REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET ... MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE D’ORAN
MOHAMED BOUDIAF
FACULTE DE GENIE ELECTRIQUE
DEPARTEMENT D’ELECTROTECHNIQUE
THESE EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLOME DE
Magistère
SPECIALITE : ELECTROTECHNIQUE
OPTION : Commande des équipements industriels et diagnostique
Présenté par
Belkassa Missoum
Ingénieur d’Etat en Electrotechnique
SUJET DE THESE
Analyse modale d’un ensemble réseau-SVC
Soutenu le
Devant le jury composé de :
Président :
BOUTHIBA Tahar
Professeur
USTO-MB
Rapporteur :
KOUADRI Benatman
Maître de conférences A
USTO-MB
Examinateur :
BOUZEBOUDJA Hamid
Maître de conférences A
USTO-MB
Examinateur :
KOTNI Lahouari
Maître de conférences A
USTO-MB
Année universitaire 2011-2012
RESUME
RESUME
L’étude de la stabilité des réseaux électriques constitue un sujet important pour la
planification et l’exploitation des réseaux électriques, comme nous avons pu le
constater tout le long de ce mémoire.
L’objectif de ce travail était de concevoir comment la compensation réactive peut
être utilisée pour améliorer la stabilité d’un réseau électrique soumis à une petite
perturbation.
Le dispositif FACTS utilisé au cours de ce travail est un dispositif de type shunt, à
savoir le SVC (compensateur statique de puissance réactive).
Les points essentiels mis à exergue sont l’efficacité de ce dispositif en termes
d’amortissement des oscillations ainsi que son influence sur le réseau lorsqu’il est
placé proche de l’endroit perturbé.
Nous avons utilisé l’analyse modale comme méthode de base pour notre travail.
Mots clés: Analyse modale, stabilité d’un réseau électrique, FACTS, SVC,
compensateur statique de puissance réactive, stabilité aux petites perturbations.
I
Remerciement
Remerciement
Le travail présenté dans ce mémoire a été effectué au sein du (LCSRE) Laboratoire de
Contrôle et de la Stabilité des Réseaux Electriques de l’Université des sciences et de la
technologie d’Oran « Mohamed Boudiaf ».
Je tiens à dire toute ma connaissance à Monsieur KOUADRI. Benatman, Maître de
conférences A, mon encadreur pour leur rôle prépondérant
dans l’orientation et la
finalisation de mon travail et pour leur aide sur les plans scientifique et technique.
Je tiens à remercier Monsieur « BOUTHIBA Tahar», professeur à l’Université de U.S.T.O
pour avoir présidé mon jury.
Je tiens à remercier Monsieur « BOUZEBOUDJA Hamid» et Monsieur « KOTNI
Lahouari», Maîtres de conférences A à l’Université de U.S.T.O, pour avoir également
acceptés d’être examinateurs de mon travail.
Je remercie chaleureusement tous mes collègues, plus particulièrement à ma famille.
Enfin, je ne saurais oublier mes frères qui m’ont apporté soutien et encouragement durant
toutes ces années.
II
LISTE DES FIGURES ET TABLEAUX
Liste des figures
Figure I.1 : Schéma de la ligne i-j ....................................................................................... 7
Figure I.2 : réseau à 3 nœuds .............................................................................................. 8
Figure I.3 : Schéma simplifié d’un réseau à 3 nœuds ......................................................... 9
Figure I.4 : Organigramme de l’écoulement de puissance par la méthode de Newton
Raphson. ......................................................................................................... 17
Figure II.1 : Architecture d’un réseau ............................................................................... 19
Figure II.2 : Circuit du TCR. ............................................................................................ 20
Figure II.3: Schéma du TSC ............................................................................................. 20
Figure II.4: Schéma du SVC ............................................................................................. 21
Figure II.5 : Caractéristique d’un SVC ............................................................................. 21
Figure II.6 : Schéma de base du STATCOM .................................................................... 22
Figure II.7: Diagramme vectoriel du STATCOM ............................................................ 23
Figure II.8: Structure du TCSC ......................................................................................... 24
Figure II.9: Schéma de base de l’UPFC............................................................................ 25
Figure II.10 : Formes des courants dans le TCR .............................................................. 28
Figure II.11 : Structure du TCR en triphasé ..................................................................... 30
Figure II.12 Capacité commutée par thyristors................................................................. 31
Figure II.13 différentes configurations de SVC ................................................................ 32
Figure II.14 : Caractéristiques du SVC et de la régulation tension-courant. .................... 34
Figure II.15 : Modèle conventionnel du SVC dans l’écoulement de puissance ............... 34
Figure II.16. Susceptance shunt variable .......................................................................... 35
Figure III.1 : Les différents niveaux d’un réseau d’énergie.............................................. 38
Figure III.2 : Machine synchrone triphasée avec amortisseurs......................................... 42
Figure III.3 : Machine synchrone triphasée, amortisseurs assimilés à deux
enroulements en court-circuit, en quadrature l’un de l’autre. ...................... 43
Figure III. 4 : Définition de Xd' ........................................................................................ 52
Figure III. 5 : Définition de Xd" ....................................................................................... 52
Figure III. 6 : Définition de Td0'' ...................................................................................... 52
Figure III. 7 : Définition de Td0'....................................................................................... 52
Figure III. 8 : Définition de Td" ........................................................................................ 53
Figure III. 9 : Définition de Td'......................................................................................... 53
Figure III.10 : Définition de Xq" ...................................................................................... 53
Figure III.11 : Définition de Tq" ....................................................................................... 53
Figure III.12 : Définition de Tq0" ..................................................................................... 53
Figure III.13 : Diagramme vectoriel d’un générateur synchrone en régime permanent ... 54
Figure III.14: système d’excitation ................................................................................... 55
Figure III.15: Excitatrice à courant continu ...................................................................... 55
Figure III.16 : Modèle simple du SVC ............................................................................ 66
Figure III.17: Diagramme de l’ensemble des blocs du système de puissance .................. 68
III
LISTE DES FIGURES ET TABLEAUX
Figure IV.1 Classification des différents types de la stabilité du système de puissance . 85
Figure IV.2: Influence du couple d’amortissement sur la stabilité. .................................. 90
Figure IV.3: Classification de la stabilité de l’angle de rotor ........................................... 91
Figure IV.4: Réseau électrique à deux régions ................................................................. 92
Figure IV.5: modèle considéré .......................................................................................... 94
Figure IV.6: Schéma structurel d’un système multivariable. ........................................... 97
Fig IV.7 : Schéma bloc du système multivariable .......................................................... 101
Fig IV.8 : Schéma d’un système masse-ressort .............................................................. 102
Fig IV.9 : Analyse par lieu des pôles de la stabilité d’un système. ................................ 109
Fig IV.10 : réponse d’un système du deuxième ordre ................................................. 117
Fig IV.11 : système simple avec des valeurs propres égales et des diviseurs non
linéaires ........................................................................................................ 118
Fig IV.12 : système simple avec des valeurs propres égales mais des diviseurs
linéaires. ....................................................................................................... 119
Fig IV.13: diagramme simple d’une ligne de transmission entre deux générateurs. ...... 120
Figure IV.14: diagramme unifilaire du réseau d’étude ....................................................123
Fig IV.15 : les valeurs propres sans SVC ........................................................................124
Figure IV.16: modes du système sans SVC .....................................................................125
Figure IV.17: modes du système avec et sans SVC.........................................................126
Figure IV.18: lieu des racines du système avec le SVC au nœud 3.................................127
Figure IV.19: lieu des racines du système avec le SVC au nœud 13...............................128
Figure IV.20: lieu des racines du système avec le SVC au nœud 101.............................129
Figure IV.2: réponses de la tension du nœud de connexion à la tension des excitatrices130
Figure IV.22 : contrôlabilité des modes par les excitatrices ............................................131
Figure IV.23: observabilité des modes aux tensions de sortie des générateurs ...............132
Figure IV.24 : facteurs de participation associés au mode instable .................................133
Figure IV.25 : facteurs de participation associés aux modes inter-régions 21 et 22 .......133
Figure IV.26 : facteurs de participation pour chaque générateur.....................................134
Liste des tableaux
Tableau I.1 : Type de nœuds du réseau............................................................................. 12
Tableau IV.1 : valeurs propres et les vecteurs propres obtenus ...................................... 120
Tableau VI.2 : vecteurs propres obtenus......................................................................... 121
Tableau IV.3 : valeurs propres et les vecteurs propres ................................................... 122
Tableau VI.4: valeurs propres et les vecteurs propres .................................................... 122
Tableau VI.5: coefficients d’amortissement pour différentes possibilités de
fonctionnement ........................................................................................ 127
IV
SOMMAIRE
SOMMAIRE
Résumé ........................................................................................................................... I
Remerciements ............................................................................................................. II
Liste des figures .......................................................................................................... III
Liste des tableaux ....................................................................................................... IV
Sommaire ...................................................................................................................... V
INTRODUCTION GENERALE ................................................................................. 3
CHAPITRE I
TRANSIT DE PUISSANCE DANS LES RESEAUX ELECTRIQUES
I.1 INTRODUCTION ......................................................................................................... 7
I.2 MODELISATION D’UN RESEAU ........................................................................... 7
I.2.1 Schéma en π de la ligne................................................................................................ 7
I.2.2 Modèle d’un réseau à 3 nœuds .................................................................................... 8
I.3 CLASSIFICATION DES NŒUDS .......................................................................... 12
I.4 BILAN DE PUISSANCE ........................................................................................... 12
I.5 METHODES NUMERIQUES DE CALCUL DE L’ECOULEMENT DE
PUISSANCE ........................................................................................................................ 13
I.6 METHODE DE NEWTON-RAPHSON ................................................................. 13
CHAPITRE II
SYSTEMES DE TRANSMISSION FLEXIBLES A COURANT
ALTERNATIF (FACTS)
II.1 INTRODUCTION .............................................................................................. 19
II.2 LOCALISATION DES FACTS DANS LE RESEAU ..................................... 19
II.3 COMPENSATEURS PARALLELES.............................................................. 19
II.3.1 Compensateurs parallèles à base de thyristors .................................................... 19
II.3.1.1 TCR (Thyristor Controlled Reactor) .......................................................... 19
V
SOMMAIRE
II.3.1.2 TSC (Thyristor Switched Capacitor) .......................................................... 20
II.3.1.3 SVC (Static Var Compensator) .................................................................. 20
II.3.1.4 STATCOM (Static Compensator) .............................................................. 22
II.3.2 Les conséquences des compensateurs parallèles ............................................... 23
II.4 COMPENSATEURS SERIES ............................................................................ 23
II.4.1 Compensateurs séries à base de thyristors ........................................................... 24
II.4.1.1 TCSC (Thyristor Controlled Series Capacitor) ........................................... 24
II.5 UPFC (UNIFIED POWER FLOW CONTROLLER) .................................... 24
II.6 ETUDE ET MODELISATION DU SVC.......................................................... 25
II.6.1 Historique du SVC ............................................................................................. 25
II.6.2 Définition du SVC .............................................................................................. 25
II.6.3 Constitution du SVC .......................................................................................... 26
II. 6.3.1 Transformateur .......................................................................................... 26
II. 6.3.2 Condensateur fixe (FC) ............................................................................. 26
II. 6.3.3 Le TCR ...................................................................................................... 26
II. 6.3.3.1 Principe de fonctionnement du TCR ....................................................... 26
II.6.3.3.2 Harmoniques............................................................................................ 28
II. 6.3.3.3 Modélisation du TCR ............................................................................. 30
II. 6.3.4 Condensateur commuté par thyristors (TSC) ............................................. 31
II. 6.4 Schémas du SVC ............................................................................................... 32
II.6.5 Principe de fonctionnement du SVC .................................................................. 32
II.6.6 MODELISATION DU SVC .............................................................................. 33
II. 6.7
Modèles conventionnels de l’écoulement de puissance .................................. 33
II.7 Calcul de l’écoulement de puissance utilisant les contrôleurs FACTS ........... 35
II.7.1 Modèle de la susceptance shunt variable ............................................................ 35
II.7.2 Modèle de l’angle d’amorçage ............................................................................ 36
CHAPITRE III
MODELISATION DU RESEAU ELECTRIQUE
III.1 INTRODUCTION ............................................................................................ 38
III.2 MODELE GENERAL NON-LINEAIRE. ..................................................... 38
VI
SOMMAIRE
III.2.1 Les éléments du modèle. .................................................................................. 40
III.2.1.1 Modèle du générateur. .............................................................................. 40
III.2.1.1.1 Structure de la machine synchrone ....................................................... 41
III.2.1.1.1.1 Description ......................................................................................... 41
III.2.1.1.1.2 Hypothèses simplificatrices ............................................................... 43
III.2.1.1.2 Equations électriques et magnétiques de la machine dans les axes abc44
III.2.1.1.2.1 Equations électriques ......................................................................... 44
III.2.1.1.2.2 Relations entre flux et courants .......................................................... 45
III.2.1.1.2.3 Matrice inductance statorique ............................................................ 46
III.2.1.1.2.4 Matrice de couplage entre le stator et le rotor .................................... 46
III.2.1.1.2.5 Matrice inductance rotorique ............................................................. 46
III.2.1.1.3 Modélisation de la machine synchrone dans le repère biphasé ............. 46
III.2.1.1.3.1 Transformation de Park ...................................................................... 46
III.2.1.1.3.2 Modèle de la machine synchrone ....................................................... 48
III.2.1.1.3.2.1 Relations entre flux et courants (composantes d, q, o) ................... 48
III.2.1.1.3.2.2 Principe et résultat du calcul ........................................................... 49
III.2.1.1.3.2.3 Etablissement des équations de la puissance et du couple ............ 50
III.2.1.1.3.2.4 Equation mécanique ........................................................................ 51
III.2.1.1.4 Définitions des paramètres de la machine synchrone ........................... 52
III.2.1.1.4.1 Réactances transitoires d’axe direct ................................................... 52
III.2.1.1.4 .2 Constantes de temps d’axe direct ....................................................... 52
III.2.1.1.4 .3 Réactance subtransitoire d’axe en quadrature .................................... 53
III.2.1.1.4.4 Constantes de temps d’axe en quadrature .......................................... 53
III.2.1.2 Modèle mathématique du système d'excitation....................................... 54
III.2.1.2.1 Modèle mathématique d'excitatrice....................................................... 55
III.2.1.2.1.1 Les systèmes d'excitation à courant continu : .................................... 55
III.2.1.2.1.1.1 Modèle mathématique d'excitatrices à courant continu : ................ 55
III.2.1.2.1.2 Les systèmes d’excitation à courant alternatif: .................................. 56
III.2.1.2.1.3 Les systèmes d'excitation statiques (systèmes ST) : .......................... 56
III.2.2 Modèle mathématique de réseau pour l'étude de la stabilité transitoire .......... 57
III.2.2.1 Relation entre le réseau et les dispositifs dynamiques ............................. 57
III.2.2.1.1 Relation entre les générateurs et le réseau ............................................ 57
VII
SOMMAIRE
III.2.2.1.2 Relation entre les charges et le réseau.................................................. 58
III.2.2.1.3 Relation entre les dispositifs FACTS et le réseau ................................ 60
III.3 ETUDE DE LA STABILITE TRANSITOIRE D’UN MODELE
SIMPLIFIE ................................................................................................................. 60
III.3.1 Valeurs initiales ............................................................................................... 60
III.4 ETUDE DE LA STABILITE TRANSITOIRE AVEC LES DISPOSITIFS
FACTS ........................................................................................................................ 62
III.4.1 Valeurs initiales et équations différentielles des générateurs .......................... 62
III.4.2 Valeurs initiales et équations différentielles du SVC ..................................... 66
III.4.3 Etablissement des équations du réseau ........................................................... 68
III.4.3.1 Nœuds connectés en parallèle avec les dispositifs dynamiques ............... 69
III.4.3.2 Connections à un nœud de connexion ou à un nœud en défaut ............... 70
III.5 MODELE LINEAIRE ..................................................................................... 70
III.5.1 Linéarisation du modèle .................................................................................. 70
III.5.1.1 Rappel sur la linéarisation d’une fonction .............................................. 70
III.5.1.2 Linéarisation du système autour d’un point ............................................. 71
III.5.1.3 Linéarisation du système autour d’un point de fonctionnement ............... 72
III.5 .2 Linéarisation des équations des composants des réseaux électriques ............. 73
III.5.2.1 Linéarisation de l’équation du générateur synchrone .............................. 74
1. Générateur synchrone ............................................................................... 74
2. Système d'excitation ................................................................................. 74
III.5 .2.2 Matrices des équations linéarisées des alternateurs ................................ 75
III.5.2.3 Linéarisation de l’équation de la charge .................................................. 78
III.5.2.4 Linéarisation de l’équation du SVC ........................................................ 79
III.5.3. Linéarisation des équations différentielles du réseau avec SVC .................... 80
III.6 CONCLUSION ................................................................................................. 81
CHAPITRE IV
APPLICATION DE L’ANALYSE MODALE AU RESEAU ELECTRIQUE
IV.1 INTRODUCTION ............................................................................................. 83
IV.2 DEFINITION DE LA STABILITE ................................................................. 84
VIII
SOMMAIRE
IV.2.1 Stabilité des réseaux électriques ....................................................................... 84
IV.2.2 Les différents types de la stabilité de système de puissance. ........................... 85
IV.2.2.1 Stabilité statique ........................................................................................ 85
IV.2.2.2 Stabilité transitoire .................................................................................... 86
IV.2.2.3 Stabilité de tension. ................................................................................... 86
IV.2.2.4 La stabilité de fréquence. .......................................................................... 87
IV.2.3 Etude de la stabilité angulaire aux petites perturbations. ................................ 88
IV.2.3.1 Influence du système d’excitation sur la stabilité angulaire. .................... 89
IV.2.3.2 Les différents types d’oscillations à faibles fréquences. ........................... 90
IV.2.3.2.1 Les oscillations des modes locaux. ........................................................ 91
IV.2.3.2.2 Les oscillations des modes globaux. ...................................................... 91
IV.2.3.2.3 Les oscillations des modes de contrôle. ................................................. 92
IV.2.3.2.4 Les oscillations des modes de torsion. .................................................. 93
IV.2.3.3 L’amortissement. ...................................................................................... 93
IV.2.4 Relation entre la stabilité et la compensation d’énergie réactive ..................... 94
IV.2.5 Différentes méthodes d’amélioration de la stabilité d’un réseau
électrique ....................................................................................................................... 95
IV.3 INTRODUCTION A LA REPRESENTATION DANS L'ESPACE
D'ETAT ........................................................................................................................ 96
IV.3.1 Variables et équations d'état .............................................................................. 96
IV.3.2 Avantages de la représentation d'état ............................................................... 101
IV.4 ANALYSE MODALE ..................................................................................... 102
IV.4.1 Application de l’analyse modale .................................................................... 102
IV.4.1.1 Mathématiques des oscillations dynamiques .......................................... 102
IV.4.1.2 Etude de la stabilité d’un réseau électrique pour les petites
signaux par les valeurs propres ................................................................ 105
IV.4.1.3 Valeurs propres ....................................................................................... 106
IV.4.1.4 Vecteurs propres ..................................................................................... 107
IV.4.1.5 Mouvements libres des systèmes dynamiques ........................................ 107
IV.4.1.6 Analyse modale des systèmes linéaires .................................................. 110
IV.4.1.7 Mode et vecteur propre ........................................................................... 110
IV.4.2 Interprétation de l’analyse modale.................................................................. 111
IX
SOMMAIRE
IV.4.2.1 Définition et condition de commandabilité............................................ 111
IV.4.2.2 Théorème de la commandabilité .............................................................. 112
IV.4.2.3 Définition et condition de l’observabilité ................................................ 112
IV.4.2.3.1 Définition de l’observabilité ................................................................. 112
IV.4.2.3.2 Condition de l’observabilité .................................................................. 112
IV.4.2.3.3 Théorème (critère de Kalman) .............................................................. 113
IV.4.2.4 La sensibilité ........................................................................................... 113
IV.4.2.5 Facteur de participation........................................................................... 114
IV.4.3 Application de l’analyse modale sur un système masse-ressort ................ 116
IV.4.4 Application de l’analyse modale sur une ligne de transmission entre
deux générateurs ......................................................................................................... 119
IV.5 APPLICATION DE L’ANALYSE MODALE À UN RÉSEAU
MULTIMACHINE ................................................................................................... 123
IV.5.1 Etude la stabilité du réseau par la méthode des valeurs propres...................... 124
IV.5.2 Compensateur statique de puissance réactive (SVC) ...................................... 124
IV.5.2.1 Choix de l’emplacement du compensateur de puissance réactive ........... 126
IV.5.2.2 Commande des amortissements ............................................................... 127
IV.5.2.2.1 Connexion du SVC aux nœuds 3, 133 et 101 ....................................... 127
IV.5.2.3 Réponses du système à de petites perturbations ...................................... 129
IV.5.3 Contrôlabilité ................................................................................................... 130
IV.5.4 Observabilité .................................................................................................... 131
IV.5.5 Facteurs de participation .................................................................................. 132
IV.6 Conclusion ......................................................................................................... 134
CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVE ............................................... 137
ANNEXES ................................................................................................................. 139
ANNEX A .................................................................................................................. 139
ANNEX B ................................................................................................................... 141
BIBLIOGRAPHIE .................................................................................................... 142
X
INTRODUCTION GENERALE
INTRODUCTION GENERALE
INTRODUCTION GENERALE
L’évolution des réseaux électriques fut marquée, durant les dernières années, par de
nouvelles stratégies de conception, d’exploitation et de contrôle. En effet, la solution
adoptée, par les plupart des pays, pour faire face au problème de croissance rapide de la
demande d’énergie électrique se résume dans les points suivants : La mise en service de
nouvelles centrales plus puissantes, Le maillage de plus en plus de réseau de transport et
de distribution, L’échange d’énergie entre pays par l’interconnections internationales et
même intercontinentales. Cette complexité de structure, à la base des problèmes actuels
rencontrés dans la conduite en ligne et essentiellement l’affaiblissement de la capacité des
réseaux à garder la stabilité suite à un défaut, a favorise l’appel des moyens de contrôle.
Jusqu'à la fin des années 1980, les seuls moyens permettant de remplir ces fonctions
étaient des dispositifs électromécaniques : les transformateurs-déphaseurs à réglage en
charge pour le contrôle de la puissance active ; les bobines d'inductance et les
condensateurs commutés par disjoncteurs pour le maintien de la tension et la gestion de la
puissance réactif. Toutefois, des problèmes d'usure ainsi que leur relative lenteur ne
permet pas d'actionner ces dispositifs plus de quelques fois par jour ; ils sont par
conséquent difficilement utilisables pour un contrôle continu des flux de puissance. Une
autre technique de réglage des transits de puissances actives et réactive utilisant
l'électronique de puissance a fait ses preuves.
Aujourd’hui, grâce à l’amélioration des performances de l’électronique de puissance,
on voit apparaître de nouveaux équipements connus sous l’appellation FACTS (Flexible
Alternative Current Transmission System) qui permettent d’améliorer la stabilité des
réseaux électriques et accroître la puissance de transport des lignes. Le développement
récent des dispositifs FACTS ouvre de nouvelles perspectives pour une exploitation plus
efficace des réseaux électriques par action continue et rapide sur les différents paramètres
du réseau (tension, déphasage, impédance). Ainsi, les transits de puissance seront mieux
contrôler et les tensions mieux tenus, ce qui permettra d’augmenter les marges de stabilité
ou de tendre vers les limites thermiques des lignes.
3
INTRODUCTION GENERALE
La qualité de la puissance électrique est devenue actuellement un grand souci pour les
consommateurs et les fournisseurs. Par conséquent, des critères rigoureux de
développement et de fonctionnement sont de plus en plus exigés.
Dans ces conditions, la stabilité des systèmes de puissance devient une des
préoccupations majeures pour les fournisseurs d’électricité. Ces systèmes doivent rester
stables pour toutes les petites variations au voisinage des points de fonctionnement ainsi
que pour des conditions sévères. Les nouvelles méthodes et les nouvelles technologies
permettant d’améliorer la stabilité des systèmes font par conséquent l’objet de travaux de
recherche extrêmement important.
Un réseau électrique est un système hautement non-linéaire qui fonctionne dans un
environnement en évolution continuelle : charges, puissance de génération, topologie du
réseau,… . Le système peut aussi être soumis à des perturbations, la perturbation peut
être faible ou importante. De petites perturbations, sous forme de variations de charge, se
produisent continuellement. Le système doit être capable de répondre de façon
satisfaisante aux besoins de la charge. Le système doit également être capable de résister
à de nombreuses perturbations d’une nature sévère comme la foudre, la perte d’une unité
de génération, un court-circuit sur une ligne de transmission, … .
Suite à une perturbation transitoire, si le système est stable, il atteindra un nouvel état
d’équilibre. Si le système est instable, cela se traduira, par exemple, par une
augmentation progressive de l’écart entre les angles de rotor des générateurs ou par une
diminution progressive des tensions des nœuds du réseau. Un état instable du système
pourra conduire à des pannes en cascade et une déconnexion d’une grande partie du
réseau électrique.
Un système ayant plusieurs générateurs interconnectés via un réseau de transport se
comporte comme un ensemble de masses interconnectées via un réseau de ressorts et
présente des modes d’oscillation multiples. L’amortissement des oscillations a toujours
été considéré comme un élément important du bon fonctionnement des systèmes de
puissance. Une première solution pour amortir ces oscillations était l’utilisation
4
INTRODUCTION GENERALE
d’enroulements amortisseurs dans les générateurs. Le problème des oscillations a ainsi
disparu, mais l’amortissement global du système est resté toujours ignoré.
