COURS BCPST1 DenombCO CHAPITRE : 6 DENOMBREMENT 1

COURS
DenombCO
BCPST1
CHAPITRE : 6
DENOMBREMENT
1 / Ensembles …nis :
1.1 Dé…nition :
Un ensemble E est dit …ni s’il est vide ou s’il existe un entier n et une bijection
de [[1; n]] vers E . L’entier n est appelé cardinal de E:
Notation : Card(E) = n:
Convention : Si E = ; alors Card(E) = 0
Vocabulaire : Dénombrer un ensemble, c’est déterminer son cardinal, c’est à dire
évaluer le nombre de ses éléments .
1.2 Propriétés:
1.2.1 Soient E et F deux ensembles …nis. Il existe une bijection entre E et F
si et seulement si card(E) = card(F ).
1.2.2 Soient E et F deux ensembles …nis. Si F
alors card(F ) card(E).
1.2.3 Soient E et F deux ensembles …nis . Si F
alors E = F et réciproquement.
E
E et card(E) = card(F )
1.2.4 Soient E et F deux ensembles …nis de même cardinal et soit f une application
de E dans F alors : f injective () f surjective () f bijective
1.3 Propriétés:
Soient A et B deux parties d’un ensemble …ni E ;
1.3.1 Si A et B sont disjoints alors card(A [ B) = card(A) + card(B)
1.3.2 card(A r B) = card(A)
1.3.3 card(A) = card(E)
card(A \ B)
card(A)
1.3.4 card(A [ B) = card(A) + card(B)
card(A \ B)
1.4 Formule du crible ou de Poincaré:
Soit (Ai )1 i n une famille de parties d’un ensemble E …ni, alors
n
n
P
P
S
P
card(Ai1 \ Ai2 ) +
card( Ai ) =
card(Ai )
i=1
i=1
n+1
.............+( 1)
1 i1 <i2 n
1 i1 <i2 <i3 n
card(Ai1 \ Ai2 \ Ai3 )+
card(Ai1 \ Ai2 \ :::::: \ Ain )
1
1.5 Corollaire :
Si (Ai )1 i n est un système complet d’un ensemble E …ni, alors
n
P
card(E) =
card(Ai )
i=1
1.6 Théorème :
Si E et F sont deux ensembles …nis alors card(E
F ) = card(E)
card(F )
1.7 Théorème :
Si E est un ensemble …ni alors card(E n ) = (card(E))n
2 / p-listes d’un ensemble :
2.1 Dé…nition :
On désigne par p liste (ou p uplet) d’un ensemble E …ni, toute suite
de p éléments de E:
Deux p listes comportant les mêmes éléments en ordre di¤érents sont distinctes.
Une p listes peut contenir plusieurs fois le même élément de E.
2.2 Théorème :
Dans un ensemble contenant n éléments, le nombre de p
listes distinctes est np .
2.3 Domaine d’application :
Tirages successifs avec remise.
2.4 Théorème :
Il existe np applications d’un ensemble à p éléments vers un ensemble à n éléments .
2.5 Théorème :
Si card(E) = n alors card(P(E)) = 2n :
3 / p-listes d’éléments distincts ou arrangements :
3.1 Dé…nition :
Dans un ensemble E …ni; toute suite de p éléments distincts est appelée : arrangement
de p éléments de E: (ou parfois p listes d’éléments distincts )
Deux arrangements comportant les mêmes éléments en ordre di¤érents sont distincts.
Un arrangement ne peut pas contenir plusieurs fois le même élément.
3.2 Théorème :
Dans un ensemble contenant n éléments, le nombre d’arrangement de p éléments
n!
distincts est : Apn =
(1 p n)
(n p)!
3.3 Domaine d’application :
Tirages successifs sans remise .
3.4 Théorème :
Il existe Apn injections d’un ensemble à p éléments vers un ensemble à n éléments .
2
3.5 Dé…nition :
Si card(E) = n; on appelle permutation : tout arrangement des n éléments de E:
Le nombre de permutations de n éléments est n!
3.6 Théorème :
Il existe n! bijections d’un ensemble à n éléments vers un ensemble à n éléments .
4
/ Parties d’un ensemble ou combinaisons :
4.1 Dé…nition :
Dans un ensemble E …ni, toute famille non ordonnée d’éléments distincts est
appelée combinaison. ( On parle également de poignée ).
Dans une combinaison, l’ordre n’importe pas.
Une combinaison ne peut pas contenir plusieurs fois le même élément.
