c5 synthese 1

Synthèse 5 : Primitives – Intégration
1 Primitives
Dans toute la suite, I désignera un intervalle fermé (ou segment) de . \
1.1 Définitions - Théorème fondamental
Définition (primitive sur un intervalle) :
Soit une fonction . On dit que est une :fI→\:FI→\primitive de f sur I si F est
dérivable sur I, et si
x
I∀∈ .
() ()
Fx fx
′=
Proposition (primitives d’une même fonction) :
Soit une fonction admettant une primitive F sur I. La fonction GI est aussi :fI→\:→\
une primitive de f sur I si et seulement si il existe une constante C telle que ∈\
x
I∀∈ ,
() ()
Gx Fx C=+.
Conséquence (primitive prenant une valeur donnée en un point) :
Soit une fonction admettant une primitive F sur I. Soient :fI→\0
x
I∈ et .
0
y∈\
Il n’existe qu’une seule primitive G de f telle que Gx ; elle est donnée par
()
0
y=0
() () ( )
00
Gx Fx Fx y=− +.
En particulier, est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en
() () ( )
0
Hx Fx Fx=− 0
x
.
Théorème fondamental :
Si est une fonction continue, alors elle admet une primitive (donc une infinité). :fI→\
1.2 Primitives des fonctions usuelles
Voir le formulaire disponible sur le site web.
1.3 Linéarité
Proposition :
Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I et admettant des primitives. Si F
est une primitive de f et G une primitive de g, alors, , αβ ∈\∀G, la fonction est une F αβ +
primitive sur I de la fonction
f
g αβ +.
1.4 Fonctions composées
Proposition :
Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I, et g une fonction définie sur un intervalle J
tel que
x
I∀∈ , ux .
()
J∈
Si g admet une primitive G sur J, alors une primitive sur I de la fonction définie par
() () ()
()
f
xuxgux
′
=× est la fonction F définie par .
() ()
()
Fx Gux=

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2 La notion d’intégrale
2.1 Intégrale d’une fonction
Définition 1 :
Soit une fonction admettant une primitive sur I et F l’une d’entre elles. :fI→\
Soient . Alors le nombre est appelé ,ab I∈
() ()
Fb Fa−intégrale de f sur
[
]
,ab .
Interprétation géométrique
Voir le site web.
Définition 2 :
Soit une fonction admettant une primitive sur I et F l’une d’entre elles. :fI→\
L’intégrale de f sur
[
]
,ab se note
()
b
a
f
xdx
∫. Ainsi :
() () ()
b
a
Fb Fa f xdx−=
∫ que l’on note aussi
()
b
a
Fx
()
b
a
f
xdx
∫ se lit « somme de a à b de
()
f
xdx ».
Définition 2 (Intégrale et Aire) :
Soit
[
]
:,fab→\ une fonction positive admettant une primitive sur
[
]
,ab et (C) sa courbe
représentative.
L’aire du domaine (A) délimitée par :
- la courbe (C)
- l’axe des abscisses
- les droites d’équations
x
a= et
x
b=
est
() ()
A
b
a
f
xdx=∫, exprimée en unités d’aire (u.a.). Voir figure ci-dessous.
- Synthèse 5, p2/6 -

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Propositions :
(i)
()
0
a
a
fxdx=
∫
() () ()
a
a
f
xdx Fa Fa =−
∫
(ii)
() ()
ab
ba
f
xdx f xdx=−
∫∫
() () () ()
()
Fb Fa Fa Fb −=− −
2.2 Intégrale et primitive
Définition 4 :
Soit une fonction admettant des primitives sur I. :fI→\
On note
()
f
xdx
∫ l’ensemble des primitives de f.
Proposition :
Soient une fonction admettant des primitives sur I et :fI→\0
x
I∈.
La fonction F définie sur I par l’intégrale est l’unique primitive de f sur I
() ()
0
x
x
Fx ftdt=∫
qui s’annule en 0
x
.
2.3 Premières propriétés
2.3.1 Linéarité
Proposition :
Soient f et g deux fonctions continues sur
[
]
,ab . , αβ ∈\∀ :
( )() () ()
bb
aa
b
a
f
g x dx f x dx g x dx αβ α β += +
∫∫∫
2.3.2 Signe de l’intégrale
Propositions :
(i) Soit f une fonction continue sur
[
]
,ab .
Si
[
]
,
x
ab∀∈ , (resp. ≤), alors (resp. ).
()
0fx≥0
()
0
b
a
fxdx≥
∫0≤
(ii) Soit f une fonction continue sur
[
]
,ab . Si
[
]
,
x
ab∀∈ ,
() ()
f
xgx≤, alors :
() ()
bb
aa
f
xdx gxdx≤
∫∫
2.3.3 Relation de Chasles
Proposition :
Soit f une fonction continue sur
[
]
,ab . Alors
[
]
,cab∀∈ :
() () ()
bcb
aac
f
xdx f xdx f xdx=+
∫∫∫
- Synthèse 5, p3/6 -

