Université François Rabelais de Tours Département de Mathématiques Td 5 : Endomorphismes des espaces euclidiens Algèbre Semestre 4 Exercice 1 Soit E = Mn (R), où n ∈ N∗ , muni du produit scalaire : hA, Bi = Tr(t A.B). Déterminer l’adjoint f ∗ de l’endomorphisme f de E dans les deux cas suivants : 1. f (A) =tA. tA + A 2. f (A) = 2 3. f (A) = M.A où M est une matrice fixée de E. Solution. Soit (A, B) ∈ Mn (R)2 et λ ∈ R. On rappelle que Tr(t A) = Tr(A), Tr(λA) = λ Tr(A) et Tr(AB) = Tr(BA). 1. Soient (A, B) ∈ Mn (R)2 . On a hA, f (B)i = hA, t Bi = Tr(t At B) = Tr(t (BA)) = Tr(BA) = Tr(AB) = Tr(t (f (A))B) = hf (A), Bi et donc l’adjoint de f est f . 2.Soient (A, B) ∈ Mn (R)2 . On a tB +B i 2t B+B t = Tr( A ) 2 1 = Tr(t At B) + Tr(t AB) 2 1 = Tr(BA) + Tr(t AB) 2 1 = Tr(AB) + Tr(t AB) 2 tA + A = Tr( B) 2 = hf (A), Bi hA, f (B)i = hA, et donc l’adjoint de f est f . 3. On a hA, f (B)i = hA, M Bi = Tr(t AM B) = Tr(t (t M A)B) = hf ∗ (A), Bi où f ∗ (A) = t M A. Exercice 2 Soient f et g des endomorphismes symétriques d’un espace euclidien (E, h., .i). Prouver l’équivalence : (g ◦ f est symétrique) ⇔ (g ◦ f = f ◦ g). Solutions. On suppose que g ◦ f est symétrique. Pour tout x, y ∈ E on a hx, g ◦ f (y)i = hg ◦ f (x), yi. De plus, comme f et g sont symétriques, on a hx, g ◦ f (y)i = hg ∗ (x), f (y)i = hf ∗ ◦ g ∗ (x), yi = hf ◦ g(x), yi. Ceci étant vrai pour tout x, y, on a f ◦ g = g ◦ f . Réciproquement, si g ◦ f = f ◦ g alors pour tout couple (x, y) ∈ E 2 , on a hx, g ◦ f (y)i = h(g ◦ f )∗ (x), yi = hf ∗ ◦ g ∗ (x), yi = hf ◦ g(x), yi = hg ◦ f (x), yi. Ainsi g ◦ f est symétrique. Exercice 3 Soit f un endomorphisme d’ un espace euclidien (E, h., .i). 1. Prouver l’équivalence des quatre assertions suivantes : (a) f ∗ = −f ; (b) ∀x ∈ E, hx, f (x)i = 0 ; (c) ∀(x, y) ∈ E 2 , hf (x), yi = −hx, f (y)i ; (d) la matrice représentant f dans une base orthonormale de E est antisymétrique. Un endomorphisme f vérifiant l’une de ces quatre propositions est dit antisymétrique. On note A (E) l’ensemble des endomorphismes antisymétriques de E. 2. Etablir que A (E) est un s.e.v. de L (E), en donner sa dimension. 3. Prouver que le spectre d’un endomorphisme antisymétrique de E est soit ∅ soit réduit à {0}. En déduire qu’un endomorphisme antisymétrique non nul de E n’est jamais diagonalisable. 4. Soit f ∈ A (E). Prouver que : Im(f ) = (ker(f ))⊥ . Solution. On va établir que (a) =⇒ (b) =⇒ (c) =⇒ (d). (a) =⇒ (b). On suppose que f ∗ = −f . Soit x ∈ E. On a : hx, f (x)i = hf ∗ (x), xi = h−f (x), xi = −hx, f (x)i. Ainsi, hx, f (x)i = 0. (b) =⇒ (c). Soient x, y ∈ E. D’après (b), on a 0 = hf (x + y), x + yi = hf (x), xi + hf (x), yi + hf (y), xi + hf (y), yi | {z } | {z } =0 d’après (b) =0 d’après (b) Ainsi, hf (x), yi = −hx, f (y)i. (c) =⇒ (d). Soit B = (bi,j ) la matrice de f dans une base orthonormale (e1 , . . . , en ). On a f (ej ) = n X hf (ej ), ei iei et donc bi,j = hf (ej ), ei i. i=1 Or bi,j = hf (ej ), ei i = −hej , f (ei )i = −bj,i d’où le résultat. (d) =⇒ (a). La matrice B ∗ de f ∗ dans une base orthonormale est la transposée de la matrice B de f dans cette même base. La matrice de f étant antisymétrique, on a B ∗ = t B = −B et donc f = −f ∗ . 2. L’endomorphisme nul est évidemment dans A (E). Soient f, g ∈ A (E) et λ ∈ R. On a alors (f + λg)∗ = f ∗ + λg ∗ = −f − λg = −(f + λg) et donc f + λg ∈ A (E). Ainsi, A (E) est bien un espace vectoriel. 3. Soit λ une valeur propre (s’il en existe) de f ∈ A (E) et x un vecteur propre associé (par définition x 6= 0). On a alors 0 = hf (x), xi = λhx, xi et comme hx, xi > 0 on a nécessairement λ = 0. Ainsi, f ne peut avoir que 0 comme valeur propre. 4. On sait que dim(Im f ) = dim E − dim ker f dim ker f ⊥ = dim E − dim ker f. et Ainsi pour montrer l’égalité demandé, il suffit de montrer une inclusion. Soit y ∈ Im f et z ∈ ker f . Il existe x ∈ E tel que f (x) = y. On a hy, zi = hf (x), zi = hx, f ∗ (z)i = −hx, f (z)i = −hx, 0E i = 0R . On a donc y ∈ ker f ⊥ et Im f ⊂ ker f ⊥ . Exercice 4 Z 1 Soit E = R2 [X] muni du produit scalaire : hP, Qi = P (t).Q(t)dt. 0 A tout P de E, on associe le polynôme : f (P ) = (X 2 − X)P 00 + (2X − 1)P 0 = ((X 2 − X)P 0 )0 . 1. Prouver que f est un endomorphisme symétrique de E. 2. Déterminer la matrice A représentant f dans la base canonique B0 de E. Qu’en déduisez-vous pour B0 ? Solution. On va montrer que pour tout P, Q ∈ R2 [X], on a hf (P ), Qi = hP, f (Q)i. On a par intégration par partie : Z 1 hf (P ), Qi = ((t2 − t)P 0 )0 (t)Q(t)dt 0 1 Z 1 = (t2 − t)P 0 (t)Q(t) − (t2 − t)P 0 (t)Q0 (t)dt 0 Z =− 0 1 (t2 − t)P 0 (t)Q0 t 0 et Z 1 P (t)((t2 − t)Q0 )0 (t)dt 0 1 Z 1 P 0 (t)(t2 − t)Q0 (t)dt = P (t)(t2 − t)Q0 (t) − hP, f (Q)i = 0 Z =− 1 0 (t2 − t)P 0 (t)Q0 (t)dt 0 d’où le résultat. 2. On a f (1) = 0 f (X) = 0 + (2X − 1) = 2X − 1 f (X 2 ) = 2(X 2 − X) + (2X − 1)2X = 6X 2 − 4X et donc 0 −1 0 A = 0 2 −4 . 0 0 6 La matrice A n’étant pas symétrique la base B0 n’est pas une base orthonormale pour le produit scalaire h·, ·i.