Feuille 1 – Révisions - Algèbre linéaire et polynômes

Université Paris-Est Créteil
Maths
Algèbre III Réduction des endomorphismes
L2-S4
Feuille 1 – Révisions - Algèbre linéaire et polynômes
Exercice 1.1 Soit A ∈ Mn (R) un matrice carrée. On considère l’application LA : Mn (R) → Mn (R)
définie par LA (M ) = AM .
1. Quelle est la dimension de Mn (R) ?
2. Montrez que LA est linéaire.
3. Montrez que LA est un isomorphisme si et seulement si A est inversible.
4. On suppose que n = 2. Soit B la base de Mn (R) constitué des n2 matrices n’ayant qu’un seul
coefficient non-nul égal à 1. Donnez la matrice de LA dans cette base en fonction des coefficients
aij de A.
Exercice 1.2 Calculer les déterminants suivants :
1
1
1
1
2
1
1
1
3
2
1
1
4
3
2
1
et
t 1 1 1
1 t 1 1 1 1 t 1
1 1 1 t Exercice 1.3 Soient A, B, C, D ∈ Mn (R), on suppose que D est inversible et commute avec C. Montrer
que
!
A B
= det(AD − BC).
det
C D
!
Cherchez une matrice M triangulaire inférieure par blocs telle que
A B
M=
C D
!
AD − BC ∗
.
0
∗
Exercice 1.4 Montrer que si A et B sont deux matrices carrées à coefficients réels qui commutent alors
det(A2 + B 2 ) ≥ 0.
Exercice 1.5 Soit A et B dans Mn (R) deux matrices semblables sur Mn (C), montrez qu’elles sont
semblables sur Mn (R).
Exercice 1.6 Soit a, b, c des complexes, où b 6= c, et M (a, b, c) la matrice carrée de taille n dont :
— Les coefficients diagonaux sont tous égaux à a.
— Les coefficients sur-diagonaux sont tous égaux à b.
— Les coefficients sous-diagonaux sont tous égaux à c.
1. Soit P (X) = det(M (a − X, b − X, c − X)). Montrez que P est un polynôme de degré inférieur ou
égal à 1. Pour j > 1, effectuez Lj ← Lj − L1 .
2. Calculez P (b) et P (c). Déduisez-en det(M (a, b, c)).
3. Que devient ce résultat quand b = c ?
1
Exercice 1.7 Soient z = (zi )i=1,...,n+1 ∈ Cn+1 une famille de points distincts dans le plan complexe.
On considère l’application Ez : Cn [X] → Cn+1 définie par Ez (P ) = (P (z1 ), . . . , P (zn+1 )).
1. Vérifier que E est linéaire et déterminer sa matrice Vn dans la base canonique de Cn [X].
2. Montrer par récurrence sur n la formule de Vandermonde :
Y
det Vn =
(zj − zi ).
1≤i<j≤n
3. En déduire que pour tout ζ ∈ Cn+1 , il existe un unique polynome P tel que Ez (P ) = ζ. On dit
que P est l’interpolateur de Lagrange des points (zi , ζi )i=1,...,n+1 .
4. En déduire qu’un polynome non nul de degré n admet au plus n racines dans C.
Exercice 1.8 Factorisez en produit de polynômes irréductibles sur C[X] et R[X] les polynômes suivants :
1. X 3 − 3X 2 + 4,
2. X 4 − 2X 2 + 1,
3. X 3 − 1,
4. X 5 − 1.
Lesquels sont scindés sur R ? sur C ? à racines simples ?