4.2 Théorème :
Dans un ensemble contenant n éléments, le nombre de combinaisons de p éléments
n
n!
distincts est :
= Cnp =
(0 p n)
p
p!(n p)!
4.3 Domaine d’application :
Tirages par poignées .
4.4 Théorème :
Soit E un ensemble ordonné croissant de p éléments, et soit F un ensemble ordonné
croissant de n éléments.
n
Il existe
applications strictement croissantes de E vers F:
p
4.5 Formules :
4.5.1 8n 2 N et 8p 2 [[0; n]]
n
p
4.5.1.1
n
=
n
p
n
0
4.5.1.2
=
n
n
=1
4.5.2 8n 2 N et 8p 2 [[1; n]]
4.5.2.1 Apn = nApn
4.5.3 convention :
x
y
1
1
=
n
p
n
1
=
n
n
1
=n
4.5.2.3 p
n
p
=n
n
p
1
1
= 0 si x < y
4.5.4 8n 2 N et 8p 2 [[1; n
n
p
4.5.2.2
1]] Formule du triangle de Pascal :
1
n 1
+
1
p
3
.
4.5.5 8(a; b) 2 C2 et 8n 2 N
(a + b)n =
n
P
Formule du binôme de Newton :
n k n
a b
k
k=0
k
4.5.6 8(a; b) 2 N2 et 8 n 2 N avec n
n
P
k=0
5
a
k
b
n
k
=
min(a; b) Formule de Vandermonde :
a+b
n
/ Récapitulatifs :
Méthode de tirage
des p éléments parmi n
Tirages avec remise,
éléments distincts ou non,
éléments ordonnés :
P-LISTE
Tirages sans remise,
éléments distincts,
éléments ordonnés :
ARRANGEMENTS ou
P-LISTE d’éléments distincts
Conditions
Nombre de tirages
n et p non nuls
Nombre de p listes de p
éléments choisis parmis n :
np
0
cas particulier d’arrangements :
PERMUTATIONS
Tirages simultanés ou par poignées,
éléments distincts,
éléments non ordonnés :
COMBINAISONS
0
p
n
Nombre d’arrangements de p
éléments choisis parmi n :
n!
Apn =
(n p)!
p=n
Nombre de permutations de n
éléments : n!
p
Nombre de combinaisons de p
éléments choisis parmi n :
n
n!
= Cpn =
p
p!(n p)!
n
4
COURS
BCPST1
EprobCO
CHAPITRE : 19
ESPACES PROBABILISES FINIS
1 / Vocabulaire :
1.1 On appelle épreuve, une expérience aléatoire succeptible d’être répétée.
1.2 Lorsque l’on e¤ectue une expérience aléatoire, certains faits liés à cette expérience
peuvent se produire ou non. On les appelle évènements.
1.3 A chaque expérience aléatoire, on peut associer un ensemble , appelé univers,
tel que chaque évènement puisse être représenté par une partie de :
Dans ce cours, on suppose toujours que est un ensemble …ni et on note P( )
l’ensemble des parties de :
1.4 Les singletons f!g de P( ) sont appelés évènements élémentaires.
1.5 Le couple ( ; P( )) est appelé espace probabilisable …ni.
1.6 Tout évènement qui n’est jamais réalisé est dit évènement impossible.
1.7 Tout évènement qui est toujours réalisé est dit évènement certain.
1.8 Soient A et B deux évènements de P( ): A et B sont dits disjoints ou incompatibles
si A \ B = ;
1.9 Un système complet d’évènements (ou partition de ) est une famille (Ai )1 i n
d’évènements de tels que :
8 (i; j) 2 [[1; n]]2 ; i 6= j =) Ai \ Aj = ; c’est à dire que les évènements Ai sont
deux à deux incompatibles.
n
S
Ai =
i=1
2 / Notations :
! est un résultat possible de l’épreuve
!2
f!g
! est un évènement élémentaire
A
A est un évènement
A
évènement contraire de A
A\B
signi…e que A et B sont réalisés
A[B
signi…e que A ou B sont réalisés ( ’ou’inclusif )
AnB
signi…e que A est réalisé mais pas B
A
B
signi…e que soit A soit B est réalisé, mais pas les deux ( ’ou’exclusif )
A
B
signi…e que la réalisation de A implique celle de B
5
.
