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X Physique B PC 2012 — Énoncé 1/7
ÉCOLEPOLYTECHNIQUE–ÉCOLESNORMALES SUPÉRIEURES
ÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUE ETDECHIMIEINDUSTRIELLES
CONCOURSD’ADMISSION2012 FILIÈREPC
COMPOSITION DEPHYSIQUE–B–(XELC)
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
Pourlesapplicationsnumériques,onse contenteradedonnerun unique chiffresignificatif.
⋆ ⋆ ⋆
Étudedequelquesphénomènesnonlinéairesdanslesmilieuxdiélectriques
Nousnousproposonsd’étudierquelquescomportementsdemilieuxdiélectriques soumisàun
champélectriqueintense.Dansce contexte,un champélectrique estconsidéré commeintense
lorsquesonmoduleatteintune certaineproportion du champimpliquédanslacohésion du milieu.
En premièrepartie,nousétablironsun modèledepolarisabilité électroniquepourun milieu
diélectriquehomogène etisotrope(DHI),dansle cadredelaréponselinéaire.Unedeuxièmepartie
seradédiée àl’étudedu phénomènededoublementdefréquence (relativementàlafréquence
del’onde électromagnétique excitatrice).Dansunedernièrepartie,nousétudieronsl’effetKerr
optique.Cestroisparties sontindépendantesmaisil estconseillé,aumoins,delireattentivement
lapremièrepartie.
Nousconsidéreronsun milieu diélectrique commeun isolantidéaletdoncne comprenant
aucune chargesusceptibledesedéplacerbienau delàd’unedistance atomique.Lorsquelesbary-
centresrespectifsdeschargespositivesetnégativesd’une entitépolarisable élémentaire(atome,
moléculesougrouped’atomes)du matériau diélectriquene coïncidentpas, il apparaîtun dipole
électrique~p.Nousne considéreronsquelapolarisationinduiteparun champélectrique.
Donnéesnumériques,formulaire etnotations.
Charge électrique élémentaire:e=1,60 ×10−19 C
Massedel’électron:me=9,11 ×10−31 kg
Vitessedelalumièredanslevide:c=3,00 ×108m·s−1
Perméabilitémagnétiquedu vide:µ0=4π×10−7kg·m·C−2
Permittivitédiélectriquedu vide:ε0=8,85 ×10−12 F·m−1
e2
4πε0
=2,31 ×10−28 N·m2
2(cosx)2=1+cos(2x)
2cosxsin(2x)=sinx+sin(3x)
4(cosx)3=3cosx+cos(3x)
Zx
0
du
1−u2=Argth(x)
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X Physique B PC 2012 — Énoncé 2/7
Nousdésignonspar~ Plevecteurpolarisation.Si l’élémentdevolumeδτcontientδNpentités
polarisables,demomentdipolaireindividuel~pi,alors~ P=δNp
δτ~pi≡N~pi(Ndésigneratoujours
un nombred’objetsparunitédevolume).
PartieI:Unmodèledesusceptibilité électronique enréponselinéaire.
Nousnousintéressonsiciàlapolarisationquirésultedeladéformation du nuage électronique
d’un atomeparuneonde électromagnétique.Nousconsidéronsun milieuDHIcontenantNélec-
tronsparunitédevolume.Cemilieuestsoumisàuneonde électromagnétique,planeprogressive
harmonique,depulsationωetdenombred’ondek,caractérisée parleschamps:
(~
E=E0cos(ωt−kx)~uy;
~
B=B0cos(ωt−kx)~uz.(1)
Lesvecteursunitaires~ux,~uyet~uzformentun trièdredirect.Surledomainedefréquence consi-
déré, lemilieuestsupposénonabsorbant.
Nousnotons~rlevecteurdéplacementdu barycentredu nuage électronique,par rapport
àceluidu noyau(supposéfixe).Ensupposantun unique électronconcerné,ce vecteurvérifie
l’équation deladynamique:
me
d2~r
dt2=~
F+~ FEM.(2)
~
Fet~ FEMreprésententlesforcesquelenuage électroniquesubitdelapart du noyauetde celle
del’onde électromagnétique.Touteffetdissipatifestnégligé.
1.Caractérisation delaforce d’interaction noyau–nuage~ F.
Modélisonslenuage électronique,associéàl’électron(me,−e)dans sonmouvementorbital,
paruneboulederayonaetdedensitévolumiquede chargeuniforme.Pourk~rk≪a,nous
considéronsquelenuagenesedéformepaslorsdeson déplacement relatif.
a)Exprimeralorslaforce ~ F.L’écriresouslaforme~ F=−meω2
0~r.
b)Exprimerω2
0enfonction dee,ε0,aetme.Proposerun ordredegrandeurdeapuis
deω0.
c)ExprimerlepotentielW2(r)duqueldérive~ F.
d)Interpréterω0dansle cadrede ce modèle.
