Cours de Topologie. Master 1. Année 2009/2010.

Cours de Topologie. Master 1. Ann´ee 2009/2010.
Richard Zekri.
15 septembre 2009

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Chapitre 1
Rappels.
1.1 Topologies, ouverts, et voisinages.
D´efinition 1.1.1 [Topologie.] Une topologie τ, sur un ensemble X, est une famille de parties de X, qui
contient {φ}et {X}, et qui est stable par r´eunions quelconques, et par intersections finies. Les ´el´ements
de τsont appel´es des ouverts de X. Le compl´ementaire d’un ouvert de Xest appel´e un ferm´e. On dit
que X, muni de τ, est un espace topologique. On le notera (X, τ ).
D´efinition 1.1.2 [Base d’une topologie.] On appelle base d’une topologie τ, toute famille Fd’ouverts,
telle que tout ouvert de Xest r´eunion d’´el´ements de F.
Remarque 1.1.3 Il est ´equivalent de dire que Fest une base de la topologie τ, et que, pour tout point
x∈X, et tout ouvert Ox, contenant x, il existe un ouvert U ∈ F, tel que x∈ U ⊂ Ox.
D´efinition 1.1.4 [Voisinage.] Soit xun point de l’espace topologique (X, τ ). On appelle voisinage de
xtoute partie V, de X, contenant un ouvert qui lui-mˆeme contient le point x.
D´efinition 1.1.5 [Base de voisinages.] Une famille Fde sous ensembles d’un espace topologique Xest
une base de voisinages en x∈X, si chaque N∈ F est un voisinage de x, et si pour tout voisinage M,
de x, il existe N∈ F, tel que N⊂M.
D´efinition 1.1.6 [Int´erieur et adh´erence.] Soit Aune partie quelconque de X. On appelle int´erieur de
A, et l’on note A◦, le plus grand ouvert de X, contenu dans A. On appelle adh´erence de A, et l’on note
A, le plus petit ferm´e de X, contenant A. On a la relation : X−A◦= (X−A).Les points de Asont
dits adh´erents `a A.
Remarque 1.1.7 Un point x∈Xest adh´erent `a Asi et seulement si tout ouvert contenant xcontient
´egalement au moins un point de A.
D´efinition 1.1.8 [Densit´e.] Soit Xun espace topologique. Un sous-ensemble A, de X, est dit dense
dans X, si tout ouvert non vide de Xcontient au moins un point de A. (Ceci est ´equivalent `a A=X.)
D´efinition 1.1.9 [Fronti`ere.] Si Aest un sous-ensemble de X, on appelle fronti`ere de A, et l’on note
F r(A), l’ensemble : F r(A) = A−A◦.
1.2 Axiomes de s´eparation.
D´efinition 1.2.1 Un espace topologique Xest :
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– Un espace T1si pour tous x, y, points distincts de X, il existe un ouvert O, tel que y∈ O, mais x /∈ O
– Un espace T2(ou Hausdorff) si pour tous x, y, points distincts de X, il existe deux ouverts, Ox, et
Oy, tels que x∈ Ox,y∈ Oy, et Ox∩ Oy=φ.
– on dit que Xest r´egulier si pour tout x∈X, pour tout ferm´e C⊂X,x /∈C, il existe deux ouverts
Ox, et OC, contenant x, et Crespectivement, tels que Ox∩ OC=φ.
– Un espace T3si Xest T1, et r´egulier. (On dit ´egalement Hausdorff r´egulier.)
– Un espace T4(ou normal) si Xest T1, et si, ´etant donn´es deux ferm´es disjoints de X,C1et C2, il
existe deux ouverts disjoints O1, et O2, tels que C1⊂ O1, et C2⊂ O2.
Evidemment, T4⇒T3⇒T2⇒T1. Les caract´erisations suivantes sont ´egalement utiles :
Lemme 1.2.2 1. Un espace Xest T1si et seulement si les singletons {x} ⊂ Xsont des ferm´es.
2. Un espace est r´egulier si et seulement si les voisinages ferm´es de chaque point constituent une
base de voisinages.
D´emonstration: 1- Soit {x}un singleton dans X. La propri´et´e T1implique que chaque point du
compl´ementaire de {x}est contenu dans un ouvert O, ne contenant pas x. Le compl´ementaire de {x}
est donc ouvert. Inversement, si l’on suppose que tout singleton est ferm´e, et x, y sont deux points
distincts de X, alors le compl´ementaire de {x}est un ouvert contenant y, mais pas x.
2- Supposons que les voisinages ferm´es de chaque point constituent une base de voisinages dans X.
Soient x, et C, comme dans (3). Le compl´ementaire X−C, de C, est un ouvert contenant x, donc,
d’apr`es l’hypoth`ese, contient aussi un voisinage ferm´e, F, de x. On prend pour OC, le compl´ementaire
de F, et pour Ox, n’importe quel voisinage ouvert de x, contenu dans F. Inversement, supposons que X
est r´egulier. Soient xun point de X, et Oun voisinage ouvert de X. La r´egularit´e de Ximplique qu’il
existe un ouvert U, contenant le compl´ementaire de O, et un ouvert V, contenant x, tels que U ∩ V =φ.
Le compl´ementaire de Uest un ferm´e contenant V, et contenu dans O
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Les axiomes le plus souvent utilis´es en topologie sont T2et T4. Par exemple Rest un espace normal.
Plus g´en´eralement, tout espace m´etrique est un espace normal. Habituellement, un espace de Hausdorff
est appel´e simplement un espace s´epar´e (sans autres pr´ecisions.)