Exercice 1.9 On rappelle qu’une matrice carrée M est dite nilpotente s’il existe un entier k tel sur
M k = 0. On suppose que M est une matrice nilpotente.
1. Montrez que M n’est pas inversible.
2. En déduire qu’il existe une matrice inversible P telle que P −1 M P a sa première colonne identiquement nulle. On effectuera un changement de base où le premier vecteur de la nouvelle base est
dans le noyau de M .
3. Montrez par récurrence que toute matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire
supérieure dont les coefficients diagonaux sont tous nuls.
2
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Algèbre III Réduction des endomorphismes
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Feuille 2 – Techniques élémentaires de calcul
A. Valeurs propres. Vecteurs propres. Espaces propres.
Exercice 2.1 Soit E un espace vectoriel et u un endomorphisme de E. On suppose que, pour tout
x ∈ E, il existe λ ∈ R tel que u(x) = λx. Montrer alors que u est une homothétie ; c’est-à-dire il existe
µ ∈ R tel que u = µ Id.
Exercice 2.2 Soit E1 un espace vectoriel de dimension n1 et E2 un espace vectoriel de dimension n2 .
On se donne des applications linéaires fij : Ei → Ej . On pose E = E1 × E2 . Et on définit f : E → E
par :
f : (v1 , v2 ) ∈ E1 × E2 7→ (f11 (v1 ) + f21 (v2 ), f12 (v1 ) + f22 (v2 )) ∈ E1 × E2 .
On suppose E1 et E2 munis de bases B1 et B2 et on note Mji la matrice de fij dans ces bases.
1. Montrez que :
B = {(v1 , 0) ∈ E1 × E2 |v1 ∈ B1 } ∪ {(0, v2 ) ∈ E1 × E2 |v2 ∈ B2 }
est une base de E.
2. Déterminez la matrice de f dans la base B.
3. On suppose maintenant que f12 = 0L(E1 ,E2 ) . Les assertions suivantes sont elles vraies ou fausses :
— f est bijective si et seulement si f11 et f22 le sont.
— Si v1 est vecteur propre de f11 alors (v1 , 0) est vecteur propre de f .
— Si v2 est vecteur propre de f22 alors (0, v2 ) est vecteur propre de f .
— Si λ1 est valeur propre de f11 alors λ1 est valeur propre de f .
— Si λ2 est valeur propre de f22 alors λ2 est valeur propre de f .
SI vous répondez « vrai » démontrez l’affirmation, si vous répondez « faux », produisez un contre
exemple !
Remarque : il n’est pas nécessaire d’utiliser l’écriture matricielle de la question 2, mais ça peut
aider.
Exercice 2.3 Soit v = (1, 2, 3) ∈ R3 . On définit
f : R3 → R3
X 7→ v ∧ X.
1. Montrer que f est linéaire. Ecrire la matrice A de f dans la base canonique B = (e1 , e2 , e3 ) de
R3 . Vérifier que A est antisymétrique.
2. Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de f .
3. Montrer que B 0 = (e1 , e1 + e2 , e1 + e2 + e3 ) est une base de R3 . Montrer que la matrice de f dans
cette base est