3 / Probabilités :
3.1 Dé…nition :
Soit ( ; P( )) un espace probabilisable …ni, on appelle probabilité toute
application P dé…nie de P( ) vers [0; 1] et véri…ant les conditions suivantes :
P[ ] = 1
Pour toute famille (Ai )1 i n d’évènements deux à deux incompatibles on a :
n
n
S
P
P
Ai =
P [Ai ]
i=1
i=1
3.2 Vocabulaire:
Le triplet ( ; P( ); P ) est appelé espace probabilisé …ni.
Pour tout évènement A de P( ); le réel P [A] est appelé probabilité de l’évènement A:
3.3 Propriétés:
Soit ( ; P( ); P ) un espace probabilisé …ni.
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.3.4
3.3.5
3.3.6
P [A] = 1 P [A]
P [;] = 0
P [A8B] = P [A] P [A \ B]
Si A B alors P [A] P [B]
P [A [ B] = P [A] + P [B] P [A \ B]
Inégalité de Boole : soit (Ai )1 i n une famille d’évènements,
n
n
S
P
alors P
Ai
P [Ai ]
i=1
i=1
3.4 Formule du crible (ou de Poincarré):
Soit (Ai )1 i n une famille d’évènements , alors
n
n
S
P
P
P
Ai =
P [Ai ]
P [Ai1 \ Ai2 ] +
i=1
i=1
n+1
.............+( 1)
1 i1 <i2 n
P [Ai1 \ Ai2 \ :::::: \ Ain ]
P
1 i1 <i2 <i3 n
P [Ai1 \ Ai2 \ Ai3 ] +
3.5 Formule du crible pour un système complet d’évènements:
Si (Ai )1
i n
est un système complet d’évènements alors P
n
S
Ai =
i=1
3.6 Théorèmes :
n
P
P [Ai ]
i=1
Soit
= f! 1 ; ! 2 ; :::; ! n g et soient p1 ; p2 ; ::::; pn
n nombres réels ,
n
P
3.6.1 Si 8 i 2 [[1; n]] pi 0 et
pi = 1 alors l’application P dé…nie pour
i=1
tout i de [[1; n]] par P [f! i g] = pi est une probabilité et est unique.
3.6.2 Réciproquement, si P est une probabilité telle que 8 i 2 [[1; n]]
n
P
alors 8i 2 [[1; n]] : pi 0 et
pi = 1
P [f! i g] = pi
i=1
6
.
3.7 Probabilité uniforme.:
3.7.1 Dé…nition .: probabilité uniforme ou equiprobabilité
Il y a équiprobabilité lorsque les probabilités de tous les évènements élémentaires
sont égales ; on parle alors de probabilité uniforme.
3.7.2 Théorème :
S’il y a équiprobabilité alors pour tout évènement A de P( ) on a :
card(A)
P [A] =
.
card( )
4 / Probabilités conditionnelles :
4.1 Dé…nition : probabilité conditionnelle
Soit ( ; P( ); P ) un espace probabilisé …ni et soient A et B deux évènements de P( ):
On appelle probabilité conditionnelle de l’évènement B sachant que A est réalisé
l’application PA dé…nie si P [A] n’est pas nulle par :
P [A \ B]
8 B 2 P( ) PA [B] = P [B=A] =
P [A]
Remarque : P [A \ B] = P [B=A] P [A] = P [A=B] P [B]
4.2 Propriétés :
4.2.1 L’application PA est une probabilité.
4.2.2 P [B=A] = 1 P [B=A]
4.2.3 P [(B1 [ B2 )=A] = P [B1 =A] + P [B2 =A]
P [(B1 \ B2 )=A]
4.3 Formule des probabilités composées : ou du ”conditionnement successif ”
Soit (Ai )1 i n une famille d’évènements telle que P [A1 \ A2 \ :::: \ An 1 ] 6= 0, alors
n
T
P
Ai = P [A1 ] P [A2 =A1 ] P [A3 =(A1 \ A2 )] ::::: P [An =(A1 \ A2 \ :::: \ An 1 )]
i=1
4.4 Formule des probabilités totales :
Soit (Ai )1 i n un système complet d’évènements de probabilités non nulles .
Pour toutn évènement B on
a
n
P
P
P [B] =
P [Ai \ B] =
P [Ai ] P [B=Ai ]
i=1
i=1
Cas particulier : si P [A] et P A sont non nulles alors
P [B] = P [A] P [B=A] + P A
P [B=A]
4.5 Formule de Bayes:
Soit (Ai )i2I un système complet d’évènements de probabilités non nulles et soit B un
évènement tel que P [B] 6= 0
P [Ai ] P [B=Ai0 ]
pour tout i0 2 I ; on a : P [Ai0 =B] = P 0
P [Ai ] P [B=Ai ]
i2I
7
.
