Td 5 : Endomorphismes des espaces euclidiens

Université François Rabelais de Tours
Département de Mathématiques
Td 5 : Endomorphismes des espaces euclidiens
Algèbre
Semestre 4
Exercice 1
Soit E = Mn (R), où n ∈ N∗ , muni du produit scalaire : hA, Bi = Tr(t A.B).
Déterminer l’adjoint f ∗ de l’endomorphisme f de E dans les deux cas suivants :
1. f (A) =tA.
tA + A
2. f (A) =
2
3. f (A) = M.A où M est une matrice fixée de E.
Solution. Soit (A, B) ∈ Mn (R)2 et λ ∈ R. On rappelle que Tr(t A) = