Rang d`une matrice, retour aux syst`emes linéaires.

Chapitre 1
Rang d’une matrice, retour aux
syst`emes lin´eaires.
1.1 Rang d’une matrice. Rang d’un syst`eme lin´eaire.
D´efinition 1.1.1 Soient n,p∈N?et soit A∈ Mn,p(K). On appelle rang de Ale rang des p
colonnes de A, consid´er´ees comme des vecteurs de Kn. (C’est `a dire la dimension du sous-espace
vectoriel de Knengendr´e par les pcolonnes de A.)
Proposition 1.1.2 Soit (u1, ..., up)une base de E,(v1, ..., vn)une base de Fet soit f:E→F
une application lin´eaire. Soit Ala matrice de fdans les bases (u1, ..., up)et (v1, ..., vn). Alors le
rang de fest ´egal au rang de A.
Preuve : On a rg (f) = dim Im f= dim Vect {f(u1), ..., f(up)}. Et rg (A) = dim Vect {C1, ..., Cp}
o`u C1,...,Cpsont les colonnes de A. Mais on sait que la j`eme colonne Cjest la colonne des coor-
donn´ees du vecteur f(uj) dans la base (v1, ..., vn). Par cons´equent la famille des vecteurs f(u1),
...,f(up) et la famille des vecteurs C1,...,Cpont le mˆeme rang. Donc rg (f) = rg (A).
Corollaire 1.1.3 Si Aet A0sont deux matrices ´equivalentes, alors elles ont le mˆeme rang.
Preuve : Par hypoth`ese il existe deux matrices inversibles P∈ Mp(K) et Q∈ Mn(K) telles
que A0=Q−1AP . Soit Φ l’application lin´eaire de Kpdans Knassoci´ee canoniquement `a la
matrice A. Soient u1,...,uples vecteurs de Kpconstitu´es par les colonnes de P. Alors, comme P
est inversible, (u1, ..., up) est une base de Kpet Pest la matrice de passage de la base canonique
de Kp`a la base (u1, ..., up) . De mˆeme on consid`ere les colonnes de Q. Ce sont nvecteurs de Kn,
appel´es v1,...,vn, qui forment une base de Knet Qest la matrice de passage de la base canonique
de Kn`a la base (v1, ..., vn). Par la formule de changement de base, la matrice A0est la matrice de
l’application lin´eaire Φ dans les bases (u1, ..., up) et (v1, ..., vn). Donc rg (A) = rg (Φ) = rg (A0).
Remarque : Soit Aune matrice. On connaˆıt deux mani`eres diff´erentes de calculer le rang de
A. La premi`ere m´ethode consiste `a trouver le rang des colonnes de Apar la m´ethode expliqu´ee
au Chapitre 3 : on applique la m´ethode du pivot de Gauss aux colonnes de A. La deuxi`eme
m´ethode consiste `a trouver la dimension du noyau de Φ, o`u Φ est l’application lin´eaire as-
soci´ee canoniquement `a A. On utilise ensuite la formule : dim Im Φ + dim Ker Φ = p, qui donne
rg A=p−dim Ker Φ. (En effet, on sait par la proposition ci-dessus que rg A= dim Im Φ.)
D´efinition 1.1.4 Soit A∈ Mn,p(K). On consid`ere le syst`eme lin´eaire AX = 0. On dit que les
lignes du syst`eme sont lin´eairement ind´ependantes si les nmatrices-lignes de A:(a1,1, ..., a1,p),....,
(an,1, ..., an,p)(consid´er´ees comme des vecteurs de Kp) sont lin´eairement ind´ependantes.
1

2CHAPITRE 1. RANG D’UNE MATRICE, RETOUR AUX SYST ` EMES LIN ´ EAIRES.
Exemple : On donne le syst`eme lin´eaire homog`ene
½2x−y+3z= 0
x−3y+z= 0
Les lignes du syst`eme sont lin´eairement ind´ependantes.
D´efinition 1.1.5 Soit A∈ Mn,p(K). On appelle rang du syst`eme homog`ene AX = 0 le rang
des matrices-lignes de A(consid´er´ees comme des vecteurs de Kp).
C’est la dimension du sous-espace vectoriel de Kpengendr´e par les nlignes de A. C’est aussi le
nombre maximal de lignes ind´ependantes parmi les lignes de A. On dit aussi que c’est le nombre
maximal d’´equations ind´ependantes pour le syst`eme AX = 0. On va donner une formule qui lie
le rang du syst`eme homog`ene AX = 0 et la dimension de l’espace vectoriel des solutions.
Le probl`eme : on donne un syst`eme lin´eaire homog`ene `a nlignes et pcolonnes, de rang r.
