c5 synthese 1

Synthèse 5 : Primitives – Intégration
1 Primitives
Dans toute la suite, I désignera un intervalle fermé (ou segment) de \ .
1.1
Définitions - Théorème fondamental
Définition (primitive sur un intervalle) :
Soit une fonction f : I → \ . On dit que F : I → \ est une primitive de f sur I si F est
dérivable sur I, et si ∀x ∈ I F ′ ( x ) = f ( x ) .
Proposition (primitives d’une même fonction) :
Soit une fonction f : I → \ admettant une primitive F sur I. La fonction G : I → \ est aussi
une primitive de f sur I si et seulement si il existe une constante C ∈ \ telle que ∀x ∈ I ,
G ( x) = F ( x) + C .
Conséquence (primitive prenant une valeur donnée en un point) :
Soit une fonction f : I → \ admettant une primitive F sur I. Soient x0 ∈ I et y0 ∈ \ .
Il n’existe qu’une seule primitive G de f telle que G ( x0 ) = y0 ; elle est donnée par
G ( x ) = F ( x ) − F ( x0 ) + y0 .
En particulier, H ( x ) = F ( x ) − F ( x0 ) est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en x0 .
Théorème fondamental :
Si f : I → \ est une fonction continue, alors elle admet une primitive (donc une infinité).
1.2 Primitives des fonctions usuelles
Voir le formulaire disponible sur le site web.
1.3
Linéarité
Proposition :
Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I et admettant des primitives. Si F
est une primitive de f et G une primitive de g, alors, ∀α , β ∈ \ , la fonction α F + β G est une
primitive sur I de la fonction α f + β g .
1.4
Fonctions composées
Proposition :
Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I, et g une fonction définie sur un intervalle J
tel que ∀x ∈ I , u ( x ) ∈ J .
Si g admet une primitive G sur J, alors une primitive sur I de la fonction définie par
f ( x ) = u ′ ( x ) × g ( u ( x ) ) est la fonction F définie par F ( x ) = G ( u ( x ) ) .
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2 La notion d’intégrale
2.1
Intégrale d’une fonction
Définition 1 :
Soit f : I → \ une fonction admettant une primitive sur I et F l’une d’entre elles.
Soient a, b ∈ I . Alors le nombre F ( b ) − F ( a ) est appelé intégrale de f sur [ a, b ] .
Interprétation géométrique
Voir le site web.
Définition 2 :
Soit f : I → \ une fonction admettant une primitive sur I et F l’une d’entre elles.
L’intégrale de f sur [ a, b ] se note
b
∫ f ( x ) dx . Ainsi :
a
b
F ( b ) − F ( a ) = ∫ f ( x ) dx que l’on note aussi  F ( x )  a
b
a
b
∫ f ( x ) dx se lit « somme de a à b de f ( x ) dx ».
a
Définition 2 (Intégrale et Aire) :
Soit f : [ a, b ] → \ une fonction positive admettant une primitive sur [ a, b ] et (C) sa courbe
représentative.
L’aire du domaine (A) délimitée par :
- la courbe (C)
- l’axe des abscisses
- les droites d’équations x = a et x = b
b
est ( A ) = ∫ f ( x ) dx , exprimée en unités d’aire (u.a.). Voir figure ci-dessous.
a
- Synthèse 5, p2/6 -
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Propositions :
a
(i)
(ii)
∫
a

