( ) 1 Fonctions polynômes élémentaires Synthèse 4 : Fonctions usuelles β

Synthèse 4 : Fonctions usuelles
1 Fonctions polynômes élémentaires
1.1 Fonctions polynômes de degré 1
1.1.1 Définition et propriétés
Définition :
Une fonction polynôme de degré 1 f est une fonction dépendant de deux paramètres réels α
et et définie pour tout par avec . β x∈\
()
fx x α =+ β 0 α ≠
La représentation graphique d’un polynôme de degré 1 est une droite de pente et
d’ordonnée à l’origine .
α
β
1.2 Polynômes du second degré
1.2.1 Définition et propriétés
Définition :
Un polynôme du second degré est une fonction f dépendant de trois paramètres réels ,,abc
et définie par :
()
2
f
xaxbx=++c avec 0a≠
La représentation graphique d’un polynôme du second degré est une parabole.
1.3 Fonctions homographiques
1.3.1 Définition et propriétés
Définition :
Une fonction homographique est le quotient de deux fonctions polynôme de degré 1s :
()
ax b
hx cx d
+
=+ avec 0c≠
Si , on est ramené au cas d’une fonction polynôme de degré 1. 0c=
Le graphe d’une fonction homographique est une hyperbole équilatère, qui admet pour
asymptote les deux droites d’équation d
xc =− et a yc = ; le point d’intersection des deux
asymptotes est un centre de symétrie pour le graphe.

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2 Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses
2.1 Fonctions trigonométriques
Fonction sinus
Elle est définie sur par \
()
sin
f
x=x. Elle est impaire et 2-périodique. π
Elle est dérivable sur \ avec
()()
sin cos
x
x
′=.
Elle est strictement croissante sur 0; 2
π
et strictement décroissante sur ;
2
ππ
.
Sa courbe est une sinusoïde ; elle est invariante par :
- les translations de vecteur 1 2ke π
G
(puisqu’elle est -périodique) 2 π
- les symétries de centres
(
(puisqu’elle est impaire)
)
,0k π
- les symétries d’axes avec
2
xk k
ππ
=+ ∈]
Fonction cosinus
Elle est définie sur par \
()
cos
f
x=x. Elle est paire et -périodique. 2 π
Elle est dérivable sur \ avec
()()
cos sin
x
x
′=− .
Elle est strictement croissante sur
[
]
;0 π − et strictement décroissante sur
[
]
0; π .
Sa courbe est une sinusoïde ; elle est invariante par :
- les translations de vecteur 1 2ke π
G
- les symétries de centres ,0
2k
ππ
+
- les symétries d’axes avec xk k π =∈]
Fonction tangente
Elle est définie sur \,
2kk
ππ
+∈ \]
par
()
sin tan
cos
x
f
x
x
==x. Elle est impaire et - π
périodique. Elle est dérivable sur \,
2kk
ππ
+∈
\] avec
()()
2
2
1
tan 1 tan cos xx
x
′=+ = .
Elle est strictement croissante sur ;
22
ππ
−
Sa courbe est invariante par les translations de vecteur et les symétries de centres
1
ke π
G
()
,0k π .
- Synthèse 4, p2/6 -

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2.2 Fonctions trigonométriques inverses
Fonction arcsinus
[]
arcsin : 1;1 ;
22
arcsin
x
yx
ππ
−→−
=6
. Elle est par construction définie, continue et impaire sur
[
]
1;1−.
Son graphe est symétrique de celui de sinus par symétrie par rapport à la première bissectrice.
Sa dérivée se calcule selon la règle établie pour les fonctions réciproques :
()()
()()
22
111
arcsin cos arcsin cos 1sin 1 xxy yx
′====
−−
D
1
Elle est donc strictement croissante sur
]
[
1; 1− avec deux tangentes verticales en 1 et −. 1
Fonction arccosinus
[
]
[
]
arccos : 1;1 0;
arccos
x
y
π −→
=6x
. Elle est définie et continue sur
[
]
1;1−.
Son graphe se déduit de celui de cosinus par symétrie par rapport à la première bissectrice.
Sa dérivée se calcule comme précédemment :
()()
2
1
arccos
1
x
x
′=−
−
Elle est donc strictement décroissante sur
]
[
1; 1− avec deux tangentes verticales en 1 et . 1−
Fonction arctangente
][
arctan : ; ;
22
arctan
xy x
ππ
−∞ +∞ → −
=6
. Elle est définie, continue et impaire sur
]
[
;−∞ +∞ .
Son graphe se déduit de celui de la fonction tangente par symétrie par rapport à la première
bissectrice.
Sa dérivée se calcule comme précédemment :
()()
2
1
arctan 1
x
x
′=+
La fonction arctangente est donc strictement croissante sur
]
[
;−∞ +∞ .
Relation fondamentale : arcsin arccos 2
xx
π
+=
- Synthèse 4, p3/6 -

