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X/ENS Maths PSI 2008 — Énoncé 1/5
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X/ENS Maths PSI 2008 — Énoncé 2/5
Indice derotation d’unecourbe simple.
Danstout ce probl`eme, Td´esigne un r´eelstrictementpositif.
1Premi`erepartie
On note Ul’ensembledes nombres complexes de module 1. Onnote FT
l’ensembledesapplicationsT-p´eriodiqueset continuesde R`a valeurs dans
Uet F1
Tl’ensembledesapplications T-p´eriodiquesde classe C1de R`a valeurs
dansU.On appellerel`evement de u∈FTunefonction continue f:R→R
telle que u=eif .
1.Montrez que si u∈F1
T,et si festun rel`evementde uquel’on suppose
de plusd´erivable,alors f′=−i¯uu′.
Montrez que,r´eciproquement,toutu∈F1
Tadmet un rel`evementfquiest
de classe C1et qui est uneprimitivede−i¯uu′.
2.Montrez quesi festun rel`evementdeuet gestun rel`evementdev,alors
f+gestun rel`evementde uv.
3.Montrez que si z∈Uestde partie r´eelle positive,alorsz=eiArcsin y,o`u
yestlapartie imaginairede z,puis que siu∈FTv´erifieku−1k∞≤√2,
alorsuadmet un rel`evementf`a valeurs dans [−π/2,π/2].
4.Montrez que pourtoutu∈FT, il existe w∈F1
Ttel que ku−wk∞≤√2/2.
Montrez quewne s’annule pas et que v=w/|w|v´erifiekv−wk∞≤√2/2
et ku
v−1k∞≤√2. D´eduisez-enque toutu∈FTadmet un rel`evement.
5.Montrez que sifet gsontdeuxrel`evements d’unmˆemeu∈FT,alors f−g
estune fonction constante,´egale `a un multipleentierde 2π.D´eduisez-en
quesiu∈F1
Tet si festun rel`evementde u,alors festde classeC1.
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X/ENS Maths PSI 2008 — Énoncé 3/5
2Deuxi`emepartie
6.Soitu∈FT,soit fun rel`evementde uet soit aun r´eel. On pose
dT(u)=1
2π(f(a+T)−f(a)) (1)
et on appelle ce nombre le degr´ede u.Montrez que dT(u)estun entieret
ne d´epend nidu choix du rel`evementf,ni dea.
7.Soientu∈FTet k∈Ntels que|dT(u)|≥k.Montrezque pour tout
z0∈Uet tout r´eelal’´equation u(t)=z0admet au moins ksolutions
distinctesdans l’intervalle[a, a+T[.
8.Quevaut dT(u)siun’est pas surjective?
9.Montrez quepourtousu, v∈FTon adT(uv)=dT(u)+dT(v)et
dT(u/v)=dT(u)−dT(v).
10.Montrezque si u, v∈FTet si ku−vk∞<2, alorsdT(u/v)=0, puis
quedT(u)=dT(v).
11.Montrez que si u∈FTestde classeC1par morceauxalors pour tout
r´eelaon a
dT(u)=−1
2πZa+T
a
iu′(t)¯u(t)dt.
12.Montrez que siu∈F2πestde classeC1par morceaux alors
d2π(u)=X
n∈Z
n|cn|2,
o`u(cn)n∈Zd´esignentles coefficients de Fourierdeu.
13.Soitu∈F1
Tet soit fun rel`evementde u.Soit z∈Uet
F={t∈[a, a+T[|u(t)=z}.
Montrez que siFestfinietsipour toutt∈Fon af′(t)6=0, alors dT(u)=
p−q,o`up=Card{t∈F|f′(t)>0}et q=Card{t∈F|f′(t)<0}.
3Troisi`eme partie
On appelle homotopieentre u∈FTet v∈FTuneapplication continue
ϕ: [0,1] ×R→U
(λ, t)7→ ϕλ(t)
telle que, ϕ0=u,ϕ1=v,et
(i) ∀s∈[0,1], ϕλ∈FT,(ii) ∀λ0∈[0,1], lim
λ→λ0kϕλ−ϕλ0k∞=0.
S’il existe une homotopie entre uet v,on ditque uesthomotope`a v.
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X/ENS Maths PSI 2008 — Énoncé 4/5
14.Montrezque siϕsatisfait la condition (i) ci-dessus etestlipschitzienne
sur [0,1] ×[a, a+T], o`uaestun r´eelarbitraire, alorsla condition (ii) est
v´erifi´ee.
15.Montrez quesi ϕestune homotopie entre u∈FTet v∈FT,alors
dT(u)=dT(v).
16.Montrez que pourtout nombre complexe ztel que|z|<1, l’application
Mzd´efinie pour t∈Rpar
Mz(t)=z−eit
1−¯zeit
appartient`a F2π,puis que d2π(Mz)=1. (Indication:on pourra consid´erer
les applicationsMλz,o`uλparcourt l’intervalle [0,1].)