−3 −6 −3


4
3
B= 5
−2 −1 −1
La propriété d’antisymétrie est-elle un invariant de la classe de conjugaison ?
3
4. Soit w un vecteur orthogonal à v. Déterminer géométriquement f (w). Déterminer une base de R3
dans laquelle la matrice de f est de la forme


0 0 0


C = 0 0 −α
0 α 0
Exercice 2.4 Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres associés des matrices suivantes.


0 2 −2


A = −1 3 1 
−3 3 1


2 1 −1


B = 1 2 −1
0 0 1

1
0

E=
2
0
0
1
0
2
2
0
1
0
4 −3 −2


0
C = 0 2
2 −3 0


3
1

F =
1
1
0
2


0
1


−7
−5
−1
−1
6
6
2
0


0 0 1


D = 0 1 0 
1 0 0

0
0


0
2
Exercice 2.5 Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de l’application linéaire
T : P 7→ XP 0 (X)
dans R[X].
B. Polynôme caractéristique.
Exercice 2.6 Soit m un réel non nul, on considère la matrice A définie par :


0
m m2


0
m
A =  1/m
1/m2 1/m 0
1. Calculer A2 .
2. En déduire les valeurs propres de A. Quels sont les expressions possibles pour χA (x) ?
3. Déterminer les espaces propres de A.
4. Sans calculs supplémentaires, déterminer χA (x).
Exercice 2.7 Soit A ∈ M3 (R).
1. Classifier toutes les factorisations possible de χA (x) dans R[x].
2. Dans chacun des cas, déterminer toutes les dimensions possibles des espaces propres de A.
3. Vérifiez que chaque possibilité que vous avez envisagée est effectivement réalisée en donnant un
exemple simple de matrice A ayant cette propriété.
Exercice 2.8 Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et u un endomorphisme de E. On suppose
qu’il existe un élément x0 ∈ E non nul, tel que (ui (x0 ))i=1,...,n forme une base de E.
1. Montrer que u est bijectif.
2. Montrer qu’il existe a1 , ..., an ∈ R tels que
un + an un−1 + ... + a1 Id = 0.
4
3. Quelles sont les valeurs propres possibles pour u ?
Exercice 2.9 Montrer que le polynome caractéristique d’une matrice compagnon :

0 0 ... 0

..
1 0
.


.

A = 0 1 . . 0
.
..
.
. 0
.
−a0

−a1 

−a2
..
.
0 0 . . . 1 −an−1
est χA (x) = xn +
P







ak xk .
C. Trigonalisation.


3 2 −2


Exercice 2.10 Trigonaliser la matrice A = −1 0 1  et calculer An .
1 1 0
D. Matrices diagonalisables


1 a 1


Exercice 2.11 Soit A = 0 1 b  avec a, b, c ∈ R.
0 0 c
1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur (a, b, c) pour que A soit diagonalisable sur R.
2. Diagonaliser A pour a = 0, b = 1, c = 2.


3 1 −1


Exercice 2.12 Soit la matrice A = 1 3 −1.
0 0 2
1. Déterminer le polynome caractéristique. Est-il scindé ? Est-il à racines simples ?
2. Calculez (A − 4 Id)(A − 2 Id).
3. Déterminer α, β ∈ R tels que α(x − 4) + β(x − 2) = 1 pour tout x ∈ R.
4. En déduire que A est diagonalisable.
5. A est-elle inversible ? Si oui, déterminez A−1 .
Exercice 2.13 Soit θ ∈ R, on considère les deux matrices d’ordre n suivantes
0 1 0 ···
1 0 1 · · ·


0 1 0 · · ·
An = 
 .. .. .. . .
.
. . .

0 0 0 · · ·
0 0 0 ···


0 0
0 0

0 0

.. .. 

. .

0 1
1 0
1. Montrer que det(Bn ) =

2 cos θ
1
0
 1
2 cos θ
1


1
2 cos θ
 0
et Bn = 
..
..
 ..
 .
.
.

 0
0
0
0
0
0
···
···
···
..
.
···
···
0
0
0
..
.
2 cos θ
1
1
2 cos θ
sin(n+1)θ
sin θ
2. En étudiant χAn (−2 cos θ) pour θ ∈ [0, π], montrer que An est diagonalisable.
5
0
0
0
..
.










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Feuille 3 – Techniques avancées de réduction des endomorphismes
Exercice 3.1
1. Calculer le reste Rn (X) de la division euclidienne de X n par X 2 − X − 2.
Indication : évaluez en −1 et 2.
2. Soit A une matrice telle que A2 = A + 2I. Calculer An .


4
4
6


Exercice 3.2 Déterminer le polynome minimal de A = −1 0 −3 . Calculer An .
−1 −2 −1
Exercice 3.3 On considère les deux matrices d’ordre 4 suivantes :

1
0

A=
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0

0
0


1
1

et
1
0

B=
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0

0
0


1
1
1. Calculer les polynômes caractéristiques et minimaux de A et de B.
2. Calculer les rangs de A − I et B − I.