5 / Indépendance en probabilité :
5.1 Dé…nition : évènements indépendants
Soit ( ; P( ); P ) un espace probabilisé …ni. Deux évènements A et B de P( ) sont
dits indépendants pour la probabilité P si et seulement si P [A \ B] = P [A] P [B]
ou encore : P [B=A] = P [B] et P [A=B] = P [A]
5.2 Propriétés :
Si deux évènements A et B de P( ) sont indépendants pour la probabilité P alors :
A et B ; A et B; A et B le sont également pour P .
5.3 Propriétés :
Si P [A] = 0 ou P [A] = 1 alors A est indépendant de tout autre évènement.
5.4 Dé…nition famille mutuellement indépendante :
Dans ( ; P( ); P ); la famille d’évènements (Ai )1 i n est dite mutuellement
indépendante pour la probabilité P si pour toute partie I incluse dans [[1; n]]
T
Q
on a : P
Ai =
P [Ai ]
i2I
i2I
5.5 Dé…nition : évènements deux à deux indépendants :
Dans ( ; P( ); P ); la famille (Ai )1 i n est une famille d’évènements deux à deux
indépendants pour la probabilité P si 8 (i; j) 2 [[1; n]]2 avec i 6= j on a :
P [Ai \ Aj ] = P [Ai ] P [Aj ]
5.6 Propriétés :
L’indépendance mutuelle entraine l’indépendance deux à deux.
Attention : la réciproque est fausse.
5.7 Propriétés :
Dans ( ; P( ); P ); si la famille (Ai )1 i n est mutuellement indépendante,
(respectivement si les évènements sont deux à deux indépendants ) alors la famille
(Bi )1 i n où Bi désigne soit Ai soit Ai est également une famille mutuellement
indépendante, (respectivement , ses évènements sont deux à deux indépendants ).
5.8 Dé…nition : épreuves indépendantes
Des épreuves sont dites indépendantes si les évènements associés à ces épreuves sont
mutuellement indépendants.
8
COURS
VarAlCO
BCPST1
CHAPITRE : 20
VARIABLES ALEATOIRES REELLES
1 Variable aléatoire réelle :
1.1 Dé…nition :
Soit ( ; P( )) un espace probabilisable …ni, on appelle variable aléatoire réelle
toute application X dé…nie de vers R .
!R
X :
On note X( ) l’ensemble des valeurs prises par X :
! ! X(!)
Une variable aléatoire est dite discrète si X( ) est un ensemble dénombrable.
Elle est dite discrète et …nie si X( ) est un ensemble …ni.
Elle est dite discrète et in…nie si X( ) est un ensemble dénombrable et in…ni.
1.2 Restrictions :
Dans ce chapitre , X( ) est un ensemble …ni donc : X( ) = fx1 ; x2; ::::::; xn g
On parle alors de variable aléatoire discrète sur un ensemble …ni.
1.3 Notations :
8 i 2 f1; 2; :::::; ng, l’évènement (X = xi ) est noté X
X
1
(fxi g) = f! ; ! 2
= X(!) = xi g
8 (a; b) 2 R2 , l’évènement (a < X
X
1
([a; b[) = f! ; ! 2
=a
8 x 2 R , l’évènement (X
X
1
(] 1; x]) = f! ; ! 2
b) est noté X
1
1
(fxi g)
(]a; b])
X(!) < bg
x) est noté X
= X(!)
1
(] 1; x])
xg
1.4 Propriétés :
Soit ( ; P( )) un espace probabilisable …ni, soient X et Y deux v.a.r. dé…nies
sur ( ; P( )) ; soit un nombre réel alors les applications :
X + Y ; X ; XY ; sup(X; Y ) et inf(X; Y ) sont des v.a.r. dé…nies sur ( ; P( )):
2 Loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle :
2.1 Dé…nition :
Soit X une variable aléatoire réelle dé…nie sur un espace probabilisé ( ; P( ); P ) .