Soit Fle sous-espace vectoriel de Kpform´e par les solutions de ce syst`eme. Trouver la dimension
de Fet une base de F.
Exemple : Soit Fle sous-espace vectoriel de R4form´e par les solutions (x, y, z, t) du syst`eme
lin´eaire homog`ene
(Σ) ½2x−y+ 3z+t= 0
y−z+t= 0
C’est un syst`eme ´echelonn´e. Il y a deux inconnues principales : xet yet deux inconnues non
principales qu’on prend comme param`etres : zet t. On r´esoud (Σ) par la m´ethode de la remont´ee.
On trouve la solution ½x=−z−t
y=z−t.Donc le vecteur 
x
y
z
t
est solution du syst`eme (Σ) si
et seulement si 
x
y
z
t
=z
−1
1
1
0
+t
−1
−1
0
1
.
Cela montre que les vecteurs u1=
−1
1
1
0
et u2=
−1
−1
0
1
engendrent F. Montrons qu’ils
forment une base de F. Il suffit d´emontrer qu’ils sont lin´eairement ind´ependants. On remarque
que si z
−1
1
1
0
+t
−1
−1
0
1
=
0
0
0
0
, alors z=t= 0 car zet tsont des composantes du vec-
teur 
0
0
0
0
. Donc u1et u2forment une base de Fet la dimension de Fest 2. Par ailleurs le rang
du syst`eme est deux, car du fait qu’il est ´echelonn´e, les lignes sont lin´eairement ind´ependantes.
Dans ce cas, on trouve dim F=p−r.
G´en´eralisons ce r´esultat.
Proposition 1.1.6 Soit le syst`eme lin´eaire homog`ene AX = 0, de dimension n×pet de rang
r. La dimension de l’espace vectoriel Fdes solutions de ce syst`eme est p−r.
La d´emonstration de cette proposition d´ecoule de deux lemmes.

1.1. RANG D’UNE MATRICE. RANG D’UN SYST ` EME LIN ´ EAIRE. 3
Lemme 1.1.7 Le rang des lignes du syst`eme homog`ene AX = 0 est ´egal au nombre de lignes
non nulles du syst`eme ´echelonn´e ´equivalent EX = 0 obtenu par la m´ethode du pivot de Gauss.
Preuve C’est le raisonnement du chapitre 3, mais appliqu´e aux lignes de la matrice A, not´ees
L1,...,Ln, consid´er´ees comme des vecteurs de Kp. On rappelle le principe : si λ2,...,λnsont des
scalaires, alors le sous-espace vectoriel de Kpengendr´e par les vecteurs L1,...,Lnest le mˆeme
que les sous-espace vectoriel engendr´e par les vecteurs L1,L2−λ2L1,...,Ln−λnL1. Donc les
lignes obtenues apr`es la premi`ere it´eration du pivot de Gauss ont le mˆeme rang que les lignes
L1,...,Ln. On r´eit`ere le proc´ed´e. Une fois termin´ee la m´ethode du pivot de Gauss le rang des n
lignes obtenues est ´egal au rang des lignes L1,...,Ln. Or, `a cause du caract`ere ´echelonn´e, le rang
des nlignes obtenues est le nombre, appel´e r, de lignes non nulles (car on montre facilement que
les rlignes non nulles, ´echelonn´ees, sont lin´eairement ind´ependantes) .
Lemme 1.1.8 Soit un syst`eme lin´eaire ´echelonn´e homog`ene de dimension r×p, dont les r
´equations sont non nulles. Alors la dimension de l’espace vectoriel Fdes solutions de ce syst`eme
est ´egal au nombre d’inconnues non principales, c’est p−r.
Preuve : Rappelons que dans un tel syst`eme, il y a rinconnues principales et p−rinconnues
non principales qu’on prend comme param`etres. Quitte `a r´eindexer les inconnues, appelons
x1,...,xrles inconnues principales et xr+1,..., xples p−rparam`etres. Pour chaque valeur du
(p−r)−uplet (xr+1, ..., xp) on trouve une unique solution du syst`eme par la m´ethode de la
remont´ee. Appelons ur+1 la solution (x1, ..., xp) trouv´ee pour (xr+1, ..., xp) = (1,0, ...0), ur+2 la
solution trouv´ee pour (xr+1, ..., xp) = (0,1,0...0),..., upla solution trouv´ee pour (xr+1, ..., xp) =
(0, ..., 0,1). Soit le vecteur ud´efini par u=xr+1ur+1 +... +xpup. Alors uest une solution du
syst`eme comme combinaison lin´eaire de solutions. Les p−rderni`eres composantes du vecteur
usont xr+1,...,xp. R´eciproquement, si u= (x1, ..., xp) est une solution du syst`eme, alors le
vecteur xr+1ur+1 +... +xpupest une solution du syst`eme pour les mˆemes valeurs xr+1,...,xpdes
param`etres, donc il est ´egal `a u. L’ensemble des solutions est donc
F={(x1, ..., xp) = xr+1ur+1 +... +xpup;xr+1 ∈K, ..., xp∈K}.
