Cours de mathématiques Partie III – Algèbre MPSI 4

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2014/2015
Cours de mathématiques
Partie III – Algèbre
MPSI 4
Alain TROESCH
Version du:
4 juin 2015

Table des matières
16 Fang cheng, ou l’élimination de Gauss-Jordan... 7
I Position du problème et reformulation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.2 Rappels sur les matrices et transcription matricielle du système . . . . . . . . . . . 8
I.3 Structure de l’ensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II Échelonnement d’une matrice par la méthode du pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II.1 Opérations sur les lignes d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II.2 Échelonnement de la matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
III Résolution d’un système échelonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
III.1 Inconnues principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
III.2 Recherche d’une solution particulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
III.3 Recherche de la solution générale de l’équation homogène associée . . . . . . . . . 14
17 Structures algébriques 17
I Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.2 Propriétés d’une loi de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.3 Ensembles munies de plusieurs lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.4 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
II Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
II.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
II.2 Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II.3 Catégories (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
III Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
III.1 Axiomatique de la structure groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
III.2 Exemples importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
III.3 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
III.4 Congruences modulo un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
III.5 Ordre d’un élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
IV Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
IV.1 Axiomatiques des structures d’anneaux et de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
IV.2 Sous-anneaux, sous-corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
IV.3 Calculs dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
IV.4 Éléments inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
IV.5 Idéaux (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 Table des matières
18 Arithmétique des entiers 37
I Divisibilité, nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
I.1 Notion de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
I.2 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
I.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
II Décomposition primaire d’un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
II.1 Décomposition primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
II.2 Valuations p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
III PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
III.1 PGCD et PPCM d’un couple d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
III.2 Identité de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
III.3 PGCD et PPCM d’une famille finie d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
III.4 PGCD et PPCM vus sous l’angle de la décomposition primaire . . . . . . . . . . . 48
IV Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
IV.1 Couple d’entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
IV.2 Famille finie d’entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
IV.3 Fonction indicatrice d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
V Théorème des restes chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
V.1 Cas de modulo premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
V.2 Résolution d’un système quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
19 Polynômes et fractions rationnelles 55
I Polynômes à coefficients dans un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
I.1 Polynômes formels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
I.2 Opérations arithmétiques sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
I.3 Indéterminée formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
I.4 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
I.5 Degré et valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
II Arithmétique dans K[X]..................................... 61
II.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
II.2 Idéaux de K[X]...................................... 62
II.3 Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
II.4 PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
II.5 Polynômes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
II.6 Décomposition en facteurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
III Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
III.1 Spécialisation, évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
III.2 Racines et multiplicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
III.3 Majoration du nombre de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
III.4 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
III.5 Polynômes scindés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
IV Polynômes irréductibles dans C[X]et R[X].......................... 73
IV.1 Factorisations dans C[X]................................ 73
IV.2 Facteurs irréductibles dans R[X]............................ 73
V Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
V.1 Définition des fractions rationnelles formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
V.2 Degré, racines, pôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
V.3 Décomposition en éléments simples dans C(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
V.4 Décomposition en éléments simples dans R[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Table des matières 3
20 Espaces vectoriels 79
I Notion d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
I.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
I.2 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
I.3 Un exemple important : espace de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
I.4 Produits d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
I.5 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
I.6 Intersections de sev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
I.7 Sous-espace vectoriel engendré par un sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
I.8 Sommes de sev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
I.9 Sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
II Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
II.1 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
II.2 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
II.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
III Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
III.1 Notion de dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
III.2 Dimension, liberté et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
III.3 Dimension de sous-espaces et de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
21 Applications linéaires 93
I Généralités sur les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
I.1 Définitions et propriétés de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
I.2 Image et noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
I.3 Endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
I.4 Automorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
I.5 Projecteurs et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
II Applications linéaires et familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
II.1 Détermination d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
II.2 Caractérisations de l’injectivité et de la surjectivité par l’image de bases . . . . . . 102
II.3 Recollements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
III Applications linéaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
III.1 Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
III.2 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
IV Formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
IV.1 Formes linéaires, espace dual, hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
IV.2 Qu’est-ce que le principe de dualité ? (hors-programme) . . . . . . . . . . . . . . . 107
22 Matrices 109
I Matrice d’une application linéaire et opérations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
I.1 L’ensemble des matrices de type (n, p). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
I.2 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
I.3 Structure d’espace vectoriel de Mn,p(K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
I.4 Définition du produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
I.5 Expression matricielle de l’évaluation d’une AL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
I.6 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
I.7 Produit matriciel revisité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
II Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
II.1 L’algèbre Mn(K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
II.2 Matrices carrées de type particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
II.3 Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
II.4 Expression matricielle du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124