4
3 −3


Exercice 3.4 Soit A = −12 −2 12  ∈ M3 (R).
−6
3
7
1. Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de A.
2. Déterminer les sous-espaces stables par A.
3. Calculer An .
4. Résoudre dans M3 (R) l’équation AX = XA2
5. Résoudre dans M3 (R) l’équation X 2 = A
!
Exercice 3.5 Soit f l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice M =
1 −1
.
1 −1
1. Montrer que f est nilpotent et déterminer une équation de ker f .
2. Déterminer e2 un vecteur dans R2 \ ker f , on pose e1 = f (e2 ). Montrer que (e1 , e2 ) est une base
de R2 et calculer la matrice de f dans la base (e1 , e2 ).


−2 −1 1


1 −1.
On considère maintenant g l’endomorphisme associé à la matrice M =  2
−2 −1 1
1. Montrer que g est nilpotent et déterminer une équation de ker g.
2. Déterminer e3 un vecteur dans R3 \ ker g. On pose e2 = g(e3 ), montrer que (e2 , e3 ) est une famille
libre. Déterminer e1 ∈ ker g tel que (e1 , e2 , e3 ) est une base de R3 et calculer la matrice de g dans
cette base.
6
Exercice 3.6
1. Soit f un endomorphisme de R4 tel que (f 2 + Id) ◦ (f − 2 Id)2 = 0. Quelle sont les expressions
possibles du polynôme minimal. Donner, dans chaque cas, le polynôme caractéristique.
2. Soit E un C espace vectoriel de dimension 4 et f ∈ End(E) vérifiant (f 2 + Id) ◦ (f − 2 Id)2 =
0. Quelles sont les expressions possibles du polynôme minimal sachant que (f − 2 Id)2 6= 0 et
f 2 + Id 6= 0.
Exercice 3.7 Soit A ∈ Mn (R) diagonalisable, montrer que B =
A A
A A
!
est diagonalisable.
Exercice 3.8 Soit E un espace vectoriel de dimension 2n et u un endomorphisme de E. On suppose
que u vérifie la relation u3 + u2 − 20u = 0.
1. Montrer que u est diagonalisable et donner les valeurs propres possibles de u.
2. Ecrire la trace de u en fonction des valeurs propres et des dimension des espaces propres associés.
3. On suppose que Tr u = −n − 9 et det u 6= 0, déterminer alors les dimensions des espaces propres
de u.
Exercice 3.9 Pour tout polynôme P ∈ R[X], on définit le polynôme ∆(P ) = (X + 1)P 0 + 2P .
1. Montrer que ∆ est linéaire et que Rn [X] est stable par ∆. Par la suite, on notera ∆n la restriction
de ∆ à Rn [X].
2. Montrer que si P est est un polynôme propre de ∆ la valeur propre associée est deg(P ) + 2.
3. Montrer que ∆n est diagonalisable pour tout n et déterminer une base de vecteur propre.
Exercice 3.10 Soit V = Mn (R) l’espace vectoriel des matrices carrées de taille n × n. Le but de cet
exercice est d’étudier l’endomorphisme GA de V donné par :
GA : V → V
M 7→ AM
où A est une matrice carrée de taille n fixée.
1. Montrez que GA = 0 si et seulement si A = 0.
2. Dans cette
partie, on suppose que n = 2 et que A est une matrice diagonale de la forme A =
λ1 0
0 λ2 . On note eij la matrice dont le seul coefficient non nul est un 1 placé à la i-ème ligne et
à la j-ième colonne.
(a) Montrez que B = (e11 , e12 , e21 , e22 ) est une base de V .
(b) Déterminez la matrice G ∈ M4 (R) de GA dans la base B.
(c) En déduire que GA est diagonalisable et donnez son polynôme minimal et son polynôme caractéristique.
(d) Quels liens y a-t-il entre ces polynômes et les polynômes correspondant pour la matrice A ?
3. On considère maintenant le cas où n est quelconque.
(a) Soit P ∈ R[X] un polynôme quelconque. Montrez que P (GA ) = GP (A) . On pourra commencer
par considérer le cas où P = X k .
(b) En déduire que A et GA ont même polynôme minimal.
(c) En déduire que GA est diagonalisable (resp nilpotent) si et seulement si A est diagonalisable
(resp nilpotente).
7
4. On travaille toujours en dimension n quelconque. On suppose maintenant que A est diagonalisable.
Si λ est une valeur propre de A on note Eλ l’espace propre de A associé à la valeur propre λ.
(a) Montrez que M ∈ V est vecteur propre de GA associé à la valeur propre λ si et seulement si
l’image de M est incluse dans Eλ .
(b) En déduire la dimension des espaces propres de GA .
(c) En déduire que χGA = χnA .
5. On considère l’endomorphisme DA de V donné par DA (M ) = M A.
(a) Montrez que DA est diagonalisable (resp nilpotent) si et seulement si A est diagonalisable
(resp nilpotente).
(b) En déduire que si A est diagonalisable (resp nilpotente) alors l’endomorphisme de V défini par
M 7→ AM − M A est diagonalisable (resp nilpotent).
Exercice 3.11 Soit A ∈ Mn (C) et P ∈ C[X] un polynôme de degré ≥ 1. Montrer que, si A est
diagonalisable, l’équation matricielle P (M ) = A admet au moins une solution dans Mn (C).
Exercice 3.12 Soit E un espace vectoriel de dimension n. Soient g, h ∈ End(E) tels que g ◦ h = h ◦ g.
On suppose de plus que h est nilpotent.
1. Montrer que g ◦ h est nilpotent.
2. Montrer que g + h est inversible si et seulement si g est inversible.
3. Calculer det(I + gh). En déduire que det(g + h) = det(g) puis que les endomorphismes g et g + h
ont même polynôme caractéristique.