2.Caractérisation delaforce d’interactiononde–nuage~ FEM.
a)Rappelerleshypothèsesquiprésidentaucalculde cetteforce d’interaction,dansle
cadre classique,etquenousadopterons.
b)Exprimerlaforce électromagnétiquesubieparlenuage.
3.Susceptibilitélinéaire.
a)Exprimerledéplacement~r,solution del’équation(2)pourlerégimesinusoïdalforcé.
b)Exprimerlevecteurpolarisation~ Pcorrespondant.
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X Physique B PC 2012 — Énoncé 3/7
c)LasusceptibilitéχL(linéaire)est, ici, définieparlarelationalgébrique:
~
P=ε0χL~ E.(3)
ExprimerχLenfonction desgrandeursω2
p≡Ne2
meε0
etχ0≡ω2
p
ω2
0
.Esquisseretanalyser
sonévolutionenfonction deω.
d)Estimerl’ordredegrandeurdeχ0(on pourra,d’abord, l’exprimerenfonction deN
eta).
Pourlesmatériauxentrantdansle cadrede cettemodélisation, lapermittivitérelative
statique estdel’ordredequelquesunités.Cecicorrobore-t-il lerésultatobtenu ?
Définition du cadred’étudepourlesdeuxième et troisièmeparties.
Danslescristaux, il peutapparaîtred’autresentitéspolarisablesque celleformée simplement
parun nuage électronique etson noyau.Pourcesentités, lesdistance,masse etcharge caractéris-
tiquespeuvents’écartersensiblementdea,meete.NouslesnotonsL,metq.Nous supposons
que ce sontcesentitésquisontàlabasedesphénomènesnousintéressant.NousnotonsNleur
nombreparunitédevolume et redéfinissonsω2
pselonl’égalitéω2 p≡Nq2
mε0
.
Ledéplacementdelaparticule effectivede chargeqetdemassem,d’une entité,estnoté~r.
Nouslimitonsnotre étudeaucastelque~r=r~uyet~ E=E(x,t)~uy,oùE(x,t)=E0cos(ωt−kx).
Ce champestconsidéré commeuniformeàl’échellede|r|etàcelledel’élémentdevolumeδτ.
Enfin,nousnotonsW(r)lepotentield’interactionentrelesdeuxélémentsinteractifsd’une
entitépolarisable.
PartieII :Effetnonlinéaired’ordredeux–Doublementdefréquence.
L’optique classiquereposesurlalinéaritédelaréponsedu milieuauchampélectrique.Lorsque
k~ Ekatteintune certaineproportion du champélectriqueintra–entitépolarisable,propreau
milieu,celui-cinerépond pluslinéairement.Levecteurpolarisation n’estalorsplusunefonction
linéairedu champélectrique.Nousaborderonsceteffetenapportantdescorrectionsaumodèlede
polarisationlinéairedécritprécédemmentetconstruitsurlepotentield’interaction,harmonique,
W2(r)≡1
2mω2
0r2.
II.AOrdresdegrandeur.
4.Proposerun ordredegrandeurdu champélectriqueintra-atomique(notéE⋆).
5.Ilapparaîtqueleseffetsnonlinéairesdeviennentobservablespourdeschampsélectriques
avoisinant10−3E⋆.Unlaser (pulsé),depuissance 10 kW,focalisésurunesurface de100 µm2
permettrait-il d’oberverdetelseffets?
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X Physique B PC 2012 — Énoncé 4/7
II.BComposantesdelapolarisation.
ÉcrivonsledéveloppementW3(r)du potentielW(r), limitéàl’ordretrois,souslaforme:
W3(r)=W2(r)(1+αr
L)oùW2(r)=1 2mω2
0r2(soitW(r)=W3(r)+o(r3)) .(4)
Leparamètreαestpositifetinférieuràl’unité.
6.Untelpotentielpermettrait-il demodéliserl’interaction noyau–nuagepourlemodèle
adoptéàlaquestion(1),maishorsdu domainelinéaire?
7.Écrireleprincipefondamentaldeladynamique(PFD)appliquéàlaparticule effective
(m,q),soumiseàlaforce d’interactionetàl’action del’onde électromagnétique(onla
supposeraplacée enx=0).