Plusieurs points considérés comme évidents à cette époque restent toujours valables :
- les oscillations à faible fréquence (entre 0.2 et 2 Hz) se produisent dans les systèmes
de puissance à cause de l’insuffisance des couples d’amortissement agissant sur les rotors
des générateurs.
- les oscillations apparaissent principalement dans le système sous deux formes :
les oscillations des modes locaux, associées principalement à un générateur et
ses contrôleurs.
les oscillations des modes
interrégionaux, associées à un groupe de
générateurs et aux propriétés du système (configuration de son réseau de
transport, écoulement de puissance, …).
- les oscillations des rotors des générateurs entraînent des fluctuations sur des variables
électriques (tensions, puissances actives et réactives, fréquence,…), d’où l’origine de leur
nom : oscillations électromécaniques.
-
après avoir déterminé les sources d’oscillations, il est évidemment souhaitable
d’identifier, pour des raisons économiques et de fiabilité, les points les plus efficaces
pour ajouter les dispositifs d’amortissement nécessaires.
5
Chapitre I
Transit de puissance dans les
réseaux électriques
Chapitre I
Transit de puissance dans les réseaux électriques
I.1 INTRODUCTION
L’étude d’un système électro-énergétique en régime perturbé ou transitoire
nécessite la connaissance de l’état du système avant toute perturbation. Cela revient à
connaitre l’état du réseau en régime permanent sachant que le rôle d’un réseau électroénergétique est de satisfaire la demande en puissance active et réactive [1].
L’étude de la circulation de puissance (ou load flow) est effectuée pour déterminer
les plans de tensions du réseau en régime permanent. Une fois le plan de tensions obtenu,
on détermine la circulation des puissances active et réactive dans le réseau. Auparavant,
le réseau est modélisé. Nous commencerons par modéliser un réseau à 3 nœuds et nous
étendons les résultats du modèle à un réseau à n nœuds.
I.2 MODELISATION D’UN RESEAU
Un réseau peut contenir des milliers d’éléments. On entend par éléments les
composants qui peuvent intervenir dans un réseau tels que les alternateurs, les
transformateurs, les lignes, les câbles, etc... La combinaison de tous ces éléments donne
lieu à un nombre assez grand d’équations qu’il est « humainement » impossible de
résoudre. Aussi l’appel à l’ordinateur est une nécessité impérative [1].
I.2.1 Schéma en π de la ligne
Le modèle de ligne retenu est un schéma en π. La figure II.1 ci-dessous donne le
schéma d’une ligne i-j
Zij
i
j
yshji
yshij
Figure I.1 : Schéma de la ligne i-j
7
Chapitre I
Transit de puissance dans les réseaux électriques
I.2.2 Modèle d’un réseau à 3 nœuds
La figure II.2 schématise un réseau à 3 nœuds. Le nœud 1 est un nœud mixte c'està-dire un nœud générateur et un
nœud consommateur.
Le nœud 2 est un nœud
générateur, il n’y a pas de charge en ce nœud. Le nœud 3 est un nœud de charge mais
comporte cependant une batterie de condensateurs générant une puissance réactive. Les
tensions nodales sont désignées par V1 , V2et V3. En chaque nœud i, on définit une
puissance nodale Si par :
S i S Gi S Di V i I i*
(I.1)
Où SGi et SDi sont respectivement les puissances générée et demandée au nœud i [1].
G1
SD1
V1
G2
SG1
2
L1
1
SG2
V2
L3
L2
3
V3
jQG3
SD
3
Figure I.2 : réseau à 3 nœuds
En remplaçant les lignes par leur schéma en π, la figure I.2 conduit au schéma de la
figure I.3.
8
Chapitre I
Transit de puissance dans les réseaux électriques
V1
I1
S1
I2
S2
y12
ysh12
V2
ysh21
ysh13
y23
y13
ysh23
ysh32
ysh31
V3
S3
I3
Figure I.3 : Schéma simplifié d’un réseau à 3 nœuds
La loi des nœuds concernant les courants permet d’avoir :
I 1 V 1 y sh 12 V 2 y sh 13 (V 1 V 2 ) y 12 (V 1 V 3 ) y 13
(I.2)
I 2 V 2 y sh 23 V 2 y sh 21 (V 2 V 3 ) y 23 (V 2 V 1 ) y 21
(I.3)
I 3 V 3 y sh 31 V 3 y sh 32 (V 3 V 1 ) y 31 (V 3 V 2 ) y 32
(I.4)
Les équations (I.2), (I.3), et (I.4) peuvent s’écrire aussi :
I 1 V 1 ( y sh 12 y sh 13 y 12 y 13 ) V 2 y 12 V 13
(I.5)
I 2 V 1 y 21 V 2 ( y sh 23 y sh 21 y 23 y 21 ) V 3 y 13
(I.6)
I 3 V 1 y 31 V 2 y 32 V 3 ( y sh 31 y sh 32 y 31 y 32 )
(I.7)
Les équations (I.5), (I.6), et (I.7) peuvent s’écrire sous la forme matricielle (I.8) cidessous :
I Y . V
(I.8)
9
Chapitre I
Transit de puissance dans les réseaux électriques
Où :
I1
I I 2
I 3
(I.9)
V1
V V2
V3
(I.10)
Y11 Y12 Y13
Y Y21 Y22 Y23
Y31 Y32 Y33
(I.11)
y sh12 y sh13 y12 y13
Y
y 21
y31
[ ]
y12
y sh 23 y sh 21 y 23 y 21
y32
y13
y 23
y sh 31 y sh 32 y31 y32
(I.12)
[ ]
Y est la matrice admittance nodale du réseau.
V est la matrice tension nodale du réseau.
I est la matrice courant nodal du réseau.
L’élément diagonal de la matrice admittance relatif au nœud i est la somme de
toutes les admittances élémentaires et shunt aboutissant en ce nœud. L’élément non
diagonal relatif à la liaison i-j est égal à l’admittance élémentaire de la liaison précédée
du signe moins.
On peut noter que :
3
Yii ( y ij y shij )
(I.13)
j 1
Y ji yij
pour i≠j
(I.14)
10
Chapitre I
Transit de puissance dans les réseaux électriques
L’extension des résultats précédents à un réseau à n nœuds donne :
I1
I
I 2
I n
(I.15)
V1
V
V 2
Vn
(I.16)
Y11 Y1n
Y
Yn1 Ynn
(I.17)
Les éléments de la matrice admittance sont tels que :
n
Yii ( y ij y shij )
(I.18)
Yij yij
(I.19)
j 1
pour i≠j
La puissance apparente au nœud i est donnée par la relation :
S i V i I i*
(I.20)
Avec :
Vi Vi e ji
(I.21)
Au nœud i, le courant Ii est tel que :
Ii
Si
P jQ
i * i
*
Vi
Vi
(I.22)
Tenant compte des relations (I.8) et (I.20), on obtient :
Pi jQi
Yi1V1 Yi 2V2 ..... YinVn
Vi *
(I.23)
11
Chapitre I
Transit de puissance dans les réseaux électriques
La relation (I.23) peut s’écrire sous la forme :
Pi jQi Yi1V1Vi* Yi 2V2Vi* ..... YinVnVi* 0
(I.24)
L’expression (I.24) est non linéaire. Sa résolution n’est possible que numériquement.
I.3 CLASSIFICATION DES NŒUDS
Dans l’étude de la répartition des charges chaque nœud est décrit par quatre
variables dont deux de ces variables sont imposées. Les quatre variables sont:
Puissance active P
Puissance réactive Q
Module de la tension V
Angle de la tension θ
Selon que les grandeurs P, Q, V et θ sont connues ou inconnues en chaque nœud
et en les combinant, on peut classer les nœuds en trois types.
Nœud
Type 1
Type 2
Type 3
Variables connues
P, Q
P, V
V ,θ
Variables inconnues
V ,θ
Q, θ
P, Q
Tableau I.1 : Type de nœuds du réseau
I.4 BILAN DE PUISSANCE
Le bilan de puissance active du réseau s'écrit :
P P
G
L
pertes de puissance actives du réseau
(I.25)
La somme des puissances actives générées P G est égale à la somme des puissances
actives absorbées par les charges P L augmentée des pertes de puissance active du réseau
dues aux résistances des lignes et des câbles.
Le bilan de puissance réactive du réseau s'écrit :
12
Chapitre I
Q
G
Transit de puissance dans les réseaux électriques
QL génération ou consommation de puissance réactive par le réseau
(I.26)
La somme des puissances réactives générées QG est égale à la somme des
puissances réactives consommées/produites par les charges Q L augmentées de la somme
des consommations/productions réactives du réseau (réactance des lignes, des câbles,
transformateurs, banc de condensateurs, etc.…) [2].
I.5 METHODES NUMERIQUES DE CALCUL DE L’ECOULEMENT DE
PUISSANCE
L’équation non linéaire (I.24) se présente sous la forme :
f (X ) 0
(I.27)
Une telle équation peut être résolue par une méthode itérative de calcul qui utilise
l’approche suivante basée sur les étapes ci-dessous :
1. Choix d’une valeur initiale
2. Cette valeur initiale est utilisée dans l’équation (I.27) pour calculer une nouvelle
et 2eme valeur plus précise.
3. La 2eme valeur est utilisée pour le calcul d’une 3 eme valeur plus précise que la 2eme
etc.…. .
Les méthodes numériques les plus utilisées pour résoudre ce genre d’équations sont
la méthode de Gauss, méthode de Gauss-Seidel et la méthode de Newton-Raphson. Dans
ce travail, nous utilisons la méthode de Newton-Raphson qui a l’avantage d’avoir une
convergence plus rapide par rapport à celles de Gauss et de Gauss-Seidel [3].
I.6 METHODE DE NEWTON-RAPHSON
Dans ce qui suit nous présentons la méthode de résolution de l’équation I.27
proposée par Newton-Raphson.
f ( X ) 0 s’écrit sous la forme :
f1 ( X 1 , X 2 ,........,X n ) 0,
f 2 ( X 1 , X 2 ,........,X n ) 0,
f n ( X 1 , X 2 ,.......,X n ) 0
(I.28)
13
Chapitre I
Transit de puissance dans les réseaux électriques
Le développement de f(X) en series de Taylor en X(0) au premier ordre permet d’écrire :
f1 ( X )
f1 ( X ) f1 ( X )
f1 ( X ) f1 ( X )
X 1
X 2
X n
X 1(1) X 1( 0)
(1)
f ( X ) f 2 ( X )
f 2 ( X )
(1)
(0)
X 2 X 2( 0)
f 2 ( X ) f 2 ( X ) 2
X 2
X n
X 1
(1)
(0)
f n ( X )
X n X n
f n ( X (1) ) f n ( X ( 0) ) f n ( X ) f n ( X )
X 2
X n X X ( 0 ) X (1) X ( 0 )
F ( X (1) )
F ( X (0) )
X 1
(1)
(0)
(I.29)
J ( X (0) )
X(1) étant la valeur proche de X(0).
Sous forme compacte, et en généralisant l’expression ci-dessus à l’itération it, on obtient :
f ( X (it ) ) f ( X (it 1) ) J ( X (it 1) )( X (it ) X (it 1) )
(I.30)
où J est le Jacobien et it le nombre d’itérations.
Quand X(it) converge vers la valeur cherchée, on aura :
f ( X (it 1) ) J ( X (it 1) )( X (it ) X (it 1) ) 0
(I.31)
D’où :
X (it ) X (it 1) J 1 ( X (it 1) ) f ( X (it 1) )
(I.32)
La solution itérative en fonction du vecteur correcteur X (it ) X (it ) X (it 1)
X (it ) J 1 ( X (it 1) ) f ( X (it 1) )
(I.33)
D’où
X (it ) X (it 1) X (it )
(I.34)
L’équation (I.30) s’écrit aussi :
f ( X (it ) ) f ( X (it 1) ) J ( X (it 1) )( X (it ) X (it 1) )
L’équation (I.35) appliquée à l’équation non linéaire (I.24) permet d’écrire :
14
(I.35)
Chapitre I
Transit de puissance dans les réseaux électriques
P
P
Q Q
P
V
V
Q
V
V
( it )
V
V
( it )
(I.36)
Les écarts des puissances actives ΔP et réactives ΔQ au nœud k sont :
Pk PGk PLk Pkcal
(I.37)
Qk QGk QLk Qkcal
(I.38)
Au nœud k, PGk et QGk représentent respectivement les puissances actives et
réactives générées et PLk et QLk représentent respectivement les puissances actives et
réactives absorbées par les charges. Pkcal et Qkcal sont les puissances nodales calculées et
sont fonction des tensions nodales et de la matrice admittance du réseau. Les éléments de
la matrice admittance du réseau sont :
Yij Gij jBij
(I.39)
Vi Vi e ji Vi (cos i j sin i )
(I.40)
La puissance apparente injectée au nœud k est :
S k Pk jQk Vk I k* Vk (YkkVk YkmVm )*
(I.41)
où Ik* est le conjugué du courant injecté au nœud k. Les expressions de Pkcal et Qkcal
peuvent être déterminées en substituant les équations (I.39) et (I.40) dans l’équation
(I.41). En séparant la partie imaginaire de la partie réelle, on obtient :
Pkcal Vk Gkk Vk Vm Gkm cos( k m ) Bkm sin( k m )
(I.42)
Qkcal Vk Bkk Vk Vm Gkm sin( k m ) Bkm cos( k m )
(I.43)
2
2
Les puissances active et réactive prévues par le gestionnaire du réseau sont :
Pksch PGk PLk
(I.44)
Qksch QGk QLk
(I.45)
Les équations (I.37) et (I.38) s’écrivent donc :
15
Chapitre I
Transit de puissance dans les réseaux électriques
Pk PGk PLk Pkcal Pksch PLk
(I.46)
Qk QGk QLk Qkcal Qksch QLk
(I.47)
Quand les écarts donnés par les équations ci-dessus doivent obéir à la contrainte
tendant vers ε, on obtient la convergence désirée et le plan de tension du réseau. Le
Jacobien est de la forme :
Pk
m
J
Qk
m
Pk
Vm
Vm
Qk
Vm
m
(I.48)
Il est de dimension (n-1) x (n-1) car la tension du nœud bilan est connue et le calcul
par la méthode de Newton-Raphson n’en tient pas compte. Les lignes et colonnes
correspondant à la puissance réactive et à l’amplitude de la tension des nœuds de type PV
ne sont pas pris en compte. En plus, lorsque les nœuds k et m ne sont pas directement
reliés par un élément de transmission, l’entrée k-m correspondant dans le Jacobien est
nulle [4]. A la suite de l'évaluation des éléments du Jacobien, on calcule les valeurs des
corrections à porter sur les variables d'état grâce à la relation de type (I.35). Le nouveau
profil de tensions et les nouveaux angles sont donnés par:
Vi ( it 1) Vi ( it ) Vi ( it )
(I.49)
i( it 1) i( it ) i( it )
Où i désigne le nœud i autre que le nœud bilan. Les étapes de la méthode de NewtonRaphson sont montrées dans la figure II.4.
16
Chapitre I
Transit de puissance dans les réseaux électriques
Formation de la matrice admittance Ybus
it=1
Initialisation des données Vi(1)
i≠s
i=1,2,….,n.
Calcul des puissances actives et réactives
Pi
cal ( it )
Qical
( it )
Vi Gii Vi V j [Gij cos( i j ) Bij sin( i j )]
2
Vi Bii Vi V j [Gij sin( i j ) Bij cos( i j )]
2
i=1,2,…,n, i≠s
Calcul des écarts de puissances
Pk
( it )
Qk
( it )
PGk PLk Pkcal
( it )
QGk QLk Qkcal
( it )
i=1,2,…,n, i≠s
( it )
( it )
Détermination de : Pmax
et Qmax
( it )
( it )
Test de convergence │ Pmax
│:ε et│ Qmax
│:ε
Inférieur
ou
Ou égal
Calcul du transit
de puissances
Supérieur
Formation du jacobien
P
P
Q Q
P
V
V
Q
V
V
( it )
V
V
( it )
Calcul des écarts des tensions
Vi (it ) et i(it )
it=it+1
Vi ( it 1) Vi ( it ) Vi ( it )
i( it 1) i( it ) i( it )
Figure I.4 : Organigramme de l’écoulement de puissance par la méthode de Newton
Raphson [5].
17
Chapitre II
Systèmes de transmission flexibles
à courant alternatif (FACTS)
Chapitre II
Systèmes de transmission flexible à courant alternatif (FACTS)
II.1 INTRODUCTION
Les systèmes de transmission flexibles à courant alternatif (FACTS) peuvent être
classés en trois catégories:
Les compensateurs parallèles
Les compensateurs séries
Les compensateurs hybrides (série - parallèle)
Nous présentons dans ce chapitre quelques-uns d’entre eux parmi les plus utilisés.
II.2 LOCALISATION DES FACTS DANS LE RESEAU
La figure II.1 décrit l’architecture d’un réseau électrique et montre la localisation
des FACTS dans le réseau.
Figure II.1 : Architecture d’un réseau
II.3 COMPENSATEURS PARALLELES
II.3.1 Compensateurs parallèles à base de thyristors
II.3.1.1 TCR (Thyristor Controlled Reactor)
Dans le TCR (ou RCT : Réactance contrôlée par Thyristors), on peut faire varier
l’inductance d’une manière continue en faisant varier l’angle d'amorçage des thyristors. La
figure II.2 montre les composants principaux du TCR [6].
19
Chapitre II
Systèmes de transmission flexible à courant alternatif (FACTS)
itcr(t)
L
V(t)
Th 2
Th 1
Figure II.2 : Circuit du TCR.
II.3.1.2 TSC (Thyristor Switched Capacitor)
Dans le TSC (ou CCT : Condensateur Commuté par Thyristor), les thyristors
fonctionnent à pleine conduction. La figure II.3 montre les composants principaux du
TSC.
Figure II.3: Schéma du TSC
II.3.1.3 SVC (Static Var Compensator)
Le SVC est un compensateur statique d’énergie réactive. Le premier exemple a
été installé en 1979 en Afrique du Sud. Le schéma II.4 montre les composants
principaux du SVC.
20
Chapitre II
Systèmes de transmission flexible à courant alternatif (FACTS)
Figure II.4: Schéma du SVC
La caractéristique statique du svc est donnée sur la figure II.5. Trois zones sont distinctes:
Une zone où seule L est en service : courant variant de 0 à ILmax
Une zone où C est en service : courant variable de 0 à ICmax
Une zone où L et C sont en service avec prédominance de l’effet capacitif
Figure II.5 : Caractéristique d’un SVC
ICmax et ILmax sont les courants limites que peuvent supporter respectivement le TCR et le
TSC.
21
Chapitre II
Systèmes de transmission flexible à courant alternatif (FACTS)
II.3.1.4 STATCOM (Static Compensator)
Le compensateur statique de puissance réactive (ou STATCOM) présente plusieurs
avantages :
Bonne réponse à faible tension : le STATCOM est capable de fournir son
courant nominal, même lorsque la tension est presque nulle.
Bonne réponse dynamique : le système répond instantanément.
Cependant, le STATCOM de base engendre de nombreuses harmoniques. Il faut
donc utiliser, pour résoudre ce problème, des compensateurs multi-niveaux à commande
MLI ou encore installer des filtres.
La figure II.6 représente le schéma de base d’un STATCOM. Les cellules de
commutation sont bidirectionnelles, formées de GTO et de diode en antiparallèle. Le rôle
pri nc i pa l du STATCOM est d’échanger de l’énergie réactive avec le réseau. Pour ce
faire, le convertisseur est couplé au réseau par l’intermédiaire d’un transformateur.
Figure II.6 : Schéma de base du STATCOM
L’échange d’énergie réactive se fait par le contrôle de la tension de sortie du
convertisseur Vsh. Le fonctionnement peut être décrit de la façon suivante:
Si la tension Vsh est inférieure à V, le courant circulant dans la réactance est déphasé
de -π/2 par rapport à la tension V ce qui donne un courant inductif (figure II.7-a).
22
Chapitre II
Systèmes de transmission flexible à courant alternatif (FACTS)
Si la tension Vsh est supérieur à V, le courant circulant dans la réactance est déphasé
de π/2 par rapport à la tension V ce qui donne un courant capacitif (figure II.7-b).
Si la tension Vsh est égale à V, le courant circulant dans la réactance est nul et par
conséquent il n’y a pas d’échange d’énergie réactive [6].
Figure II.7: Diagramme vectoriel du STATCOM
Nous considérons dans ce cas de fonctionnement que les tensions sont triphasées
et équilibrées. Par ailleurs, l’amplitude de la tension de sortie Vs, est proportionnelle à la
tension continue aux bornes du condensateur.
Les fonctions accomplies par un STATCOM sont :
Stabilisation dynamique de la tension,
Augmentation de la capacité de transport d’énergie,
Amélioration de la stabilité du réseau.
II.3.2 Les conséquences des compensateurs parallèles
Le compensateur shunt peut servir à des fins multiples :
Régulariser la tension,
Fournir au réseau de l’énergie réactive ou en absorber,
Diminuer la distorsion de tension,
Corriger le facteur de puissance,
Agir comme filtre actif.
II.4 COMPENSATEURS SERIES
Ces compensateurs sont connectés en série avec le réseau et peuvent être utilisés
comme une impédance variable (inductive, capacitive) ou une source de tension variable.
En général, ces compensateurs modifient l’impédance des lignes de transport en
insérant des éléments en série avec celles-ci.
23
Chapitre II
Systèmes de transmission flexible à courant alternatif (FACTS)
II.4.1 Compensateurs séries à base de thyristors
II.4.1.1 TCSC (Thyristor Controlled Series Capacitor)
Le TCSC (capacité série contrôlée par thyristors) est composé d’une inductance
en série avec un gradateur à thyristors, le tout en parallèle avec un condensateur comme le
montre la figure II.8.
Th 2
XL
Th 1
Xc
Figure II.8: Structure du TCSC
II.5 UPFC (UNIFIED POWER FLOW CONTROLLER)
Gyugyi a présenté le concept de l’UPFC en 1990. L’originalité de ce
compensateur est de pouvoir contrôler les trois paramètres associés au transit de
puissance dans une ligne électrique :
La tension,
L’i m pé da nc e de la ligne,
Le déphasage des tensions aux extrémités de la ligne.
En effet, l’UPFC schématisé par la figure II.9 permet à la fois le contrôle de la
puissance active et celui de la tension de ligne.
L'UPFC est capable d’accomplir les fonctions des autres dispositifs FACTS à
savoir le réglage de la tension, la répartition de flux d’énergie, l’amélioration de la
stabilité et l’atténuation des oscillations de puissance.
L’énorme avantage de l’UPFC est bien sûr la flexibilité qu’il offre en permettant
le contrôle de la tension, de l’angle de transport et de l’impédance de la ligne par un
seul dispositif comprenant seulement deux convertisseurs triphasés.
24
Chapitre II
Systèmes de transmission flexible à courant alternatif (FACTS)
Figure II.9: Schéma de base de l’UPFC
Il pourra alterner différentes fonctions : par exemple, la fonction shunt pourra
être utilisée pour soutenir la tension alors que la partie série pourra être utilisée
afin d’amortir les oscillations de puissances [6].
II.6 ETUDE ET MODELISATION DU SVC
II.6.1 Historique du SVC
Le compensateur statique de puissance réactive SVC (Static Var Compensator) est
apparu dans les années 1970. Le premier SVC a été installé dans l'ouest de Nebraska, en
Amérique du Nord, pour répondre à des besoins de stabilisation de tension rendue
fortement variable du fait de charges industrielles très fluctuantes telles que les laminoirs
ou les fours à arc. Les SVC sont des FACTS de la première génération. Ils utilisent des
thyristors classiques, commandables uniquement à l'amorçage. Plusieurs conceptions
différentes ont été proposées. Toutefois, la plupart des SVC sont construits à partir des
mêmes éléments de base permettant de fournir ou d'absorber de la puissance réactive.
II.6.2 Définition du SVC
Un SVC est une impédance continuellement ajustable, capacitive à inductive, qui
peut rapidement répondre à des modifications du réseau pour contrebalancer les
25
Chapitre II
Systèmes de transmission flexible à courant alternatif (FACTS)
variations de charge active ou les conséquences d’un défaut. C’est un dispositif de
compensation parallèle connecté en un point précis du système de transmission. Sa
topologie est basée sur des convertisseurs de courant [7].
II.6.3 Constitution du SVC
Le compensateur statique SVC est composé de plusieurs éléments tels qu’un
transformateur abaisseur de tension, un condensateur fixe (FC), qui est commandé par
des éléments mécaniques, d'une réactance commandée par thyristors (TCR), de
condensateurs commutés par des thyristors (TSC Thyristor-Switched Capacitor), et
parfois de réactance commutée par thyristors (TSR Thyristor-Switched reactor ), et des
filtres d'harmoniques [8].
II. 6.3.1 Transformateur
Les enroulements de la partie primaire du transformateur sont raccordés en étoile et
connectés au réseau, et ceux du secondaire qui sont reliés aux autres éléments du SVC
sont raccordés en triangle.