Soit X( ) = fx1 ; x2; ::::::; xn g . Dé…nir la loi de probabilité de la v.a.r X c’est
donner les valeurs de P [X = xi ] pour tout i de [[1; n]] :
On parle aussi de loi de distribution de X:
Dans la pratique on ordonne X( ) sous forme d’une suite strictement croissante
et l’on note souvent pi = P [X = xi ]
9
2.2 Théorème :
La donnée de n 8
couples (xi ; pi ) est la loi de probabilité d’une v.a.r. si et
< 8 i 2 [[1; n]] ; pi 0
n
P
seulement si :
pi = 1
:
i=1
3 Fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle :
3.1 Dé…nition :
Soit X une variable aléatoire réelle dé…nie sur un espace probabilisé ( ; P( ); P ) .
On appelle fonction de répartition de la v.a.r. X, la fonction F dé…nie par :
8 x 2 R ; F (x) = P [X x]
3.2 Propriétés :
Soit F la fonction de répartition d’un v.a.r. X dé…nie sur ( ; P( ); P )
avec X( ) = fx1 ; x2; ::::::; xn g et x1 < x2 < :::::: < xn
3.2.1 F (x) 2 [0; 1]
3.2.2 F est croissante sur R
3.2.3 8 (a; b) 2 R2 = a < b ) F (b)
F (a) = P [a < X
3.2.4 8 x 2 ] 1; x1 [ F (x) = 0
3.2.5 8 k 2 [[1; n
1]]
8 x 2 [xk ; xk+1 [ F (x) =
3.2.6 8 x 2 [xn ; +1[ F (x) = 1
3.2.7 8 i 2 [[2; n]]
pi = F (xi )
k
P
b]
pi
i=1
F (xi 1 )
4 Espérance d’une variable aléatoire réelle :
Soit X une variable aléatoire réelle dé…nie sur ( ; P( ); P ) admettant pour loi :
f(xi ; pi ) = 1 i ng
4.1 Dé…nition :
On appelle espérance mathématique ( ou moyenne ) de X
n
P
le nombre réel : E[X] =
xi pi :
i=1
4.2 Dé…nition :
Une variable d’espérance nulle est dite variable centrée.
4.3 Propriétés :
4.3.1 8 (a; b) 2 R2
4.3.2 X
E[aX + b] = aE[X] + b
0 =) E[X]
0
4.3.3 Cas d’une variable certaine
Si X = c alors X est une v.a.r. certaine et E[X] = c
4.4 Théorème : dit ”du transfert”
Soit X une v.a.r., si f 2 A(R; R) alors f (X) est une v.a.r. et E[f (X)] =
n
P
f (xi )pi :
i=1
10
5 Moments, variance et écart type d’une variable aléatoire réelle :
Soit X une variable aléatoire réelle dé…nie sur ( ; P( ); P ).
5.1 Dé…nitions :
5.1.1 Soit r 2 N ; on appelle moment d’ordre r de la v.a.r. X le nombre
n
P
mr (X) = (xi )r :pi m1 (X) = E[X]
m2 (X) = E[X 2 ]
i=1
n
P
E[X])2 ] = (xi
i=1
p
5.1.3 On appelle écart type de X le nombre réel (X) = V (X)
E[X])2 pi
5.1.2 On appelle variance de X le nombre V (X) = E[(X
5.2 Remarques :
La variance de X est la moyenne pondérée des carrés des écarts de X à son espérance.
(X) mesure donc la dispersion de X autour de son espérance E[X]:
5.3 Dé…nition :
Si V (X) = 1 alors X est dite variable réduite
5.4 Propriétés :
5.4.1 V (X)
0
5.4.2 Si X est certaine (ou constante ) alors V (X) = 0.
5.4.3 Si V (X) = 0 alors P (X = E[X]) = 1; X est dite presque sûrement certaine
5.4.4 Formule de Huyghens-Koënig : V (X) = E[X 2 ]
5.4.5 8 (a; b) 2 R2
5.4.6 8 (a; b) 2 R2
(E[X])2
V (aX + b) = a2 V [X]
(aX + b) = jaj : (X)
5.4.7 Inégalité de Markov
Soit X une v.a.r. positive alors 8
> 0 ; P( X
5.4.8 Inégalité de Bienaymé-Tchébychev : 8 " > 0 ; P ( j X
)
E[X]
:
E[X] j
V (X)
"2
" )
6 Lois usuelles :
Soit X une variable aléatoire réelle dé…nie sur ( ; P( ); P ) admettant pour loi :
f(xi ; pi ) = 1 i ng
6.1 Loi uniforme sur [[1; n]]:
6.1.1 Dé…nition :
X suit la loi uniforme si et seulement si : 8 i 2 [[1; n]]
P [X = xi ] =
1
n
6.1.2 Propriétés :
Dans le cas particulier où : X( ) = f1; ::::; ng alors E[X] =
n+1
2
6.2 Loi de Bernoulli B(1; p):
6.2.1 Dé…nition :
Soit p 2 [0; 1]. Une v.a.r. X suit la loi de Bernoulli de paramètre p si et seulement
si : X( ) = f0; 1g avec P [X = 1] = p et P [X = 0] = 1 p: On pose q = 1 p
On note une telle loi : B(1; p) et l’on écrit : X ,! B(1; p)
11
6.2.2 Interprètation :
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n’ayant que deux issues
possibles et e¤ectuée une seule fois.
