ELCINQ_03 Loi des noeuds en termes de potentiels en alternatif et

G.P.
Questions de cours électrocinétique
Loi des nœuds en termes de potentiels en sinusoïdal et généralisation:
Retrouver les expressions des admittances complexes en sinusoïdal .
En appliquant la méthode proposée (cf. théorème de Millman) au circuit suivant, écrire les
équations permettant d'obtenir v et v ' .
Généraliser la méthode pour déterminer v  t et v ' t  en régime variable quelconque.
I max cos(ωt)
R
R
v'
v
C
L
Réponse:
Admittances:
En convention récepteur:
pour une résistance:
u=R i
u=R i
i=
1
u donc
R
Y =G=
1
R
pour une bobine idéale:
u=L
di
dt
u= j L i
i=
u
donc
j L
Y=
pour un condensateur idéal:
i=C
du
dt
E max cos(ωt)
L
C
1
j L
R
R
G.P.
Questions de cours électrocinétique
i= j C u donc
Y= jC 
Loi des nœuds en termes de potentiels en sinusoïdal:
La somme des intensités arrivant à un nœud est nulle.
1) nœud de potentiel v ' :
t
1
1
 R

jC 
0 – v '  jC 0 – v ' 
1
v – v ' =0
R
2) nœud de potentiel v :
1
1
1
1
v ' – v
0 – v 
0 – v  E max exp jt  – v =0
R
jL 
 R jL 
R
(pour le dernier terme, je fais comme si l'ordre du générateur
de tension et de la résistance étaient inversés dans la branche)
D'où les deux équations à deux inconnues v et v ' .
Généralisation:
R
η(t)
R
v'(t)
C
e(t)
L
C
v(t)
L
v 1'(t)
R
R
v 1(t)
Ce circuit à deux nœuds et une masse, où l'on cherche des potentiels est intéressant à résoudre par
la même méthode.
On doit provisoirement introduire deux « nœuds virtuels » supplémentaires (voir suite)
1) nœud de potentiel v ' t :
t C
d
d
1
v ' 1 t−v ' t C 0−v ' t  v t – v ' t =0 équation (1)
dt
dt
R
2) « nœud » de potentiel v 1 ' t :
1
d
0−v1 ' tC v ' t−v 1 ' t =0 équation (2)
R
dt
G.P.
Questions de cours électrocinétique
3) nœud de potentiel v t  :
1
1
v ' t – v t i L i LR e t  – v t=0 avec i L et i LR , orientés vers ce nœud, donnés
R
R
par:
0−v t=L
di L
dt
v 1 t−v t=L
di LR
dt
On doit donc dériver l'équation de départ pour éliminer les intensités i L et i LR :
1 d
1
1
1 d
 v ' t  – v t  0−v t  v 1 t −v t 
 e t – v t =0 équation (3)
R dt
L
L
R dt
4) « nœud »de potentiel v 1 t  :
1
0−v 1 t−i LR =0
R
On doit dériver l'équation de départ:
1 d
1
0−v 1 t  v t−v 1 t =0 équation (4)
R dt
L
Il faudrait alors dans le cadre de cette méthode systématique résoudre le système des quatre
équations différentielles du premier ordre (voir cours de maths).
En partant de l'étude en sinusoïdal, en faisant passer tous les p= j  au numérateur puis en les
d
transformant en p 
on obtenait directement un système de deux équations différentielles du
dt
second ordre.