II. 6.3.2 Condensateur fixe (FC)
Le condensateur fixe fournit à la barre une puissance réactive fixe. Il est connecté
au réseau mécaniquement et comporte un contrôle pour l'ouverture du disjoncteur qui le
relie à la barre [9].
II. 6.3.3 Le TCR
II. 6.3.3.1 Principe de fonctionnement du TCR
On suppose dans cette section que la tension aux bornes du TCR est sinusoïdale.
On définit l'angle d'allumage α à partir du passage par zéro dans le sens positif de la
tension aux bornes du thyristor à allumer. L'angle de conduction σ est l'angle pendant
lequel les thyristors conduisent. Un thyristor se met à conduire quand un signal de
gâchette lui est envoyé et la tension à ses bornes est positive. Il s'arrête de conduire
lorsque le courant qui le traverse s'annule. Les thyristors sont allumés de façon
symétrique toutes les demi-périodes. L'angle d'allumage est compris entre 90° et 180°.
Pour α > 180°, la tension aux bornes du thyristor que l'on veut allumer est négative. Pour
26
Chapitre II
Systèmes de transmission flexible à courant alternatif (FACTS)
α < 90°, on perd le comportement symétrique du système. Lorsque α = 90°, on est en
pleine conduction et lorsque α = 180°, on est en conduction nulle.
La relation qui lie angle d'allumage et angle de conduction en régime permanent est :
2( )
(II.1)
Le but d'un tel dispositif est d'obtenir une impédance que l'on peut faire varier en
modifiant l'angle d'allumage.
Une conduction partielle est obtenue lorsque l’angle d’allumage est compris dans
l’intervalle π/2<α< π en radians. Ceci est illustré sur la figure II.10, où on montre les
courants du TCR en fonction de l’angle d’amorçage [2].
Les tensions et courants du TCR sont:
v(t)= 2Vsin(ωt)
(II.2)
ωt
i TCR (t)=
1
2Vsin(ωt)2dt
L α
(II.3)
En dehors de l’intervalle α≤ωt≤(α + σ), le courant est nul. V est la valeur efficace
de la tension, ω=2πf où f est la fréquence de fonctionnement.
En utilisant l’analyse de Fourrier, l’expression du courant à la fréquence
fondamentale est donnée par :
I
=
TCRf1
V
2(π-α)+sin2α
jωLπ
(II.4)
27
Chapitre II
Systèmes de transmission flexible à courant alternatif (FACTS)
α = 90°, σ = 180°
α =100°, σ = 160°
α = 130°, σ = 100°
α = 150°, σ = 60°
Figure II.10 : Formes des courants dans le TCR
II.6.3.3.2 Harmoniques
L’augmentation de l'angle d'amorçage (réduction de l'angle de conduction) a deux
autres effets importants : en premier, les pertes de puissances diminuent dans le
contrôleur TCR, la seconde, le courant devient de moins en moins sinusoïdal et contient
des harmoniques [10]. Si les angles d'amorçages sont équilibrés, (c'est-à-dire égaux pour
les deux thyristors), d'autres harmoniques sont produites, et la valeur efficace du h iéme
(impair) composant harmonique est donnée par l’équation (II .5):
28
Chapitre II
I
TCRh
Systèmes de transmission flexible à courant alternatif (FACTS)
4V sin( h 1) sin( h 1)
sinh
cos
jL 2(h 1)
2(h 1)
h
(II.5)
où h= 3, 5, 7, 9, 13, ….
Lors de son installation en triphasé, le TCR est accompagné par des filtres et utilise
des configurations particulières d’annulation des harmoniques afin d’empêcher les
courants harmoniques d’atteindre le réseau haute tension. Aussi, les inductances auront
un petit composant résistif. Par exemple, la figure II.11 montre en triphasé un TCR
connecté en étoile [2]. Dans cette configuration, et sous conditions de fonctionnement
équilibré, les harmoniques d’ordre multiple de 3 produits par les trois branches du TCR
n’atteignent pas le réseau extérieur. D’autres méthodes sont utilisées pour éliminer les
harmoniques restantes, comme l’utilisation de filtres qui permettent l’annulation des
harmoniques d’ordres 11, 13, … En plus, si le TCR est divisé en deux unités de même
effet et connecté du coté basse tension d’un transformateur possédant deux enroulements
secondaires, un connecté en étoile et l’autre en triangle, on élimine ainsi les harmoniques
d’ordres 5 et 7.
Lorsque l'angle d'allumage (amorçage) du TCR est fixe, on parle d'inductance
commutée par thyristor TSR (thyristor-switched reactor). Généralement cet angle vaut
90°. Dans ce cas, les thyristors sont en pleine conduction sur un nombre entier de demipériodes et le TSR ne génère pas de courants harmoniques. En revanche, la valeur de la
susceptance effective n'est pas modulable et il n'y a que deux cas de fonctionnement
possibles. Lorsque les thyristors sont enclenchés, le courant réactif absorbé par le TSR est
proportionnel à la tension appliquée, il est nul lorsque la valve à thyristors reste ouverte.
Les valeurs maximales admissibles du courant et de la tension doivent être respectées.
Le recours à plusieurs branches TSR connectées en parallèles permet d'obtenir une
admittance réactive contrôlable par palier, tout en conservant un courant sinusoïdal [11].
29
Chapitre II
Systèmes de transmission flexible à courant alternatif (FACTS)
Figure II.11 : Structure du TCR en triphasé
II. 6.3.3.3 Modélisation du TCR
On s’intéresse à un fonctionnement du TCR (SVC, TCSC) et à ses paramètres lors
de son fonctionnement à la fréquence fondamentale. On suppose que seul le courant
fondamental est donné par le TCR et que toutes les harmoniques sont annulées.
L’équation (II.4) peut s’écrire sous la forme suivante :
ITCR =-jBTCR V
(II.6)
Avec
BTCR =
2(π-α)+sin2α
ωLπ
(II.7)
BTCR : Susceptance équivalente du TCR
30
Chapitre II
Systèmes de transmission flexible à courant alternatif (FACTS)
II. 6.3.4 Condensateur commuté par thyristors (TSC)
La figure II.12 montre le schéma du condensateur commuté par thyristors TSC
(thyristor-switched capacitor). Il est composé d'un condensateur fixe C branché en série
avec une valve à thyristors bidirectionnelle et une bobine d'inductance d'atténuation L. Le
commutateur a pour rôle d'enclencher et de déclencher le condensateur pour un nombre
entier de demi-cycles de la tension appliquée. Le condensateur n'est ainsi pas commandé
en phase, mais simplement enclenché et déclenché. L'inductance d'atténuation sert à
limiter le courant en cas de fonctionnement anormal et à éviter la résonance avec le
réseau à des fréquences particulières. Pour minimiser les perturbations transitoires, les
instants de commutation sont choisis de façon à ce que la tension aux bornes des
thyristors soit minimale. L'enclenchement est donc réalisé lorsque la tension résiduelle du
condensateur est égale à la tension instantanée du réseau. La susceptance étant fixe, le
courant dans le TSC varie linéairement avec la tension, c’est ce qui explique l'absence
des harmoniques dans le TSC. Plusieurs TSC de tailles différentes peuvent être mis en
parallèle, de façon à former un banc de condensateurs enclenchables et déclenchables par
thyristors. Dans certaines installations, les commutations sont parfois réalisables par
disjoncteurs. Ce type de dispositif porte le nom de condensateur commuté
mécaniquement MSC (mechanically-switched capacitor). Les MSC sont des dispositifs
conçus pour être mis en service que quelquefois par jour. De ce fait, leur fonction
principale est de fournir de la puissance réactive en régime permanent.
Figure II.12 Capacité commutée par thyristors
31
Chapitre II
Systèmes de transmission flexible à courant alternatif (FACTS)
II. 6.4 Schémas du SVC
La figure II.13 présente différentes configurations possibles de SVC. Lorsque le
dispositif comporte une branche de type TCR, un filtre permettant de réduire les
harmoniques est rajouté. La zone de fonctionnement équivalente du SVC est obtenue par
la combinaison des zones de toutes les branches.
Nœud
Nœud
Transformateur
Transformateur
Condensateur
Thyristors
antiparallèle
Condensateur
Thyristors
antiparallèle
Condensateur
Réactance
Réactance
FC
TCC
TCR
-a-
Figure II.13 différentes configurations de SVC
TCR
Filtre
-b-
II.6.5 Principe de fonctionnement du SVC
Le SVC est utilisé fondamentalement pour contrôler la tension à la barre où il est
connecté au réseau électrique, de façon à obtenir un profil plat de la tension. Pour ce
faire, il doit générer ou absorber de la puissance réactive à ses bornes. Sachant que la
puissance réactive est une fonction du courant, il suffit dans ce cas de jouer sur le
courant. Considérons la configuration de la figure II.13 b. En faisant varier l’angle
d’allumage α du TCR de 90° à 180°, on peut faire varier le courant inductif de sa valeur
nominale à 0. Contrairement à la branche inductive (TCR) où le courant peut être ajusté
de façon continue entre 0 et sa valeur nominale, les branches capacitives agissent selon la
loi «tout ou rien», le courant capacitif est à sa valeur nominale ou à 0 [8].
Cependant dans la plupart des applications, le SVC n’est pas considéré comme un
contrôleur parfait. Le principal inconvénient réside dans son comportement en dehors de
32
Chapitre II
Systèmes de transmission flexible à courant alternatif (FACTS)
la zone de régulation où le courant absorbé par les inductances est riche en harmoniques.
La caractéristique de régulation généralement adoptée est représentée précédemment sur
la figure II.5, elle se base sur la mesure de la tension du réseau.
II.6.6 MODELISATION DU SVC
La modélisation d’une branche TCR a été vue. L’attention sera donc portée sur le
condensateur fixe FC. En considérant la figure II.13-a, on peut écrire les équations
suivantes :
(II.1)
(II.2)
Avec
[
)
])
et
II. 6.7
(II.3)
(II.4)
Modèles conventionnels de l’écoulement de puissance
Les premiers modèles du SVC pour l’analyse de l’écoulement de puissance
consistaient à représenter le SVC comme un générateur derrière une réactance inductive
[2]. La réactance représente la caractéristique de régulation de tension du SVC.
Lors d’une simple représentation du modèle d’insertion, on suppose que la pente du
SVC est zéro ; une supposition qui peut être acceptée pourvu que le SVC fonctionne dans
ses limites de dimensionnement, mais ceci peut conduire à de grosses erreurs si le SVC
fonctionne en dehors de ces limites [2]. Ce point est illustré sur la figure II.14 en se
référant à la caractéristique supérieure lorsque le système est en fonctionnement dans des
conditions de sous- charge. Si la pente est prise pour être nulle, alors le générateur
violerait ses limites minimales, ceci est montré au point AXSL=0. Cependant le générateur
fonctionnera correctement dans les limites si la pente de la caractéristique tension-courant
du SVC est prise en compte au point A. La pente peut être représentée en connectant le
modèle du SVC à un nœud auxiliaire couplé au nœud haute tension par une réactance
inductive comprenant la réactance du transformateur et l’inclinaison du SVC. Le nœud
33
Chapitre II
Systèmes de transmission flexible à courant alternatif (FACTS)
auxiliaire est représenté comme un nœud de type PV et le nœud haute tension est un
nœud PQ. Ce modèle est illustré sur la figure II.15-a. Le SVC avec couplage par
transformateur est montré sur la figure II.15-b.
Figure II.14 : Caractéristiques du SVC et de la régulation tension-courant.
a- représentation de la pente
b- représentation de la pente et du
transformateur
couplage.
Figure II.15 : Modèle conventionnel du SVC dans l’écoulement de puissance
34
Chapitre II
Systèmes de transmission flexible à courant alternatif (FACTS)
II.7 Calcul de l’écoulement de puissance utilisant les contrôleurs FACTS
L’approche utilisée ici est aussi celle de Newton-Raphson.
II.7.1 Modèle de la susceptance shunt variable
En pratique le SVC peut être vu comme une réactance ajustable avec ou sans
limites d’angle d’amorçage ou de limites de réactance. Le circuit équivalent montré sur la
figure II.16 est utilisé pour obtenir les équations non linéaires requises par la méthode de
Newton-Raphson [2].
Figure II.16. Susceptance shunt variable
En se référant à la figure ci-dessus, le courant absorbé par le SVC est
(II.5)
et la puissance réactive absorbée par le SVC, qui est également celle injectée au nœud k,
est
(II.6)
L’équation linéarisée est donnée par l’équation (II.7), où la susceptance équivalente BSVC
est le paramètre variable :
[
]
)
[
]
)
)
[
]
(II.7)
A la fin de l’itération (i), BSVC est mise à jour et donne l’équation (III.8).
)
)
(
)
)
)
(II.8)
35
Chapitre II
Systèmes de transmission flexible à courant alternatif (FACTS)
La nouvelle valeur de la susceptance trouvée, représente dans ce cas la valeur totale
de la susceptance nécessaire pour maintenir l’amplitude de la tension nodale à une valeur
spécifiée.
Une fois que le niveau de compensation a été évalué, l’angle d’amorçage lui
correspondant peut donc être calculé. Cependant, le calcul additionnel requiert aussi une
résolution itérative car la susceptance et l’angle d’amorçage du SVC sont reliés par une
relation non linéaire.
II.7.2 Modèle de l’angle d’amorçage
Dans ce modèle le paramètre à varier est l’angle d’amorçage des thyristors du TCR
α. L’équation (II.9) permet d’avoir l’expression de la puissance réactive Q k en fonction
de α. Cet angle d’amorçage α est désigné par αSVC.
[
{
)
]}
(II.9)
A partir de l’équation (II.9), on trouve l’équation itérative du SVC comme suit :
[
]
)
)
[
)
[
]
]
[
]
)
(II.10)
A la fin de l’itération (i), l’angle d’amorçage variable αSVC est mise à jour et donne:
)
)
)
(II.11)
36
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
III.1 INTRODUCTION
Un grand réseau d’énergie électrique se compose des éléments (générateurs,
transformateurs, lignes,…), plus ou moins nombreux selon la taille du réseau,
interconnectés, formant un système complexe capable de générer, de transmettre et
de distribuer l’énergie électrique à travers de vastes étendues géographiques figure
III.1. Ainsi, les réseaux d’énergie modernes sont caractérisés par taille et complexité
croissantes. Plus la dimension d’un réseau augmente, plus les processus dynamiques
et l’analyse des phénomènes physiques sous-jacents sont complexes. Outre leur taille
et leur complexité, les réseaux d’énergie présentent un comportement non-linéaire et
variant dans le temps. Les non-linéarités peuvent être introduites par des éléments à
fonctionnement discontinu tels relais, thyristors, …, par des éléments avec hystérésis
ou saturation,… . De nos jours, cette complexité structurelle influence de plus en plus
l’évolution des problèmes de stabilité et des phénomènes dynamiques dans les
réseaux interconnectés.
Figure III.1 : Les différents niveaux d’un réseau d’énergie.
III.2 MODELE GENERAL NON-LINEAIRE.
La première étape, lorsqu’on veut analyser et commander un système électrique de
puissance, consiste à trouver un "bon" modèle mathématique. Généralement, un
modèle, dans l’analyse des systèmes, est un ensemble d'équations ou de relations, qui
38
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
décrit convenablement les interactions entre les différentes variables étudiées, dans la
gamme de temps considérée et avec la précision désirée, pour un élément ou un
système. Par conséquent selon le but de l’analyse, un élément ou un même système
physique, peut donner lieu à des modèles différents [12].
Dans de nombreux cas, le choix du modèle correct est souvent la partie la plus
difficile de l’étude. Le point essentiel est de trouver le "bon modèle" qui réalise un
compromis entre la fidélité du comportement qualitatif et quantitatif et la simplicité de
mise en œuvre à des fins d’analyse et de synthèse. Les modèles complexes ont
généralement besoin d’un nombre plus important de paramètres. En outre, l’obtention
de valeurs fiables pour ces paramètres exige un travail important. Enfin si des
méthodes trop complexes sont utilisées, l’analyse et les calculs sont inutilement
"volumineux" et l’interprétation du résultat exige également un travail très important.
Généralement, pour établir un modèle de réseau électrique pour les études
dynamiques, on tient compte uniquement des équipements en activité pendant la plage
temporelle du phénomène dynamique considéré. Le résultat est donc le modèle de
connaissance complet du système : il se compose d’équations différentielles
ordinaires non-linéaires et d’équations algébriques [13].
Les modèles présentés dans ce chapitre concernent les éléments suivants :
- les unités de production : générateurs électriques, systèmes d’excitation, turbines et
systèmes de contrôle associés.
- les transformateurs et les lignes de transmission du réseau de transport.
- les dispositifs de compensation de l’énergie réactive telle que le compensateur
d’énergie réactive (SVC).
- les charges enfin pour la partie consommation.
39
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
III.2.1 Les éléments du modèle.
III.2.1.1 Modèle du générateur.
L’énergie électrique est généralement produite par les machines synchrones. Ces
dernières sont caractérisées par une vitesse de rotation de l’arbre de sortie de chaque
machine égale à la vitesse de rotation du champ tournant. Pour obtenir un tel
fonctionnement, un couple mécanique issu d’une énergie primaire source, comme
l’énergie hydraulique, l’énergie nucléaire ou l’énergie chimique, est appliqué à l’axe
de la machine synchrone via un lien mécanique intermédiaire, à savoir la turbine. Le
champ magnétique rotorique est généré habituellement par un circuit d’excitation
alimenté par courant continu. La position du champ magnétique rotorique est alors
fixe par rapport au rotor : ceci impose en fonctionnement normal une vitesse de
rotation identique entre le rotor et le champ tournant statorique. Ainsi, les
enroulements du stator sont soumis à des champs magnétiques qui varient
périodiquement. Une f.é.m. de courant alternatif est donc induite dans le stator [12].
La modélisation des machines électriques est primordiale aussi bien pour le
concepteur que pour l'automaticien. Au niveau de la conception, l'utilisateur aura
recours aux équations de Maxwell afin d'analyser finement le comportement de la
machine électrique. Un modèle basé sur les équations de circuit est en général
suffisant pour faire la synthèse de la commande. La simplicité de la formulation
algébrique conduit à des temps de simulations courts. En outre, la précision de la
modélisation est acceptable [11].
Dans cette partie, nous présenterons le modèle de Park de la machine synchrone à
inducteur bobiné et pôles saillants avec circuits amortisseurs.
40
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
III.2.1.1.1 Structure de la machine synchrone
III.2.1.1.1.1 Description
La machine synchrone dont nous allons étudier la mise en équation correspond à la
structure de principe représentée par la figure III.2, dans un plan perpendiculaire à
l’axe de rotation.
L’inducteur tournant, appelé aussi rotor, bipolaire est représenté dans le cas de la
structure à pôles saillants : l’entrefer est variable, mais il est symétrique par rapport à
deux axes perpendiculaires, l’axe direct (ou polaire ou longitudinal) o d et l’axe en
quadrature (ou inter polaire ou transversal) oq. Il comporte un enroulement inducteur,
bobiné autour des pôles et des amortisseurs, ensemble de barres conductrices logées
dans des encoches longitudinales au voisinage de la périphérie des pôles .Ces barres
sont réunies aux deux extrémités de la machine par deux couronnes conductrices, de
façon analogue à la « cage d’écureuil » d’un moteur asynchrone. Cette couronne est
parfois interrompue au droit des espaces inter polaires.
La présence de circuits amortisseurs, qui n’interviennent pas dans l’étude du
régime permanent synchrone idéalisé (c’est-à-dire négligeant tous les harmoniques et
les petites oscillations de vitesse), complique un peu l’étude des régimes transitoires
mais leur influence lors de ces régimes est telle qu’il est impossible de les négliger et
c’est pourquoi il a paru préférable de les introduire d’emblée [14].
L’induit fixe, appelé aussi stator, séparé de l’entrefer par une surface cylindrique,
est muni d’un enroulement triphasé a, b, c (enroulement classique à champ tournant),
représenté conventionnellement comme sur la figure III.2, du côté positif des axes oa,
ob, oc .
41
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
Figure III.2 : Machine synchrone triphasée avec amortisseurs
L’inducteur est animé d’une vitesse de rotation ω r comptée positivement dans le
sens trigonométrique.
La direction positive de od correspond à l’orientation naturelle des lignes
d’induction créées par l’inducteur. oq est en retard de π /2 par rapport à od, dans le sens
trigonométrique.
La position de l’inducteur est caractérisée par l’angle que fait o a avec od, soit θa
appelé aussi θ, compté positivement dans le sens trigonométrique, l’axe ob est en
avance de 2π/3 par rapport à oa et oc est en avance de 4π/3 par rapport à oa, d’où les
relations
(
)
(
)
(
)
}
(III.1)
(III.2)
42
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
III.2.1.1.1.2 Hypothèses simplificatrices
Pour la modélisation de la machine synchrone, nous utilisons les hypothèses
suivantes :
On suppose que le circuit magnétique n’est pas saturé, ce qui permet d’exprimer
les flux comme fonction linéaires des courants.
On suppose le circuit parfaitement feuilleté, ce qui permet de considérer que seuls
les enroulements (inducteur, induit, amortisseurs) sont parcourus par des courants
et en outre on suppose que la densité de courant peut être considérée comme
uniforme dans la section des conducteurs élémentaires (absence d’effet
pelliculaire).
L’hypothèse dit « sinusoïdale » peut s’exprimer ici de la façon simple suivante: On
ne considère que le premier harmonique d’espace de la distribution de force
magnétomotrice créée par chaque phase d’induit.
Enfin on admettra que l’ensemble des amortisseurs peut être représenté par deux
enroulements fermés en court-circuit sur eux-mêmes, l’un dit amortisseurs d’axe
direct (d’indice D) d’axe magnétique dirigé selon od, l’autre dit amortisseur d’axe
en quadrature (indice Q) d’axe magnétique dirigé selon O q, de sorte que la figure
III.2 donne lieu à la représentation schématique de la figure III.3 [14].
Figure III.3 : Machine synchrone triphasée, amortisseurs assimilés à deux
enroulements en court-circuit, en quadrature l’un de l’autre.
43
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
III.2.1.1.2 Equations électriques et magnétiques de la machine dans les axes abc
III.2.1.1.2.1 Equations électriques
Le système d'équations des tensions de la machine synchrone est obtenu par
l'application de la loi de kirchhoff des tensions (loi des mailles) aux différents circuits:
(III.3)
}
(III.4)
}
En appelant :
: Résistances des phases de l’induit.
Résistance de l’inducteur, de l’amortisseur d’axe d et de l’amortisseur
d’axe q
(
) Flux d’enroulement traversant l’enroulement k.
On peut traduire cette écriture sous forme matricielle
,
-
,
-,
-
[
]
,
-[
]
,
-
0
1
,
,
[
(III.5)
]
(III.6)
où
-
[ ]
[
]
0 1
Donc on aboutit à un système d’équations sous forme matricielle :
44
Chapitre III
[
Modélisation du réseau électrique
]
[
][ ]
0
1
(III.7)
[ ]
0
10 1
0
1
}
III.2.1.1.2.2 Relations entre flux et courants
Les conséquences de l’hypothèse de distribution sinusoïdale de la force
magnétomotrice d’induit sont :
Le flux d’enroulement à travers la phase a (respectivement b, c) ne dépend que du
premier harmonique de la distribution d’induction dans l’entrefer.
Les inductances propres et mutuelles à l’induit seul sont la somme d’un terme
constant et d’un harmonique de rang 2, le coefficient de ce dernier est le même
pour les inductances propres et mutuelles.
L’inductance mutuelle entre un enroulement rotorique et une phase de l’induit suit
une loi sinusoïdale en fonction de l’angle θ, dont le coefficient est le quotient par le
courant de l’enroulement rotorique considéré, du flux fondamental qu’il crée à
travers la phase considérée [14].
En vertu de l'hypothèse de non saturation et feuilletage du circuit magnétique, les
flux sont liés aux courants par les relations suivantes, exprimées sous forme
matricielle, et dans lesquelles les coefficients Ls, Lr et Msr sont des fonctions de
l'angle θ.
,
-
, -,
[
]
,
-,
,
-
-[
, -[
]
(III.8)
]
(III.9)
D’où l’écriture sous forme matricielle
0
1
0
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )1 [ ]
( )
0
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )1 0 1
( )
(III.10)
45
Chapitre III
0
1
Modélisation du réseau électrique
( )
( )
( )
0
( )
( )
( )
( )
( )1 [ ]
( )
0
10 1
(III.11)
III.2.1.1.2.3 Matrice inductance statorique
Elle est donnée par l’expression matricielle suivante
, (
[
)
(
(
)
(
)
)
(
(
)
(
(
)
(
)
)
) ]
(III.12)
III.2.1.1.2.4 Matrice de couplage entre le stator et le rotor
Elle s’écrit
,
[
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)]
(III.13)
III.2.1.1.2.5 Matrice inductance rotorique
Les coefficients d’inductance propre et mutuelle relatifs au rotor seul sont tous des
constantes (dont certaines sont nulles), à cause du caractère cylindrique de la surface
limitant l’induit.
Nous écrirons alors
, -
0
1
(III.14)
III.2.1.1.3 Modélisation de la machine synchrone dans le repère biphasé
III.2.1.1.3.1 Transformation de Park
Le principe de la transformation de Park est de ramener toutes les grandeurs
statoriques des phases a, b, c dans un repère (o, d, q) lié avec le rotor [15].