Les vecteurs ur+1,...,upengendrent donc F. De plus la d´ecomposition de toute solution ucomme
combinaison lin´eaire des vecteurs ur+1,...,upest unique, puisque les coefficients qui apparaissent
dans la d´ecomposition sont n´ecessairement les p−rderni`eres composantes de u. Les p−r
vecteurs ur+1,...,upforment donc une base de F.
Preuve de la proposition 1.1.6 Le rang rdes lignes de Ase calcule par la m´ethode
du pivot de Gauss appliqu´ee aux lignes de A. Il est ´egal au nombre d’´equations non nulles
dans le syst`eme ´echelonn´e qu’on trouve apr`es l’utilisation de l’algorithme du pivot de Gauss
pour r´esoudre le syst`eme AX = 0. Soit Fl’espace vectoriel des solutions du syst`eme homog`ene
AX = 0. C’est aussi l’ensemble des solutions du syst`eme ´echelonn´e `a rlignes non nulles EX = 0,
obtenu par la m´ethode du pivot de Gauss. Donc dim F=p−r.
Proposition 1.1.9 Pour toute matrice, le rang des lignes est ´egal au rang des colonnes.
Preuve : Soit A∈ Mn,p(K). Appelons rle rang des lignes de A,r0le rang de A(c’est `a dire le
rang des colonnes de A) et Fl’espace vectoriel des solutions du syst`eme homog`ene AX = 0. On
a vu que dim F=p−r. Soit Φ l’application lin´eaire de Kpdans Knassoci´ee canoniquement `a
A. Alors F= Ker Φ. Par ailleurs, r0= dim Im Φ. Par le th´eor`eme de la dimension on a
dim Kp= dim Ker Φ + dim Im Φ,
donc p= dim F+r0, d’o`u dim F=p−r0. Par cons´equent p−r0=p−r, donc r=r0.
Exemple : A=µ2−4 1
0−1 1 ¶.Le syst`eme AX = 0 est ½2x−4y+z= 0 −y+z= 0.Le rang des
lignes de Aest 2. On v´erifie que le rang des colonnes aussi : C3=−C2−3
2C1.L’espace vectoriel

4CHAPITRE 1. RANG D’UNE MATRICE, RETOUR AUX SYST ` EMES LIN ´ EAIRES.
des solutions sera de dimension 3 −2 = 1. En effet, c’est la droite vectorielle de base 
3
2
2
.
Pour la premi`ere ´equation prise s´epar´emment, l’espace vectoriel des solutions est de dimension
3−1 = 2 (car le rang est 1), c’est un plan vectoriel. De mˆeme pour la seconde ´equation.
La droite vectorielle Fest donc l’intersection de deux plans vectoriels (qu’on repr´esente, dans
l’espace R3, comme deux plans qui passent par le point (0,0)). Donnons des bases de ces deux
plans vectoriels.
(2x−4y+z= 0) ⇔(z=−2x+ 4y)⇔
x
y
z
=x
1
0
−2
+y
0
1
4
et (−y+z= 0) ⇔(y=z)⇔
x
y
z
=x
1
0
0
+z
0
1
1
.On a donc trouv´e une
base pour chacun des deux plans vectoriels admettant pour ´equation cart´esienne chacune des
´equations du syst`eme.
Rappel : par d´efinition, un hyperplan d’un K-espace vectoriel Ede dimension pest un
sous-espace vectoriel de dimension p−1.
Remarque : (i) L’espace vectoriel des solutions d’une seule ´equation lin´eaire non nulle, `a pin-
connues et `a coefficients dans K, est un hyperplan de Kp. En effet, si (a1, ..., ap)∈Kp\{(0, ...., 0)},
alors le rang du syst`eme lin´eaire a1x1+.... +apxp= 0 est 1.
(ii) Soit A∈ Mn,p(K). Le K-espace vectoriel des solutions du syst`eme lin´eaire homog`ene AX = 0
est l’intersection de nhyperplans de Kp.
Proposition 1.1.10 Soit Eun K-espace vectoriel de dimension p.
(i) Le noyau de toute forme lin´eaire non nulle de Eest un hyperplan de E.
(ii) Tout hyperplan de Eest le noyau d’une forme lin´eaire non nulle.
Preuve (i) Soit fune forme lin´eaire non nulle de E. C’est une application lin´eaire non
identiquement nulle de Edans K. Son image est un sous-espace vectoriel de Knon r´eduit `a z´ero,
donc Im f=K(car dim K= 1). On a dim Ker f+ dim Im f= dim E, donc dim Ker f=p−1.
