Feuille 1 – Révisions - Algèbre linéaire et polynômes

Université Paris-Est Créteil Maths
Algèbre III Réduction des endomorphismes L2-S4
Feuille 1 –Révisions - Algèbre linéaire et polynômes
Exercice 1.1 Soit A∈Mn(R)un matrice carrée. On considère l’application LA:Mn(R)→Mn(R)
définie par LA(M) = AM.
1. Quelle est la dimension de Mn(R)?
2. Montrez que LAest linéaire.
3. Montrez que LAest un isomorphisme si et seulement si Aest inversible.
4. On suppose que n= 2. Soit Bla base de Mn(R)constitué des n2matrices n’ayant qu’un seul
coefficient non-nul égal à 1. Donnez la matrice de LAdans cette base en fonction des coefficients
aij de A.
Exercice 1.2 Calculer les déterminants suivants :
1 2 3 4
1 1 2 3
1 1 1 2
1 1 1 1
et 
t111
1t1 1
1 1 t1
111t
Exercice 1.3 Soient A, B, C, D ∈Mn(R), on suppose que Dest inversible et commute avec C. Montrer
que
det A B
C D!= det(AD −BC).
Cherchez une matrice Mtriangulaire inférieure par blocs telle que A B
C D!M= AD −BC ∗ 0∗!.
Exercice 1.4 Montrer que si Aet Bsont deux matrices carrées à coefficients réels qui commutent alors
det(A2+B2)≥0.
Exercice 1.5 Soit Aet Bdans Mn(R)deux matrices semblables sur Mn(C), montrez qu’elles sont
semblables sur Mn(R).
Exercice 1.6 Soit a, b, c des complexes, où b6=c, et M(a, b, c)la matrice carrée de taille ndont :
— Les coefficients diagonaux sont tous égaux à a.
— Les coefficients sur-diagonaux sont tous égaux à b.
— Les coefficients sous-diagonaux sont tous égaux à c.
1. Soit P(X) = det(M(a−X, b −X, c −X)). Montrez que Pest un polynôme de degré inférieur ou
égal à 1. Pour j > 1, effectuez Lj←Lj−L1.
2. Calculez P(b)et P(c). Déduisez-en det(M(a, b, c)).
3. Que devient ce résultat quand b=c?
1

Exercice 1.7 Soient z= (zi)i=1,...,n+1 ∈Cn+1 une famille de points distincts dans le plan complexe.
On considère l’application Ez:Cn[X]→Cn+1 définie par Ez(P)=(P(z1), . . . , P (zn+1)).
1. Vérifier que Eest linéaire et déterminer sa matrice Vndans la base canonique de Cn[X].
2. Montrer par récurrence sur nla formule de Vandermonde :
det Vn=Y
1≤i<j≤n
(zj−zi).
3. En déduire que pour tout ζ∈Cn+1, il existe un unique polynome Ptel que Ez(P) = ζ. On dit
que Pest l’interpolateur de Lagrange des points (zi, ζi)i=1,...,n+1.
4. En déduire qu’un polynome non nul de degré nadmet au plus nracines dans C.
Exercice 1.8 Factorisez en produit de polynômes irréductibles sur C[X]et R[X]les polynômes suivants :
1. X3−3X2+ 4,
2. X4−2X2+ 1,
3. X3−1,
4. X5−1.
Lesquels sont scindés sur R? sur C? à racines simples ?
Exercice 1.9 On rappelle qu’une matrice carrée Mest dite nilpotente s’il existe un entier ktel sur
Mk= 0. On suppose que Mest une matrice nilpotente.
1. Montrez que Mn’est pas inversible.
2. En déduire qu’il existe une matrice inversible Ptelle que P−1MP a sa première colonne identi-
quement nulle. On effectuera un changement de base où le premier vecteur de la nouvelle base est
dans le noyau de M.
3. Montrez par récurrence que toute matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire
supérieure dont les coefficients diagonaux sont tous nuls.
2