8.Nousrecherchonsunesolutionr(t)del’équation précédentesouslaformed’un développe-
menten puissancesdeα, limitéau premierordre:
r(t)=a1cos(ωt)+α{a0+a2cos(2ωt)}.(5)
a)ÉcrirelePFDdéveloppéjusqu’au premierordrepar rapport àα(soit,α1).
b)Enconsidérantsuccessivementlestermesd’ordreα0etα1,exprimera1puisa0eta2.
c)Auvu delaformedu potentiel, justifierlesignedea0.
d)Exprimerlapolarisationetl’écriresouslaforme:
P(t)=ε0χLE0cos(ωt)−α3(ε0χLE0)2
4P⋆{1+Hcos(2ωt)}.(6)
ExpliciterχL(fonction deω),quidéfinitlasusceptibilitélinéairedu milieu, le coeffi-
cientP⋆enfonction deN,Letq,etenfinHenfonction deωetω0.
e)Esquisserl’alluredel’évolution del’amplitude(P2ω)delacomposanterelativeàla
pulsation2ω,delapolarisationP,enfonction deω.Commenterce tracé.
f)Miller(1963)écrivitP2ωsouslaforme:
P2ω=¶∆χ2
L(ω)χL(2ω)©(ε0E0)2,(7)
etil établitquele coefficient∆variaitassez peu d’un matériauàl’autre(utilisédansce
domaine).Préciserl’intérêtpratiquede cettepropriété.Sanscalcul, indiquercomment
accéderàformedeladépendance de∆avec lesdonnéesdu problème.Proposerune
relation plausible.
g)Lemilieuest traverséparlefaisceau d’un laser (Nd-YAG)delongueurd’ondeλ=1064
nm(procheinfrarouge).Qu’attendons-nousà observeràsasortie?
II.CIntensitédel’ondedefréquencedouble.
Nousnousproposonsdedéterminerl’intensitédel’onde,depulsation2ω,àlasortied’un
cristald’épaisseurb(selonladirection depropagation~ux).L’apparition de cetteonden’est
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X Physique B PC 2012 — Énoncé 5/7
sensiblequesi lesvitessesdephasedesondesdepulsationsωet2ωsontidentiques(condition
dited’accord dephase).En pratique,cette condition peutêtresatisfaite en utilisantun cristal
anisotrope.Nous supposeronsicisimplementχL(ω)=χL(2ω)(ce quin’estpasenaccordavec
lerésultatdelaquestion(3)).
Considérantmaintenantl’ensembledespointsdu milieu,nousdevonsrestituerladépendance
spatiale,omiseàl’échelledeδτ.Lapolarisations’écrira alorsP(x,t)=P(ωt−kx).
Pourun milieu polarisable etdansle contextedenotre étude, l’équation depropagation du
champélectriques’écrit:
∂2E
∂x2−1 c2
∂2E
∂t2=µ0
∂2P
∂t2.(8)
Unesolution del’équation(8),restreinteauxcomposantesharmoniquesωet2ω,est recherchée
souslaforme:
E(x,t)=E1(x)cos(ωt−kx)+E2(x)sin{2(ωt−kx)},(9)
avec unepolarisations’écrivant:
P(x,t)=ε0χLE(x,t)+2ε0DE2(x,t).(10)
Sousl’hypothèse
d2Ei
dx2≪k2|Ei|, lesamplitudesE1etE2vérifientlesystèmed’équations
différentielles:
dE1
dx=−KE1E2,
dE2
dx= +KE2
1,
(11)
avec k=ω
c√εretoùK=ωD c√εr
etεr=1+χL.
9.ExprimerlescomposantesR1(x)etR2(x)desvecteursdePoynting,moyennées surla
périodedu fondamental, pourchacunedesdeuxondesdepulsationsωet2ω.
10.Établirquelesystèmed’équations(11)estcompatibleavec laconservation del’énergie
électromagnétique.
Interpréterce résultatdansle contextedenotre étude.
11.Déterminerl’équation différentielledontlafonctionE2estsolution.
12.ExprimerE2(b)enfonction deE1(0)≡E0.
13.Exprimerlerapport R2(b)/R1(0)et représentersonévolutionenfonction deKbE0.Ana-
lyserce résultat.
14.Calculerl’ordredegrandeurdu rapport R2(b)/R1(0)pourun cristald’épaisseurb=0,5cm,
éclairéparun laser (pulsé)depuissance 1MW,delongueurd’ondede1064 nmdanslevide,
etdesection defaisceau de2mm2.
Données:εr≃2,3etD≃5,0×10−13 m·V−1.
15.Enconstruisantunelongueurcaractéristiquedevariation delafonctionE2,vérifierque
l’hypothèseassociée ausystèmed’équations(11)estsatisfaite(pourlesdonnéesprécé-
dentes).
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