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3 Fonctions logarithme et exponentielle
3.1 La fonction logarithme népérien
Définition :
La fonction logarithme népérien, noté ln, est la primitive de la fonction 1 x
x
6 définit de
]
[
0; +∞ sur
]
[
;−∞ +∞ et qui s’annule en 1
x
=.
• La fonction ln est dérivable sur : ∀> ,
()()
ln 1
x
x
′=
]
[
0; +∞ 0x
• La fonction ln est strictement croissante sur
]
[
0; +∞
•
0
lim ln
x
x
+
→
=−∞ lim ln
xx →+∞ =+∞ 1
ln
lim 1
1
x
x
x
→=
− (par définition de la dérivée)
Propriétés : Pour tout
]
[
,0;ab∈+∞ et pour tout , alors : p∈\
(i) ln
()
ln lnab a b=+ (ii)
()
ln 1 lnbb=−
(iii)
()
ln lnab a b=−ln (iv)
()
ln ln
p
ap=a
Théorème :
La fonction ln réalise une bijection strictement croissante de
]
[
0; +∞ sur . \
3.2 La fonction exponentielle
Définition :
La fonction exponentielle est la bijection réciproque de la fonction ln. On la note :
()
ou exp
x
ex:ex6
• La fonction exponentielle est définie sur . , \x∀∈\0
x
e>
• et x∀∈\
]
[
0;y+∞∀∈ : ln
x
eyx=⇔= y
()
ln x ex=ln y ey=
• La fonction exponentielle est dérivable sur \ :
( )() ()
exp exp
x
x
′=
• La fonction exponentielle est strictement croissante de sur
]
\
[
0; +∞
•
lim 0
x
xe+ →−∞ =lim x xe
→+∞ =+∞ lim x
xex
→+∞ =+∞
Propriétés :
Pour tout et pour tout ,
alors :
,ab
∈\p∈\
(i)
ab a b
ee
+=e
(ii) 1
bb
ee
−=
(iii) ( ab a b
ee
−=e
p
(iv) (
()
p
aa
ee=
- Synthèse 4, p4/6 -

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4 Fonctions hyperboliques
4.1 Définition des fonctions hyperboliques
Par définition, on appelle cosinus hyperbolique de x, la quantité notée ch
x
:
ch 2
xx
ee
x
−
+
=
De la même manière, on définit le sinus hyperbolique, notée sh
x
:
sh 2
xx
ee
x
−
−
=
On constate que ch sh x
x
xe+= et que ch sh x
x
xe
−
−=. Il vient alors immédiatement :
22
ch sh 1
x
x−=
4.2 Etude des fonctions hyperboliques
4.2.1 Etude de la fonction
()
f
x=chx
ch 2
xx
ee
x
−
+
= D=\
()
ch ch
x
x−= lim ch
xx →+∞ =+∞
()
ch sh
x
x
′= : la fonction est strictement croissante sur
+
\
4.2.2 Etude de la fonction
()
f
x=shx
sh 2
xx
ee
x
−
−
= D=\
()
sh sh
x
x−=− lim sh
xx →+∞ =+∞
()
sh ch
x
x
′= : la fonction est strictement croissante sur .
+
\
- Synthèse 4, p5/6 -