X = 1 si l’issue est un succès et X = 0 si l’issue est un échec.
6.2.3 Propriétés :
Si X ,! B(1; p) alors : E[X] = p
et V [X] = p:q
6.3 Loi binomiale B(n; p):
6.3.1 Dé…nition :
Soit p 2 [0; 1] on pose q = 1 p ; la v.a.r. X suit la loi binomiale de paramètres n
et p si et seulement si : X( ) = f0; 1; ::::; ng avec
: 8 k 2 [[0; n]]
n
k n k
P [X = k] = k :p :q : On note une telle loi : B(n; p) et l’on écrit X ,! B(n; p):
6.3.2 Interprétation :
On considère une suite de n épreuves de Bernoulli indépendantes et de même
paramètre p: La v.a.r. X égale au nombre de succès obtenus, suit la loi
binomiale B(n; p)
6.3.3 Domaine d’application :
Dans un ensemble E de N éléments on étudie un caractère C. Soit p la proportion
d’éléments de E possédant ce caractère C;
Si on extrait au hasard, avec ordre et remise, une suite de n éléments de E alors
la v.a.r. X qui indique le nombre d’éléments possédant le caractère …xé, suit la loi
binomiale B(n; p)
6.3.4 Propriétés : si X ,! B(n; p) alors : E[X] = n.p et V [X] = n:p:q
6.4 Loi hypergéométrique H(N; n; p):
6.4.1 Dé…nition :
Soient N 2 N ; n 2 N ; p 2 [0; 1] = N:p 2 N , q = 1 p:
Une v.a.r. X suit la loi hypergéométrique de paramètres
N ; n et p si et seulement si : X( ) f0; 1; ::::; ng
et 8 k 2 X( ) P [X = k] =
N:p
k
N:q
n k
N
n
:
On note une telle loi : H(N; n; p) et l’on écrit X ,! H(N; n; p)
6.4.2 Domaine d’application :
Dans un ensemble E de N éléments on étudie un caractère C. Soit p la proportion
d’éléments de E possédant ce caractère C. Si l’on extrait une poignée de n
éléments de E alors la v.a.r. X indiquant le nombre d’éléments possédant le
caractère C, suit la loi hypergéométrique H(N; n; p)
6.4.3 Propriétés : Si X ,! H(N; n; p) alors : E[X] = n.p
6.5 Approximation d’une loi hypergéométrique par une loi binomiale :
6.5.1 Théorème :
Lorsque N tend vers +1 la loi hypergéométrique H(N; n; p) converge vers
la loi binomiale B(n; p)
6.5.2 Condition d’approximation :
Dans la pratique cette approximation est possible dès que N > 10:n
12
COURS
CplVarCO
BCPST1
CHAPITRE : 21
COUPLE ET SUITE DE V.A.R.
1 Loi conjointe d’un couple de variables aléatoires réelles :
1.1 Dé…nition :
Soit (X; Y ) un couple de v.a.r. dé…nies sur ( ; P( ); P )
On pose X( ) = fx1 ; x2; ::::::; xr g et Y ( ) = fy1 ; y2; ::::::; ys g
On appelle loi de probabilté du couple (X; Y ) ou loi conjointe de X et de Y les
triplets (xi ; yj ; pij ) avec (i; j) 2 [[1; r]] [[1; s]] et pij = P [(X = xi ) \ (Y = yj )]
1.2 Propriétés :
La donnée de triplets (xi ; yj ; pij ) avec (i; j) 2 [[1; r]] [[1; s]] est la loi de probabilité
8
< 8 (i; j) 2 [[1; r]] [[1; s]] pij 0
r P
s
d’un couple de v.a.r. si et seulement si P
pij = 1
:
i=1 j=1
2 Lois marginales d’un couple de variables aléatoires réelles :
2.1 Dé…nition :
Soit (X; Y ) un couple de v.a.r. dé…nies sur ( ; P( ); P ):
Chacune des lois X et Y est appelée variable marginale du couple (X; Y ) .
