espace vectoriel

Espace vectoriels
D´efinition g´en´erale
Consid´erons un corps commutatif Kqui sera dans la pratique IR ou | C ou un sous-
corps (par exemple Q). Les ´el´ements de K(ici des nombres r´eels ou complexes)
seront appel´es scalaires. Ainsi Kest le corps des scalaires.
Un espace vectoriel sur Kest un ensemble Edont les ´el´ements sont appel´es vecteurs,
satisfaisant aux axiomes (r`egles) suivants :
1) on peut ajouter les vecteurs, et l’addition fait de Eun groupe ab´elien (c’est-`a-
dire commutatif), d’´el´ement neutre not´e 0 (parfois 0E). 2) on peut multiplier un
vecteur par un scalaire, cette multiplication satisfaisant aux propri´et´es
a) λ(x+y) = λx +λy pour λ∈K, x, y ∈E(distributivit´e par rapport aux
vecteurs)
b) (λ+µ)x=λx +µx pour λ, µ ∈K, x ∈E(distributivit´e par rapport aux
scalaires)
c) λ(µx) = (λµ)xpour λ, µ ∈K, x ∈E(associativit´e)
d) 1.x =xpour x∈E
Exemples
1o. Le produit Kn, ensemble des n-uples de scalaires (t1, . . . , tn) avec l’addition
(t1, . . . , tn)+(s1, . . . , sn) = (t1+s1, . . . , tn+sn) et la multiplication λ(t1, . . . , tn) =
(λt1, . . . , λtn).
2o.| C est un espace vectoriel sur IR et aussi sur | C.
3o. L’ensemble not´e KTde toutes les fonctions d´efinies sur un ensemble quelconque
Tet `a valeurs dans K. L’addition est d´efinie par (ϕ+ψ)(t) = ϕ(t) + ψ(t) et la
multiplication par (λϕ)(t) = λϕ(t).
Propri´et´es
On a toujours 0.x = 0E, (−x) = (−1).x. Le produit λx ne peut s’annuler que si
l’un des deux facteurs au moins est nul.
1 Proposition : Si Eet Fsont deux espaces vectoriels sur K, leur produit E×F
a une structure naturelle d’espace vectoriel sur Kd´efinie par
(x, y) + (x0, y0)=(x+x0, y +y0), λ(x, y) = (λx, λy)
1

2 Proposition : Si Eest un espace vectoriel sur K, l’ensemble ETde toutes les
fonctions d´efinies sur un ensemble quelconque T`a valeurs dans Ea une structure
naturelle d’espace vectoriel sur Kd´efinie comme dans l’exemple 3o.
Combinaisons lin´eaires
Si x1, . . . , xnsont des vecteurs, une combinaison lin´eaire de ces vecteurs est une
expression
x=
n
X
i=1
λixi
o`u les coefficients λisont des scalaires. Le r´esultat xest ´evidemment un vecteur.
Sous-espaces vectoriels, syst`emes g´en´erateurs
Si Eest un espace vectoriel sur K, un sous-espace vectoriel de Eest un sous-
ensemble de Econtenant 0E, stable par additions, et par les multiplications par
les scalaires.
Par exemple, le sous-ensemble des (t, t)∈K2est un sous-espace vectoriel de K2.
Autre exemple : l’ensemble C[0,1] des fonctions r´eelles continues sur le segment
[0,1] est un sous-espace vectoriel de IR[0,1].
Un syst`eme g´en´erateur Gde Eest une sous-ensemble de Etel que tout vecteur
x∈Epuisse s’exprimer comme combinaison lin´eaire (finie) d’´el´ements de E.
3 D´efinition : On dit que Eest de dimension finie s’ il a un syst`eme fini de
g´en´erateurs.
Par exemple Knest de dimension finie sur K, mais si Test un ensemble infini, on
montre que KTn’est pas de dimension finie.
De mˆeme, l’espace des polynˆomes `a coefficients dans K(not´e K[X]) est de
dimension infinie, mais le sous-espace constitu´e des polynˆomes de degr´e ≤nest
de dimension finie.
Syst`emes libres, bases
Un sous-ensemble Lde Eest un syst`eme libre si 0 ne peut pas s’exprimer en
combinaison lin´eaire d’´el´ements de E`a coefficients non tous nuls :
0 =
n
X
i=1
λixiavec xi∈E, λi∈K⇒tous les λisont nuls
Exemple : dans Kn, les n-vecteurs ei= (0,0,...,1, . . . , 0) forment un syst`eme libre.
(Remarquer que le syst`eme est aussi g´en´erateur).
2