2 1
0


Exercice 3.13 Soit A = 0 −1 1 . Construire une matrice D diagonalisable et une matrice N
0 0 −1
nilpotente telles que A = D + N et DN = N D.
Exercice 3.14 Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et u un endomorphisme de E.
1. Montrer que les suites (ker(uk ))k∈N et (Im(uk ))k∈N sont respectivement croissantes et décroissantes
et que les propriétés suivantes sont équivalentes (p > 0)
(i) ker(up ) = ker(up+1 ).
(ii) Im(up ) = Im(up+1 ).
2. Montrer que si Im(up ) = Im(up+1 ) alors Im(up ) = Im(uk ) pour tout k ≥ p et que les deux suites
de noyaux et d’images sont stationnaires à partir du même rang.
3. Montrer que les propriétés (i) et (ii) sont équivalentes à
(iii) E = ker(up ) ⊕ Im(up ).
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Feuille 4 – Equations différentielles.
Exercice 4.1 On considère l’équation différentielle U 0 = AU avec une matrice A ∈ M2 (R). On fixe un
pas de temps τ > 0. A l’aide d’un ordinateur, on souhaite approcher les valeurs de Uk = U (kτ ).
1. Montrer que
Uk+1 − Uk =
Z τ
A · U (kτ + t)dt.
0
2. On approche la suite
! (Uk ) par la suite récurrente Vk+1 = Vk + τ AVk avec V0 = U0 . Dans le cas où
−16
3
A=
montrer qu’il existe ξ0 , η0 ∈ R tel que
8
−14
!
!
1
−3
+ η0 (1 − 20τ )k
.
2
4
Vk = ξ0 (1 − 10τ )k
3. On suppose λ2 < λ1 < 0 et τ < 1/|λ2 |. Montrer que si ξ!
0 6= 0, la suite de points (Vk )k∈N converge
a
vers l’origine, le long de la demi-droite (sign ξ0 )R+
. Que se passe t’il si τ est trop grand ?
c
Expliquez la figure suivante.
4.
Exercice 4.2 Résoudre les équations différentielles suivantes :
1. y 0 − 2y = 0
2. y 0 − 2y = et
Exercice 4.3 On considère l’équation différentielle y 00 − 4y 0 − 5y = 0.
1. Mettre l’équation sous la forme Y 0 = AY où A ∈ M2 (R).
2. Calculer le polynome caractéristique de A. Qu’observez vous par rapport à la forme de l’équation
initiale ?
3. Résoudre l’équation différentielle matricielle.
4. En déduire les solutions de l’équation initiale.
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Feuille 5 – Espaces euclidiens.
Exercice 5.1 Soit a, b, c ∈ R et ϕ : R3 × R3 → R l’application définie par :
ϕ(x, y) = a(x2 y3 + x3 y2 ) + b(x1 y3 + x3 y1 ) + c(x1 y2 + x2 y1 ),




