'(8*69²8&%/ 0$7+(0$7,48(6 287,/63285/$%,2/2*,( &KDSLWUH )RQFWLRQVXVXHOOHV

'(8*69²8&%/
0$7+(0$7,48(6287,/63285/$%,2/2*,(
&KDSLWUH)RQFWLRQVXVXHOOHV
Sandrine CHARLES (19/10/2001)
1 Fonctions polynômes élémentaires.................................................................................2
1.1 Fonctions polynômes de degré 1 ............................................................................2
1.2 Polynômes du second degré ...................................................................................4
1.3 Fonctions homographiques.....................................................................................6
2 Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses..............................................9
2.1 Définitions..............................................................................................................9
2.2 Fonctions trigonométriques..................................................................................12
2.3 Fonctions trigonométriques inverses....................................................................15
2.4 Les formules de Simpson (ou formules d’additions)............................................17
2.5 Généralisation.......................................................................................................17
2.6 Un exemple d’application en Biologie.................................................................18
2.7 Vers d’autres sites….............................................................................................20
3 Fonctions logarithme et exponentielle..........................................................................20
3.1 Introduction ..........................................................................................................20
3.2 La fonction logarithme népérien...........................................................................20
3.3 La fonction exponentielle.....................................................................................22
3.4 Exemples d’utilisation en Biologie.......................................................................24
4 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses.....................................................27
4.1 Définition des fonctions hyperboliques................................................................27
4.2 Etude des fonctions hyperboliques.......................................................................27
4.3 Formules usuelles.................................................................................................29
4.4 Définition des fonctions hyperboliques réciproques............................................30
5 Fonctions puissances ....................................................................................................33
5.1 Définition..............................................................................................................33
5.2 Fonction um...........................................................................................................34
5.3 Croissances comparées.........................................................................................35
5.4 Un exemple d’application en Biologie : la relation allométrique.........................35

Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p2/36 -
&KDSLWUH)RQFWLRQVXVXHOOHV
,QWURGXFWLRQ
L’objectif de ce chapitre est de donner des exemples d’utilisation en Biologie des fonctions
réelles d’une variable réelle les plus usitées : les fonctions linéaires, les fonctions
homographiques, les fonctions trigonométriques, les fonctions hyperboliques, les fonctions
logarithme et exponentielle, et les fonctions puissance.
Chaque paragraphe sera consacré à un type de fonction et sera organisé en deux parties : la
première présentera de brefs mais indispensables rappels sur la fonction, en s’appuyant sur les
notions développées dans les précédents chapitres (1, 2 et 3) ainsi que sur des représentations
graphiques ; la seconde partie s’attachera, dans la mesure du possible, à donner une
illustration en Biologie du type de fonction étudié.
 )RQFWLRQVSRO\Q{PHVpOpPHQWDLUHV
 )RQFWLRQVSRO\Q{PHVGHGHJUp
 'pILQLWLRQHWSURSULpWpV
Définition :
Une fonction polynôme de degré 1 f est une fonction dépendant de deux paramètres réels α
et
β
et définie pour tout x∈\ par :
()
fx x αβ =+ avec 0 α ≠
• La fonction polynôme de degré 1 f a une dérivée première constante égale à α ; elle est
strictement croissante si 0 α > et strictement décroissante si 0 α <.
• Il découle de la définition que :
12
,xx∀∈\, on a
() () ( )
1212
fx fx x x α −=−
¹ L’ accroissement d’une fonction polynôme de degré 1 (
() ()
12
fx fx−) sont
proportionnels à ceux de la variable
()
12
xx−.

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- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p3/36 -
¹
() ()
12
12
fx fx
xx
α
−
=− est appelé pente de la fonction polynôme de degré 1
•
()
0f β = ; si 0
β
=, on dit que la fonction est linéaire.
• Le graphe d’une fonction polynôme de degré 1 est une droite de pente α passant par le
point de coordonnées
()
0,
β
;
β
est l’ordonnée à l’origine.
 $SSOLFDWLRQLQWHUSRODWLRQOLQpDLUH
L’interpolation linéaire d’une fonction f dans un intervalle
[]
12
;xx est la fonction polynôme
de degré 1
ϕ
prenant les mêmes valeurs que f aux bornes de l’intervalle
[]
12
;xx :
() ()
11
xfx ϕ =
() ()
22
xfx ϕ =

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- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p4/36 -
 8QH[HPSOHHQ%LRORJLH
Revoir l’exemple en Biologie présenté au Chapitre 1, §7.
 3RO\Q{PHVGXVHFRQGGHJUp
 'pILQLWLRQHWSURSULpWpV
Définition :
Un polynôme du second degré est une fonction f dépendant de trois paramètres réels ,,abc
et définie par :
()
2
f x ax bx c=++ avec 0a≠
La fonction f est continue et dérivable en tout point :
()
2fx axb
′
=+
.
La dérivée seconde est constante et égale à 2a.
f admet un extremum en 2
b
xa =− : 2
4
24
bacb
faa
−
−=
.
Lorsque x tend ±∞, f admet pour limite ±∞ selon le signe de a.
La représentation graphique d’un polynôme du second degré est une parabole :
Nous ne reviendrons pas ici sur la recherche des racines d’un polynôme du second degré.
Rappelons simplement que :
- Si
240bac∆= − < , alors 20ax bx c++= n’admet aucune racine réelle ;
- Si
240bac∆= − = , alors 20ax bx c
++=
admet une racine double :
02
b
xa =− ;

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- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p5/36 -
- Si
240bac∆= − > , alors 20ax bx c++= admet deux racines :
2
14
2
bb ac
xa
−− −
= 2
24
2
bb ac
xa
−+ −
=
Dans ce cas 12 b
xx a
−
+= et 12
c
xx
a
=.
 8QH[HPSOHHQ%LRORJLH
Pour de nombreuses espèces (mammifères, poissons, micro-organismes), il est raisonnable de
considérer qu’en première approximation, la relation du taux de croissance de la population
avec la température de l’environnement est un polynôme du second degré :
2
aT bT c µ =++
Les valeurs de a, b et c vont dépendre de l’espèce considérée.
Remarquons que d’un point de vue biologie, il faut nécessairement que 0µ≥, ce qui n’est pas
nécessairement le cas pour T.
On sait qu’il existe pour chaque individu un optimum de croissance ( opt
T), ainsi que des
températures minimale ( min
T) et maximale ( max T) de croissance en deça et au-delà desquelles
il n’y a plus de croissance. Ainsi, les paramètres a, b et c doivent vérifier les équations
suivantes :
()
0
opt
T µ
′=
()()
min max 0TT
µµ ==
Ce qui implique pour les trois températures cardinales opt T, min T et max T :
2
opt b
Ta =− 2
min 4
2
bb ac
T
a
−− −
= 2
max 4
2
bb ac
Ta
−− −
=
Chez la bactérie Methylosinus trichosporium, qui est à la fois méthanotrophe et mésophile, on
connaît approximativement 23
opt
TC=° qui correspond à -1
max 0.012 h
µ = et min 9TC=°
(Kevbrina et al., 2001).
D’après le modèle polynomial, on en déduit que max T doit être égal à 37°C, ce que l’on vérifie
presque expérimentalement puisqu’en fait max
37
TC=°.