1.3 Axiomes de d´enombrabilit´e.
D´efinition 1.3.1 Un espace topologique S
1. Est s´eparable si Scontient un sous ensemble d´enombrable dense.
2. Satisfait le premier axiome de d´enombrabilit´e (D1), si chaque point de Sadmet une base de
voisinages, qui est d´enombrable.
3. Satisfait le second axiome de d´enombrabilit´e (D2), si la topologie de Sest `a base d´enombrable.
Tout espace m´etrique satisfait D1. Un espace m´etrique satisfait D2 si et seulement si il est s´eparable.
Tout espace qui satisfait D2 est s´eparable. La r´eciproque est fausse : voir R, avec la topologie engendr´ee
par les {[a, b[, a, b ∈R}.
1.4 Treillis des topologies.
1.4.1 Comparaison des topologies.
D´efinition 1.4.1 (Topologie plus fine.) Soient deux topologies τ1, et τ2sur un ensemble X. On dit
que τ2est plus fine que τ1, si tout ouvert de τ1est aussi un ouvert pour τ2. C’est `a dire, si τ1⊂τ2.
Remarque 1.4.2 Deux topologies τ1et τ2ne sont pas obligatoirement comparables. La topologie la
plus fine sur un ensemble est la topologie discr`ete (dans laquelle toute partie de Xest un ouvert.) La
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topologie la moins fine est la topologie grossi`ere (qui ne contient que deux ouverts, Xet φ.) On reviendra
plus en d´etail sur ces notions par la suite.
D´efinition 1.4.3 (Treillis des topologies.) Le treillis des topologies sur un ensemble Xest la famille
partiellement ordonn´ee des topologies de X. Dans ce treillis, deux topologies τ1et τ2admettent toujours
un plus petit majorant, qui est la plus petite topologie contenant `a la fois τ1, et τ2.
Si Xest un ensemble fini, ce treillis s’explicite facilement (voir exercices.)
1.5 Suites g´en´eralis´ees.
Dans un espace m´etrique X, l’adh´erence d’une partie A, de X, peut se d´ecrire comme l’ensemble des
limites des suites convergentes de points de A. Cela reste vrai, plus g´en´eralement, si l’espace Xsatisfait
l’axiome D1. Dans le cas g´en´eral, les suites ne sont plus suffisantes (voir exercices.) On utilise alors
des suites g´en´eralis´ees, ou nets. La diff´erence essentielle avec les suites ´etant que l’ensemble des indices
de la suite n’est plus suppos´e d´enombrable, ni totalement ordonn´e. Un ordre partiel reste cependant
indispensable.
D´efinition 1.5.1 [Ordre partiel.] Soit Iun ensemble. Un ordre (partiel) sur Iest la donn´ee d’un sous
ensemble G, de I×I, satisfaisant les conditions suivantes :
Pour tous i, i1, i2, ´el´ements de I:
1. Transitivit´e : si (i1, i2)∈G, et (i2, i3)∈G, alors : (i1, i3)∈G
2. Reflexivit´e : pour tout i∈I, (i, i)∈G.
3. Antisym´etrie : si (i1, i2)∈G, et (i2, i1)∈G, alors i1=i2.
L’ensemble Gest appel´e un graphe.
On consid´ere le plus souvent la relation sur I, associ´ee au graphe G. On note cette relation , avec
i1i2⇔(i1, i2)∈G.
D´efinition 1.5.2 [Ordre filtrant croissant.] Soit (I, )un ensemble partiellement ordonn´e. On dit que
l’ordre est filtrant croissant si pour toute paire (i1, i2), d’´el´ements de I, il existe une ´el´ement i, de I,
tel que i1i, et i1i. On dit que iest un majorant de {i1, i2}
D´efinition 1.5.3 [Nets] Soit Xun espace topologique. Un net (ou suite g´en´eralis´ee) dans Xest la
donn´ee d’un couple (x, I), dans lequel Iest un ensemble muni d’un ordre filtrant croissant, et xest une
application de Idns X. On notera souvent xil’´el´ement x(i), et (xi)i∈Ile net x.
D´efinition 1.5.4 [Sous-net (d´efinition simplifi´ee).] Soit (xi)i∈Iun net dans X. Un sous-net de (xi)i∈I,
est un net (yj)j∈Jdans X, dans lequel J⊂I, avec l’ordre h´erit´e de I, et tel que pour tout i∈I, il
existe j∈J, avec ji.
On remarque que si Iest l’ensemble des entiers naturels, avec l’ordre usuel, ces d´efinitions coincident
avec les d´efinitions de suites et de sous-suites.
D´efinition 1.5.5 [Convergence.]
– Un net (xi)i∈Idans un espace topologique Xconverge vers un point x∈X, si quel que soit le voisinage
Vx, de x, il existe i0∈I, tel que, pour tout i, avec i0i,xi∈ Vx.
– Un point x∈Xest appel´e point d’accumulation (ou valeur d’adh´erence) d’un net (xi)i∈I, si, quel que
soit le voisinage Vx, de x, et quel que soit i0∈I, il existe i∈I, avec i0i, tel que xi∈ Vx. C’est `a
dire, s’il existe un sous-net de (xi)i∈I, convergeant vers x.
Proposition 1.5.6 Soient Xun espace topologique. Soit Aune partie de X. Un point xest adh´erent
`a Asi et seulement si il existe un net dans A, convergeant vers x.
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