46
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
La transformation d’un enroulement triphasé en enroulement biphasé, en tenant
compte de l’égalité des puissances, est définie par la matrice de Park telle que [16] :
(
( )
)
(
√
[
√
(
)
)
(
√
)
(III.15)
]
√
Le changement de variables relatif aux courants, tensions et aux flux est défini par
cette transformation :
(
)
(
√
[ ]
[
√
)
[
)
√
[
√
][ ]
(
)
(
)
(III.17)
][ ]
√
)
(III.16)
)
√
(
]
)
(
)
(
[
(
√
(
]
)
√
(
[
(
)
(
√
)
(III.18)
][
√
]
D’où les transformations inverses:
[
[ ]
[
[ ]
[
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
47
]
(III.19)
[ ]
]
(III.20)
[
]
]
(III.21)
[
]
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
III.2.1.1.3.2 Modèle de la machine synchrone
Revenons au cas général (régime quelconque) et appliquons le changement de
variables défini par la matrice P (III.15) aux équations (III.3) [14].
En notant
les matrices colonnes figurant au premier
membre des relations (III.16) à (III.21) il vient :
(III.22)
Puis utilisant (III.19) et (III.21), on obtient
.
/
(III.23)
Où PP-1=I, et par un calcul simple on trouve :
[
]
(III.24)
D’où en développant les trois lignes de (III.23) et tenant compte de (III.2) on
obtient l’établissement des équations électriques
(III.25)
}
Ces trois premières équations sont appelées équations de PARK. Dans la plupart
des applications on n’utilise que les deux premières qui sont identiques aux équations
relatives à l’induit de la machine à courant continu.
III.2.1.1.3.2.1 Relations entre flux et courants (composantes d, q, o)
Il convient maintenant d’appliquer la transformation de PARK aux équations des
courants. Le calcul est assez long et nous allons en donner seulement le principe, mais
le résultat est tout à fait simple, il peut s’interpréter uniquement à l’aide de
considérations physiques, et c’est surtout ce dernier aspect que nous développerons
[14].
48
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
III.2.1.1.3.2.2 Principe et résultat du calcul
Pour obtenir la matrice d’inductances reliant
),
(notée
[
),
(notée
[
]
(notée
)
(notée
[ ]
[ ]
]
)
nous devons utiliser la matrice de transformation de Park P et la matrice inverse P-1 ,
pour obtenir la matrice de transformation B
où
(III.26)
L : représente la matrice qui englobe les différentes inductances (statoriques……)
.
/
.
/
.
/
.
/
(III.27)
[
]
Et la matrice P-1 donne naissance à la matrice B-1
(
)
.
/
.
/
.
/
(III.28)
[
]
Lorsqu’on effectue le produit B.L.B-1 on trouve le résultat suivant
(
)
(III.29)
49
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
(III.30)
(
)
(III.31)
(
)
(III.32)
(III.33)
Avec
Ld
inductance synchrone longitudinale et Lq inductance synchrone
transversale qui peuvent être définies par :
L’ensemble des équations établies dans le repère (d, q) permet d’étudier tous les
régimes transitoires électriques de la machine synchrone, dans le cadre des hypothèses
précisées au paragraphe III.2.1.1.1.2. Elles introduisent, notamment lorsque la
perturbation considérée affecte les trois phases de façon équilibrée, une grande
simplification par rapport au système (III.4) [17].
III.2.1.1.3.2.3 Etablissement des équations de la puissance et du couple
La puissance électrique instantanée aux bornes de la machine synchrone est
positive pour le fonctionnement en générateur [14].
(III.34)
Remplaçant les quantités abc par dqo en utilisant la transformation de PARK, il
vient
(
)
(III.35)
Exprimons cette puissance en fonction des flux et des courants en utilisant les
équations de Park (III.25) à (III.33).
.
/
(
)
(
)
(III.36)
50
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
La première parenthèse représente la variation par unité de temps de l’énergie
magnétique emmagasinée.
La deuxième parenthèse représente la puissance mécanique transformée en
puissance électrique à l’intérieur de la machine. Comme ωr
est la vitesse
instantanée de rotation on en déduit l’expression du couple électromagnétique
(couple résistant).
(
)
(III.37)
Il est possible d’arranger l’expression du couple en utilisant les flux magnétisants. En
effet:
Les flux magnétisants d’axes d, q sont :
(
(
)
)
L’équation du couple s’écrit alors :
(
)
c.à.d:
[(
)
]
(III.38)
III.2.1.1.3.2.4 Equation mécanique
L’étude des régimes transitoires fait intervenir des variations non seulement des
paramètres électriques (tensions, courants, FEM, flux), mais aussi des paramètres
mécaniques (couples, vitesses).
En appelant J l’inertie des masses tournantes, accouplées sur l’arbre, f les
cœfficients des frottements, Cem le couple électromagnétique et Cr le couple résistant,
le comportement électromécanique sera complété par l’équation du mouvement :
(III.39)
51
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
III.2.1.1.4 Définitions des paramètres de la machine synchrone
Les paramètres de la machine synchrone sont liés entre eux ce qui facilite leur
identification. En effet la détermination de l’un d’entre eux permet la déduction de
plusieurs autres paramètres sur le même axe.
Les réactances en valeurs réduites et les constantes de temps peuvent être définies
à partir des éléments des schémas équivalents comme suit :
(On note que le modèle utilisé pour définir ces paramètres est un modèle simplifié
afin de faciliter le calcul.)
III.2.1.1.4.1 Réactances transitoires d’axe direct
Elles sont définies à partir des circuits suivants
Figure III. 4 : Définition de Xd'
Figure III. 5 : Définition de Xd"
(III.40)
(
)
(III.41)
(III.42)
III.2.1.1.4 .2 Constantes de temps d’axe direct
Elles sont définies par :
Figure III. 6 : Définition de Td0''
Figure III. 7 : Définition de Td0'
52
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
Figure III. 8 : Définition de Td"
Figure III. 9 : Définition de Td'
.
/
(III.43)
(
)
(
(
)
(
)
(III.44)
(III.45)
)
(III.46)
III.2.1.1.4 .3 Réactance subtransitoire d’axe en quadrature
Cette réactance se définit par :
Figure III.10 : Définition de Xq"
(III.47)
(III.48)
III.2.1.1.4.4 Constantes de temps d’axe en quadrature
Au nombre de deux, elles sont données par les circuits suivants :
Figure III.11 : Définition de Tq"
Figure III.12 : Définition de Tq0"
53
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
(
(
)
(III.49)
)
(III.50)
Diagramme vectoriel de la machine synchrone
La transformation de cordonnées (x, y) en (d, q) s’écrit:
[
]
0
1[
]
(III.51)
Figure III.13 : Diagramme vectoriel d’un générateur synchrone en régime permanent
III.2.1.2 Modèle mathématique du système d'excitation
La fonction fondamentale d'un système d'excitation est de fournir au circuit
d'excitation de générateur le courant sous forme continue pour produire un champ
magnétique. Au début on a réglé la tension d'excitation manuellement, pour ajuster la
tension finale nécessaire au générateur et l’énergie réactive fournie par le générateur.
Plus récemment, on a proposé divers types d'excitatrices. La figure III.14 présente la
forme générale d'un système d'excitation.
54
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
Figure III.14: système d’excitation
III.2.1.2.1 Modèle mathématique d'excitatrice
Selon les moyens
utilisés pour fournir l'énergie d'excitation, les excitatrices
peuvent être classées en trois types : excitatrices à courant continu, excitatrices à
courant alternatif et excitatrices statiques.
III.2.1.2.1.1 Les systèmes d'excitation à courant continu :
Ils utilisent une génératrice à courant continu avec collecteur comme source de
puissance du système d’excitation.
III.2.1.2.1.1.1 Modèle mathématique d'excitatrices à courant continu :
En raison du coût de maintenance élevée, les excitatrices à courant continu n'ont
pas été très utilisées. Cependant, dans quelques générateurs, nous pouvons encore voir
des excitatrices à courant continu. Par conséquent il est nécessaire d'introduire leur
modèle mathématique.
Nous introduirons un modèle mathématique du cas général d'une excitatrice à
courant continu. La figure III.15 montre l'excitatrice à courant continu.
Figure III.15: Excitatrice à courant continu
55
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
Nous pouvons obtenir les équations suivantes des tensions et des flux (sans
considérer la saturation magnétique).
(
)
(
)
(
)
-
-
(III.52)
(III.53)
Dans les équations des flux ci-dessus, nous pouvons considérer que les deux
enroulements sont accouplés complètement. Par conséquent. La réactance de fuite de
chaque enroulement est nulle et l’inductance propre n’est pas saturée et toutes les
inductances mutuelles sont égales.
(III.54)
∑
Où
∑
∑
}
(III.55)
est le courant d’excitation totale délivré par l’excitatrice à courant continu.
III.2.1.2.1.2 Les systèmes d’excitation à courant alternatif:
Ils utilisent un alternateur et des redresseurs statiques ou tournants pour produire le
courant continu nécessaire dans l’enroulement d’excitation de la machine synchrone.
III.2.1.2.1.3 Les systèmes d'excitation statiques (systèmes ST) :
Dans ce cas, le courant d’excitation est fourni par un redresseur commandé. Sa
puissance est fournie soit directement par le générateur à travers d’un transformateur
donnant le niveau approprié de tension, soit par des enroulements auxiliaires montés
dans le générateur.
Les systèmes d’excitation sont équipés de contrôleurs, appelés habituellement
régulateurs de tension (Automatic Voltage Regulator : AVR). Ces derniers sont très
importants pour l’équilibre de la puissance réactive qui sera fournie ou absorbée selon
les besoins des charges. En outre ces contrôleurs représentent un moyen très
important pour assurer la stabilité transitoire du système de puissance. Le régulateur
56
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
de tension agit sur le courant d’excitation de l’alternateur pour régler le flux
magnétique dans la machine et ramener la tension de sortie de la machine aux valeurs
souhaitées. Une caractéristique très importante d’un régulateur de tension est sa
capacité à faire varier rapidement la tension d’excitation [12].
III.2.2 Modèle mathématique de réseau pour l'étude de la stabilité transitoire
Les relations entre les tensions nodales du réseau et les courants pour l'étude de la
stabilité transitoire peuvent être représentées sous la forme suivante
YV=I
(III.56)
où I et V et Y représentent le vecteur courant, le vecteur tension nodale et la matrice
d’admittances respectivement. L’équation (III.56) est linéaire, et la matrice
d’admittance Y est déterminée seulement par la nature et les paramètres du réseau.
On peut la représenter sous la forme suivante
[
[
]
[
]
[
] [
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
] (III.57)
[
]
[
]
[
] [
][
]
]
[
[
]
]
où n indique le nombre de nœuds du réseau, Gij et Bij indiquent les parties réels et
imaginaires des éléments Yij de la matrice admittance de réseau, respectivement.
Ixi, Iyi, Vxi, et Vyi indiquent les parties réelles et imaginaires des courants injectés et les
tensions au nœud i.
III.2.2.1 Relation entre le réseau et les dispositifs dynamiques
III.2.2.1.1 Relation entre les générateurs et le réseau
Pour le modèle de la machine synchrone, les équations des tensions statoriques
sous les coordonnées d, q sont :
[
]
̅
*̅ +
*
̅
̅
+[ ]
(III.58)
57
Chapitre III
Tel que ̅
Modélisation du réseau électrique
̅
représentent les tensions et courants dans les axes d et q
respectivement.
Si on applique la transformation (III.51) sur l’équation (III.58), les équations des
tensions statoriques sont données par :
0
1[ ]
̅
*̅ +
*
̅
̅
+0
1[ ]
(III.59)
On peut tirer l’expression des courants injectés d’après l’équation (III.59)
[ ]
̅
]*̅ +
[
[
][ ]
(III.60)
où
̅
̅
̅ ̅
̅ ̅
̅
̅ ̅
̅ ̅
(̅
̅ )
̅ ̅
(̅
̅ )
̅ ̅
̅
(III.61)
̅
̅ ̅
̅
̅
̅ ̅
}
En substituant l’équation (III.60) dans l’équation (III.56), et après calcul, on peut
conclure que le raccordement d’un générateur est équivalent au courant injecté au
nœud correspondant, soit
[
]
[
̅
]*̅ +
(III.62)
III.2.2.1.2 Relation entre les charges et le réseau
Les techniques utilisées sont différentes suivant la nature des charges.
1. Si les charges sont représentées par le modèle d’impédance statique, l’impédance
statique peut être ajoutée à la matrice d’admittance.
2. Si les charges sont représentées comme un dispositif dynamique, les charges sont
modélisées comme des impédances, cependant ces impédances ne sont pas
statiques pendant la durée d’étude de la stabilité.
58
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
3. Si les charges sont modélisées en fonction des caractéristiques de tension à l’état
stable, les expressions des courants injectés aux nœuds correspondants sont des
fonctions non linéaires, par conséquent, les équations du réseau sont non-linéaires.
Les expressions des puissances active et réactive absorbées par le réseau sont
( )*
(
( )*
où
(
( )
)
( )
(
)
(
( )
)
( )
+
)
( )(
+
}
les paramètres
( )(
( )
)
( )
(III.63)
)
}
sont des valeurs différentes pour les
différents nœuds et satisfont
}
La relation entre les courants, les tensions et les puissances est donnée par la relation
suivante :
̇ ̂̇
(
)(
)
(III.64)
Il est facile de déterminer la relation entre les courants injectés et les tensions nodales.
Si les charges sont représentées par des termes de deuxième ordre, le courant injecté
est donné par :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )√
( )
( )
( )
( )√
(III.65)
}
Si les charges sont représentées par une fonction exponentielle, l’expression de
courant donné par :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
}
(III.66)
( )
59
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
III.2.2.1.3 Relation entre les dispositifs FACTS et le réseau
Nous décrirons ici seulement la relation entre le SVC et le réseau, la relation entre
les autres dispositifs FACTS et le réseau pouvant être présentée de la même manière.
Généralement le SVC est connecté à un nœud du réseau par l’intermédiaire d’un
transformateur (l’indice de ce nœud est i). L’admittance shunt du SVC est égale à :
Y=
(III.67)
A partir de la relation entre la tension nodale ̇ et le courant injecté ̇ il est facile
de définir les parties réelle et imaginaire du courant injecté comme suit :
}
(III.68)
où XT est l’impédance de transformateur.
BSVC la susceptance équivalente du SVC.
Vxi et Vyi sont les parties réelles et imaginaires des tensions aux nœuds [18].
III.3
ETUDE
DE
LA
STABILITE
TRANSITOIRE
D’UN
MODELE
SIMPLIFIE
Pour expliquer les principes et les procédures de l'étude simplifiée de la stabilité
transitoire, on utilise les hypothèses simplificatrices suivantes :
Générateur : la tension transitoire
reste constante.
Réseau : modélisé comme une matrice d’admittance.
Les équations sont résolues par la méthode de Euler modifiée tandis que les
équations de réseau sont résolues par la méthode d'élimination de Gauss.
III.3.1 Valeurs initiales
Avant de commencer l'intégration numérique, les valeurs initiales des équations
différentielles doivent être calculées, basées sur une étude d’écoulement de puissance.
60
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
Nous commençons par calculer les valeurs initiales des paramètres des générateurs.
D'une étude d’écoulement de puissance, les tensions et les puissances des générateurs
avant la perturbation sont données par
̇(
)
( )
( )
et
( )
( )
(III.69)
( )
En outre, les courants injectés par les générateurs dans le réseau sont calculés par
̇
( )
( )
̇
et
̇
̇
̂( )
̂̇
( )
( )
) ̇
(
( )
(III.70)
( )
(III.71)
̇(
( )
)
) (̇ ) .
(
(III.72)
Les angles rotoriques des générateurs avant la perturbation sont donnés par :
(
( )
( )
( )
)
(III.73)
Avant la perturbation, les générateurs tournent à la vitesse synchrone, donc
( )
Utilisons la formule des cordonnées de transformation (III.51), présentée
précédemment (Figure III.13). Dans les axes (d, q) les relations entre les tensions
statoriques des générateur et les courants sont donnés par
[
[
( )
( )
( )
( )
]
]
*
( )
*
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+[
( )
+[
( )
( )
( )
]
]
(III.74)
}
Les tensions transitoires d’axe d et q sont données par
-
(III.75)
Les tensions subtransitoire d’axes d et q sont données par
61
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
(
)
(
-
)
où
(III.76)
.
On peut obtenir l’équation suivante en utilisant les tensions vd et vq:
}
(III.77)
A partir de l’équation (III.75), les valeurs initiales des tensions transitoires sont
données par :
( )
( )
( )
(III.78)
( )
En outre, les puissances électriques Pe(0) des générateurs pour un fonctionnement
équilibré sont égales aux puissances mécaniques des turbines P m(0), c.-à-d.,
( )
( )
( )
(
( ))
( )
(III.79)
Le calcul des valeurs initiales des charges est simple.
La tension ̇(
)
et la puissance
( )
consommée par les charges sont obtenues à
partir de l’étude d’écoulement de puissance. D’autre part les admittances équivalentes
des charges sont calculées par :
( )
̂( )
( )
.
(III.80)
Quand les charges sont modélisées comme des impédances constantes,
l’admittance correspondante équivalente reste constante pendant la période d’étude,
et peut être incorporée dans la matrice d'admittance de réseau.
III.4 ETUDE DE LA STABILITE TRANSITOIRE AVEC LES DISPOSITIFS
FACTS
III.4.1 Valeurs initiales et équations différentielles des générateurs
Le modèle mathématique de la machine synchrone comporte les équations du
mouvement du rotor, les équations électromagnétiques de rotor, etc… .
62
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
Les équations des mouvements du rotor s’écrivent :
(
)
(
)
}
(III.81)
est l’angle électrique entre l’axe x et q, et
où
est le moment d’inertie
Les équations électromagnétiques du rotor sont données par :
(
[
)
(
[
[
) ]
(
[
]
)
(III.82)
]
(
) ]
}
avec
et
(III.83)
Les équations des tensions statoriques :
}
(III.84)
La puissance électrique est égale à la puissance de sortie augmentée des pertes
statoriques :
| ̇|
(
)
(III.85)
On peut calculer quelques valeurs initiales à partir de (III.70) et (III.74). Notons
que le courant circulant dans les enroulements amortisseurs en fonctionnement
équilibré est nul. Basées sur les équations (III.75) et (III.77) et sans les charges, les
valeurs initiales des tensions synchrones, tensions transitoires et tensions
subtransitoires peuvent être obtenues comme suit:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(III.86)
( )
63
(III.87)
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
-
(III.88)
En outre, la puissance électrique Pe(0) du générateur pour un fonctionnement
équilibré peut être calculée directement de l’équation (III.85)
( )
(
( )
( ))
( )
(III.89)
dans l’équation (III.81), la puissance de sortie du moteur P(0) est égale
Posons
à
( )
.
( )
(III.90)
Pour résoudre ces équations différentielles nous appliquons d'abord la méthode
trapézoïdale pour le mouvement du rotor (III.81).
(
(
)
(
( )
)
(
( )
(
(
)
)
)
( )
(
)
(III.91)
(
)
( )
( )
( ))
(III.92)
A partir de (III.92) on obtient l’expression de
(
).
Substituons la dans (III.91),
on obtient :
(
(
)
(
)
(
))
(III.93)
avec
(
)
(III.94)
.
( )
Dans (III.94),
( )
( )/
( )
est une fonction du pas
(III.95)
et d’autres constantes. Comme pour
dans (III.95), c'est une constante seulement dans l'équation différentielle (III.93),
sinon elle prend différentes valeurs dans chaque étape de calcul. Après que
est trouvé,
(
)
est calculé basé sur (III.91).
64
(
)
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
(
(
)
(
( ))
)
(III.96)
( )
Maintenant appliquons la règle trapézoïdale à l'équation électromagnétique (III.82).
(
)
[
( )
(
)
[
( )
(
)
)
Eliminons les variables
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
)
(
(
)
(
)
(III.97)
)
( )]
}
)
(
)
( )]
)
et
(
(
(
(
( )
( )]
)
)
(
)
)
)
(
[
( )
)
(
(
( )
(
)
,
( )
( )
(
(
( )
( )
(
(
( )
( )
(
)
)
(
(
)
)
( )]
(
(
)
}
dans (III.97) et (III.98). On obtient
)
(
(III.98)
)
(
(III.99)
)
(III.100)
)
où
*
( )
0
(
(
{(
)
)
[
)
(
( )
1
( )
(
( )
( )}
(
)
)
)
]
(III.101)
( )
( )}
}
et
(III.102)
[
(
)
⁄
]
0
Tous les coefficients
constantes si
(
et
est constant, alors que dans (III.101),
)
1 }
⁄
dans
( )
(III.102) sont des
et
( )
sont des
quantités connues à l’instant t, bien qu'ils prennent différentes valeurs dans chaque
itération.
65
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
Après le calcul de
et (III.98),
(
(
(
(
)
)
0
)
0
)
et
(
)
et en se basant sur les équations (III.97)
peuvent être obtenues par
(
( )
( )
),
(
)
(
)(
(
( )
(
)
)(
(
(
)
( ) )1
) )1
(III.103)
III.4.2 Valeurs initiales et équations différentielles du SVC
Nous nous basons ici sur un modèle de SVC comportant un condensateur fixe (FC)
et une réactance contrôlée par thyristor (TCR), présenté précédemment au chapitre II
(figure II.13-a). Pour la facilité de l'exposé, nous considérons le contrôle d’un SVC
basé sur un régulateur proportionnel. Son bloc-diagramme reporté sur la figure III.16
Figure III.16 : Modèle simple du SVC
Un SVC est généralement connecté au réseau à haute tension par l’intermédiaire
d’un transformateur. L’admittance équivalente du TCR est contrôlée par l'angle
d'allumage α des thyristors. Le modèle mathématique est obtenu facilement d’après la
figure précédente :
,
(
(
)
-
)
}
(III.104)
Les limites sur la sortie de SVC sont :
}
BC=ωC est la susceptance de la capacité fixe,
(III.105)
⁄
est la susceptance de la
réactance, la sortie Bsvc est la susceptance équivalente du SVC.
66
}
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
Bien que le SVC soit connecté au côté basse tension du transformateur, il peut être
toujours vu comme une source d'énergie réactive sur le côté haute tension, destiné à
contrôler la tension, côté haute tension du transformateur. Donc, le nœud haute
tension peut être effectivement considéré comme un nœud PV dans l’étude
d’écoulement de puissance (P=0, V=VSP). A partir du résultat d'étude d'écoulement de
̇(
puissance, on obtient
)
et la puissance injecté par le SVC est
( )
S(0)=jQ(0). Si la réactance du transformateur est XT, la puissance injectée dans le
réseau par le SVC est donnée par
( )
( )
(III.106)
( )
Egalisant les deux côtés de (III.104) à zéro, et en établissant le lien entre (III.105)
et (III.106), nous trouvons les valeurs initiales du SVC comme étant :
( )
( )
( )
( )
(III.107)
( )
( )
}
L'application de la formule des trapèzes à la première partie de (III.104) donne:
(
)
(
(III.108)
)
où
(III.109)
( )
(
( ))
(III.110)
( )
En appliquant la règle du trapèze à la seconde équation (III.104), et en éliminant
(
)
de (III.108), il vient:
(
)
√
(
)
(
)
(III.111)
où
(III.112)
67
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
( )
Si la limite de la SVC est ignorées, alors
(
)
√
(
)
(III.113)
( )
(
(
)
)
(
),
ainsi :
(III.114)
III.4.3 Etablissement des équations du réseau
Les équations du réseau exprimées dans le domaine des réels sont présentées dans
l’équation (III.57). Dans les études de stabilité transitoire, les nœuds du réseau sont
répartis en trois classes: les nœuds connectés en parallèle avec les dispositifs
dynamiques (y compris les nœuds générateurs, les nœuds SVC, et les nœuds de
charge), les nœuds connectés en série avec les dispositifs dynamiques (y compris
nœuds TCSC, etc…) et les nœuds en défaut ou les nœuds non connectés avec un
dispositif. Remplaçant les expressions des courants de chaque dispositif dynamique,
illustrés dans le paragraphe III.2.2.1, dans les équations du réseau, on obtient les
équations du réseau. La figure III.17 représente les éléments du modèle du système de
puissance avec leurs interactions.
Figure III.17. Diagramme de l’ensemble des blocs du système de puissance [12].
68
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
III.4.3.1 Nœuds connectés en parallèle avec les dispositifs dynamiques
Si un dispositif dynamique est relié au nœud i, alors l'équation de réseau pour ce
nœud est
∑
(
)
∑
(
)
-.
(III.115)
Les expressions des courants Ixi au nœud i dépendent du dispositif branché.
1. Connections au générateur : noter que les générateurs sont représentés utilisant
les modèles variables avec
, en attribuant les valeurs
correspondantes aux éléments de (III.61). Les expressions des courants de
générateur (III.60) peuvent être récrites comme suit :
{(
[
(
)
]
{(
(
(
)
(
[
)
(
)
)
)
(
}
)
)
]
}
}
(III.116)
2. Connections avec une charge : comme il a été dit au paragraphe III.2.2.1, si la
charge est une impédance constante, elle peut être intégrée dans le réseau. Si la
charge est modélisée comme une fonction de polynôme de deuxième ordre, elle
est modélisée comme un courant injecté en (III.65). Notons que la partie
constante de l’impédance de la charge peut aussi être intégrée dans le réseau. Les
deux derniers termes en (III.65) sont traités comme des courants injectés. Si la
charge est modélisée comme une fonction exponentielle de la tension, elle peut
être considérée comme un courant injecté en (III.66).