y1
x1
 
 
où x = x2  et y = y2 
y3
x3
1. Montrez que ϕ est une forme bilinéaire symétrique.
2. Déterminez la matrice de ϕ dans la base canonique de R3 .
3. À quelle condition sur a, b et c ϕ est-elle non dégénérée ?
4. ϕ est elle un produit scalaire ?
Exercice 5.2 On considère Rn muni d’un produit scalaire h·, ·i et a, b ∈ Rn \ {0}. On note Φ : x 7→
ha, bihx, xi − ha, xihb, xi.
1. Montrer que Φ est une forme quadratique et déterminer sa forme polaire.
2. Discuter le rang de Φ.
Exercice 5.3 Soit E un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire h·, ·i et w1 , w2 deux vecteurs
non nuls de E. Soit f : E → E l’application définie par :
f : v 7→ hv, w1 iw2 .
1. Montrez que f est linéaire.
2. Montrez une relation linéaire entre f 2 et f .
3. Discutez la diagonalisabilité de f selon w1 et w2 .
Exercice 5.4 Pour A et B dans Mn (R), on définit (A|B) = Tr(t AB).
1. Montrer que (·|·) est un produit scalaire sur Mn (R). On note N (·) la norme associée.
2. Soit M ∈ Sn+ (R), montrer que N (M ) ≤ Tr M .
3. Soit M ∈ Mn (R), montrer que t M M ∈ Sn+ (R).
4. Soit A, B ∈ Mn (R), montrer que N (AB) ≤ N (A)N (B).
Exercice 5.5 Soit v1 , . . . , vk des vecteurs d’un espace euclidien (E, h·, · · · i). On note G la matrice k × k
dont les coefficients sont donnés par Gij = hvi , vj i.
1. Montrez que G n’est pas inversible si et seulement si la famille V = (v1 , . . . , vk ) est liée.
2. (Plus délicat) Montrez que le rang de G est égal au rang de V.
Exercice 5.6 On pose E = R[X].
Z 1
1. Montrer que (P, Q) =
positive sur E.
P (t)Q(t)dt ((P, Q) ∈ E 2 ) définit une forme bilinéaire symétrique définie
0
10
2. Calculer les deux bornes inférieures suivantes :
Z 1
inf
(a,b)∈R2 0
Z 1
(t2 − (at + b))2 dt
et
inf
(a,b)∈R2 0
(t3 − (at2 + b))2 dt


1 1 1


Exercice 5.7 On considère la matrice A = 1 2 1. A est-elle inversible ? On note E1 , E2 , E3 les
0 1 1
trois colonnes de A. Déterminer F1 , F2 , F3 une base orthonormée de R3 en appliquant le procédé de
Gram-Schmidt à la famille (E1 , E2 , E3 ). Déterminer alors une matrice orthogonale O et une matrice
triangulaire supérieure T dont les coefficients diagonaux sont strictement positifs telles que A = OT .
Exercice 5.8
1. Déterminer la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur le sous espace
vectoriel d’équation x − 2y + z = 0.
2. Soit E un espace euclidien et p ∈ End(E) un projecteur, montrer que les deux propriétés suivantes
impliquent que p est un projecteur orthogonal.
(a) p est autoadjoint.
(b) Pour tout x ∈ E, kp(x)k ≤ kxk.