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Algèbre III Réduction des endomorphismes L2-S4
Feuille 2 –Techniques élémentaires de calcul
A. Valeurs propres. Vecteurs propres. Espaces propres.
Exercice 2.1 Soit Eun espace vectoriel et uun endomorphisme de E. On suppose que, pour tout
x∈E, il existe λ∈Rtel que u(x) = λx. Montrer alors que uest une homothétie ; c’est-à-dire il existe
µ∈Rtel que u=µId.
Exercice 2.2 Soit E1un espace vectoriel de dimension n1et E2un espace vectoriel de dimension n2.
On se donne des applications linéaires fij :Ei→Ej. On pose E=E1×E2. Et on définit f:E→E
par :
f: (v1, v2)∈E1×E27→ (f11(v1) + f21(v2), f12(v1) + f22(v2)) ∈E1×E2.
On suppose E1et E2munis de bases B1et B2et on note Mji la matrice de fij dans ces bases.
1. Montrez que :
B={(v1,0) ∈E1×E2|v1∈ B1}∪{(0, v2)∈E1×E2|v2∈ B2}
est une base de E.
2. Déterminez la matrice de fdans la base B.
3. On suppose maintenant que f12 = 0L(E1,E2). Les assertions suivantes sont elles vraies ou fausses :
—fest bijective si et seulement si f11 et f22 le sont.
— Si v1est vecteur propre de f11 alors (v1,0) est vecteur propre de f.
— Si v2est vecteur propre de f22 alors (0, v2)est vecteur propre de f.
— Si λ1est valeur propre de f11 alors λ1est valeur propre de f.
— Si λ2est valeur propre de f22 alors λ2est valeur propre de f.
SI vous répondez « vrai » démontrez l’affirmation, si vous répondez « faux », produisez un contre
exemple !
Remarque : il n’est pas nécessaire d’utiliser l’écriture matricielle de la question 2, mais ça peut
aider.
Exercice 2.3 Soit v= (1,2,3) ∈R3. On définit
f:R3→R3
X7→ v∧X.
1. Montrer que fest linéaire. Ecrire la matrice Ade fdans la base canonique B= (e1, e2, e3)de
R3. Vérifier que Aest antisymétrique.
2. Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de f.
3. Montrer que B0= (e1, e1+e2, e1+e2+e3)est une base de R3. Montrer que la matrice de fdans
cette base est
B=
−3−6−3
543
−2−1−1
La propriété d’antisymétrie est-elle un invariant de la classe de conjugaison ?
3

4. Soit wun vecteur orthogonal à v. Déterminer géométriquement f(w). Déterminer une base de R3
dans laquelle la matrice de fest de la forme
C=
0 0 0
0 0 −α
0α0
Exercice 2.4 Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres associés des matrices suivantes.
A=
0 2 −2
−1 3 1
−3 3 1 
B=
2 1 −1
1 2 −1
0 0 1 
C=
4−3−2
0 2 0
2−3 0 
D=
001
010
100
E=
1 0 2 0
0 1 0 2
2 0 1 0
0 2 0 1
F=
3−760
1−560
1−120
1−102
Exercice 2.5 Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de l’application linéaire
T:P7→ XP 0(X)
dans R[X].
B. Polynôme caractéristique.
Exercice 2.6 Soit mun réel non nul, on considère la matrice Adéfinie par :
A=
0m m2
1/m 0m
1/m21/m 0
1. Calculer A2.
2. En déduire les valeurs propres de A. Quels sont les expressions possibles pour χA(x)?
3. Déterminer les espaces propres de A.
4. Sans calculs supplémentaires, déterminer χA(x).
Exercice 2.7 Soit A∈M3(R).
1. Classifier toutes les factorisations possible de χA(x)dans R[x].
2. Dans chacun des cas, déterminer toutes les dimensions possibles des espaces propres de A.
3. Vérifiez que chaque possibilité que vous avez envisagée est effectivement réalisée en donnant un
exemple simple de matrice Aayant cette propriété.
Exercice 2.8 Soit Eun espace vectoriel de dimension finie net uun endomorphisme de E. On suppose
qu’il existe un élément x0∈Enon nul, tel que (ui(x0))i=1,...,n forme une base de E.
1. Montrer que uest bijectif.
2. Montrer qu’il existe a1, ..., an∈Rtels que
un+anun−1+... +a1Id = 0.
4

3. Quelles sont les valeurs propres possibles pour u?
Exercice 2.9 Montrer que le polynome caractéristique d’une matrice compagnon :
A=
0 0 . . . 0−a0
1 0 .
.
.−a1
0 1 ...0−a2
.
.
....0.
.
.
0 0 . . . 1−an−1
est χA(x) = xn+Pakxk.
C. Trigonalisation.
Exercice 2.10 Trigonaliser la matrice A=
3 2 −2
−1 0 1
110
et calculer An.
D. Matrices diagonalisables
Exercice 2.11 Soit A=
1a1
0 1 b
0 0 c
avec a, b, c ∈R.
1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur (a, b, c)pour que Asoit diagonalisable sur R.
2. Diagonaliser Apour a= 0,b= 1,c= 2.
Exercice 2.12 Soit la matrice A=
3 1 −1
1 3 −1
0 0 2 
.
1. Déterminer le polynome caractéristique. Est-il scindé ? Est-il à racines simples ?
2. Calculez (A−4 Id)(A−2 Id).
3. Déterminer α, β ∈Rtels que α(x−4) + β(x−2) = 1 pour tout x∈R.
4. En déduire que Aest diagonalisable.
5. Aest-elle inversible ? Si oui, déterminez A−1.
Exercice 2.13 Soit θ∈R, on considère les deux matrices d’ordre nsuivantes
An=
010··· 0 0
1 0 1 ··· 0 0
0 1 0 ··· 0 0
.
.
..
.
..
.
.....
.
..
.
.
0 0 0 ··· 0 1
0 0 0 ··· 1 0
et Bn=
2 cos θ1 0 ··· 0 0
1 2 cos θ1··· 0 0
0 1 2 cos θ··· 0 0
.
.
..
.
..
.
.....
.
..
.
.
0 0 0 ··· 2 cos θ1
0 0 0 ··· 1 2 cos θ
1. Montrer que det(Bn) = sin(n+1)θ
sin θ
2. En étudiant χAn(−2 cos θ)pour θ∈[0, π], montrer que Anest diagonalisable.
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