Une base de Eest un syst`eme `a la fois libre et g´en´erateur.
4 Th´eor`eme de l’´echange : Soient Lun syst`eme libre ayant p´el´ements et G
un syst`eme g´en´erateur ayant q´el´ements. Alors p≤q, et l’on peut remplacer p
´el´ements de Gpar les p´el´ements de Lde mani`ere que le syst`eme G0obtenu soit
toujours g´en´erateur.
5 Corollaire : Tout espace vectoriel de dimension finie poss`ede une base finie, et
toutes les bases ont le mˆeme nombre d’´el´ements. Ce nombre s’appelle la dimension
de E.
Rang d’un syst`eme de vecteurs
C’est la dimension du sous-espace vectoriel engendr´e par ces vecteurs.
Coordonn´ees
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie nsur K, et soit e={e1, . . . , en}une
base de E. Tout vecteur x∈Es’exprime de mani`ere unique sous la forme
x=
n
X
i=1
xiei
Les scalaires xis’appellent les coordonn´ees de xdans la base e.
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Applications lin´eaires
Soient Eet Fdeux espaces vectoriels sur un corps K. Une application f:E→F
est K-lin´eaire (ou plus simplement lin´eaire) si l’on a
a) f(x+y) = f(x) + f(y) pour x, y ∈E(additivit´e)
b) f(λx) = λf(x) pour λ∈K, x ∈E(homog´en´eit´e)
Exemples :
1) L’application de IR2dans IR3d´efinie par f(s, t)=(s, s +t, s −2t)
2) Si e={e1, . . . , en}est une base de E, alors les coordonn´ees sont des fonctions
lin´eaires de x∈E.
Une application lin´eaire est parfois appel´ee homomorphisme. Si F=E, on dit aussi
endomorphisme de E.
Si F=K, on dit aussi forme lin´eaire. L’exemple 2) montre que les coordonn´ees
sont des formes lin´eaires sur E.
L’ensemble des applications lin´eaires de Edans Fsera not´e L(E, F ). C’est un
sous-espace vectoriel de FE.
•Une application lin´eaire est enti`erement d´etermin´ee par les valeurs qu’elle prend
sur une base ede E. On a en effet
f(x) =
n
X
i=1
xif(ei)
•Le noyau d’une application lin´eaire fest un sous-espace vectoriel de E, not´e
ker(f).
•L’ image f(E) est un sous-espace vectoriel de F. La dimension de f(E) s’appelle
le rang de f.
6 Proposition : Une application lin´eaire fest injective si et seulement si son
noyau ker(f)est r´eduit `a {0}. Elle est surjective si et seulement si son rang est
´egal `a la dimension de F.
7 Th´eor`eme : Si f:E→Fest lin´eaire, on a
dim(E) = dim(ker(f)) + Rang(f)
8 Corollaire : Pour que fsoit bijective, il est n´ecessaire (mais non suffisant) que
dim(E) = dim(F).
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Composition des applications lin´eaires
9 Proposition : Si f:E→Fet g:F→Gsont lin´eaires, alors g◦f:E→G
est lin´eaire.
Isomorphismes
10 Proposition : Soit f:E→Fune application lin´eaire bijective. Alors Eet
Font mˆeme dimension, et l’application inverse f−1:F→Eest lin´eaire.
•On dit que fest un isomorphisme de Esur F. Evidemment f−1est un
isomorphisme de Fsur E.
Endomorphismes
Un endomorphisme de Eest une application lin´eaire f:E→E.
L’application identique de Eest un endomorphisme.
Un endomorphisme bijectif de E(donc isomorphisme) s’appelle aussi un automor-
phisme de E.
11 Proposition : Les automorphismes de Eforment un groupe pour la
composition. Ce groupe n’est pas commutatif (en dimension >1). L’ identit´e de
Eest l’´el´ement neutre.
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