Programme de mathématiques de 1 année
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Programme de mathématiques de 1ère année Analyse a) Topologie - Nombres réels : - Définition et propriétés d’une suite de nombres réels ou complexes. - Notions élémentaires de topologie sur R (ouverts, fermés, voisinages d’un point, adhérence d’une partie, borne inférieure, borne supérieure... ) - Fonctions de R dans R : - Limites, opérations sur les limites, continuité en un point. - Fonctions équivalentes au voisinage d’un point. - Fonctions bornées, monotones, continues, uniformément continues, - Fonctions continues par morceaux. - Fonctions réciproques. -Suites réelles et complexes - Convergence. Opérations sur les limites. - Suites équivalentes, adjacentes. Suites de Cauchy. - Exemples d’étude de suites “classiques“ (arithmético-géométriques, homographiques...) b) Calcul différentiel et intégral - Calcul différentiel : - Dérivabilité en un point, dérivabilité à droite ou à gauche, dérivabilité sur un intervalle. - Fonction dérivée. Opérations sur les dérivées. Théorème de Rolle, formule des accroissements finis, formule de Leibniz. - Fonctions de classe C p, formules de Taylor, de Taylor-Young, existence d’un développement limité pour une fonction de classe Cp : application à l’étude locale d’une fonction. - Développements limités usuels - Théorème du point fixe - Etude de fonctions : - Etude complète d’une fonction d’une variable réelle. - Fonctions usuelles comme par exemple ch, sh, th, Arcos, Arcsin, Arctan, Argch, Argsh, Argth ... - Application des développements limités à l’étude locale d’une fonction. Algèbre a) Outils mathématiques fondamentaux - Bases logiques du raisonnement mathématique, applications, groupes, anneaux, corps. Etude sommaire des grands ensembles de nombres (Z, Q, R, C), en particulier on s’attachera à rappeler les propriétés usuelles des nombres complexes. - Polynômes et fractions rationnelles : Anneau K[X] des polynômes à une indéterminée. Degré d’un polynôme. Division euclidienne, division suivant les puissances croissantes. Décomposition d’un polynôme en produit de facteurs irréductibles. Relations entre coefficients et racines. Théorème de Bezout. Corps K(X) des fractions rationnelles. Décomposition en éléments simples sur R ou C. b) Algèbre linéaire et multilinéaire Espaces vectoriels : - Espaces vectoriels sur R ou C. - Sous-espaces vectoriels, supplémentaires, projections. - Applications linéaires, image et noyau d’une application linéaire. - Familles libres, génératrices et bases. - Espaces vectoriels de dimension finie. - Théorème de la base incomplète. - Rang d’une application linéaire. Semestre 2 (S2) Analyse a) Calcul intégral Intégration de Riemann - Intégration sur un intervalle fermé et borné des fonctions en escalier, continues par morceaux. - Formule de la moyenne. - Relation de Chasles, linéarité de l’intégrale, positivité, inégalité de CauchySchwarz. - Sommes de Riemann d’une fonction continue, convergence de ces sommes. - Primitives d’une fonction continue, intégration par parties, changement de variable. c) Equations différentielles - Equations linéaires du 1° ordre avec second membre, méthode de la variation de la constante. - Existence et unicité de la solution satisfaisant à une condition initiale donnée. - Equations linéaires du 2° ordre à coefficients constants avec second membre de la forme emxP(x) où P est un polynôme à coefficients réels ou complexes et m un complexe. Méthode de la variation des constantes. - Exemples d’équations à variables séparées. d) Fonctions de plusieurs variables - Eléments de topologie dans Rn. Equivalence des trois normes usuelles. Limite d’une suite de Rn Limite et continuité d’une application d’une partie de Rn dans Rp. Algèbre et géométrie a) Calcul matriciel - Espace vectoriel Mp,q(K) des matrices à p lignes et q colonnes. Produit matriciel. Algèbre des matrices carrées sur R ou C. Transposition, matrice inverse. Matrices symétriques et antisymétriques. Rang d’une matrice. Liens entre applications linéaires en dimension finie et matrices. Matrices de passage, formules de changement de bases b) Déterminants et systèmes d’équations linéaires - Définition d’un déterminant par récurrence ou par introduction des formes nlinéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension finie. - Déterminant d’une famille de vecteurs. Critère d’indépendance. - Déterminant d’une application linéaire en dimension finie et d’une matrice carrée. - Déterminant du produit de deux matrices, de la transposée d’une matrice. - Mineurs, cofacteurs, développement par rapport à une ligne ou une colonne. - Expression de l’inverse d’une matrice carrée, - Systèmes d’équations linéaires : résolution par formules de Cramer ou par la méthode du pivot par exemple. c) Réduction des endomorphismes - Valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres associés à un endomorphisme. - Polynôme caractéristique. - Trace d’une matrice carrée. - Diagonalisation, trigonalisation des matrices carrées. - Théorème de Cayley-Hamilton. d) Espaces vectoriels euclidiens - Définition et propriétés du produit scalaire. - Théorème de la projection. e) Géométrie - Espace affine. Repères. Coordonnées. Changement de repères. Droites et plans (équations, paramétrages). - Applications affines : définition, écriture analytique et matricielle. - Exemples classiques : similitudes directes planes, projections et symétries affines dans l’espace… - Espace affine euclidien. Distance. - Droites et plans. - Fonctions vectorielles et scalaires de Leibniz. - Cercles et sphères - Coniques : définition focale et équations des paraboles, ellipses et hyperboles.