17.Montrezque siu∈FTet dT(u)=0, alorsuesthomotope`a l’application
constante ´egale `a 1.
18.Montrez queu, v∈FTsonthomotopessi et seulementsidT(u)=dT(v).
4Quatri`eme partie
On note ATl’ensembledesarcs param´etr´es declasseC2et T-p´eriodiques
de RdansR2identifi´e`a C,r´eguliers `a l’ordre1enchaquepoint,c’est-`a-
dire dont la d´eriv´ee nes’annule pas. On dira queΓ∈ATestsimple si la
restriction de Γ`a [0,T[est injective.
Si Γ∈AT,on appellera applicationtangente de Γl’application −→ TΓ∈FT
d´efinie par
−→
TΓ(t)=Γ′(t)
|Γ′(t)|,
pour t∈R.On appellera indicede Γ∈ATl’entier
iT(Γ) =dT(−→ TΓ).
19.D´eterminez i2π(Γn), o`un∈Zet Γn(t)=eint.
20.On pose Γ(t)=cos t+isin(2t), et on d´esignepar −→ TΓson application
tangente. Montrez que pour toutr´eel ton a−→ TΓ(t)6=i,puis que i2π(Γ) =0.
21.Montrez que si Γ∈ATestparam´etr´ee par l’abcisse curviligne, alors
2πiT(Γ) est l’int´egrale de la courbure deΓentre0etT.
On suppose`a pr´esent que Γ∈ATet que de plus Γest simple. Pourtous
(x,y)∈R2tels que (x−y)/T /∈Z,onpose
SΓ(x,y)=Γ(x)−Γ(y)
sin π
T(x−y),
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et pour touty∈Ret tout k∈Zon pose
SΓ(y+kT,y)=(−1)kT
πΓ′(y).
22.Montrez que l’application SΓestbien d´efinie surR2,ne s’annule pas,
et que pour tous x, y∈Ron aSΓ(x+T,y)=SΓ(x, y+T)=−SΓ(x, y)et
SΓ(x, y)=SΓ(y,x).
23.SoitU={(x, y)∈R2| |x−y|<T}.Montrez quela fonction Fd´efinie
pour (x, y)∈U,x6=ypar F(x, y)=x−y
sin(π
T(x−y))se prolonge par continuit´e
sur Uen unefonction de classeC1.
24.En ´ecrivantΓ(x)−Γ(y)commeun reste int´egral,montrez que la fonction
d´efinie pour (x, y)∈R2,x6=ypar G(x, y)=Γ(x)−Γ(y)
x−yse prolonge par
continuit´een unefonction de classeC1sur R2.
25.Montrez queSΓestdeclasse C1sur l’ouvert Ud´efini`a la question 23,
puis sur R2.Montrez que SΓestlipschitziennesurR2.
26.Montrez qu’il existe un r´eelatel que Re(Γ(a)) =mint∈RRe(Γ(t)), et
quepourun tel ale nombre complexe SΓ(a, a)est imaginairepur. On
supposera dans la suitede cette partieque a=0convient.
27.SoitP0: [0,T]→R2l’application d´efinie par
P0(t)=(max(0,2t−T),min(T,2t)) .
Soitu0l’application T-p´eriodiquede RdansUdontlarestriction `a [0,T[
estSΓ◦P0
|SΓ◦P0|.
Montrez que u0(T)=SΓ◦P0(T)
|SΓ◦P0(T)|et que ∈FT.
28.Montrez u0(0) ∈{−i, i},que la partier´eelle de u0estpositivesur[0,T/2]
et que pour toutt∈[0,T/2] on au0(t+T/2) =−u0(t).
29.D´eduisez de ce qui pr´ec`edequela fonction f: [0,T]→Rd´efinie par
f(t)=(Arcsin(Im(u0(t)) si t∈[0,T/2[,
2Arcsin(Im(u0(T/2)) −Arcsin(Im(u0(t)) si t∈[T/2,T]
estun rel`evementde u0sur l’intervalle [0,T]. Montrez que f(T)−f(0) =
2f(T/2) −2f(0), puis que dT(u0)∈{−1,+1}.
30.Pourtoutt∈[0,T]on poseP1(t)=(t, t), etpourtout λ∈[0,1] on
posePλ=λP1+(1 −λ)P0.Montrez que l’application X(λ, t)=Pλ(t)est
lipschitziennesur[0,1] ×[0,T].
Soitϕλl’application T-p´eriodiquedeRdansUdont la restriction `a [0,T[
estSΓ◦Pλ
|SΓ◦Pλ|.Montrez queϕλd´efinit unehomotopie entreu0et l’application
tangente de Γ, et que iT(Γ) ∈{−1,+1}.
Finde l’´ epreuve
u0
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