3. Connections avec un SVC : L'expression du courant injecté par le SVC est
donnée par l’expression (III.68).
69
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
III.4.3.2 Connections à un nœud de connexion ou à un nœud en défaut
Le courant injecté au nœud de connexion est nul. Le nœud en défaut est aussi un
nœud de connexion car le courant injecté y est nul. Les équations du réseau pour un
nœud en défaut ou un nœud de connexion est
∑
(
)
∑
(
)
-
(III.118)
III.5 MODELE LINEAIRE
III.5.1 Linéarisation du modèle
La plupart des phénomènes physiques sont non linéaires. L'analyse complète et
globale des systèmes non linéaires est souvent difficile à effectuer. C'est la raison
pour laquelle nous restreindrons notre étude à l'analyse autour d'un point de
fonctionnement judicieusement choisi. Il s'agit de l'analyse d'un modèle linéarisé ou
modèle en petit signal [19].
III.5.1.1 Rappel sur la linéarisation d’une fonction
une fonction différentiable. Au voisinage d’un point ̅
Soit
le
développement de Taylor de f au premier ordre autour de ̅ nous donne
( )
( ̅)
( ̅) (
̅)
(III.119)
( ̅)
( ̅)
( ̅)
( ̅)
( ̅)
( ̅)
( ̅)
avec
.
( ̅)
(
( ̅)
(III.120)
( ̅) )
Cette matrice est appelée matrice jacobienne. Considérons par exemple la fonction
. /
(
)
(III.121)
La matrice jacobienne de f en x est
70
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
( )
.
( )
( )
( )
( )
Autour du point ̅
. /
(
. /
/
(
)
(III.122)
) on a, d’après (III.119),
/(
.
)
(
)
(III.123)
III.5.1.2 Linéarisation du système autour d’un point
Considérons le système S décrit par son équation d’état et son équation de sortie :
̇
(
)
(
)
(III.124)
où X est de dimension n, u est de dimension m et y est de dimension p. Posons
. / et
(
La fonction
(
)
(
(
(
)
).
)
(III.125)
) sera appelée la fonction d’évolution/observation. Autour du
( ̅ ̅), nous avons
point ̅
( )
( ̅)
( ̅)(
̅)
(III.126)
avec
( )̅
( ̅)
( ̅)
( ̅)
( ̅)
(
.
(III.127)
)
Cette matrice jacobienne peut se mettre sous la forme
( ̅)
.
/
(III.128)
où A, B, C, D sont respectivement de dimension n×n, n×m, p×n et p×m. Notons que
cette définition pour les matrices A, B, C, D est équivalente à la suivante, plus
classique :
71
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
( ̅ ̅)
( ̅ ̅)
( ̅ ̅)
( ̅ ̅)
(
(
(
)
)
)
(
)
( ̅ ̅)
̅
/
̅
( ̅) .
( ̅ ̅)
)
( ̅ ̅)
(
(III.129)
( ̅ ̅ ), nous avons
̅
Ainsi, autour du point
}
.
̅
/.
̅
/.
(III.130)
Autour du point ( ̅ ̅ ), le comportement de S s’approxime donc par les équations
suivantes :
,
̇
( ̅ ̅)
( ̅ ̅)
̅)
̅)
(
(
(
(
̅)
̅)
(III.131)
III.5.1.3 Linéarisation du système autour d’un point de fonctionnement
Un point ( ̅ ̅ ) est un point de fonctionnement (aussi appelé point de
polarisation) si ( ̅ ̅ )
. Si ̅
d’abord que si x = ̅ et si
, on parle de point d’équilibre. Remarquons tout
̅, alors ̇ = 0, c’est-à-dire que le système n’évolue plus
si on maintient la commande u = ̅ et s’il est dans l’état ̅ . Dans ce cas, la sortie y a
( ̅ ̅ ). Autour du point de fonctionnement ( ̅ ̅ ), le système S
̅
pour valeur
admet pour système tangent :
{
̇
̅)
(
(
̅
Posons ̃
(
̅)
̃
̅
̅)
(
̅ ̃
(III.132)
̅)
̅. Ces vecteur sont appelés les variations
de u, x et y. Pour des petites variations de ̃ ̃
̃
̃
̃
̃
̃
̃
}
̃, on a
(III.133)
72
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
Le système ainsi formé est appelé système linéarisé de S autour du point de
fonctionnement ( ̅ ̅ ) [20].
Considérons le système non-linéaire décrit par :
( )
(III.134)
Le développement en série de Taylor de cette expression s’écrit :
(
(
tel que
Au voisinage de
)
)
(III.135)
( )
|
,
(
|
) est une fonction d'ordre élevé de
. Nous
pouvons utiliser la stabilité du système linéaire suivant
(III.136)
Pour l’étude de la stabilité du système non-linéaire au point Xe.
1. Si le système linéarisé est stable, par exemple : toutes les parties réelles des
valeurs propres sont négatives, le système non linéaire est stabilisé au point
d’équilibre.
2. Si le système linéarisé est instable, par exemple : au moins une des parties
réelles des valeurs propres est négative, le système non linéaire est instable.
3. Si le système linéarisé est marginalement stable, par exemple : tous les parties
réelles des valeurs propres sont non-positives, mais il y a une ou plus des
parties réelles nulles, nous ne pouvons pas juger la stabilité du système non
linéaire.
Le principe de base de la méthode de Lyapunov est de tirer des conclusions sur la
stabilité des systèmes non-linéaires autour d’un point d’équilibre [18].
III.5 .2 Linéarisation des équations des composants des réseaux électriques
Pour l’étude de la stabilité des réseaux électriques pour les faibles signaux nous
devons linéariser les composants dynamiques du réseau.
73
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
III.5.2.1 Linéarisation de l’équation du générateur synchrone
1. Générateur synchrone
Pour un générateur synchrone décrit par les équations (III.81) à (III.90), dans l’état
de fonctionnement normal (stable), les valeurs initiales des différentes variables sont
( )
( )
( )
( )
( )
( ).
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Linéarisons chaque équation à ces valeurs initiales, nous
obtenons l’équation linéaire d'un générateur synchrone [21] :
{
( )
[
( )
(
( )
)
( )]
(
[
[
)
[
(
)
[
)
]
(
[
(
( )
)
]
)
]
( )]
}
(III.137)
]
(
}
}
(III.138)
2. Système d'excitation
En prenant un système d'excitation composé d'une excitatrice à courant continu
avec un régulateur commandé par thyristors comme exemple, nous pouvons déduire
l'équation linéarisée comme suit. Les composants de tension et de courant sur les axes
d, q aux bornes du générateur peuvent être représentés comme suit
̇
(
(
)
⁄ )
̇
(
)
(
⁄ )
(III.139)
Nous avons
|[(
|(
√(
)
)
(
(
)
(
)]
(
⁄ )
|
)|
)
(III.140)
74
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
Linéarisons les équations ci-dessus à leurs valeurs en régime permanent, nous
pouvons obtenir
(
)
(
)
(III.141)
où
(
( )
( ) )⁄
( )
√(
( )
(
))
(
( )
(
( )
( ) )⁄
( )
(
( )
}
))
(III.142)
Nous pouvons obtenir l'équation linéarisée des dispositifs de mesure et de filtrage
(
)
(III.143)
Nous pouvons écrire l'équation linéarisée de l'excitatrice comme étant :
0 .
1
( )/
(III.144)
Nous avons les équations linéarisées de l’ensemble du système d'excitation à courant
continu
( )
.
(III.145)
( )/
}
III.5 .2.2 Matrices des équations linéarisées des alternateurs
Pour une unité de production décrite par (III.137), (III.138) et (III.140), les
variables d'état peuvent être arrangées pour former le vecteur suivant:
-
[
Nous définissons
[
]
[
(III.146)
]
Les équations différentielles linéarisées de l’ensemble des générateurs peuvent être
écrites sous la forme matricielle suivante
75
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
̅
̅
̅
(III.147)
Les équations linéarisées des tensions d’induit peuvent s’écrire
̅
̅
(III.148)
Pour les deux équations ci-dessus, les éléments des matrices
̅
̅
̅
̅
̅
peuvent être obtenus facilement en comparant (III.147), (III.137) et (III.140), et en
comparant (III.148) et (III.138) (Annexe A).
Transformation des coordonnées
Dans (III.147) et (III.148),
sont les écarts de tension et de courant
sur les axes (d,q) de chaque générateur. Donc nous devons les convertir en une
représentation unique dans les coordonnées (x, y) tournant à la même vitesse, de sorte
qu'ils peuvent être connectés à un seul réseau électrique.
La transformation des coordonnées de tension aux bornes du générateur est donnée
par (III.51)
[
]
0
1[ ]
(III.149)
Les valeurs en régime permanent Vd(0), Vq(0), Vx(0), Vy(0), et δ(0) doivent aussi satisfaire
l’équation (III.149).
[
( )
( )
]
*
( )
( )
( )
( )
+[
( )
( )
]
(III.150)
Linéarisant l’équation (III.149) en régime permanent, nous avons
[
]
*
( )
( )
( )
( )
+[
]
*
( )
( )
( )
( )
+[
( )
( )
]
(III.151)
À partir de (III.150) on peut réécrire (III.151) comme suit
[
]
*
( )
( )
( )
( )
+[
]
qui peut être écrite simplement
76
[
( )
( )
]
(III.152)
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
(III.153)
( )
où
[
]
( )
*
( )
( )
[
( )
( )
+
]
( )
( )
(III.154)
(III.155)
Notons que Tg(0) est une matrice orthogonale, satisfaisant
( )
(III.156)
( )
De même, pour le courant du générateur, nous pouvons obtenir
(III.157)
( )
[
où
]
[
( )
]
( )
(III.158)
En substituant (III.153) et (III.157) dans (III.148) pour annuler ∆Vdqg et ∆Idqg, nous
avons
(III.159)
̅
( )[
où
̅
( )
̅)
(
]
-
(III.160)
( )
( )
En substituant (III.153) et (III.157) dans (III.147) pour annuler ∆Vdqg et ∆Idqg, et
en utilisant (III.159), (III.160) pour annuler
, nous pouvons obtenir
(III.161)
où
̅
̅
(̅
̅
̅
̅)
(
̅
)
̅
-
( )
77
(III.162)
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
Les équations (III.159) et (III.161) se composent des équations linéarisées de
chaque générateur, sous la forme d’une équation d'état et d’une équation de sortie
pour un système linéaire invariant dans le temps.
III.5.2.3 Linéarisation de l’équation de la charge
Dans l'analyse de la stabilité en petits signaux, un modèle statique de la charge est
généralement adopté. Si une certaine quantité de charge du moteur à induction doit
être prise en considération, nous pouvons utiliser des procédures similaires à celles
utilisées pour dériver les équations linéarisées d'un générateur synchrone pour établir
les équations linéarisées d'un moteur à induction.
Quelle que soit la forme adoptée pour modéliser les caractéristiques statiques de la
tension de charge, l'écart du courant injecté dans la charge est donné par la relation
suivante:
(III.163)
où
[
]
[
]
[
]
(III.164)
Les coefficients peuvent être calculés à partir de la relation entre le courant injecté
et la tension nodale au niveau du nœud de charge
|
|
( )
( )
( )
|
( )
( )
|
( )
( )
( )
(III.165)
}
Si la caractéristique statique de tension de la charge est modélisée par un polynôme
quadratique, nous pouvons utiliser la relation (III.65) entre le courant injecté et la
tension nodale et la relation (III.165) pour calculer les coefficients de la relation
(III.164) directement
78
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
( )
( )(
)
( )
( )(
)
( )
( )(
)
( )
( )(
)
( )
( )
( )(
)
( )
( )(
)
( )
( )(
)
( )
( )(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(III.166)
( )
( )
( )
( )
( )
}
Quand une fonction exponentielle est utilisée pour modéliser les caractéristiques
statiques de la tension aux bornes de la charge, la relation entre le courant injecté
dans la charge et la tension nodale de l’équation (III.66), peut être utilisée
simultanément avec (III.165) pour calculer les coefficients de l’équation (III.164)
directement comme suit :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
((
)
((
)
( )
( )
( )
( )
((
)
((
)
( )
( )
( )
( )
)
)
)
)
( )
((
)
((
)
( )
( )
( )
( )
( )
((
( )
( )
((
( )
( )
( )
( )
)
( )
)
( )
)
( )
( )
)
( )
( )
(III.167)
( )
)
( )
)
}
Particulièrement, quand il n'y a pas d'information suffisante sur les caractéristiques
statiques de la tension aux bornes de la charge, un modèle de charge généralement
acceptable est de représenter la puissance active de la charge par un courant constant
(i.e., en prenant m = 1) et la puissance réactive de la charge par une impédance
constante (i.e., en prenant n = 2).
III.5.2.4 Linéarisation de l’équation du SVC
A partir de (III.104) et (III.105), nous pouvons obtenir l'équation linéarisée
suivante directement
(
Parce que
)
}
, après linéarisation, nous avons
79
(III.168)
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
( )
( )
( )
.
( )
(III.169)
En substituant l'équation ci-dessus dans (III.168) et après réarrangement, on obtient
.
(III.170)
où
[
]
[
0
]
1
( )
( )
[
.
( )
( )
( )
(III.171)
]
}
En outre, à partir de (III.68), nous pouvons obtenir l’expression de l'écart entre
le courant injecté par le SVC et la tension nodale
(III.172)
[
]
[
où
(
( ))
( )
[
( )
]
(III.173)
( )
]
( )
0
1
}
Par conséquent (III.170) et (III.172) forment l'équation linéarisée du SVC.
III.5.3. Linéarisation des équations différentielles du réseau avec SVC
Les équations de toutes les groupes de production sont formées à partir de (III.159)
et (III.161)
(III.174)
(III.175)
{
où
{
}
}
{
}
{
}
-
(III.176)
Les équations (III.170) et (III.172) de chaque SVC peuvent former des équations
de tous les SVC
80
Chapitre III
Modélisation du réseau électrique
(III.177)
(III.178)
*
*
où
+
+
*
*
+
}
+
(III.179)
III.6 CONCLUSION
Dans ce chapitre, nous avons présenté la modélisation du réseau électrique pour les
études de la stabilité aux petites perturbations. Les points d’étude principaux de ce
chapitre sont présentés ci-dessous.
Le modèle généralisé du réseau de transport et des charges est déterminé. Dans ce
modèle, les circuits de stators des machines, les transformateurs, les lignes de
transmission et les charges sont représentés sous forme d’équations algébriques.
Le système est représenté par un ensemble d’équations, couplées, différentielles et
algébriques. Ce modèle décrit le comportement non-linéaire du réseau électrique.
Le réseau électrique est souvent soumis à des petites perturbations qui se
produisent continuellement sous l’influence de faibles variations de charges et des
sources. Ces perturbations sont considérées comme suffisamment petites pour
permettre de linéariser les équations du modèle général du système.
Après avoir enfin présenté les modèles linéaire et non-linéaire du système nous
présentons dans le chapitre suivant les différents types
de stabilité du réseau
électrique et plus particulièrement la stabilité angulaire aux petites perturbations objet
de ce travail.
81
Chapitre IV
Application de l’analyse modale au
réseau électrique
Chapitre IV
Application de l’analyse modale au réseau électrique
IV.1 INTRODUCTION
La bonne performance d’un réseau électrique dépend de sa capacité de fournir à
tout moment la puissance demandée dans des conditions de qualité satisfaisantes, en
maintenant les niveaux de tension et de fréquence dans des limites acceptables.
La stabilité est considérée comme l’une des trois grandes études des réseaux
électriques, les deux autres étant l’écoulement de puissance et l’analyse de défauts. Il
est clair que les études de stabilité sont les plus complexes, tant en termes de
modélisation que de méthodes de recherche des solutions.
La stabilité d’un réseau électrique est la capacité du système, pour des conditions
initiales données, de retrouver un point d’équilibre suite à une perturbation.
Le problème de la stabilité des systèmes dynamiques a été et reste le sujet de
préoccupation majeur du travail des mathématiciens, des physiciens et des ingénieurs
[12].
Considérons un alternateur connecté sur un réseau qui alimente une charge par
l'intermédiaire des lignes de transport. Si la charge augmente graduellement,
suffisamment lentement pour maintenir le système en régime permanent, l'alternateur
fournit la puissance requise pour la charge tout en maintenant sa vitesse de rotation
constante. Toutefois, il existe une limite de puissance active qui peut être fournie à la
charge de façon stable, c'est-à-dire en maintenant constante la vitesse de rotation de
l'alternateur. Si, à partir de cette limite, on veut fournir encore plus de puissance à la
charge, en ouvrant les vannes d'amenée d'eau d'une turbine par exemple, l'impédance
de la machine et celle des lignes limitent le transfert de puissance à la charge. L'excès
de puissance est absorbée par l'alternateur ce qui provoque l'accélération de son rotor.
Il y a donc rupture de la stabilité en régime permanent. Dans le cas où plusieurs
alternateurs sont en service sur le réseau, il y a une perte de synchronisme entre eux.
La puissance maximale que le groupe d'alternateurs peut fournir à la charge tout en
maintenant le synchronisme est appelée la limite de stabilité en régime permanent.
Dans le but d'avoir une bonne marge de manœuvre en cas de perturbations, les
alternateurs et les lignes sont conçus de façon à opérer, en régime permanent nominal,
à un niveau de puissance inférieur à cette limite de stabilité en régime permanent [22].
83
Chapitre IV
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Ce chapitre traite de la stabilité du système de puissance. Il est divisé en trois grandes
parties.
La première partie rappelle les caractéristiques des différents types de stabilité d’un
réseau électrique plus particulièrement à la stabilité angulaire pour les petites
perturbations et les différents modes d’oscillations. La deuxième partie s’intéresse à
l’analyse modale d’un réseau électrique. La troisième partie on applique l’analyse
modale sur un réseau électrique à deux régions pour l’étude de la stabilité angulaire
aux petites perturbations.
IV.2 DEFINITION DE LA STABILITE
On détermine la stabilité d’un système par sa réponse aux signaux d’entrée ou aux
parasites. Intuitivement, un système stable est un système qui reste au repos dés que
toutes les excitations cessent. On peut définir avec précision la stabilité en relation
avec la réponse de système à l’impulsion d’unité comme suit :
On dit qu’un système est stable si la réponse à l’impulsion unité tend vers zéro
quand le temps tend vers l’infini. Ou bien on dit qu’un système est stable si tout signal
d’entrée borné produit un signal de sortie borné.
L’étude du degré de stabilité d’un système peut souvent fournir des renseignements
précieux sur son comportement. C’est-à-dire, s’il est stable, est-il est loin d’être
stable ! C’est la notion de stabilité relative. En générale la stabilité relative s’exprime
par la donnée de l’intervalle de variation permise d’un paramètre particulier du
système pour lequel le système reste stable [23].
IV.2.1 Stabilité des réseaux électriques
Un système est stable s'il a tendance à continuer à fonctionner dans son mode
normal (celui pour lequel il a été conçu) en régime permanent et s'il a tendance à
revenir à son mode de fonctionnement à la suite d'une perturbation [3]. Une
perturbation sur un réseau peut être une manœuvre prévue, comme l'enclenchement
d'une inductance shunt, ou non prévue comme un court-circuit causé par la foudre
entre une phase et la terre par exemple. Lors de la perturbation, l'amplitude de la
tension aux différentes barres du réseau peut varier ainsi que la fréquence. La variation
de la fréquence est due aux variations de la vitesse des rotors des alternateurs. Un
84
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
réseau d'énergie électrique est stable s'il est capable, en régime permanent, de fournir
la puissance qu'exigent les consommateurs tout en maintenant constantes la tension et
la fréquence. On définit deux types de stabilité:
1- la limite de stabilité en régime permanent (stabilité statique).
2- la stabilité transitoire [3] [4].
IV.2.2 Les différents types de la stabilité de système de puissance.
La figure ci-dessous représente les différents types de la stabilité d’un réseau
électrique
Stabilité statique
Stabilité transitoire
Figure IV.1 Classification des différents types de la stabilité du système de
puissance [12].
IV.2.2.1 Stabilité statique
Si une perturbation mineure est effectuée sur le réseau, à partir d'un régime
permanent stable, on parle de stabilité statique, le réseau est dit dynamiquement stable.
85
Chapitre IV
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Pour un réseau d'énergie électrique, on entend par perturbation mineure des
manœuvres ou des opérations normales sur le réseau, comme l'enclenchement d'une
inductance shunt, ou des variations mineures de la charge [3].
IV.2.2.2 Stabilité transitoire
Lorsqu'il y a une perturbation majeure sur le réseau et que le réseau retrouve son
mode de fonctionnement normal après la perturbation, alors le réseau est dit
transitoirement stable. Les perturbations majeures sont les courts-circuits, les pertes de
lignes, les bris d'équipements majeurs comme les transformateurs de puissance et les
alternateurs [4]. Si on prend en compte ces diverses définitions et les différentes
perturbations sur le réseau, on comprend que la stabilité statique et la stabilité
transitoire sont intimement reliées au niveau de stabilité en régime permanent. En
effet, le niveau de stabilité en régime permanent doit être le plus élevé possible. Lors
d'une perturbation sur le réseau, un court-circuit de quelques cycles par exemple,
l'appel de puissance durant la perturbation et lors des instants qui suivent l'élimination
du défaut ne doit pas atteindre la limite de stabilité en régime permanent sinon le
synchronisme risque d'être perdu. Dans ce cas, le réseau sera transitoirement instable.
Plus la limite de stabilité en régime permanent est élevée, plus la stabilité statique et la
stabilité transitoire sont accrues. Une limite de stabilité en régime permanent la plus
élevée possible permet également de continuer à alimenter la charge lorsqu'un
équipement majeur, comme un alternateur, devient hors service [22].
IV.2.2.3 Stabilité de tension.
La stabilité de tension, par définition, se rapporte à la capacité d’un réseau
électrique, pour une condition de fonctionnement initiale donnée, de maintenir des
valeurs de tensions acceptables à tous les nœuds du système après avoir subi une
perturbation. La stabilité de tension dépend donc de la capacité de maintenir/restaurer
l’équilibre entre la demande de la charge et la fourniture de la puissance à la charge.
L’instabilité résultante se produit très souvent sous forme de décroissance progressive
de tensions à quelques nœuds.
Il existe une puissance maximale transmissible entre les centres de production et
ceux de consommation. Cette puissance maximale disponible dépend non seulement
des caractéristiques du réseau de transport (distances électriques) mais également de
celles des générateurs (possibilité de maintenir la tension grâce à une réserve de
86
Chapitre IV
Application de l’analyse modale au réseau électrique
puissance réactive suffisante). Par conséquent, si la puissance que les charges tendent
à restaurer devient supérieure à la puissance maximale transmissible, le mécanisme
de restauration des charges va contraindre le réseau haute tension en augmentant la
puissance réactive consommée et en faisant donc baisser progressivement la tension du
réseau jusqu’à des valeurs inacceptables.
Généralement, l’instabilité de tension se produit lorsqu’une perturbation entraîne
une augmentation de puissance réactive demandée au-delà de la puissance réactive
possible.
Plusieurs changements dans le réseau électrique peuvent contribuer à l’instabilité
de tension, ce sont par exemple :
- une augmentation de charge.
- des générateurs, des condensateurs synchrones, ou des SVCS qui atteignent les
limites de puissance réactive.
- une panne de générateur, une perte d’une charge importante ou un déclenchement de
ligne.
- une perte d’une source de puissance réactive (condensateurs, machines
synchrones,...).
Pour l’instabilité de tension à court terme l’effondrement de tension se produit
immédiatement après la perturbation. Dans ce type d’instabilité, les charges et les
dispositifs qui ont des caractéristiques spéciales de puissance réactive tels les moteurs
asynchrones sont souvent impliqués. Les moteurs asynchrones consomment, juste
après la perturbation, beaucoup de puissance réactive pour assurer leur stabilité vis-àvis de leurs charges. D’autres éléments peuvent aussi participer à cette instabilité : les
charges commandées électroniquement, les convertisseurs des liens HVDC, ... .
IV.2.2.4 La stabilité de fréquence.
La stabilité de la fréquence d’un réseau électrique se définit par la capacité du système
de maintenir sa fréquence proche de la valeur nominale suite à une perturbation sévère
menant par conséquent à un important déséquilibre, entre les puissances produite et
consommée.
87
Chapitre IV
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Le maintien de la fréquence à une valeur nominale dans un réseau électrique est lié
à l’équilibre global entre les puissances actives produites et consommées (y compris
les pertes).
Autrement dit, suite à certaines perturbations, l’équilibre global des puissances
produite-consommée peut être déséquilibré : ce déséquilibre entraîne alors une
variation de fréquence.
L’énergie cinétique stockée dans les pièces tournantes des machines synchrones et
autres machines électriques tournantes peut éventuellement compenser ce déséquilibre.
Si ce dernier n’est pas trop grand, les générateurs participant à la commande de
fréquence régleront la puissance active fournie à travers leurs réglages secondaires
fréquence-puissance et ramèneront ainsi l’écart de fréquence à des valeurs acceptables.
Par ailleurs, si le déséquilibre est trop grand, l’écart de fréquence sera significatif
avec des graves conséquences (effondrement complet du système).
