Programme de mathématiques de 1 année

Programme de mathématiques de 1
ère
année
Analyse
a) Topologie
- Nombres réels :
- Définition et propriétés d’une suite de nombres réels ou complexes.
- Notions élémentaires de topologie sur R (ouverts, fermés, voisinages d’un
point, adhérence d’une partie, borne inférieure, borne supérieure... )
- Fonctions de R dans R :
- Limites, opérations sur les limites, continuité en un point.
- Fonctions équivalentes au voisinage d’un point.
- Fonctions bornées, monotones, continues, uniformément continues,
- Fonctions continues par morceaux.
- Fonctions réciproques.
-Suites réelles et complexes
- Convergence. Opérations sur les limites.
- Suites équivalentes, adjacentes. Suites de Cauchy.
- Exemples d’étude de suites “classiques“ (arithmético-géométriques,
homographiques...)
b) Calcul différentiel et intégral
- Calcul différentiel :
- Dérivabilité en un point, dérivabilité à droite ou à gauche, dérivabilité sur
un intervalle.
- Fonction dérivée. Opérations sur les dérivées. Théorème de Rolle, formule
des accroissements finis, formule de Leibniz.
- Fonctions de classe C
p
, formules de Taylor, de Taylor-Young, existence
d’un développement limité pour une fonction de classe C
p
: application à
l’étude locale d’une fonction.
- Développements limités usuels
- Théorème du point fixe
- Etude de fonctions :
- Etude complète d’une fonction d’une variable réelle.
- Fonctions usuelles comme par exemple ch, sh, th, Arcos, Arcsin, Arctan,
Argch, Argsh, Argth ...
- Application des développements limités à l’étude locale d’une fonction.

Algèbre
a) Outils mathématiques fondamentaux
- Bases logiques du raisonnement mathématique, applications, groupes,
anneaux, corps.
- Etude sommaire des grands ensembles de nombres (Z, Q, R, C), en
particulier on s’attachera à rappeler les propriétés usuelles des nombres
complexes.
- Polynômes et fractions rationnelles :
- Anneau K[X] des polynômes à une indéterminée.
- Degré d’un polynôme.
- Division euclidienne, division suivant les puissances croissantes.
- Décomposition d’un polynôme en produit de facteurs irréductibles.
- Relations entre coefficients et racines. Théorème de Bezout.
- Corps K(X) des fractions rationnelles.
- Décomposition en éléments simples sur R ou C.
b) Algèbre linéaire et multilinéaire
Espaces vectoriels :
- Espaces vectoriels sur R ou C.
- Sous-espaces vectoriels, supplémentaires, projections.
- Applications linéaires, image et noyau d’une application linéaire.
- Familles libres, génératrices et bases.
- Espaces vectoriels de dimension finie.
- Théorème de la base incomplète.
- Rang d’une application linéaire.
Semestre 2 (S2)
Analyse
a) Calcul intégral
Intégration de Riemann
- Intégration sur un intervalle fermé et borné des fonctions en escalier,
continues par morceaux.
- Formule de la moyenne.
- Relation de Chasles, linéarité de l’intégrale, positivité, inégalité de Cauchy-
Schwarz.

- Sommes de Riemann d’une fonction continue, convergence de ces sommes.
- Primitives d’une fonction continue, intégration par parties, changement de
variable.
c) Equations différentielles
- Equations linéaires du 1° ordre avec second membre, méthode de la variation
de la constante.
- Existence et unicité de la solution satisfaisant à une condition initiale donnée.
- Equations linéaires du 2° ordre à coefficients constants avec second membre
de la forme e
mx
P(x) où P est un polynôme à coefficients réels ou complexes et
m un complexe. Méthode de la variation des constantes.
- Exemples d’équations à variables séparées.
d) Fonctions de plusieurs variables
- Eléments de topologie dans R
n
.
- Equivalence des trois normes usuelles.
- Limite d’une suite de R
n
- Limite et continuité d’une application d’une partie de R
n
dans R
p
.
Algèbre et géométrie
a) Calcul matriciel
- Espace vectoriel M
p,q
(K) des matrices à p lignes et q colonnes.
- Produit matriciel.
- Algèbre des matrices carrées sur R ou C.
- Transposition, matrice inverse.
- Matrices symétriques et antisymétriques.
- Rang d’une matrice.
- Liens entre applications linéaires en dimension finie et matrices.
- Matrices de passage, formules de changement de bases
b) Déterminants et systèmes d’équations linéaires
- Définition d’un déterminant par récurrence ou par introduction des formes n-
linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension finie.
- Déterminant d’une famille de vecteurs. Critère d’indépendance.
- Déterminant d’une application linéaire en dimension finie et d’une matrice
carrée.
- Déterminant du produit de deux matrices, de la transposée d’une matrice.
- Mineurs, cofacteurs, développement par rapport à une ligne ou une colonne.
- Expression de l’inverse d’une matrice carrée,

- Systèmes d’équations linéaires : résolution par formules de Cramer ou par la
méthode du pivot par exemple.
c) Réduction des endomorphismes
- Valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres associés à un
endomorphisme.
- Polynôme caractéristique.
- Trace d’une matrice carrée.
- Diagonalisation, trigonalisation des matrices carrées.
- Théorème de Cayley-Hamilton.
d) Espaces vectoriels euclidiens
- Définition et propriétés du produit scalaire.
- Théorème de la projection.
e) Géométrie
- Espace affine. Repères. Coordonnées. Changement de repères. Droites et
plans (équations, paramétrages).
- Applications affines : définition, écriture analytique et matricielle.
- Exemples classiques : similitudes directes planes, projections et symétries
affines dans l’espace…
- Espace affine euclidien. Distance.
- Droites et plans.
- Fonctions vectorielles et scalaires de Leibniz.
- Cercles et sphères
- Coniques : définition focale et équations des paraboles, ellipses et hyperboles.