Les lois des v.a.r. X et Y sont appelées lois marginales :
On note ces lois : P [X = xi ] = pi et P [Y = yj ] = p j
2.2 Propriétés :
Connaissant la loi de probabilité d’un couple de v.a.r. (X; Y ); on détermine les lois
s
P
de X et Y en posant : 8 i 2 [[1; r]] ; pi = P [X = xi ] =
pij et
8 j 2 [[1; s]] ; p
j
= P [Y = yj ] =
r
P
j=1
pij
i=1
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3 Lois conditionnelles d’un couple de variables aléatoires réelles :
3.1 Dé…nition :
Soit (X; Y ) un couple de v.a.r. dé…nies sur ( ; P( ); P ) on appelle :
Loi conditionnelle de X sachant (Y = yj ), la donnée pour tout xi de :
P [ (X = xi ) \ (Y = yj ) ] pij
P [ (X = xi ) = (Y = yj ) ] =
=
P [Y = yj ]
pj
Loi conditionnelle de Y sachant (X = xi ), la donnée pour tout yj de :
P [ (X = xi ) \ (Y = yj ) ] pij
P [ (Y = yj ) = (X = xi ) ] =
=
P [X = xi ]
pi
4 Somme , produit et image d’un couple de variables aléatoires réelles :
4.1 Dé…nition : loi de la somme et du produit
Soit (X; Y ) un couple
P de v.a.r. dé…nies sur ( ; P( ); P );
P [X + Y = z] =
P [ (X = xi ) \ (Y = yj ) ] et
xi +yj =z
P
P [X Y = z] =
P [ (X = xi ) \ (Y = yj ) ]
xi yj =z
4.2 Propriété : espérance de l’image
Soit (X; Y ) un couple de v.a.r. dé…nies sur ( ; P( ); P ); soit u une fonction
de X( ) Y ( ) vers R . Si Z est la v.a.r.!dé…nie par : Z = u(X; Y )
P
P
alors E[ Z ] =
u(xi ; yj )pij
xi 2X( ) yj 2Y ( )
!
r
s
P
P
4.2.1 en particulier : E[ X Y ] =
xi yj pij
i=1
j=1
4.3 Propriété : linéarité de l’espérance
( ; ) 2 R2
E[ :X + :Y ] = :E[ X ] + :E[ Y ]
5 Covariance, coe¢ cient de corrélation linéaire :
5.1 Dé…nition :
Soit (X; Y ) un couple de v.a.r. dé…nies sur ( ; P( ); P );
On appelle covariance de X et Y le nombre : cov(X; Y ) = E[(X
E(X)):(Y
E(Y ))]
5.2 Propriétés :
5.2.1 cov(X; Y )=cov(Y; X)
5.2.2 V (X) = cov(X; X)
5.2.3 cov(X; Y ) = E[XY ]
E[X]:E[Y ] ou E[XY ] = E[X]:E[Y ] + cov(X; Y )
5.2.4 8 (a; b; c; d) 2 R4 cov(aX + b; cY + d) = a:c:cov(X; Y )
14
.
5.2.5 V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2:cov(X; Y )
5.2.6 V (X
Y ) = V (X) + V (Y )
2:cov(X; Y )
5.2.7 8 (a; b) 2 R2 V (a:X + b:Y ) = a2 :V (X) + b2 :V (Y ) + 2:a:b:cov(X; Y )
5.3 Dé…nition :
Soient X; Y deux v.a.r. d’écarts types non nuls.
On appelle coe¢ cient de corrélation linéaire des v.a.r. X et Y le nombre :
cov(X; Y )
( X; Y ) =
(X): (Y )
5.4 Propriétés :
5.4.1 8 (a; b; c; d) 2 R4 ( a:X + b; cY + d ) = ": ( X; Y )
avec " = 1 si a:c > 0 et " = 1 si a:c < 0
5.4.2 On a toujours
1
(X; Y )
1
5.4.3 j (X; Y ) j = 1 si et seulement si il existe deux nombres réels a et b tels que:
P ( Y = aX + b ) = 1
6 Indépendance d’un couple de variables aléatoires réelles :
6.1 Dé…nition :
Soit (X; Y ) un couple de v.a.r. dé…nies sur ( ; P( ); P ) . les v.a.r. X et Y sont dites
indépendantes si 8 i 2 [[1; r]] et 8 j 2 [[1; s]] on a :
P [ (X = xi ) \ (Y = yj ) ] = P [ X = xi ] P [Y = yj ]
6.2 Propriétés :
Soit (X; Y ) un couple de v.a.r.