Historiquement, les chercheurs et les ingénieurs des systèmes de puissance
mettaient l’accent sur la stabilité de l’angle de rotor. Or les opérateurs des systèmes de
puissance se trouvent actuellement souvent obligés de faire fonctionner leurs systèmes
aux limites de la stabilité. L’amélioration de la stabilité angulaire aux petites
perturbations, en particulier l’amortissement des oscillations interrégionales, est donc
devenue un objectif prioritaire : elle sera développée dans la partie suivante de ce
chapitre.
IV.2.3 Etude de la stabilité angulaire aux petites perturbations.
Les problèmes des oscillations à faibles fréquences ont toujours été un sujet de
préoccupation. Mais pendant plusieurs décennies, les ingénieurs des systèmes de
puissance se sont préoccupés beaucoup plus de la stabilité transitoire. Les origines de
cette dernière étaient faciles à identifier et des mesures correctives ont été mises au
point.
Les oscillations, qui sont typiquement dans la gamme de fréquences de 0,2 à 2 Hz,
peuvent être excitées par des petites perturbations dans le système ou, dans certains
cas, peuvent même prendre naissance spontanément.
88
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
Ces oscillations limitent la capacité de transmission de la puissance et, parfois,
peuvent même causer la perte de synchronisme et un effondrement de l’ensemble du
système. Dans la pratique, en plus d’assurer la stabilité, le système doit être bien
amorti : c.-à-d. les oscillations doivent être atténuées le plus rapidement possible dès
leurs apparitions.
La stabilité angulaire aux petites perturbations peut être améliorée en faisant varier
une grandeur électrique :
physiquement : de manière à augmenter le couple d’amortissement agissant sur le
rotor des machines synchrones.
mathématiquement: de manière à déplacer vers la partie gauche du plan complexe les
valeurs propres complexes correspondant à une oscillation instable ou mal amortie.
IV.2.3.1 Influence du système d’excitation sur la stabilité angulaire.
La stabilité angulaire dépend des deux composantes du couple électromagnétique,
TS (Couple synchronisant), TA (Couple d’amortissement), pour chaque machine
synchrone du système. Une insuffisance de couple synchronisant conduit à une
instabilité apériodique ou non-oscillatoire, alors qu’un manque de couple
d’amortissement conduit à une instabilité statique.
De même, le système d’excitation avec son régulateur de tension a un impact
important sur les deux couples et par conséquent sur la stabilité. Généralement,
lorsqu’il y a des variations de tension, les deux puissances active et réactive
transmissibles dans le réseau de transport vont varier. Cela entraîne des interactions
indésirables entre les régulateurs de fréquence (puissance active) et de tension
(puissance réactive).
L’action puissante et rapide du système d’excitation pour améliorer la stabilité
transitoire
a
malheureusement
une
contribution
négative
importante
sur
l’amortissement des oscillations du système.
Les systèmes d’excitation modernes, ayant une réponse rapide et une action
"puissante", peuvent augmenter le couple synchronisant. Ceci améliore donc la stabilité
transitoire. Mais cet avantage peut être contrebalancé par l’impact négatif du système
89
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
d’excitation
sur
l’amortissement
des
oscillations
en
diminuant
le
couple
d’amortissement. Le couple d’amortissement diminuera, pouvant prendre des valeurs
négatives : le comportement oscillatoire du générateur va donc augmenter et une perte
de stabilité peut avoir lieu.
La figure IV.2 illustre l’influence du couple d’amortissement sur la stabilité aux
petites perturbations.
Figure IV.2: Influence du couple d’amortissement sur la stabilité.
IV.2.3.2 Les différents types d’oscillations à faibles fréquences.
Les oscillations électromécaniques sont associées aux rotors des générateurs.
Pendant ces oscillations, l’énergie mécanique cinétique est échangée entre les
générateurs lors de l’écoulement de la puissance électrique dans le réseau. Ces
oscillations peuvent être classées en deux groupes selon leurs manières d’évolution :
Oscillations spontanées. Dans ce cas, les oscillations se développent lorsque
l’amortissement d’un mode du système devient négatif par changement graduel des
conditions de fonctionnement du système.
Oscillations dues à une perturbation. Un défaut de ligne de transmission, par exemple,
peut entraîner des oscillations en diminuant subitement l’amortissement d’un mode. Si
cet amortissement devient négatif, les oscillations résultantes vont continuer ou même
augmenter.
Les types des oscillations à faibles fréquences rencontrées habituellement dans les
systèmes de puissance peuvent être classés en
quatre groupes, figure IV.3.
Généralement, la fréquence de ces oscillations fournit une bonne indication sur leurs
types.
90
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
Stabilité transitoire
Stabilité statique
Figure IV.3: Classification de la stabilité de l’angle de rotor
IV.2.3.2.1 Les oscillations des modes locaux.
Les modes locaux sont les modes les plus rencontrés dans les systèmes de
puissance. Ils sont associés aux oscillations entre un générateur (ou un groupe des
générateurs) d’une centrale électrique et le reste du système. Le terme local est utilisé
car les oscillations sont localisées dans une seule centrale ou une petite partie du
système, (par exemple : générateur 1 oscillant contre le générateur 2, et le générateur 3
oscillant contre le générateur 4, figure IV.4). La gamme de fréquence de ces
oscillations est généralement de 1 à 2 Hz. L’expérience montre que ces oscillations
tendent à se produire lors de l’utilisation des régulateurs de tension possédant une
réponse rapide et quand le lien de transmission entre une centrale et ses charges est
très faible. Pour assurer un bon amortissement de ces modes, des sources
d’amortissement, tel le SVC et le stabilisateur de puissance, peuvent être ajoutées aux
générateurs à l’origine de ces modes [12].
IV.2.3.2.2 Les oscillations des modes globaux.
Les oscillations des modes globaux, ou oscillations interrégionales, sont associées à
l’oscillation entre certains générateurs d’une partie du système et certains générateurs
d’une autre partie du système (par exemple : les générateurs 1 et 2 oscillant contre les
générateurs 3 et 4, figure IV.4).
91
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
Figure IV.4: Réseau électrique à deux régions [5]
Les modes associés à ces oscillations présentent généralement des amortissements
très faibles et, si ces derniers sont négatifs, de petites perturbations peuvent exciter des
oscillations divergentes.
Les fréquences de ces oscillations se trouvent généralement dans la gamme de 0.2 à
1 Hz. Cette gamme est inférieure à celle des modes locaux car les réactances des liens
entre les systèmes de puissance sont élevées. Généralement, la fréquence naturelle et
le facteur d’amortissement d’un mode interrégional décroissent lorsque l’impédance
d’une ligne d’interconnexion ou la puissance transmise augmente. Le système
d’excitation et les caractéristiques des charges affectent également les oscillations des
modes interrégionaux. Ainsi, ces modes présentent des caractéristiques plus
complexes que ceux des modes locaux.
IV.2.3.2.3 Les oscillations des modes de contrôle.
Les oscillations associées aux modes de contrôle sont dues :
soit, aux contrôleurs des générateurs (mauvais réglage des contrôleurs des systèmes
d’excitation ou des gouverneurs).
soit, aux autres dispositifs contrôleurs (convertisseurs HVDC, SVC,…).
La fréquence de ces oscillations est supérieure à 4 Hz.
92
Chapitre IV
Application de l’analyse modale au réseau électrique
IV.2.3.2.4 Les oscillations des modes de torsion.
Ces oscillations sont essentiellement reliées aux éléments en rotation entre les
générateurs et leurs turbines. Elles peuvent aussi être produites par l’interaction des
éléments de rotation avec le contrôle d’excitation, le contrôle de gouverneur, les lignes
équipées avec des compensateurs de condensateurs en série,… . La fréquence de ces
oscillations est aussi supérieure à 4 Hz.
Dans le cadre de cette étude, nous nous intéressons seulement aux modes locaux et
aux modes interrégionaux : appelés modes électromécaniques. La distinction claire
entre les modes locaux et interrégionaux s’applique principalement aux systèmes qui
peuvent être divisés en régions distinctes séparées par de longues distances. Par
ailleurs, pour les systèmes où les centrales sont distribuées uniformément sur une large
région géographique, il est difficile de distinguer entre les modes locaux et
interrégionaux à partir de considérations géographiques. Cependant, une conclusion
commune considère que les modes interrégionaux ont les fréquences les plus basses et
que la plupart des générateurs du système y contribuent.
IV.2.3.3 L’amortissement.
Nous avons vu que les oscillations électromécaniques limitent la capacité de
transmission de puissance dans les réseaux électriques. Elles peuvent parfois entraîner
une perte de synchronisme. Par conséquent, des sources spécifiques d’amortissement
sont indispensables pour assurer un fonctionnement fiable du système.
La stabilité peut être considérablement améliorée en utilisant des systèmes en
boucle fermée avec des systèmes de contrôle adaptés. Au fil des années, un effort de
recherche important a été effectué pour une meilleure conception de tels contrôleurs. Il
y a principalement deux moyens rapides permettant d’améliorer la stabilité :
l’utilisation d’un contrôleur côté générateur : signal de contrôle supplémentaire dans le
système d’excitation du générateur.
l’utilisation d’un contrôleur côté lignes de transmission : signal de contrôle
supplémentaire dans les systèmes FACTS.
Dans le premier cas, le problème d’oscillations électromécaniques est résolu en
ajoutant au générateur un contrôleur spécifique appelé stabilisateur de puissance:
93
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
Power System Stabilizer (PSS). Ce contrôleur détecte les variations de vitesse de rotor
ou de puissance électrique du générateur et applique un signal, adapté, à l’entrée du
régulateur
de tension (AVR). Le générateur peut ainsi produire un couple
d’amortissement additionnel qui compense l’effet négatif du système d’excitation sur
les oscillations [5].
Les systèmes FACTS, qui sont des dispositifs basés sur les récentes avancées en
électronique de puissance, peuvent être modifiés pour participer à l’amortissement des
oscillations électromécaniques. Les systèmes FACTS (tels SVC, TCSC, SSSC,…)
sont principalement placés dans le réseau électrique pour différentes raisons (tels le
contrôle des transits de puissance, des échanges de puissance réactive, les tensions de
réseau, …). Toutefois, un contrôleur et un signal de stabilisation supplémentaires
peuvent être ajoutés pour améliorer la stabilité. Outre ces principaux rôles, les FACTS
peuvent alors satisfaire les problèmes de la stabilité.
IV.2.4 Relation entre la stabilité et la compensation d’énergie réactive
Dans un réseau à courant alternatif, la puissance a deux composantes : la puissance
active P et la puissance réactive Q liées par le déphasage
entre le courant et la
tension
S P jQ
V I (cos
sin )
(IV.1)
Seule la puissance active reçue par la charge peut être transformée en énergie
mécanique, thermique ou électrique. Quant à la puissance réactive, elle sert à
l’aimantation des circuits magnétiques des machines électriques (transformateurs,
moteurs) et de certains dispositifs tels que les lampes fluorescentes.
Considérons deux nœuds connectés par une impédance Z (X>>R), l’un comme
générateur d’une tension Vs et un angle de phase
et l’autre comme un nœud de
puissance infinie d’une tension VR et un angle de phase fixé à 0° (figure IV.5).
Figure IV.5: modèle considéré
94
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
Les expressions des puissances active et réactive sont données par:
P
Q
|Vs |.|VR |
X
sin
|Vs |.|VR |
X
cos -
(IV.2)
V2R
(IV.3)
X
Les paramètres sur lesquels il est possible d’agir pour contrôler l’écoulement de
puissance sont :
Les amplitudes de tensions aux extrémités de la ligne,
L’angle de phase entre ces deux tensions,
La réactance de la ligne de transmission.
Le transit des puissances active et réactive à travers cet élément produit des chutes
de tension données par l’expression :
(IV.4)
En pratique un système de transmission n’est jamais autorisé à fonctionner près de
sa limite de régime permanent, une certaine marge doit être prévue dans la réserve de
puissance afin que le système supporte les perturbations telles que les variations de
charges, les défauts et les manœuvres de coupure. Les expressions (IV.2) et (IV.3)
montrent qu’il est souhaitable d’avoir un plan de tension V (tension à chaque point du
réseau) aussi élevé que possible et de réduire le transport de la puissance réactive en la
produisant le plus près possible des lieux de consommation. Les critères justifiant la
compensation des lignes sont essentiellement des critères de régime permanent :
maintien de la tension en régime permanent à une valeur acceptable et augmentation
de la puissance transportable de façon stable [24].
IV.2.5 Différentes méthodes d’amélioration de la stabilité d’un réseau électrique
La compensation est une technique de la gestion d’énergie réactive afin d’améliorer
la qualité énergétique dans les réseaux électriques à courant alternatif. Elle peut se
réaliser de plusieurs manières et a pour buts :
La correction du facteur de puissance,
L’amélioration de la régulation de la tension,
L’équilibre des charges,
L’aide au retour à la stabilité en cas de perturbation [25].
95
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
IV.3 INTRODUCTION A LA REPRESENTATION DANS L'ESPACE D'ETAT
La
théorie
classique
des
systèmes
asservis
étudie
des
systèmes
dits
unidimensionnels ou monovariables. Or, les schémas de commande des systèmes
comportent une structure très compliquée à plusieurs boucles internes de retour mais
ils présentent toujours une seule sortie. On peut également avoir des systèmes à
plusieurs entrées mais toujours avec une seule consigne. Dans la pratique, on trouve
des systèmes possédant plusieurs entrées et consignes et/ou plusieurs sorties. Ces
systèmes peuvent avoir un nombre quelconque de perturbations [26].
IV.3.1 Variables et équations d'état
Dans le cas général, le système dynamique de la figure IV.6 est décrit par des
équations dans l'espace sous la forme :
ẋ 1 (t)
1
[x1 , x2 ,…, xn; u1, u2,…., um; f1, f2,…., fr, t]
ẋ 2 (t)
ẋ n (t)
2
[x1 , x2 ,…, xn; u1, u2,…., um; f1, f2,…., fr, t]
n
[x1 , x2 ,…, xn; u1, u2,…., um; f1, f2,…., fr , t]
1
[x1 , x2 ,…, xn; u1, u2,…., um; f1, f2,…., fr, t]
(IV.5)
Et
y1 (t)
y2 (t)
yp (t)
p
2
[x1 , x2 ,…, xn; u1, u2,…., um; f1, f2,…., fr , t]
(IV.6)
[x1 , x2 ,…, xn; u1, u2,…., um ; f1, f2,…., fr, t]
Habituellement, les équations d`état s’écrivent sous la forme condensée
(
(
̇
)
)
(IV.7)
où
x : vecteur d’état, u : vecteur de commande, y : vecteur de sortie, f : vecteur de
perturbation.
Avec :
i
(t, , , )
et
j
(t, , , )
.
96
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
Si t est absent dans
i
et
j
, alors le système est autonome. Plus loin, on va considérer
toujours les systèmes autonomes c'est-à-dire invariants. Il est à noter que les fonctions
i
et
j
sont des fonctions non linéaires.
f1
u1
u2
f2
………….
fr
y1
y2
Variables d`état
(x1, x2,…, xn)
y3
um
Figure IV.6: Schéma structurel d’un système multivariable.
L'analyse des équations d'état non linéaires est un problème très compliqué.
Pratiquement, on tend toujours à les réduire à un système d'équations linéaires qui est
beaucoup plus simple à étudier. Une des méthodes possibles est la linéarisation
classique, c’est-à-dire la recherche des équations
qui sont
proches,
par leurs
propriétés, des solutions des systèmes non linéaires.
Il n'est pas toujours possible de procéder à la linéarisation car il existe des systèmes
à non-linéarités intrinsèques en ce sens qu’ils ne peuvent pas être linéarisés et qui
doivent être étudiés par des méthodes particulières [26].
Il existe deux conditions pour que les équations non linéaires soient linéarisables :
1) Le second membre de l'équation non linéaire doit contenir des fonctions dérivables.
2) les variations des variables u et f par rapport à leurs valeurs nominales u0 et f0 et
aussi la déviation du mouvement perturbé x(t) par rapport au mouvement non perturbé
x0(t) sont petites pour
| |
| ui |
| fi |
Où
2;
3;
i
i
t t , c'est-à-dire :
, ,1, m- }
,1, r-
(IV.8)
sont des nombres assez petits. Autrement dit on peut écrire
()
xi (t)
fi ( t )
()
xi (t)
fi ( t )
()
, xi (t), i ,1,m- }
fi (t), i ,1,r97
(IV.9)
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
Donc, il faut procéder à leur linéarisation au voisinage d'un point d'équilibre :
(
yj
j
)
(x ,u ,f )
(IV.10)
}
Malgré la restriction de ces conditions, la méthode de linéarisation classique est très
répandue en pratique. Les raisons de cette extension consiste en ce qu'elle simplifie
considérablement l'analyse et que la plupart des systèmes de commande fonctionnent
d'après le principe de minimisation de l'écart du système par rapport au mouvement
non perturbé. La linéarisation consiste à développer en séries de Taylor, le système des
équations (IV.7), autour du mouvement non perturbé (IV.10) [26]:
(
)
(
)
∑
∑
∑
|
|
(
)
(
On peut écrire une expression similaire pour
(
|
(IV.11)
)
) : ce terme peut être négligé sous certaines conditions.
On obtient finalement
∑
̇
∑nk 1 i |
yk
yj
∑
|
xk
i
∑m
k 1 u |
k
|
∑
uk
∑rk 1 i|
fk
|
}
fk
(IV.12)
Dans laquelle:
Rn , u
x
Rm ,
y
Rp , f
En faisant abstraction du signe
Rr .
+ –matrice
*
+ –matrice
|
*
+ –matrice
|
{
} –matrice
{
} –matrice
,1,n-,
j
,1,p-
et en utilisant les matrices :
*
{ } –matrice
i
|
|
|
|
98
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
En tenant compte de ces notations, le système d'équations (IV.12) s'écrit
̇
(IV.13)
( )
Avec
x: vecteur d'état de dimension (n x l).
u: vecteur de commande de dimension (m x l ).
y: vecteur de sortie de dimension (P x 1).
f: vecteur de perturbations de dimension (r x l).
A: matrice d'état (ou fondamentale) de dimension (n x n).
B: matrice d'entrée (par rapport à la commande) de dimension (n x m).
C: matrice de sortie de dimension (p x n).
D: matrice de couplages entrées-sorties de dimension (p x m).
H: matrice de couplages entrées-sorties vis-à-vis de la perturbation de dimension (nx r)
L: matrice de couplages entrées-sorties vis-à-vis de la perturbation de dimension (p x r)
x1 (t)
x2 (t)
.
x(t) =
.
.
[xn (t)]
c11
c1n
cm1
cmn
h11
h1r
hn1
hnr
C= [
H=[
f1 ( t )
f2 ( t )
.
f(t) =
.
.
[fn (t)]
]
]
D=[
d11
d1r
am1
amr
l11
L=[
lp1
l1r
lpr
]
]
Il est à noter que les matrices A, B, C, D, L et H sont des matrices à éléments réels
(matrices réelles). Pour les systèmes stationnaires elles sont supposées constantes.
Lorsque la matrice D = 0 est nulle le système est appelé propre [26].
99
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
A l`aide de la transformation inverse de Laplace, on obtient la solution du système
des équations (IV.13) sous la forme :
y(t)
C
A(t-t )
t
x(t ) ∫t C
A(t-t )
, u( ) H f( )-d
L f (t )
D u (t ).
(IV.14)
Les équations (IV.13) déterminent tous les mouvements du système linéarisé. En
posant u
f
, on obtient le mouvement libre
ẋ Ax
(IV.15)
y= Cx
x (t0)=x0 – donné
et le système d`équations obtenu est dit homogène. On a alors la solution d`équation
du mouvement libre:
y (t ) C
A(t-t )
x(t )
(IV.16)
Cette expression correspond à la solution homogène (régime libre) de l’équation
différentielle d'état (IV.15). On voit tout de suite que l'expression y0(t) fait intervenir la
matrice exponentielle appelée matrice de transition d'état. Celle-ci joue un rôle
important dans l'étude des systèmes dans l'espace d'état. Il existe plusieurs méthodes
pour son évaluation.
Il est à noter que la solution des équations différentielles linéaires à coefficients
constants dépend des constantes arbitraires d’intégration déterminées à partir des
conditions initiales à l'instant t 0. Ces conditions peuvent être interprétées comme l'état
du système à l'état t0, c'est-à-dire pour un système d'équations qui décrit l'évolution de
la sortie dans un intervalle [t0, t] par des équations différentielles. Ainsi y (t0, t) dépend
non seulement de l'entrée u appliqué au système mais aussi des conditions initiales
existantes au moment de l'application de l'entrée. Dans ce cas pour assurer l'unicité
nécessaire des relations causales (entrée-sortie), il faudra adjoindre aux équations
différentielles qui décrivent le système, le vecteur x(t0) appelé l'état du système à
l'instant t0. Le vecteur x(t0) constitue les conditions initiales du système x(t 0) = x0 et en
quelque sorte les états du système au moment où on commence à s'y intéresser. Il
s'agit d'obtenir le comportement dynamique du système y(t) pour t
t 0 sans pour
autant connaître son état antérieur à l'instant t 0. Cela n’est pas surprenant, puisque les
variables d'état sont la mémoire du passé du système.
100
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
En 1895 Lyapounov a démontré que si les valeurs propres de la matrice A ont des
parties réelles négatives, alors les propriétés du mouvement du système non linéaire
peuvent être décrites par le système linéarisé à condition que les changements des
variables soient petits [26].
Finalement, pour les systèmes à commandes multivariables linéarisés, on aura le
modèle représenté sous la forme générale (IV.13) dont le schéma structurel est donné
par la figure IV.7.
f(t)
H
u(t)
𝐱̇
B
𝟏
𝑺
x0
L
x
C
y(t)
A
D
Fig IV.7 : Schéma bloc du système multivariable
IV.3.2 Avantages de la représentation d'état
Les variables x1, x2,..., xn sont appelées variables d'état et chacune d'elles détermine
un élément dynamique le plus simple (du premier ordre). On peut dire que la
connaissance de ces variables d'état fournit plus d'informations sur le comportement
du système que l'information tirée simplement des seules sorties. Du point de vue
performance, la représentation par variables d'état est susceptible d'améliorer la
précision d'analyse et la qualité de réglage des systèmes dynamiques. De plus cette
représentation du modèle se prête facilement au traitement des systèmes à plusieurs
entrées [26].
Avec la dernière forme de description des systèmes dans l'espace d'état, l'étude
dynamique des systèmes non linéaires sera plus facile, puisqu'elle peut être effectuée
par des équations du premier ordre de type :
f1 [x1 (t),x2 (t),u1(t),u2(t)]
̇
̇
f1 [x1 (t),x2 (t),u1(t),u2(t)]
(IV.17)
101
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
IV.4 ANALYSE MODALE
IV.4.1 Application de l’analyse modale
La structure dynamique des réseaux d’énergie électrique est très compliquée, et il
est souvent assez difficile de comprendre leur dynamique entièrement. La propriété
dynamique de l'échange d'énergie entre les générateurs synchrones est essentiellement
oscillatoire. Pour un bon fonctionnement les systèmes électriques ont un certain
nombre de contrôles. Ceux qui sont associés avec les générateurs de systèmes ont un
effet considérable sur la stabilité des oscillations entre les producteurs. L'analyse
modale d'un système peut être utilisée pour comprendre les limites particulières d'un
système, de sorte que l'instabilité oscillatoire peut être évitée [5].
IV.4.1.1 Mathématiques des oscillations dynamiques
Les oscillations dynamiques sont causées par l'échange d'énergie potentielle et
cinétique suite à des changements dans les variables du système à partir d'un état
d'équilibre. Le système physique oscillatoire le plus simple est celui d’un système
masse-ressort. il est illustré par la figure IV.8.
Fig IV.8 : Schéma d’un système masse-ressort
Les équations du mouvement du système masse-ressort sont :
102
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
M
d2 x
Kx Mg
dt 2
(IV.18)
M est la masse, K est la constante du ressort et g est la force de gravité. A l’état
d’équilibre
x x0
Mg
K
(IV.19)
Si la masse est tirée vers le bas d’une petite distance x , puis relâchée, le ressort
sera tiré en arrière vers la position d'équilibre. Toutefois, dans le cas idéal de l'équation
IV.18 lorsque x atteint x0 la masse sera toujours en mouvement, et la vitesse n’aura
pas atteint zéro jusqu'à ce que x soit égal à
x 0 x . Dans ce système, l'énergie
fournie au système, pour provoquer le changement dans la position initiale de la
masse, n'est pas dissipée. A x x0 x , l’énergie cinétique du système sera égale à
zéro, et son énergie potentielle sera
1
Kx 2 Mgx .
2
Quand x = x0, l’énergie potentielle du système sera nulle et l'énergie cinétique sera
maximale. La masse oscillera de façon sinusoïdale.
x x 0 x cos(
K
M
t)
(IV.20)
S’il y a une force proportionnelle à la vitesse de la masse en sens inverse, le
mouvement de la masse sera atténué jusqu’à ce qu’elle s’arrête à son état d'équilibre.
