COURS BCPST1 DenombCO CHAPITRE : 6 DENOMBREMENT 1

COURS BCPST1 DenombCO
CHAPITRE : 6
DENOMBREMENT
1 / Ensembles …nis :
1.1 Dé…nition :
Un ensemble Eest dit …ni s’il est vide ou s’il existe un entier net une bijection
de [[1; n]] vers E. L’entier nest appelé cardinal de E:
Notation :Card(E) = n:
Convention : Si E=;alors Card(E) = 0
Vocabulaire : Dénombrer un ensemble, c’est déterminer son cardinal, c’est à dire
évaluer le nombre de ses éléments .
1.2 Propriétés:
1.2.1 Soient Eet Fdeux ensembles …nis. Il existe une bijection entre Eet F
si et seulement si card(E) = card(F).
1.2.2 Soient Eet Fdeux ensembles …nis. Si FE
alors card(F)card(E).
1.2.3 Soient Eet Fdeux ensembles …nis . Si FEet card(E) = card(F)
alors E=Fet réciproquement.
1.2.4 Soient Eet Fdeux ensembles …nis de même cardinal et soit fune application
de Edans Falors :finjective () fsurjective () fbijective
1.3 Propriétés:
Soient Aet Bdeux parties d’un ensemble …ni E;
1.3.1 Si Aet Bsont disjoints alors card(A[B) = card(A) + card(B)
1.3.2 card(ArB) = card(A)card(A\B)
1.3.3 card(A) = card(E)card(A)
1.3.4 card(A[B) = card(A) + card(B)card(A\B)
1.4 Formule du crible ou de Poincaré:
Soit (Ai)1inune famille de parties d’un ensemble E…ni, alors
card(
n
S
i=1
Ai) =
n
P
i=1
card(Ai)P
1i1<i2n
card(Ai1\Ai2) + P
1i1<i2<i3n
card(Ai1\Ai2\Ai3)+
.............+(1)n+1card(Ai1\Ai2\:::::: \Ain)
1

1.5 Corollaire :
Si (Ai)1inest un système complet d’un ensemble E…ni, alors
card(E) =
n
P
i=1
card(Ai)
1.6 Théorème :
Si Eet Fsont deux ensembles …nis alors card(EF) = card(E)card(F)
1.7 Théorème :
Si Eest un ensemble …ni alors card(En) = (card(E))n
2 / p-listes d’un ensemble :
2.1 Dé…nition :
On désigne par pliste (ou puplet)d’un ensemble E…ni, toute suite
de péléments de E:
Deux plistes comportant les mêmes éléments en ordre di¤érents sont distinctes.
Une plistes peut contenir plusieurs fois le même élément de E.
2.2 Théorème :
Dans un ensemble contenant néléments, le nombre de plistes distinctes est np.
2.3 Domaine d’application :
Tirages successifs avec remise.
2.4 Théorème :
Il existe npapplications d’un ensemble à péléments vers un ensemble à néléments .
2.5 Théorème :
Si card(E) = nalors card(P(E)) = 2n:
3 / p-listes d’éléments distincts ou arrangements :
3.1 Dé…nition :
Dans un ensemble E…ni;toute suite de péléments distincts est appelée : arrangement
de péléments de E: (ou parfois plistes d’éléments distincts )
Deux arrangements comportant les mêmes éléments en ordre di¤érents sont distincts.
Un arrangement ne peut pas contenir plusieurs fois le même élément.
3.2 Théorème :
Dans un ensemble contenant néléments, le nombre d’arrangement de péléments
distincts est : Ap
n=n!
(np)! (1 pn)
3.3 Domaine d’application :
Tirages successifs sans remise .
3.4 Théorème :
Il existe Ap
ninjections d’un ensemble à péléments vers un ensemble à néléments .
2