6.2.1
(X; Y ) indépendantes =) E[ X
6.2.2
(X; Y ) indépendantes =) cov[X; Y ] = 0
6.2.3
(X; Y ) indépendantes =) V [ X + Y ] = V [ X ] + V [ Y ]
6.2.4
(X; Y ) indépendantes =) V [ X
6.2.5
(X; Y ) indépendantes =) (X; Y ) = 0
Y ] = E[ X ]
E[ Y ]
Y ]=V[ X ]+V[ Y ]
6.3 Propriété :
Soit (X; Y ) un couple de v.a.r. indépendantes dé…nies sur ( ; P( ); P ).
Soit f et g deux fonctions numériques dé…nies respectivement sur X( ) et Y ( )
alors f (X) et g(Y ) sont deux v.a.r. indépendantes dé…nies sur ( ; P( ); P )
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7 Généralisation au cas de n variables aléatoires réelles :
7.1 Dé…nition :
Soient X1 ; X2 ; :::; Xn n v.a.r. dé…nies sur ( ; P( ); P )
La loi de probabilité du vecteur aléatoire (X1 ; X2 ; :::; Xn ) ou loi conjointe
des n v.a.r. X1 ; X2 ; :::; Xn est l’ensemble :
n
T
(x1 ; x2 ; :::; xn ) ; P
(Xi = xi )
= 8 i 2 [[1; n]] ; xi 2 Xi ( )
i=1
La loi de la v.a.r. Xi est appelée loi marginale de Xi :
7.2 Dé…nition : Espérance d’une somme
Soient X1 ; X2 ; :::; Xn n v.a.r. dé…nies sur ( ; P( ); P ). Soient
n
n
P
P
E
( i :Xi ) =
i :E [Xi ]
i=1
1;
2 ; :::;
n
n réels,
i=1
7.3 Dé…nition :
Soient X1 ; X2 ; :::; Xn n v.a.r. indépendantes dé…nies sur ( ; P( ); P ).
Les variables X1 ; X2 ; :::; Xn sont dites deux à deux indépendantes lorsque :
8 (i; j) 2 [[1; n]]2 i 6= j Xi et Xj sont indépendantes. C’est à dire :
P [(Xi = xi ) \ (Xj = xj )] = P [(Xi = xi )] P [(Xj = xj )]
7.4 Dé…nition :
Soient X1 ; X2 ; :::; Xn n v.a.r. indépendantes dé…nies sur ( ; P( ); P ).
Les variables X1 ; X2 ; :::; Xn sont dites mutuellement indépendantes lorsque :
toute sous famille (Xi1 ; Xi2 ; :::; Xik ) de k v.a.r. extraites de (Xi )1 i n véri…e
i=k
i=k
T
Q
P
(Xi = xi ) =
P (Xi = xi ):
i=1
i=1
Remarque : Si des v.a.r. sont muellements indépendantes alors elle le sont deux
à deux. La réciproque est fausse.
7.5 Propriété :
Si X1 ; X2 ; :::; Xn
sont n v.a.r. de Bernouilli indépendantes et de
n
P
même paramètre p dé…nies sur ( ; P( ); P ) alors la v.a.r
Xi
i=1
suit la loi binomiale de paramètres n et p
7.6 Propriété :
Soient X1 ; X2 ; :::; Xn n v.a.r. indépendantes dé…nies sur ( ; P( ); P ).
alors toute sous famille extraite est également indépendante.
7.7 Propriété :
Soient X1 ; X2 ; :::; Xn
n v.a.r. indépendantes dé…nies sur ( ; P( ); P ).
7.7.1 Soit f et g deux fonctions numériques
alors f (X1 ; X2 ; :::; Xn ) et g(X1 ; X2 ; :::; Xn ) sont deux v.a.r. indépendantes.
7.7.2 Soit p 2 [[1; n]] et soit (fi )1 i p une famille de p fonctions numériques
alors f1 (X1 ); f2 (X2 ); ::::::; fp (Xp ) sont indépendantes.
7.8 Propriété : variance d’une somme de n v.a.r.
Soient X1 ; X2 ; :::; Xn n v.a.r. dé…nies sur ( ; P( ); P )
n
n
n
P
P
P
V
Xi =
V (Xi ) + 2:
cov(Xi ; Xj )
i=1
i=1
1 i<j n
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