Dans ce cas, l'équation du mouvement (IV.18) sera
M
d2 x
dx
Kx D Mg
2
dt
dt
(IV.21)
Le mouvement à l’abscisse x aura la forme
x=x0 +Δx Mexp(-αt)cos(ωt-)
(IV.22)
Les valeurs de α et sont déterminées pour satisfaire l'équation différentielle
(IV.21). On détermine Les valeurs de x m et à partir des conditions initiales.
dx
0 , et x xo x .
dt
103
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
dx
x m e t cos(t ) sin(t )
dt
d2 x
x m e t 2 2 cos(t ) 2 sin(t )
2
dt
Pour que x soit égal à xo x à t = 0, x m cos x
Pour que
dx
= 0 à t = 0, il faut que cos sin 0
dt
(IV.23)
(IV.24)
(IV.25)
L’équation différentielle (IV.21) sera satisfaite
M 2 2 cos(t ) 2sin(t ) D cos(t ) sin(t ) K cos(t ) 0
(IV.26)
L’égalisation des coefficients de cos(t ) à 1 et sin(t ) à zéro donne
M 2 2 D K 0
(IV.27)
2M D 0
Ainsi
D
2K
K D2
2
2
M 4M
(IV.28)
L'équation (IV.28) est valide à condition que
D
K , qui est la condition que le
4M
système de masse-ressort avec amortisseur soit oscillant.
A partir de (IV.25)
tan
cos
x m
(IV.29)
2 2
2 2
x
Des systèmes linéaires plus compliqués peuvent être décomposés en combinaisons
d’équations différentielles du premier ordre de la forme
dx
x y
dt
(IV.30)
104
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
La résolution des équations différentielles des systèmes plus compliqués
algébriquement est impossible. Même un générateur synchrone simple et ses
commandes peuvent exiger plus de 20 équations couplées du premier ordre pour
décrire son comportement dynamique. Ainsi, d’autres méthodes, comme l’analyse
modale, sont employées pour déterminer la dynamique oscillante de systèmes.
Les équations des systèmes dynamiques complexes peuvent être exprimées par un
certain nombre d'équations du premier ordre reliées entre eux, c-à-d.
dx
f (x, y, t)
dt
(IV.31)
où x est un vecteur d'état, qui décrit l'état du système, y est un vecteur d'entrées du
système et t est le temps.
Généralement pour un système linéaire, l'équation (IV.30) peut être écrite comme suit
dx
Ax Bu
dt
(IV.32)
y Cx Du
(IV.33)
où x, A, B, C, D, u et y sont des matrices définies au paragraphe IV.3.1.
IV.4.1.2 Etude de la stabilité d’un réseau électrique pour les petites signaux par
les valeurs propres
La stabilité du système non linéaire, lorsque le système est soumis à de petites
perturbations, peut être analysée à partir de la stabilité de son système linéarisé tel que
déterminé par les valeurs propres de la matrice d'état A. Ainsi, dans ce qui suit, nous
présenterons la méthode d'analyse de solution propre pour une matrice d'état A.
De la discussion ci-dessus nous pouvons voir que la matrice d'état A est une
matrice réelle asymétrique. Ainsi, dans la suite, toutes nos discussions seront sous la
condition
. On note l'ensemble des nombres complexes par C, l’espace
vectoriel complexe de dimension n (vectrices colonnes) par C n, et l’ensemble de toutes
les matrices complexes de m lignes et n colonnes par C mxn. L'addition et la
multiplication scalaire des matrices complexes sont similaires à celles des matrices
réelles. La matrice complexe transposée est considérée comme la conjuguée
105
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
̂
transposée (désignée par l’exposant H), exemple
∑
scalaire de deux vecteurs de dimensions n x et y est
̂
Le produit
. Un vecteur
unité c’est un vecteur qui doit satisfaire ‖ ‖=1. Le processus qui consiste à convertir
un vecteur en un vecteur unité est appelé normalisation.
IV.4.1.3 Valeurs propres
Pour un scalaire
si l’équation
et un vecteur
(IV.34)
a une solution non singulière,
est la valeur propre de la matrice
. Pour calculer les
valeurs propres, de (IV.34), on peut écrite
(
)
(IV.35)
Une condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une solution non singulière de
l'équation est
(
)
(IV.36)
A partir du déterminant ci-dessus nous pouvons tirer l’équation suivante :
(
)
(IV.37)
Elle est appelée l'équation caractéristique de la matrice A. Le polynôme sur le côté
gauche de l'équation ci-dessus est appelé polynôme caractéristique. Parce que le
coefficient de
est différent de zéro, il y a un total de n racines. L'ensemble des
racines est appelé le spectre et est désigné par ( ). Si ( )
*
+, nous
avons
( )
Si nous définissons la trace de A par
alors ( )
( )
∑
,
.
Les valeurs propres d'une matrice asymétrique réelle peuvent être des nombres réels
ou complexes. Les valeurs propres complexes apparaissent toujours sous la forme de
paires conjuguées. En outre, les matrices semblables ont les mêmes valeurs propres et
la transposition d'une matrice ne change pas ses valeurs propres [27].
106
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
IV.4.1.4 Vecteurs propres
Pour toutes les valeurs propres
, tout vecteur non nul
satisfaisant
l’équation
i=1, 2, …, n
(IV.38)
est appelé un vecteur propre droit de la matrice A correspondant à la valeur propre
Puisque c’est une équation homogène,
.
(k est un scalaire) est aussi la solution de
l'équation d'un vecteur propre droit de la matrice A correspondant à la valeur propre
. Dans ce qui suit vecteur propre signifie vecteur propre droit (sauf si nous
spécifions le contraire) [18].
Pour toutes les valeurs propres
, tout vecteur non nul
satisfaisant
l’équation
, i=1, 2, …, n est appelé un vecteur propre gauche de la matrice A
correspondant à la valeur propre
.
Les vecteurs propres gauches et droits correspondant à différentes valeurs propres
sont orthogonaux. Pour la même valeur propre leur produit est une valeur différente de
zéro qui peut être convertie en 1 après normalisation des vecteurs propres gauches et
droits
{
(IV.39)
IV.4.1.5 Mouvements libres des systèmes dynamiques
De l'équation d'état (IV.32), nous pouvons voir que le taux de variation de chaque
variable d'état est une combinaison linéaire de toutes les variables d'état. Ainsi grâce
au couplage entre les variables d'état, il est difficile de voir clairement le mouvement
du système.
Pour annuler le couplage entre les variables d'état, nous introduisons un nouveau
vecteur d'état variable z. Sa relation avec le vecteur d'état variable
( )
,
- ( )
∑
( )
et
est
(IV.40)
(IV.41)
107
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
On peut exprimer l'équation précédente comme n équations différentielles du
premier ordre
(IV.42)
Sa solution dans le domaine temporel est
( )
( )
(IV.43)
( ) peuvent être exprimées à partir de (IV.40) par
où les valeurs initiales de
( )
( )
( )
(IV.44)
Substituant (IV.43) et (IV.43) dans l’équation (IV.40) nous avons la solution du
vecteur d'état initial dans le domaine temporel
∑
( )
(IV.45)
où la solution de la ième variable d'état dans le domaine temporel est
( )
( )
( )
( )
(IV.46)
où vik est le ième élément de vecteur vk. L'équation ci-dessus est le temps de réponse
du mouvement du système libre, exprimée par des valeurs propres, vecteurs propres
gauche et droit. Dans un modèle linéaire, la solution des équations linéaires du
système décrit l’évolution exponentielle au cours du temps de la perturbation. Ainsi,
cette solution peut être représentée par une combinaison de fonctions exponentielles
représentant les caractéristiques temporelles associées à chaque valeur propre
Les constantes de temps
.
| | caractérisent de façon générale l’amortissement du
système.
L’interprétation physique des signaux correspondants aux fonctions de la forme
est simple. Elle est illustrée par la figure IV.9 qui représente dans le plan
complexe l’allure des variations de tels signaux en fonction du temps, suivant la
position du point représentatif de
[12].
108
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
Fig IV.9 : Analyse par lieu des pôles de la stabilité d’un système.
Une valeur propre réelle représente un mode non oscillatoire.
Une valeur propre réelle négative est un mode amorti, telle que la valeur absolue la
plus grande, implique un mode plus amorti.
Une valeur propre réelle positive indique que le système est instable.
Si le système a des racines dont les parties réelles sont nulles, mais cependant n’a
aucune partie réelle positive, on dit qu’il est marginalement stable. Dans ce cas là, la
réponse à l’impulsion ne tend pas vers zéros bien qu’elle reste bornée. Par ailleurs,
certains signaux d’entrée peuvent produire des signaux de sortie non bornés. Par
conséquent, les systèmes marginalement stables sont instables [28] [29].
Les valeurs propres complexes apparaissent toujours en paires conjuguées, c'est-à-dire
(IV.47)
Chaque paire de valeurs propres complexes représente un mode oscillatoire. D'où
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
109
)
(IV.48)
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
La partie réelle de la valeur propre décrit un système oscillatoire amorti et la partie
imaginaire donne la fréquence d'oscillation.
La fréquence d'oscillation (Hz) est
(IV.49)
Le coefficient d'amortissement est défini comme
(IV.50)
√
IV.4.1.6 Analyse modale des systèmes linéaires
L’analyse des valeurs propres et l’analyse modale du réseaux électriques linéarisé
sont des outils "puissants" pour étudier les propriétés dynamiques du système.
L’évaluation précise de la fréquence des oscillations électromécaniques et de
l’amortissement de ces oscillations peut être déterminée à partir de l’analyse des
valeurs propres. L’analyse modale permet quant à elle d’obtenir des informations
supplémentaires plus approfondies telle la nature des modes (dominants ou non, …).
IV.4.1.7 Mode et vecteur propre
De la discussion ci-dessus, nous savons que la relation entre le temps de réponse du
système, le vecteur
( )
( )
( )
( )
et le mode z est
,
,
- ( ) ∑
( )
( )
}
(IV.51)
où
est la matrice de l’ensemble des vecteurs propres droits arrangés sous forme de
colonnes
,
-
(IV.52)
est la matrice de l’ensemble des vecteurs propres gauches arrangés sous forme de
lignes
,
-
(IV.53)
110
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
,
, ...,
sont les variables d'état décrivant le système dynamique. z 1, z2, …,
zn sont les variables d'état après la transformation, dont chacune représente un mode
du système.
De la première équation de (IV.51), nous pouvons voir que le vecteur propre droit
décide de la forme de l'exposition de chaque mode, c'est à dire, quand un mode
spécifique est excité, l'activité relative de chaque variable d'état est décrite par le
vecteur propre droit. Par exemple, lorsque le ième mode est excité, le kème élément uKi
du vecteur propre droit ui donne le degré d'influence de ce mode sur le variable d'état
xk. L’amplitude de chaque élément de ui représente le degré d'activité de chacun des n
variables d'état résultant du ième mode, tandis que l'angle de chaque élément représente
l'effet du mode sur le déphasage de chaque variable d'état [18]. En d’autres termes, il
indique sur quelles variables du système le mode est le plus observable [30]. Si le
coefficient du vecteur propre est égal à zéro pour un état particulier, le mode ne peut
pas être vu dans les mesures de cet état. L'état de la grandeur du plus grand vecteur
propre aura la plus grande amplitude d'oscillation dans ce mode [5].
De la deuxième équation de (IV.51), nous pouvons voir qu’un vecteur propre viT
gauche représente la façon dont les variables d'état se combinent pour affecter le ième
mode. Par conséquent, le kème élément dans le vecteur propre droite ui mesure le
niveau d'activité de la variable d'état xk dans le ième mode, tandis que l'élément de la
kème vecteur propre gauche viT calcule la contribution de l'activité du ième mode. Le
vecteur propre gauche, avec l’état initial du système, détermine l’amplitude du mode.
Il contient les informations sur la contrôlabilité du mode [30].
IV.4.2 Interprétation de l’analyse modale
IV.4.2.1 Définition et condition de commandabilité
La notion de commandabilité est liée à la propriété du système de changer son état
sous l’action de la commande u.
D’après la définition donnée par Kalman, le système est dit commandable si, à
partir d’un état initial x (t0) quelconque il existe une commande u(t) capable de
l’amener à n’importe quel état final x(t1) dans un intervalle de temps fini.
111
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
Les critères de commandabilité sont basés soit sur l’étude de la forme canonique
des équations
d’état (critère d’Hilbert), soit sur l’étude de la matrice de
commandabilité (critère de Kalman) [26].
IV.4.2.2 Théorème de la commandabilité
Les conditions nécessaires et suffisantes de commandabilité complète d’un système
sont formulées de la manière suivante :
Un système linéaire continue est commandable si et seulement si le rang de la matrice
G
A
A2
… An-1
est égale à n où n est la dimension du vecteur
d’état et G est une matrice de dimension (nxm).
La contrôlabilité est employée pour décrire la réponse du système pour un mode
lorsque les entrées du système sont perturbées. Si un mode répond à un changement
d'une entrée du système, ce système est dit commandable par cette entrée. La
contrôlabilité peut être déterminée à partir d'une connaissance de la matrice d'entrée du
système B. Si le produit de la ième ligne du vecteur propre gauche (vi) par la jème
colonne de la matrice d'entrée (Bj) est différent de zéro, alors le ième mode est
contrôlable par la jème entrée [26].
IV.4.2.3 Définition et condition de l’observabilité
La notion d’observabilité est liée à la possibilité de déterminer les variables d’état à
partir des résultats de la mesure de la variable de sortie.
IV.4.2.3.1 Définition de l’observabilité
Le système linéaire continu sera complètement observable si son état initial x(t0)
peut être déterminé de façon univoque à l’aide des matrices A, ,C,D et des résultats
de mesure y(t), pendant l’ intervalle fini ,
grandeur de commande u(t)
- et ce, pour n’importe quelle
t ,t ,t1- [23].
IV.4.2.3.2 Condition de l’observabilité
De manière générale, les conditions d’observabilité sont déterminées par les critères
de Kalman et d’Hilbert.
112
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
IV.4.2.3.3 Théorème (critère de Kalman)
Pour que le système continu à coefficients constants soit complètement observable,
il est nécessaire et suffisant que la matrice d’observabilité
2
O [CT AT CT (AT ) CT … (AT )
n-1
CT ] de dimension (nxp) ait un rang égal à n ;
c'est-à-dire :
,
(
)
(
)
-
(IV.54)
Il est évident que l’observabilité d’un système dépend de propriétés des matrices A et
C [26].
L’observabilité peut être facilement déterminée à partir d'une connaissance du
vecteur propre droit associé à un mode (ui) et la sortie du système de la matrice C. Si
le produit de la jème ligne du matrice de sortie C par la ième colonne du vecteur propre
droit Ui est non-nul, alors le ième mode est observable dans la sortie j [23].
IV.4.2.4 La sensibilité
Premièrement nous considérons la sensibilité d'une valeur propre à chaque élément
akj dans la matrice A (k la ligne, j la colonne de A). Prenant les dérivées partielles de
l’élément akj des deux côtés de l’équation (IV.38), nous avons
(IV.55)
La multiplication des deux côtés de l'équation ci-dessus par viT , et à partir les
équations (IV.38) et (IV.39) nous pouvons obtenir
(IV.56)
Evidemment, l’élément de ligne k, colonne j
est 1 et les éléments restants
sont nuls. Donc
(IV.57)
Supposant que α est une grandeur scalaire, A(α) est une matrice carrée d’ordre n
pour toutes valeurs k et j, αkj est une fonction différentielle, nous avons
( )
.
( )
/
(IV.58)
113
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
Par conséquent, nous pouvons trouver la sensibilité de la valeur propre
à la
grandeur scalaire α comme suit
(IV.59)
IV.4.2.5 Facteur de participation
L'approche standard, habituellement employée pour évaluer la participation d’une
variable d’état xk dans le ième mode, étudie les éléments correspondants du vecteur
propre droite ui. Bien que cette méthode soit simple à employer, elle présente un
défaut très sérieux, à savoir les valeurs numériques des éléments des vecteurs propres
droits dépendent des unités des variables d’état correspondantes. Il est donc difficile
de comparer les valeurs obtenues pour des variables d’état différentes. Par conséquent
cette méthode est seulement exploitable pour des variables d’état ayant les mêmes
unités et jouant les mêmes rôles [31].
Pour déterminer la relation entre les variables d'état et les modes de système, nous
établissons une matrice de participation notée P en combinant les vecteurs propres
droits et gauches pour mesurer le degré de couplage entre les variables d'état et les
modes du système.
(IV.60)
[
]
, un élément dans la matrice P, s'appelle facteur de participation. Il
mesure le niveau de la participation du ième mode et du kème variable d'état
l’un
avec les autres. Pi est le facteur de participation du ième mode. uki mesure le niveau de
l'activité de
dans le ième mode et vki l’influence de la contribution de l'activité du
mode, leur produit Pki permet de mesurer la participation pure [30].
Supposons que
(IV.44) nous avons
( )
( )
( )
()
et
( )
, à partir de l’équation
. De l’équation (IV.45) nous pouvons obtenir
∑
∑
114
(IV.61)
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
Cette équation montre que le ième mode excité par la valeur initiale
participe à la réponse
( )
( ) avec un coefficient de participation Pki. Pour cela on
l'appelle facteur de participation.
Pour tous les modes ou les variables d'état, il est facile de démontrer que
∑
∑
(IV.62)
Mettre t = 0 dans l’équation (IV.61), on peut facilement obtenir la somme des
éléments de la kème ligne de la matrice P égale à 1. La somme des éléments de la ième
colonne de la matrice P est égal à viT ui .
Une autre propriété intéressante du facteur de participation Pij s’interprète souvent
comme la sensibilité du ième mode aux changements des termes diagonaux akk de la
matrice d’état du système A [32]. La sensibilité de la valeur propre
à l'élément
diagonal akk de la matrice A est
(IV.63)
Pour les études de stabilité aux petites perturbations, l’influence d’une source
d’amortissement appliqué à un générateur peut être déterminée par les facteurs de
participation, comme suit [33] :
si, pour n’importe quel mode, le facteur de participation correspondant à la vitesse du
générateur est nul, l’introduction d’une source d’amortissement au générateur n’aura
aucun effet sur le mode.
si le facteur de participation est réel positif, l’ajout d’amortissement à ce générateur
augmentera l’amortissement du mode.
en revanche, si le facteur de participation est réel négatif, l’amortissement ajouté au
générateur réduira l’amortissement du mode.
En outre, les facteurs de participation, par leur propriété de pouvoir déterminer les
variables d’état responsables des modes indésirables, peuvent être employés pour
trouver les points les plus efficaces pour installer des contrôleurs de stabilisation.
La matrice de participation peut montrer aisément les variables d’état les plus
impliquées dans le mode indésirable : les termes de la matrice P de plus grande
amplitude de la colonne relative au mode considéré indiqueront la participation en
question.
115
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
IV.4.3 Application de l’analyse modale sur un système masse-ressort
Pour former un modèle d'espace d'état pour le système masse-ressort de l'équation
(IV.21), les deux états peuvent être pris comme changement en position de la masse
d'équilibre et de la vitesse de la masse. L’équation d'état est:
0
d x1
K
dt x 2
M
1
x1
D
x2
M
(IV.64)
Les valeurs propres satisfont :
1
0
det K
D
M
M
D
K
2
0
M
M
D
2M
Si
(IV.65)
D 2 K
2M M
K
D2
, les valeurs propres sont complexes. L'oscillation prend la forme
M 4M 2
Aet A*e t .
*
(IV.66)
Les systèmes oscillatoires du second degré ont une forme standard dont l’équation
caractéristique est :
2 2o o2 0
(IV.67)
où o est la pulsation naturelle non-amortie.
La solution de l'équation (IV.67) est :
o io (1 2 )
(IV.68)
où est le coefficient d'amortissement
Si < 1
116
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
K
M
D
2Mo
o2
(IV.69)
Beaucoup de paramètres, comme les facteurs de participation, les résidus des
fonctions de transfert et les sensibilités des modes peuvent être calculés à partir des
vecteurs propres. Ces paramètres s’avèrent très utiles dans l’analyse des systèmes et la
conception des contrôleurs. Pour une valeur propre particulière
, la
partie réelle donne l’amortissement tandis que la partie imaginaire représente la
fréquence d’oscillation. Le coefficient d’amortissement relatif est donné par
ζ
(IV.70)
√
Les modes oscillatoires ayant un coefficient d’amortissement inférieur à 3% sont
dit critiques. Dans ces conditions il est demandé, lors de la conception du contrôleur,
de tenir compte des marges dues aux incertitudes et aux perturbations. De ce fait un
coefficient d’amortissement d’au moins 5% doit être un objectif minimum [30].
La réponse d'un système du second degré avec un coefficient d'amortissement de
0.05 et une pulsation non-amortie de 1 est montrée sur la figure IV.10.
la réponse avec un coefficient d'amortissement de 0.05
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
temps sec
Fig IV.10 : réponse d’un système du deuxième ordre
Quelques systèmes ont un certain nombre de valeurs propres égales. Quand les
valeurs propres sont égales, on dit que le système a des diviseurs non-linéaires.
Utiliser les règles ci-dessus donnerait deux vecteurs propres égaux et l'inverse de la
117
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
matrice de vecteur propre serait singulière. Un exemple simple d'un tel système est
montré sur la figure IV.11.
x1
u
+
x2
+
1/s
-
1/s
-
1
1
Fig IV.11 : système simple avec des valeurs propres égales et des diviseurs non
linéaires
Les équations d'état pour ce système sont
d x1 1 0 x1 1
u
dt x 2 1 1 x 2 0
(IV.71)
Les deux valeurs propres sont égales et égales à -1. Les deux vecteurs propres sont
égaux, c.-à-d.
0 0
u
1 1
(IV.72)
Un système avec des diviseurs non-linéaires ne peut pas être diagonalisable.
Cependant, il peut être réduit sous forme canonique de Jordan, dans laquelle les
valeurs propres sont sur la diagonale, mais les valeurs propres d’un système avec des
diviseurs non-linéaires ont l'unité dans la première diagonale supérieure.
Pour mettre l'équation (IV.71) sous forme canonique de Jordan les états du système
sont réarrangés pour donner
d x 2 1 1 x 2 0
u
dt x1 0 1 x1 1
(IV.73)
Si u est une entrée échelon unité du système de la figure IV.9
118
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
x1 (1 e t )
(IV.74)
et
t
x 2 e( t ) (1 e )d
(IV.75)
0
t
1 e te
t
Le système de la figure IV.12 lui-même contient deux valeurs propres égales.
u
+
x1
1/s
-
x2
+
1/s
-
Fig IV.12 : système simple avec des valeurs propres égales mais des diviseurs
linéaires.
Les équations d'état pour ce système sont :
d x1 1 0 x1 1
u
dt x 2 0 1 x 2 1
(IV.76)
Les valeurs propres sont égales, mais la matrice d'état est diagonalisable et les
vecteurs propres sont distincts.
Dans le système de la figure IV.12
x1 x 2 1 e t
(IV.77)
t
Dans les deux cas les deux modes ont le même amortissement fondamental e .
IV.4.4 Application de l’analyse modale sur une ligne de transmission entre deux
générateurs
Dans l’analyse des réseaux, des modes égaux ne peuvent pas être séparément
identifiés, ceci peut parfois mener aux problèmes d'identification, puisqu'il y a
119
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
beaucoup de modes oscillants étroits si les fréquences ne sont pas exactement égales.
Dans l'analyse, les vecteurs propres liés aux valeurs propres égales avec des diviseurs
linéaires peuvent être combinés pour donner un seul vecteur propre valable.
La figure IV.13 représente une ligne de transport d’énergie électrique reliant deux
générateurs
x
x
G1
G2
load
Fig IV.13: diagramme simple d’une ligne de transmission entre deux générateurs.
On utilise le modèle classique des générateurs, proposé par le docteur Graham
Rogers de l’université Renslaer (Canada) pour faire les calculs.
Les charges et les
paramètres des générateurs sont identiques. Le modèle d'espace d'état du système pour
les variations des angles des générateurs et les vitesses angulaires des rotors de chaque
générateur est :
1 0
d 1 22.168
dt 2 0
2 22.168
1
0
0 22.168
0
0
0 22.168
0 1
0 1
1 2
0 2
(IV.78)
La matrice d'état est singulière. Il y a deux valeurs propres nulles et des paires de
valeurs propres imaginaires. On utilise le logiciel Matlab pour calculer les valeurs
propres et les vecteurs propres. On obtient les résultats représentés au tableau suivant:
0 + 6.6585i
0.0000 - 0.1040i
0.0000 + 0.1040i -0.7071 0.7071
0 - 6.6585i
0.6994
0.6994
-0.0000 0.0000
-0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.1040i -0.0000 - 0.1040i -0.7071 0.7071
-0.0000 - 0.0000i -0.6994 + 0.0000i -0.6994 - 0.0000i -0.0000 0.0000
Tableau IV.1 : valeurs propres et les vecteurs propres obtenus
120
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
L'une des valeurs propres nulles associée à la somme des colonnes d'angle de
générateur dans la matrice d'état est nulle. Si cette somme n'est pas nulle, elle implique
que l'écoulement d’initialisation de charge n'a pas convergé avec une précision
suffisante. L'autre valeur propre imaginaire est associé au fait que dans ce système, le
taux de variation de vitesse du générateur est proportionnelle à l'écart entre les angles
de rotor.
La matrice de vecteurs propres est singulière puisque les deux dernières colonnes
des vecteurs propres sont identiques.
La matrice d'état est réduite à la forme canonique de Jordan.
Les vecteurs propres associés sont représentés au tableau suivant:
0.7071
0
0.1051i
- 0.1051i
0
0.7071
0.7071
0.7071
0.7071
0
0.1051i
+ 0.1051i
0
0.7071
-0.7071
- 0.7071
Tableau VI.2 : vecteurs propres obtenus
On peut éliminer le zéro de la deuxième valeur propre en ajoutant l'amortissement
des générateurs. Ceci est fait mathématiquement en ajoutant une quantité négative aux
éléments correspondant de la vitesse à la diagonale de la matrice d'état.