(ii) Soit Hun hyperplan de E. Soit Xun sous-espace suppl´ementaire de H(E=H⊕X). Soit
(e) une base de X. On d´efinit une application fde Edans Kpar f:u7→ λ, o`u λest l’unique
scalaire tel que u=v+λe, avec v∈H. On v´erifie facilement que fest une application lin´eaire
de Edans Ket que ker f=H(exercice).
Proposition 1.1.11 Soit Eun K-espace vectoriel de dimension p. Soit B= (e1, ..., ep)une
base de E. Soit Hun hyperplan de E. Alors Hadmet une ´equation cart´esienne dans la base B.
Autrement dit, il existe des scalaires a1,...,ap, tels que si uest un vecteur de Ede coordonn´ees
x1
.
.
.
xp
dans la base B, alors
(u∈H)⇔(a1x1+.... +apxp= 0)
De plus, les ´equations cart´esiennes de Hdans la base Bdiff`erent seulement d’une constante
multiplicative.

1.1. RANG D’UNE MATRICE. RANG D’UN SYST ` EME LIN ´ EAIRE. 5
Preuve : Soit fune forme lin´eaire de Etelle que H= ker f. La matrice de fdans la base B
est une matrice-ligne. Appelons-la (a1, ..., ap). Alors u∈Hsi et seulement si f(u) = 0. Ceci se
traduit par
(a1, ...., ap)
x1
.
.
.
xp
= 0
Soient b1,...,bpdes scalaires. Supposons que l’´equation b1x1+...+bpxp= 0 soit une autre ´equation
cart´esienne de H. Alors Hest l’ensemble des solutions du syst`eme lin´eaire
½a1x1+... +apxp= 0
b1x1+... +bpxp= 0
Le rang de ce syst`eme est donc 1. Donc les deux ´equations ne sont pas lin´eairement ind´ependantes.
Il existe donc un scalaire µtel que (b1, ..., bp) = µ(a1, ..., ap).
Proposition 1.1.12 Soit Eun K-espace vectoriel de dimension p. Soit B= (e1, ..., ep)une base
de E. Soit Fun sous-espace vectoriel de E, diff´erent de Eet de {0}. Alors Fadmet un syst`eme
d’´equations cart´esiennes dans la base B. Autrement dit, il existe un entier net une matrice (ai,j )
de Mn,p(K), tels que si uest un vecteur de Ede coordonn´ees 
x1
.
.
.
xp
dans la base B, alors
(u∈H)⇔
a1,1x1+.... +a1,pxp= 0
.
.
.
an,1x1+.... +an,pxp= 0
Preuve : Si Fest un hyperplan de E, la proposition est d´ej`a d´emontr´ee. supposons dimF ≤
p−2. Il existe des hyperplans de Equi contiennent F. En effet, soit (u1, ..., ur) une base de
F. Par le th´eor`eme de la base incompl`ete, il existe des vecteurs ur+1,....,uptels que (u1, ..., up)
soit une base de E. Alors, si on note H=V ect{u1, ..., up−1},Hest un hyperplan de E, car
E=H⊕V ect{up}. De plus, F⊂H. Notons Hla famille de tous les hyperplans de Equi
contiennent F. On a facilement F⊂ ∩H∈HH. Or on a aussi ∩H∈HH⊂F. En effet, si un vecteur
n’appartient pas `a F, alors il existe un hyperplan de Equi contient Fet qui ne contient pas
ce vecteur. En effet, si u /∈F, alors (u, u1, ..., ur) est une famille libre et on sait que r+ 1 ≤
p−1. Compl`etons cette famille libre en une base de E, par des vecteurs ur+1,...,up−1. Posons
H=V ect{u1, ..., up−1}. Alors Hest un hyperplan qui contient F. De plus, E=H⊕V ect{u},
donc Hne contient pas le vecteur u. On a montr´e que tout vecteur qui n’appartient pas `a F
n’appartient pas `a ∩H∈HH. On a donc prouv´e que F=∩H∈HH. Pour chaque hyperplan H,
choisissons φHune forme lin´eaire telle que H= ker φH. On a
(u∈F)⇔(∀H∈ H, φH(u) = 0)
Mais la matrice de chaque forme lin´eaire φHdans la base Best une matrice-ligne `a pcoefficients.
Il ne peut donc pas y avoir plus de plignes lin´eairement ind´ependantes. La condition (∀H∈
H, φH(u) = 0) est donc ´equivalente `a un syst`eme lin´eaire homog`ene, dont le nombre d’´equations
est au plus p.
Remarque : Dans la proposition pr´ec´edente, on a n´ecessairement n≥p−dimF . (exercice)