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3 Intégrales et inégalités
3.1 Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle
Définition :
Soit f une fonction continue sur
[
]
,ab ( ). On appelle valeur moyenne de f sur ab<
[
]
,ab , le
réel
()
1b
a
f
xdx
ba
µ =−∫.
Théorème de la moyenne :
Soit f une fonction continue sur
[
]
,ab ( a). Il existe b<
[
]
,cab∈ tel que :
() ( ) ()
b
a
f
xdx b a f c
′
=−
∫
3.2 Valeur absolue d’une intégrale
Proposition :
Soit f une fonction continue sur
[
]
,ab . On a alors :
() ()
bb
aa
f
xdx f x dx≤
∫∫
.
3.3 Inégalités de la moyenne
Propositions :
Soit f une fonction admettant des primitives sur
[
]
,ab .
(i) Si mf , alors . M≤≤
() () ()
b
a
mb a f xdx M b a−≤ ≤ −
∫
(ii) Si
f
M≤, alors
()
b
a
f
xdx Mb a≤−
∫.
4 Méthodes de calcul exact d’intégrales
4.1 Utilisation des primitives usuelles
Le plus souvent le calcul d’une intégrale se ramène à la recherche d’une primitive.
Voir le formulaire disponible sur le site web.
4.2 Intégration par décomposition en somme (linéarisation)
( )() () ()
bb
aa
b
a
f
g x dx f x dx g x dx αβ α β += +
∫∫∫
- Synthèse 5, p4/6 -

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4.3 Changement de variable
4.3.1 Cas général des intégrales
Théorème :
Soient une fonction de classe (continue et à dérivée
() ()
: min , ; max ,ab ab φ →
\ 1
C
première continue) strictement monotone, et une fonction continue sur
() ()
:,fab φφ → \
()
,a
()
b φφ . Alors :
()
()
()
()()()
bb
aa
f
xdx f t tdt
φ
φ
φφ
′
=
∫∫
D avec
()
x
t
φ
= et .
()
dx t dt φ
′
=
4.3.2 Conséquences
X f paire ⇒
() ()
0
2
aa
a
f
xdx f xdx
−
=
∫∫
Y f impaire ⇒ ou bien encore
()
0
a
a
fxdx
−
=
∫∫∫ −
−
=
b
a
b
a
dttfdttf )()(
Z f T-périodique ⇒
() ()
0
aT T
a
f
xdx f xdx
+
=
∫∫
ou bien encore
() ()
bT b
aT a
f
xdx f xdx
+
+
=
∫∫
4.4 Les fractions rationnelles
Définition :
Une fraction rationnelle se présente sous la forme
()
()
Px
Qx où et Qx sont des
()
Px
()
polynômes à coefficients dans (ou ). \ ^
L’intégration des fractions rationnelles nécessite la décomposition de la fraction en éléments
simples. Cette dernière repose sur la connaissance des racines des polynômes P et Q.
4.4.1 Décomposition en éléments simples
 Si , on peut effectuer la division euclidienne de par suivant
les puissances décroissantes pour faire apparaître une partie entière, qui est un polynôme
en x, et une nouvelle fraction rationnelle
() ()
dQ dP°≤°
()
Px
()
Qx
()
()
1
Px
Qx où .
() (
dQ d°>°
)
1
P
On effectue dans ce cas une décomposition en éléments simples de
()
()
1
Px
Qx.
 Si , et étant l’ordre de multiplicité de la racine réelle
() ()
dQ dP°≥° i α
i
x
de Q, celui
des deux racines complexes conjuguées de Q associée à l’équation caractéristique
avec , alors :
i
β
20
ii
xpxq++= 24
ii
pq−<0
- Synthèse 5, p5/6 -