
b. Montrer que Ψ ◦ Φ = Ψ.
c. Montrer que Ψ(P 0 ) = Pe(1) − Pe(0) pour tout polynôme P ∈ R[X].
f ∈ PY ⇔ (∀i ∈ J0, nK, f (xi ) = yi ) .
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3
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3.
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a. Montrer qu’il existe une unique suite de polynômes (dits de Bernoulli )
à coefficients réels (Bn )n∈N vérifiant
(i)
^
c. Montrer que sup[0,1] |B
2p+1 | ≤
8.
B0 = 1
∀n ∈ N
(ii)
∗
, Bn0
2p+1
2 |b2p |.
a. Montrer que :
cn (X + 1) − Bn = nX n−1
∀n ∈ N∗ : B
= nBn−1
Pn
b. Soit p un naturel non nul. Exprimer k=0 k p à l’aide de polynômes de
Bernoulli.
Pn
c. En déduire une expression de k=0 k 4 en fonction de n.
∗
∀n ∈ N , Ψ(Bn ) = 0
(iii)
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La notation Bn pour désigner un de ces polynômes est valable pour tout
en (0) pour tout naturel
le reste du problème. On utilisera aussi bn = B
n.
b. Expliciter B1 , B2 , B3 et b0 , b1 , b2 , b3 .
4.
c. Déterminer, pour tout entier naturel n, le degré et le coefficient dominant de Bn .
fn (1) = B
fn (0) pour tout naturel n autre que 1.
a. Montrer que B
b. Montrer que Φ(Bn ) = (−1)n Bn pour tout entier naturel n.
c. Montrer que bn = 0 pour tous les n impairs autres que 1.
5.
a. Montrer que, pour tout naturel n,
Bn =
n X
n
bn−k X k
k
k=0
b. Montrer que, pour tout naturel p supérieur ou égal à 2,
b2p = −
2p−2
X 2p + 2
1
bk
(p + 1)(2p + 1)
k
k=0
c. Calculer b4 .
6. Montrer que, pour tous les naturels n,
cn ( X ) + B
cn ( X + 1 )
Bn = 2n−1 B
2
2
7. Soit p un naturel non nul.
a. Montrer que B2p admet exactement deux racines dans [0, 1]. Montrer
que B2p+1 admet exactement trois racines (à préciser) dans [0, 1].
g
b. Montrer que sup[0,1] |B
2p | = |b2p |.
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