1
0
0 1
1 0
22.168 1 22.168 0
d 1
1
0
0
1 2
dt 2 0
2 22.168 0 22.168 1 2
121
(IV.79)
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
Les valeurs et les vecteurs propres après l’addition d’une quantité négative à la
vitesse sont présentés sur le tableau suivant:
-0.5000 + 6.7072i -0.0077 - 0.1037i -0.0077 + 0.1037i -0.7071 -0.5000
-0.5000 - 6.7072i
0.6994
0.6994
0.0000 0.5000
-0.0000
0.0077 + 0.1037i 0.0077 - 0.1037i -0.7071 -0.5000
-1.0000
-0.6994 - 0.0000i -0.6994 + 0.0000i 0.0000 0.5000
Tableau IV.3 : valeurs propres et les vecteurs propres
On peut voir que les valeurs propres sont maintenant distinctes et la matrice des
vecteurs propres n'est pas singulière. Les modes oscillants sont atténués.
Pour obtenir le modèle de réseau ci-dessus, on a obtenu un modèle équilibré
d’écoulement de puissance du système qui était précis à une tolérance de 1
-15
. Dans
les modèles des réseaux de puissance plus grands, il n'est pas habituel de travailler
avec cette tolérance dans la solution de l’écoulement de puissance. 1
-4
est une
tolérance typique utilisée dans l'analyse de l’écoulement de puissance des modèles de
réseau plus puissants. Pour ce réseau, avec les conditions initiales données
par
l’écoulement de puissance avec la tolérance 10-4 et sans atténuation supplémentaire,
nous obtenons les valeurs propres et les vecteurs propres représentés au tableau
suivant :
0 + 6.7258i 0 - 0.1040i 0 + 0.1040i
0 - 6.7258i 0.6994
0.6994
0 + 0.0042i 0 + 0.1040i 0 - 0.1040i
0 - 0.0042i -0.6994
-0.6994
0.7071
0.7071
0 + 0.0030i 0 - 0.0030i
0.7071
0.7071
0 + 0.0030i 0 - 0.0030i
Tableau VI.4: valeurs propres et les vecteurs propres
Pour ce système la matrice des vecteurs propres n'est pas singulière et les deux
valeurs propres théoriquement nulles ont été calculées comme paire de valeurs propres
imaginaires avec une faible valeur. Les autres valeurs propres et vecteurs propres sont
identiques à ceux trouvés précédemment.
122
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
IV.5
APPLICATION
DE
L’ANALYSE
MODALE
À
UN
RÉSEAU
MULTIMACHINE
Dans ce qui va suivre nous allons appliquer l’analyse modale, développée
précédemment à un réseau électrique à plusieurs générateurs.
L’établissement d’un modèle adéquat de réseau est un processus qui, parfois, peut
s’avérer complexe. Ceci est du au fait que pour ses principaux composants
(alternateurs, transformateurs, lignes, contrôleurs etc…) il n’existe pas un modèle
unique mais différentes possibilités de représentation. Le choix d’un modèle pour un
de ces composants doit répondre à des besoins spécifiques.
Le réseau choisi pour notre étude a été établi par Praha Kundur et est largement
utilisé dans la littérature scientifique concernant les réseaux d’énergie électrique [5].
Le diagramme unifilaire de ce réseau est donné sur la figure IV.14. Les détails et les
données sont présentés à l’annexe .
G1
G3
1
11
10
20
2
110
13
101
3
120
4
14
G2
12
G4
Figure IV.14: diagramme unifilaire du réseau d’étude
Comme nous pouvons le constater c’est un réseau à deux régions et quatre
alternateurs. La première région est constituée par les générateurs G1 et G2 et les
circuits qui les relient tandis que la deuxième est constituée par les alternateurs G3 et
G4 et les éléments de liaison.
123
Chapitre IV
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Les deux régions, quant à elles, sont reliées par un double circuit de transmission au
milieu et d’un simple circuit aux extrémités. En d’autres termes ce lien est
relativement faible car en cas de contingence sur le réseau il pourrait favoriser son
instabilité.
IV.5.1 Etude la stabilité du réseau par la méthode des valeurs propres
Le système proposé à l’étude possède deux états dynamiques : la variation de la
puissance réactive et la variation du courant absorbé.
Les valeurs propres du système, sans compensateur statique de puissance réactive,
ont été calculées puis reportées sur la figure IV.15, dans le plan réel-imaginaire.
Fig IV.15 : les valeurs propres sans SVC
Nous pouvons constater qu’il n’ya pas de valeurs propres à parties réelles positives,
c.à.d. instables, par contre nous avons une valeur propre à partie réelle nulle. Cela
signifie que pour le mode de fonctionnement choisi le réseau est marginalement stable.
Dans la suite nous allons essayer de remédier à ce problème.
IV.5.2 Compensateur statique de puissance réactive (SVC)
Dans certains réseaux soumis à perturbation, les contrôleurs de puissance sont
difficilement réalisables pour amortir les oscillations du système. Par exemple, dans
les systèmes où les alternateurs ont des excitatrices lentes, le déphasage nécessaire à
un bon contrôle peut s’avérer excessif. Cependant, le contrôle peut s’avérer intéressant
pour les modes sous-amortis ou pour les modes inter-régions instables.
124
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
Dans ce qui va suivre, le réseau électrique à deux régions sera utilisé pour illustrer
les capacités d’un contrôleur de puissance réactive pour amortir les modes interrégions. Dans le modèle de ce système, les excitatrices sont des excitatrices lentes à
courant continu.
La tension au nœud de raccordement sera commandée par un compensateur de
puissance réactive de type SVC. Le fonctionnement sera tel la capacité ou la réactance
shunt en ce nœud compensateur seront modifiées par l’échange de puissance réactive
du SVC avec le réseau. Dans l’état dynamique, la modulation de la référence du SVC
peut être employée pour l’amortissement des modes électromécaniques inter-régions
qui sont contrôlables et observables au SVC.
Le système à l’étude propose trois nœuds probables pour le raccordement du
compensateur statique. Ce sont les nœuds 3, 13 et 1 1. La commande de la plage de
régulation du SVC a un gain de 10 et une constante de temps de 0.05s.
La figure IV.16 montre les modes possibles du système sans compensateur statique.
Modes sans SVC
Modes
excitatrice
1.6
Fréquance HZ
1.4
Modes
locaux
1.2
1
0.8
0.6
Modes inter-région
0.4
Modes de régulateur
de vitesse
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Coefficient d'amortissement
Figure IV.16: modes du système sans SVC
Il est aisé de voir que les deux modes locaux ont des fréquences de 1.0958 Hz et
1.1032 Hz et des coefficients d’amortissement de . 693 et . 7 2 respectivement. Le
mode inter-régions quant à lui possède une fréquence de 0.5707 Hz un amortissement
de 0.0024145 et est marginalement stable comme montré auparavant. Les modes des
régulateurs de vitesse sont ceux avec des fréquences inférieures à 0.3 Hz tandis que les
modes des excitatrices présentent des fréquences inférieures à 1.5 Hz.
125
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
IV.5.2.1 Choix de l’emplacement du compensateur de puissance réactive
Ce problème a longtemps occupé les chercheurs et continue à les occuper. Toutes
les méthodes proposées jusqu’à nos jours possèdent des avantages et certains
inconvénients.
Pour notre étude, et afin de proposer le meilleur endroit de raccordement possible,
nous allons examiner les modes du système sans SVC installé puis avec SVC installé
successivement aux trois nœuds cités précédemment.
Les modes considérés ont été reportés sur la figure IV.17, dans le plan fréquencecoefficient d’amortissement. Par convention, les modes symbolisés par le signe (+)
sont ceux du système sans SVC tandis que les modes représentés par un (0) sont ceux
du système avec SVC installé aux trois nœuds successivement.
SVC au noud 3
1.6
Frequence en HZ
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Coefficient d'amortissement
Figure IV.17: modes du système avec et sans SVC
Ainsi pour chaque mode :
Si le pôle est congruent au zéro, on conclut que le SVC n’a aucun effet sur la
stabilité du réseau,
Si le pôle est éloigné du zéro, on conclut que le SVC joue un rôle dans
l’amortissement de ce mode.
Les coefficients d’amortissement, calculés pour les différentes possibilités de
fonctionnement du réseau, ont été reportés sur le tableau IV.5.
126
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
Installation de SVC
Coefficient d’amortissement
du mode inter-régions
Sans SVC
nœud 3 nœud 13
nœud 101
0.0024145
0.0142
0.00305
-0.00021
Tableau IV.5: coefficients d’amortissement pour différentes possibilités de
fonctionnement
Au vu de ces résultats il apparaît que le SVC joue un rôle important quand il est
placé au nœud 3 où le coefficient d’amortissement atteint . 142, tandis la connexion
de ce dispositif au nœud 1 1 ne présente pas un avantage important. Par contre le
placement du SVC au nœud 13 a un effet indésirable où ce mode devient instable.
IV.5.2.2 Commande des amortissements
Pour parvenir à stabiliser le réseau avec le compensateur statique, nous allons
utiliser la commande par retour d’état de l’intensité du courant.
IV.5.2.2.1 Connexion du SVC aux nœuds 3, 133 et 101
Tout d’abord nous allons considérer comme entrée du système les variations de
tension au nœud 3 où le SVC est connecté et comme sortie l’intensité du courant. Puis
on dessine le lieu des racines pour voir l’influence de la boucle de retour sur les modes
inter-régions. La figure IV.18 présente les résultats obtenus lors de cette étude.
Lieu des racines SVC au noeud 3
0.085
0.058
0.036
0.018
9
8
Axe imaginaire
7
6
Coefficient
d’amourtissement
supérieur à 0.05
Coefficient
d’amourtissement
inférieur à 0.05
0.12
8
6
0.17
5
4
4
0.26
3
2
2
0.5
1
-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
Axe réel
Figure IV.18: lieu des racines du système avec le SVC au nœud 3
(* signifie un gain de 0.5)
127
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
On remarque que les modes inter-régions et locaux ont des coefficients
d’amortissement variant suivant le gain, pour assurer un bon fonctionnement (c.à.d. un
coefficient d’amortissement supérieur à . 5) du mode inter-régions il faut choisi un
gain supérieur à 0.2 tandis que pour les modes locaux ce gain doit être inférieur à 0.8.
Donc un gain de 0.5 assure un bon amortissement pour tous les modes.
La même étude est réalisée pour un SVC connecté au nœud 13. La figure IV.19
présente les résultats de cette étude.
Lieu des racines SVC au noeud 13
0.105
0.065
0.03
7
0.15
Axe imaginaire
6
5
7
Coefficient
6
d’amourtissement
inférieur à 0.05 5
Coefficient
d’amourtissement
supérieur à 0.05
0.21
4
4
3
0.3
2
0.44
1
0.7
-1
3
2
1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Axe réel
Figure IV.19: lieu des racines du système avec le SVC au nœud 13
(* signifie un gain nul)
Nous constatons que le mode inter-régions est instable pour les différentes valeurs
de gain, tandis que les autres modes sont toujours stables. Nous en concluons que la
connexion du SVC au nœud 13 déstabilise le système.
Pour finir avec cette étude, nous avons considéré le SVC placé au nœud 1 1.
La figure IV.2 montre les lieux des racines avec le SVC connecté au nœud 1 1.
128
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
Lieu des racines SVC au noeud 101
0.105
8
7
0.15
Axe imaginaire
6
0.07
0.044
8
0.02
Coefficient
d’amourtissement
supérieur à 0.05
Coefficient
d’amourtissement
inférieur à 0.05
7
6
5
5
0.21
4
4
3
3 0.32
2
2
0.55
1
1
0
-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
Axe réel
Figure IV.2 : lieu des racines du système avec le SVC au nœud 1 1
(* signifie un gain de 0.8)
On remarque que le mode inter-régions a un coefficient d’amortissement supérieur
à 0.05 pour un gain supérieur à 0.7. Les modes locaux sont stables pour un gain
inférieur à 0.9, le gain qui restait valable pour assurer la stabilité du système est 0.8.
IV.5.2.3 Réponses du système à de petites perturbations
Les réponses obtenues ne sont valables que pour de faibles perturbations qui ne
violent pas la linéarisation du modèle non linéaire du réseau. D’autre l’effet des
variations des charges du réseau sur la stabilité peut être simulé correctement en
utilisant un modèle linéarisé du système.
Les sorties choisies pour le système sont les tensions des nœuds tandis que les
tensions des excitatrices vont constituer les entrées du système. A partir de là nous
avons effectué quelques simulations.
Ainsi l’influence de la variation de la tension de l’excitatrice du générateur G1 sur
la tension du nœud de raccordement pour les différents emplacements du SVC est
représentée sur les graphes de la figure IV.21.
129
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
Réponse de tension SVC au noeud 13
1.4
1.2
1.2
1
1
Amplitude (pu)
Amplitude (pu)
Réponse de tension sans SVC
1.4
0.8
0.6
0.4
0.6
0.4
0.2
0.2
0
0.8
0
50
100
150
200
250
0
300
0
500
1500
Réponse de tension SVC au noeud 101
1.4
1.2
1.2
1
1
Amplitude (pu)
Amplitude (pu)
Réponse de tension SVC au noeud 03
1.4
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1000
Temps (sec)
Temps (sec)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
5
10
15
20
25
30
Temps (sec)
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Temps (sec)
Figure IV.21: réponses de la tension du nœud de connexion à la tension des
excitatrices
Nous pouvons voir que la connexion du SVC au nœud 3 le rend plus performant
quant à la possibilité de stabiliser efficacement la tension du nœud. En effet :
Cette tension est stabilisée au bout de 20 secondes sans pratiquement d’oscillations
notoires.
Pour une connexion du SVC au nœud 1 1 cette durée monte à 14 secondes avec des
oscillations encore notables.
Par contre quand le SVC est placé au nœud 13 nous voyons que la tension du système
se déstabilise complètement.
IV.5.3 Contrôlabilité
Pour étudier la contrôlabilité des modes par les tensions des excitatrices nous
calculons le produit du vecteur propre gauche v par la matrice d’entrée
130
(matrices de
180
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
tensions d’excitatrices). Si le produit est différent de zéro alors les modes sont
contrôlables.
La figure IV.22 présente les graphes de contrôlabilité des modes pour chaque
excitatrice.
Controlabilité des modes par la tension d'exitatrice 2
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
Amplitude (pu)
Amplitude (pu)
Controlabilité des modes par la tension d'exitatrice 1
0.6
0.5
0.4
0.3
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
14
10
20
30
40
0
50
0
10
20
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
Amplitude (pu)
Amplitude (pu)
1
0.6
0.5
0.4
0.3
0.4
0.3
0.2
0.1
20
30
60
0.5
0.1
10
50
0.6
0.2
0
40
Controlabilité des modes par la tension d'exitatrice 4
Controlabilité des modes par la tension d'exitatrice 3
0
30
Modes
Modes
40
0
50
0
10
20
30
40
50
Modes
Modes
Figure IV.22 : contrôlabilité des modes par les excitatrices
On remarque que le produit du vecteur propre gauche v par la matrice d’entrée
correspondant au mode inter-région 21 est diffèrent de zéro pour les quatre
générateurs, alors le mode inter-régions est contrôlable par les quatre excitatrices.
IV.5.4 Observabilité
Pour se prononcer sur l’observabilité des modes nous avons effectué le produit des
vecteurs des tensions de sortie des générateurs par le vecteur propre droit. Si ce produit
est différent de zéro les modes sont observables.
131
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
La figure IV.23 montre cette observabilité des modes aux tensions de sortie des
générateurs.
Observabilité des modes au tension de Noeud 02
Observabilité des modes au tension de Noeud 01
0.07
0.06
0.06
0.05
Amplitude (pu)
Amplitude (pu)
0.05
0.04
0.03
0.02
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0.01
0
10
20
30
40
0
50
0
10
20
0.09
0.045
0.08
0.04
0.07
0.035
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.015
0.01
0.005
20
30
60
0.03
0.01
10
50
0.025
0.02
0
40
Observabilité des modes au tension de Noeud 12
0.05
Amplitude (pu)
Amplitude (pu)
Observabilité des modes au tension de Noeud 11
0.1
0
30
Modes
Modes
40
50
60
Modes
0
0
10
20
30
40
50
Modes
Figure IV.23: observabilité des modes aux tensions de sortie des générateurs
Nous pouvons voir que le produit des vecteurs des tensions de sortie des
générateurs par le vecteur propre droit correspondant au mode inter-régions est
différent de zéro pour les quatre nœuds, alors le mode inter-régions est observable aux
ces quatre nœuds.
IV.5.5 Facteurs de participation
Il faut connaitre les générateurs et les variables d’états participent aux modes
instables pour connaitre le meilleur endroit d’installer le SVC.
La figure IV.24 présente les facteurs de participation de la vitesse ω r associés au
mode instable à partie réelle égale à -1 et de fréquence nulle.
132
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
Facteurs de participation de mode 1
coefficient d'amortissement -1, fréquence 0
1
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
50
60
Variables d'état
Figure IV.24 : facteurs de participation associés au mode instable
A partir de la figure 24 on peut dire que le mode 1 excité par la valeur initiale
( )
( ) avec un coefficient de participation
participe à la réponse
.
La figure IV.25 présente les facteurs de participation de la vitesse ω r associés aux
modes inter-régions.
Facteur de participation de mode 22
coefficient d'amortissement 0.0024145, fréquence 0.57066
1
0.9
0.9
Amplitude de participation
Amplitude de participation
Facteur de participation de mode 21
coefficient d'amortissement 0.0024145, fréquence 0.57066
1
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
10
20
30
40
50
60
0
0
10
20
30
40
50
Variables d'état
Variables d'état
Figure IV.25 : facteurs de participation associés aux modes inter-régions 21 et 22
Les figures IV.24 et IV.25 indiquent les variables d’états qui participent aux
modes instables et les grandeurs de participation pour chaque variable d’état à ces
modes.
La figure IV.26 montre les facteurs de participation de chaque générateur pour tous les
modes.
133
60
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Chapitre IV
Facteurs de participations associés au
rotor de génerateur 2
1
1
0.9
0.9
Amplitude de participation
Amplitude de participation
Facteurs de participations associés au
rotor de génerateur 1
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.1
0
0.8
0
0
10
20
30
40
50
numéro de mode
60
0
10
30
40
50
60
Facteurs de participations associés au
rotor de génerateur 4
1
1
0.9
0.9
Amplitude de participation
Amplitude de participation
Facteurs de participations associés au
rotor de génerateur 3
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.1
0
20
numéro de mode
0
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
numéro de mode
numéro de mode
Figure IV.26 : facteurs de participation pour chaque générateur
Nous voyons que tous les générateurs participent au mode instable 1 (mode du
régulateur de vitesse). Ce mode a le plus grand facteur de participation de vitesse pour
le générateur G1. Cela veut dire que la connexion du SVC au nœud 1 peut fournir un
meilleur amortissement pour ce mode.
IV.6 Conclusion
Dans ce travail, nous avons présenté les définitions et les caractéristiques des
différents types de stabilité d’un réseau électrique. Le concept général des la stabilité
peut se synthétiser en trois parties : stabilité de
L’angle du rotor,
La tension,
La fréquence.
134
60
Chapitre IV
Application de l’analyse modale au réseau électrique
Cette classification est nécessaire pour mieux comprendre les mécanismes :
Des phénomènes de l’instabilité du système,
Des dispositifs nécessaires pour assurer la stabilité du système.
Historiquement les chercheurs et les ingénieurs
travaillant sur les réseaux
électriques mettaient l’accent sur la stabilité de l’angle du rotor. Or les opérateurs des
réseaux électriques se trouvent actuellement souvent obligés de faire fonctionner leurs
réseaux aux limites de la stabilité.
L’amélioration de la stabilité angulaire aux petites perturbations, en particulier
l’amortissement des oscillations interrégionales, est devenue un objectif prioritaire :
elle a été développée dans ce chapitre.
Nous avons ensuite présenté la linéarisation du système avec l’analyse modale du
système linéarisé:
La représentation d’état du système a ensuite été déduite,
La stabilité du système est uniquement définie par le lieu des pôles, dans le plan
complexe, de sa fonction de transfert,
L’analyse modale du système a donné des informations importantes sur les
caractéristiques des modes d’oscillation et des variables d’état participant à l’évolution
de ces modes.
135
CONCLUSION GENERALE
ET PERSPECTIVE
CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVE
Les réseaux électriques ne cessent de se développer. L’extension des réseaux
interconnectés rend les systèmes fortement sensibles aux oscillations interrégionales.
Ces oscillations peuvent sérieusement restreindre le transport de l’énergie électrique.
Dans ces nouvelles conditions, les opérateurs des réseaux électriques se trouvent
souvent obligés de faire fonctionner les systèmes aux limites de la stabilité. Par
conséquent, l’amélioration de la stabilité aux petites perturbations, en particulier
l’amortissement des oscillations interrégionales, représente un objectif prioritaire.
Le travail présenté dans ce mémoire concerne l’étude de la stabilité des réseaux
électriques par la méthode de l’analyse modale. Les dispositifs FACTS tel le SVC
représente toujours un moyen
efficace pour l’amortissement des modes
électromécaniques
Ce travail s’est articulé autour des points suivants :
modélisation d’un réseau électrique, modélisation adaptée pour l’étude de
stabilité aux petites perturbations.
proposition des moyens permettant d’´étudier la stabilité de systèmes
électriques.
amortissement des oscillations dans les réseaux électriques par la
connexion d’un SVC en utilisant la méthode d’analyse modale.
Nous nous sommes attachés à montrer l’intérêt que peut susciter un système
flexible de transport à courant alternatif (FACTS) tels qu’un SVC, et l’impact positif
qu’il peut avoir sur la stabilité d’un réseau électrique perturbé et le choix du meilleur
emplacement dans le réseau.
La première étape de notre travail est consacrée à la description des moyens
conventionnels et actuels utilisés pour compenser la puissance réactive et à l’étude des
différents systèmes FACTS existants.
Nous avons développé le modèle non linéaire d’un réseau d’énergie
électrique multimachines. Puis, nous avons linéarisé ce système afin de l’écrire
sous forme d’état.
137
Nous avons présenté une méthode d’analyse modale basée sur les valeurs propres,
pour un problème d’étude de stabilité aux petites perturbations.
Les perspectives de ce travail sont nombreuses car les recherches dont il a fait
l’objet sont encore loin d’être finies.
L’approche utilisée dans cette étude est basée sur le modèle linéaire du système.
Elle comprend donc seulement des informations sur le comportement dynamique
linéaire du système. Cela peut s’avérer insuffisant pour fournir une caractérisation
complète et correcte de la performance du système, en particulier lors de fortes
contraintes ou d’un fonctionnement à la limite de la stabilité. Il serait nécessaire, par
conséquent, d’appliquer notre approche au modèle non-linéaire.
Pour des futurs travaux, l’action à mener est de chercher un champ d’application
de cette méthode pour des grands réseaux pratiques tel le réseau national Sonelgaz.
Aussi, nous proposerons l’application d’autres méthodes pour le choix des
emplacements des FACTS.
Enfin, cette thèse peut être une nouvelle base de départ pour des futures
contributions.
138
ANNEXE A
ANNEXES
̅
(
139
)
(
)
(
)
̅
̅
̅
1
̅
1
[
]
140
ANNEXE B
PARAMETRES DU RESEAU
Paramètres des lignes
nœud nœud résistance (pu)
1
2
3
3
3
3
10
11
12
13
13
13
13
110
10
20
4
20
101
101
20
110
120
14
101
101
120
120
réactance (pu)
0.0
0.0
0.0
0.001
0.011
0.011
0.0025
0.0
0.0
0.0
0.011
0.011
0.001
0.0025
0.0167
0.0167
0.005
0.01
0.11
0.11
0.025
0.0167
0.0167
0.005
0.11
0.11
0.01
0.025
Paramètres des nœuds
nœud Tension
(pu)
1
2
3
4
10
11
12
13
14
20
101
110
120
1.03
1.01
1.0
0.97
1.0103
1.03
1.01
1.0
0.97
0.9876
1.05
1.0125
0.9938
Déphasage
de tension
(pu)
18.5
8.80
-6.1
-10
12.1
-6.8
-16.9
-31.8
-38
2.1
-19.3
-13.4
-23.6
Puissance
généré
(pu)
7.00
7.00
0.00
0.00
0.00
7.16
7.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Puissance
généré
(pu)
1.61
1.76
0.00
0.00
0.00
1.49
1.39
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
Puissance
consommé
(pu)
0.00
0.00
0.00
9.76
0.00
0.00
0.00
0.00
17.67
0.00
0.00
0.00
0.00
Puissance
consommé
(pu)
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
type
de
nœud
NB
PV
PV
PQ
PQ
PV
PV
PV
PQ
PQ
PV
PQ
PQ
Paramètres des machines
N:
N:
machine nœud
1
2
3
4
1
2
11
12
P
(MVA)
900
900
900
900
x_d
(pu)
x'_d
(pu)
T'_do
(sec)
x_q
(pu)
x'_q
(pu)
T'_qo
(sec)
constant d’
enertie H
1.8
1.8
1.8
1.8
0.30
0.30
0.30
0.30
8.00
8.00
8.00
8.00
1.7
1.7
1.7
1.7
0.55
0.55
0.55
0.55
0.4
0.4
0.4
0.4
6.5
6.5
6.5
6.5
141
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