Extensions normales

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Extensions normales
Soit Eune extension algébrique d’un corps K.Epeut être un corps de rupture sur K
pour un polynôme f X K X sans être un corps de décomposition come le montre
l’exemple suivant:
Exemple est un corps de rupture pour X32 sur sans être un corps de dé-
composition car nous avons:
X32X32X232X34
et X232X34 est irréductible dans X.
Définition Une extension algébrique Ede Ksera dite normale si, et seulement si,
chaque fois que Eest un corps de rupture pour un polynôme irréductible f X K X
sur K, il est un corps de décomposition pour fsur K.
Ainsi, Eest une extension normale de Ksi, et seulement si, chaque fois qu’un po-
lynôme irréductible f X K X possède une racine dans E, alors il se décompose en
produit de facteurs linéaires dans E X . Parfois on exprime ceci en disant que Eest
une extension normale de Ksi, et seulement si, chaque fois qu’un polynôme irréduc-
tible f X K X possède une racine dans E, alors il possède toutes ses racines dans E.
Exemple est une extension normale de car les polynôme irréductible dans
Xsont de degré 1 ou 2.
Exemple L’extension E32 de n’est pas normale car le polynôme X3
2Xpossède une racine dans Esans se décomposer en produit de facteurs linéaires
dans E X .
Théorème Soit Eun corps des racines pour le polynôme Q X K X sur K. Soit
f K X un polynôme irréductible, aet bdeux racines de f. Nous avons E a :E
E b :E.
Démonstration Considérons le diagramme
E a E b
E
K a K b
K
Si a1ansont les racines de Qdans E, alors nous avons
–E K a1an.

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–E a K a1ana K a a1anest le corps des racines de Qsur K a .
–E b est le corps des racines de Qsur K b .
– Il existe un K-isomorphisme σde K a sur K b tel que σa b, car aet bsont
deux racines du même polynôme irréductible f(donc Irr a K Irr b K ).
–σQ Q car Q K X . Il en résulte que E b est le corps des racines de σQ
sur K b .
– Le K-isomorphisme σpeut être prolongé en un isomorphisme de E a sur E b .
– On en déduit E a :K a E b :K b et
E a :EE a :K
E:KE a :K a K a :K E:K
E b :K b K b :K
E:KE b :K E:K
E b :E
Théorème Une extension finie Ede Kest normale si, et seulement si, elle est le
corps des racines sur Kpour un polynôme f X K X .
Démonstration Si l’extension Ede Kest finie, alors elle est algébrique et est de la
forme E K a1an. Soit PiX Irr aiKpour
i1 2 net soit P X i n
∏
i1PiX. Nous allons prouver que Eest le corps des racines
de Psur K. Tout d’abord, chaque PiXse décompose en produit de facteurs linéaires
dans E X car il est irréductible, il possède une racine dans Eet Eest normale sur K.
Il en résulte que Pse décompose en produit de facteurs linéaires dans E X et Eest
un corps de décomposition pour Psur K. Ensuite, Eest un corps de décomposition
minimal pour Psur Kcar si Fest un corps de décomposition pour Psur Kcontenu
dans E, alors Fdoit contenir tous les aice qui prouve F E.
Réciproquement, supposons que Eest le corps des racines pour un polynôme Q
K X sur Ket soit f K X un polynôme irréductible ayant une racine adans E. Soit
Mle corps des racines de f Q sur K.Ms’écrit M K a1anb1bmoù a1an
sont les racines de Qdans Met b1bmsont celles de f. Nous avons, par le théorème
précédent, E b1:E E bi:Epour i2 3 m
Si b1E, alors E b1:E1E bi:Ece qui prouve biEpour i2 3 m.
Il en résulte E M et Eest un corps de décomposition pour fsur K.
Définition Soit Eune extension de K. Une clôture normale de Eest une extension
normale de Kqui satisfait les deux conditions suivantes:
1. K E N.
2. Si Mest une extension normale de Kvérifiant K E M N, alors M N.

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En d’autre termes, la clôture normale de Eest une extension normale minimale de
Kcontenant E.
Exemple est une clôture normale de l’extension de .
Théorème Toute extension finie Ede Kpossède une clôture normale.
Démonstration E, étant une extension finie K, elle est algébrique et elle s’écrit
E K a1an. Les éléments aisont tous algébrique sur K. Soit
PiX Irr aiKet P P1Pn
Soit Nun corps des racines pour Psur K.Nest une extension normale de Kcontenant
E. D’un autre côté, si Mest une extension normale de Kvérifiant K E M N, alors
Mest un corps de décomposition pour chaque Picar elle contient une racine pour ce
polynôme irréductible. Ainsi, Mest un corps de décomposition pour Psur Kcontenu
dans N. Or Nest un corps de racines pour Psur K, d’où M N.
Théorème Deux clôtures normales d’une extension finie Ede Ksont K-isomorphes.
Démonstration D’après ce qui précède, ces deux extensions de Ksont deux corps
de racines pour le polynôme Pi n
∏
i1Irr a K sur K. Elles sont K-isomorphes.
Théorème Soit Eune extension normale finie de Ket Fune extension algébrique
de Kcontenant E. Tout K-isomorphisme σde Edans Fest un K-automorphisme de E.
Démonstration E, étant une extension normale finie de K, elle est le corps des
racines d’un polynôme P K X et elle s’écrit E K a1anoù a1ansont les
racines du polynôme P. Il suffit de prouver σE E, car Eest un K-espace vectoriel
de dimension finie et σest un endomorphisme injectif de cet espace vectoriel. Or σai
est une racine de Ppour i1 2 n. Il en résulte σaiEpour i1 2 n. et par
suite σE E.
Théorème Soit Eune extension normale finie de Ket Fun corps intermédiaire
entreKet E. Tout K-isomorphisme σde Fdans Epeut être prolongé en un K-automorphisme
de E.
Démonstration Eest le corps des racines d’un polynôme P K X sur K. Il est
aussi le corps des racines pour Psur Fet sur σF. Ainsi, le K-isomorphisme σde F
sur σFpeut être prolongé en un K-isomorphisme de Edans E. Ce prolongement de σ
est, en réalité, un K-automorphisme, car Eest un K-espace vectoriel de dimension finie.