 ∫ f ( x ) dx = F ( a ) − F ( a ) 
a

f ( x ) dx = 0
a
a
b
b
a
∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx
 F ( b ) − F ( a ) = − ( F ( a ) − F ( b ) ) 
2.2 Intégrale et primitive
Définition 4 :
Soit une fonction f : I → \ admettant des primitives sur I.
On note
∫ f ( x ) dx l’ensemble des primitives de f.
Proposition :
Soient une fonction f : I → \ admettant des primitives sur I et x0 ∈ I .
x
La fonction F définie sur I par l’intégrale F ( x ) =
∫ f ( t ) dt
est l’unique primitive de f sur I
x0
qui s’annule en x0 .
2.3 Premières propriétés
2.3.1
Linéarité
Proposition :
Soient f et g deux fonctions continues sur [ a, b ] . ∀α , β ∈ \ :
b
b
b
a
a
a
∫ (α f + β g )( x ) dx = α ∫ f ( x ) dx + β ∫ g ( x ) dx
2.3.2
Signe de l’intégrale
Propositions :
(i)
Soit f une fonction continue sur [ a, b ] .
Si ∀x ∈ [ a, b ] , f ( x ) ≥ 0 (resp. ≤ 0 ), alors
b
∫ f ( x ) dx ≥ 0 (resp. ≤ 0 ).
a
(ii)
Soit f une fonction continue sur [ a, b ] . Si ∀x ∈ [ a, b ] , f ( x ) ≤ g ( x ) , alors :
b
b
a
a
∫ f ( x ) dx ≤ ∫ g ( x ) dx
2.3.3
Relation de Chasles
Proposition :
Soit f une fonction continue sur [ a, b ] . Alors ∀c ∈ [ a, b ] :
b
∫
a
- Synthèse 5, p3/6 -
c
b
a
c
f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
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3 Intégrales et inégalités
3.1
Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle
Définition :
Soit f une fonction continue sur [ a, b ] ( a < b ). On appelle valeur moyenne de f sur [ a, b ] , le
réel µ =
b
1
f ( x ) dx .
b − a ∫a
Théorème de la moyenne :
Soit f une fonction continue sur [ a, b ] ( a < b ). Il existe c ∈ [ a, b ] tel que :
b
∫ f ( x ) dx = ( b − a ) f ′ ( c )
a
3.2 Valeur absolue d’une intégrale
Proposition :
Soit f une fonction continue sur [ a, b ] . On a alors :
b
b
a
a
∫ f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx .
3.3 Inégalités de la moyenne
Propositions :
Soit f une fonction admettant des primitives sur [ a, b ] .
b
(i)
Si m ≤ f ≤ M , alors m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) .
a
b
(ii)
Si f ≤ M , alors
∫ f ( x ) dx ≤ M b − a .
a
4 Méthodes de calcul exact d’intégrales
4.1 Utilisation des primitives usuelles
Le plus souvent le calcul d’une intégrale se ramène à la recherche d’une primitive.
Voir le formulaire disponible sur le site web.
4.2 Intégration par décomposition en somme (linéarisation)
b
b
b
a
a
a
∫ (α f + β g )( x ) dx = α ∫ f ( x ) dx + β ∫ g ( x ) dx
- Synthèse 5, p4/6 -
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4.3 Changement de variable
4.3.1
Cas général des intégrales
Théorème :
Soient φ :  min ( a, b ) ; max ( a, b )  → \ une fonction de classe C1 (continue et à dérivée
première continue) strictement monotone, et f : φ ( a ) , φ ( b )  → \ une fonction continue sur
φ ( a ) , φ ( b )  . Alors :
φ (b )
∫
φ (a)
4.3.2
b
f ( x ) dx = ∫ ( f D φ )( t ) φ ′ ( t ) dt avec x = φ ( t ) et dx = φ ′ ( t ) dt .
a
Conséquences
a
X f paire ⇒
a
∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx
−a
0
a
Y f impaire ⇒
∫
f ( x ) dx = 0 ou bien encore
−a
Z f T-périodique ⇒
b
∫
a
−b
f (t )dt = ∫ f (t )dt
−a
a +T
T
b +T
b
a
0
a +T
a
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ou bien encore ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
4.4 Les fractions rationnelles
Définition :
Une fraction rationnelle se présente sous la forme
P ( x)
où P ( x ) et Q ( x ) sont des
Q ( x)
polynômes à coefficients dans \ (ou ^ ).
L’intégration des fractions rationnelles nécessite la décomposition de la fraction en éléments
simples. Cette dernière repose sur la connaissance des racines des polynômes P et Q.
4.4.1
Décomposition en éléments simples
Si d ° ( Q ) ≤ d ° ( P ) , on peut effectuer la division euclidienne de P ( x ) par Q ( x ) suivant
les puissances décroissantes pour faire apparaître une partie entière, qui est un polynôme
P ( x)
en x, et une nouvelle fraction rationnelle 1
où d ° ( Q ) > d ° ( P1 ) .
Q ( x)
On effectue dans ce cas une décomposition en éléments simples de
P1 ( x )
.
Q ( x)
Si d ° ( Q ) ≥ d ° ( P ) , et α i étant l’ordre de multiplicité de la racine réelle xi de Q, β i celui
des deux racines complexes conjuguées de Q associée à l’équation caractéristique
x 2 + pi x + qi = 0 avec pi2 − 4qi < 0 , alors :
- Synthèse 5, p5/6 -
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m βi
P ( x ) n αi
Ai
Bi x + Ci
= ∑∑
+
∑∑
γi
2
Q ( x ) i =1 j =1 ( x − xi )
i =1 j =1 ( x + p x + q
i
4.4.2
i
)
δi
Intégration d’un élément simple de la forme
avec 1 ≤ γ i ≤ α i et 1 ≤ δ i ≤ β i
dx
∫ ( x − x )γ
0
Il s’agit de calculer
dx
∫ ( x − x )γ
pour γ entier ≥ 1 .
0
Deux cas peuvent se présenter :
dx
(1) γ = 1 : ∫
= ln x − x0 + C
( x − x0 )
(2) γ ≠ 1 :
dx
∫ ( x − x )γ = ∫ ( x − x )
−γ
0
0
4.4.3
( x − x0 )
dx =
1−γ
+C
1− γ
Intégration d’un élément simple de la forme
(x
Ax + B
2
+ px + q )
δ
Voir le site web.
4.5 Intégrations par parties
A n’utiliser que si toutes les autres méthodes ont échoué !
Proposition :
Soient u ( x ) et v ( x ) deux fonctions dérivables sur un même intervalle [ a, b ] et f une fonction
continue sur [ a, b ] telle que f ( x ) = u ( x ) v′ ( x ) . Alors :
b
∫
a
b
b
f ( x ) dx = ∫ u ( x ) v′ ( x ) dx = u ( x ) v ( x )  a − ∫ u′ ( x ) v ( x ) dx
a
b
a
- Synthèse 5, p6/6 -