5 −4

Exercice 5.9 Soit M la matrice −4 5
2
2
orthonormées des espaces propres de M . 
1
 0

Mêmes questions avec la matrice N = 
−1
0

2

2. M est-elle diagonalisable ? Déterminer des bases
8

0 −1 0
−1 0
1


0
1
0
1
0 −1
Exercice 5.10 Soit M ∈ Mn,p (R), montrer que t M M = 0 implique que M = 0.
Déterminer toutes les matrices M ∈ Mn (R) telles que t M M + 2M + I = 0 (on commencera par
trouver une solution simple de l’équation).
Exercice 5.11 Soit E un espace vectoriel euclidien. Si u est un endomorphisme autoadjoint, on note
λm (u) et λM (u) sa plus petite et sa plus grande valeur propre.
1. Soit u un endomorphisme autoadjoint, montrer que pour tout x ∈ E on a
λm (u)kxk2 ≤ (x, u(x)) ≤ λM (u)kxk2
2. Soit v un endomorphisme de E, on note u = 21 (v + v ∗ ). Montrer que u est autoadjoint. Montrer
alors que toute valeur propre λ de v vérifie
λm (u) ≤ λ ≤ λM (u)
Que peut on dire des valeurs propres complexes de v ?
Exercice 5.12 (Réduction des endomorphismes antisymétriques) Soit u un endomorphisme d’un espace
euclidien E.
1. Montrer qu’il existe F un sous-espace vectoriel de E de dimension 1 ou 2 stable par u.
11
2. On suppose que u est antisymétrique. Montrer qu’une valeur propre réelle ne peut être que 0 et
que, si F est stable par u, alors F ⊥ est stable par u. Montrer, de plus, que si F est stable par u
alors la restriction de u à F est antisymétrique.
!
0 −1
3. Soit J la matrice
. On suppose toujours que u est antisymétrique, montrer alors qu’il
1 0
existe une base orthonormée de E et des nombres a1 , ..., ap ∈ R∗ tels que la matrice de u dans
cette base est la matrice diagonale par blocs


0





a1 J
..
.
ap J





où le premier bloc de 0 est de taille dim E − 2p.
Exercice 5.13 Soit φ : Rn → Rn une application (non supposée linéaire) telle que φ(0) = 0 et, pour
tout u, v ∈ Rn , kφ(u) − φ(v)k = ku − vk.
1. Montrer que φ préserve la norme et le produit scalaire.
2. Montrer que φ est linéaire et orthogonale.


0 −1 0


Exercice 5.14 On considère U la matrice 0 0 −1. Montrer que U est orthogonale et déterminer
1 0
0
la nature de l’endomorphisme de R3 canoniquement
associé.



√ √ 
0
−
2
2
−1
2
2
1 √
1


Même question pour les matrices  √2
1
1  et  2 −1 2 
2
3
2
2 −1
1
1
− 2
Exercice 5.15 (Décomposition polaire)
1. Soit S ∈ Sn++ (R) une matrice symétrie définie positive, montrer qu’il existe une unique matrice
A symétrique définie positive telle que A2 = S.
2. Soit M ∈ GLn (R), en appliquant la question précédente à M t M montrer qu’il existe un unique
couple (R, O) ∈ Mn (R)2 tel que R est symétrique définie positive, O ∈ On (R) et M = RO.
3. On identifie dans cette question R2 et C en tant que R espace vectoriel par l’application (a, b) 7→
a + ib. Soit z0 6= 0 un nombre complexe, on définit alors l’application u : C → C, z 7→ z0 z.
a) Montrer que u est R linéaire et déterminer la matrice M de u dans la base canonique de R2
(on posera z0 = a0 + ib0 ). Montrer que M est inversible.
b) Effectuer la décomposition (R, O) de la matrice M . Que reconnaissez-vous ?
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