espace vectoriel

Espace vectoriels
Définition générale
| ou un sousConsidérons un corps commutatif K qui sera dans la pratique IR ou C
corps (par exemple Q). Les éléments de K (ici des nombres réels ou complexes)
seront appelés scalaires. Ainsi K est le corps des scalaires.
Un espace vectoriel sur K est un ensemble E dont les éléments sont appelés vecteurs,
satisfaisant aux axiomes (règles) suivants :
1) on peut ajouter les vecteurs, et l’addition fait de E un groupe abélien (c’est-àdire commutatif), d’élément neutre noté 0 (parfois 0E ). 2) on peut multiplier un
vecteur par un scalaire, cette multiplication satisfaisant aux propriétés
a) λ(x + y) = λx + λy pour λ ∈ K, x, y ∈ E (distributivité par rapport aux
vecteurs)
b) (λ + µ)x = λx + µx pour λ, µ ∈ K, x ∈ E (distributivité par rapport aux
scalaires)
c) λ(µx) = (λµ)x pour λ, µ ∈ K, x ∈ E (associativité)
d) 1.x = x pour x ∈ E
Exemples
1o . Le produit K n , ensemble des n-uples de scalaires (t1 , . . . , tn ) avec l’addition
(t1 , . . . , tn )+(s1 , . . . , sn ) = (t1 +s1 , . . . , tn +sn ) et la multiplication λ(t1 , . . . , tn ) =
(λt1 , . . . , λtn ).
|
| .
2o . C
est un espace vectoriel sur IR et aussi sur C
3o . L’ensemble noté K T de toutes les fonctions définies sur un ensemble quelconque
T et à valeurs dans K. L’addition est définie par (ϕ + ψ)(t) = ϕ(t) + ψ(t) et la
multiplication par (λϕ)(t) = λϕ(t).
Propriétés
On a toujours 0.x = 0E , (−x) = (−1).x. Le produit λx ne peut s’annuler que si
l’un des deux facteurs au moins est nul.
1 Proposition : Si E et F sont deux espaces vectoriels sur K, leur produit E ×F
a une structure naturelle d’espace vectoriel sur K définie par
(x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ),
1
λ(x, y) = (λx, λy)
2 Proposition : Si E est un espace vectoriel sur K, l’ensemble E T de toutes les
fonctions définies sur un ensemble quelconque T à valeurs dans E a une structure
naturelle d’espace vectoriel sur K définie comme dans l’exemple 3o .
Combinaisons linéaires
Si x1 , . . . , xn sont des vecteurs, une combinaison linéaire de ces vecteurs est une
expression
n
X
x=
λi xi
i=1
où les coefficients λi sont des scalaires. Le résultat x est évidemment un vecteur.
Sous-espaces vectoriels, systèmes générateurs
Si E est un espace vectoriel sur K, un sous-espace vectoriel de E est un sousensemble de E contenant 0E , stable par additions, et par les multiplications par
les scalaires.
Par exemple, le sous-ensemble des (t, t) ∈ K 2 est un sous-espace vectoriel de K 2 .
Autre exemple : l’ensemble C[0, 1] des fonctions réelles continues sur le segment
[0, 1] est un sous-espace vectoriel de IR[0,1] .
Un système générateur G de E est une sous-ensemble de E tel que tout vecteur
x ∈ E puisse s’exprimer comme combinaison linéaire (finie) d’éléments de E.
3 Définition : On dit que E est de dimension finie s’ il a un système fini de
générateurs.
Par exemple K n est de dimension finie sur K, mais si T est un ensemble infini, on
montre que K T n’est pas de dimension finie.
De même, l’espace des polynômes à coefficients dans K (noté K[X]) est de
dimension infinie, mais le sous-espace constitué des polynômes de degré ≤ n est
de dimension finie.
Systèmes libres, bases
Un sous-ensemble L de E est un système libre si 0 ne peut pas s’exprimer en
combinaison linéaire d’éléments de E à coefficients non tous nuls :
0=
n
X
λi xi avec xi ∈ E, λi ∈ K ⇒ tous les λi sont nuls
i=1
Exemple : dans K n , les n-vecteurs ei = (0, 0, . . . , 1, . . . , 0) forment un système libre.
(Remarquer que le système est aussi générateur).
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Une base de E est un système à la fois libre et générateur.
4 Théorème de l’échange : Soient L un système libre ayant p éléments et G
un système générateur ayant q éléments. Alors p ≤ q, et l’on peut remplacer p
éléments de G par les p éléments de L de manière que le système G0 obtenu soit
toujours générateur.
5 Corollaire : Tout espace vectoriel de dimension finie possède une base finie, et
toutes les bases ont le même nombre d’éléments. Ce nombre s’appelle la dimension
de E.
Rang d’un système de vecteurs
C’est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par ces vecteurs.
Coordonnées
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur K, et soit e = {e1 , . . . , en } une
base de E. Tout vecteur x ∈ E s’exprime de manière unique sous la forme
x=
n
X
xi ei
i=1
Les scalaires xi s’appellent les coordonnées de x dans la base e.
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Applications linéaires
Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps K. Une application f : E → F
est K-linéaire (ou plus simplement linéaire) si l’on a
a) f (x + y) = f (x) + f (y) pour x, y ∈ E (additivité)
b) f (λx) = λf (x) pour λ ∈ K, x ∈ E (homogénéité)
Exemples :
1) L’application de IR2 dans IR3 définie par f (s, t) = (s, s + t, s − 2t)
2) Si e = {e1 , . . . , en } est une base de E, alors les coordonnées sont des fonctions
linéaires de x ∈ E.
Une application linéaire est parfois appelée homomorphisme. Si F = E, on dit aussi
endomorphisme de E.
Si F = K, on dit aussi forme linéaire. L’exemple 2) montre que les coordonnées
sont des formes linéaires sur E.
L’ensemble des applications linéaires de E dans F sera noté L(E, F ). C’est un
sous-espace vectoriel de F E .
• Une application linéaire est entièrement déterminée par les valeurs qu’elle prend
sur une base e de E. On a en effet
f (x) =
n
X
xi f (ei )
i=1
• Le noyau d’une application linéaire f est un sous-espace vectoriel de E, noté
ker(f ).
• L’ image f (E) est un sous-espace vectoriel de F . La dimension de f (E) s’appelle
le rang de f .
6 Proposition : Une application linéaire f est injective si et seulement si son
noyau ker(f ) est réduit à {0}. Elle est surjective si et seulement si son rang est
égal à la dimension de F .
7 Théorème : Si f : E → F est linéaire, on a
dim(E) = dim(ker(f )) + Rang(f )
8 Corollaire : Pour que f soit bijective, il est nécessaire (mais non suffisant) que
dim(E) = dim(F ).
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Composition des applications linéaires
9 Proposition : Si f : E → F et g : F → G sont linéaires, alors g◦f : E → G
est linéaire.
Isomorphismes
10 Proposition : Soit f : E → F une application linéaire bijective. Alors E et
F ont même dimension, et l’application inverse f −1 : F → E est linéaire.
• On dit que f est un isomorphisme de E sur F . Evidemment f −1 est un
isomorphisme de F sur E.
Endomorphismes
Un endomorphisme de E est une application linéaire f : E → E.
L’application identique de E est un endomorphisme.
Un endomorphisme bijectif de E (donc isomorphisme) s’appelle aussi un automorphisme de E.
11 Proposition : Les automorphismes de E forment un groupe pour la
composition. Ce groupe n’est pas commutatif (en dimension > 1). L’ identité de
E est l’élément neutre.
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