3.5 Dé…nition :
Si card(E) = n; on appelle permutation : tout arrangement des néléments de E:
Le nombre de permutations de néléments est n!
3.6 Théorème :
Il existe n!bijections d’un ensemble à néléments vers un ensemble à néléments .
4 / Parties d’un ensemble ou combinaisons :
4.1 Dé…nition :
Dans un ensemble E…ni, toute famille non ordonnée d’éléments distincts est
appelée combinaison. ( On parle également de poignée ).
Dans une combinaison, l’ordre n’importe pas.
Une combinaison ne peut pas contenir plusieurs fois le même élément.
4.2 Théorème :
Dans un ensemble contenant néléments, le nombre de combinaisons de péléments
distincts est : n
p=Cp
n=n!
p!(np)! (0 pn)
4.3 Domaine d’application :
Tirages par poignées .
4.4 Théorème :
Soit Eun ensemble ordonné croissant de péléments, et soit Fun ensemble ordonné
croissant de néléments.
Il existe n
papplications strictement croissantes de Evers F:
4.5 Formules :
4.5.1 8n2Net 8p2[[0; n]]
4.5.1.1 n
p=n np4.5.1.2 n 0=n n= 1
4.5.2 8n2Net 8p2[[1; n]]
4.5.2.1 Ap
n=nAp1
n14.5.2.2 n
1=n n1=n4.5.2.3 pn p=nn1 p1
4.5.3 convention : x
y= 0 si x<y
4.5.4 8n2Net 8p2[[1; n 1]] Formule du triangle de Pascal :
n
p=n1 p1+n1 p
3

.
4.5.5 8(a; b)2C2et 8n2NFormule du binôme de Newton :
(a+b)n=
n
P
k=0 n
kakbnk
4.5.6 8(a; b)2N2et 8n2Navec nmin(a; b)Formule de Vandermonde :
n
P
k=0 a
k b nk=a+b n
5 / Récapitulatifs :
Méthode de tirage
des péléments parmi nConditions Nombre de tirages
Tirages avec remise,
éléments distincts ou non,
éléments ordonnés :
P-LISTE
net pnon nuls
Nombre de plistes de p
éléments choisis parmis n:
np
Tirages sans remise,
éléments distincts,
éléments ordonnés :
ARRANGEMENTS ou
P-LISTE d’éléments distincts
0pn
Nombre d’arrangements de p
éléments choisis parmi n:
Ap
n=n!
(np)!
cas particulier d’arrangements :
PERMUTATIONS p=nNombre de permutations de n éléments : n!
Tirages simultanés ou par poignées,
éléments distincts,
éléments non ordonnés :
COMBINAISONS
0pn
Nombre de combinaisons de p
éléments choisis parmi n:
n
p=Cp
n=n!
p!(np)!
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COURS BCPST1 EprobCO
CHAPITRE : 19
ESPACES PROBABILISES FINIS
1 / Vocabulaire :
1.1 On appelle épreuve, une expérience aléatoire succeptible d’être répétée.
1.2 Lorsque l’on e¤ectue une expérience aléatoire, certains faits liés à cette expérience
peuvent se produire ou non. On les appelle évènements.
1.3 A chaque expérience aléatoire, on peut associer un ensemble , appelé univers,
tel que chaque évènement puisse être représenté par une partie de :
Dans ce cours, on suppose toujours que est un ensemble …ni et on note P()
l’ensemble des parties de :
1.4 Les singletons f!gde P() sont appelés évènements élémentaires.
1.5 Le couple (;P()) est appelé espace probabilisable …ni.
1.6 Tout évènement qui n’est jamais réalisé est dit évènement impossible.
1.7 Tout évènement qui est toujours réalisé est dit évènement certain.
1.8 Soient Aet Bdeux évènements de P(): A et Bsont dits disjoints ou incompatibles
si A\B=;
1.9 Un système complet d’évènements (ou partition de ) est une famille (Ai)1in
d’évènements de tels que :
 8 (i; j)2[[1; n]]2; i 6=j=)Ai\Aj=;c’est à dire que les évènements Aisont
deux à deux incompatibles.
n
S
i=1
Ai= 
2 / Notations :
!2!est un résultat possible de l’épreuve
f!g  !est un évènement élémentaire
AAest un évènement
Aévènement contraire de A
A\Bsigni…e que Aet Bsont réalisés
A[Bsigni…e que Aou Bsont réalisés ( ’ou’inclusif )
AnBsigni…e que Aest réalisé mais pas B
ABsigni…e que soit Asoit Best réalisé, mais pas les deux ( ’ou’exclusif )
ABsigni…e que la réalisation de Aimplique celle de B
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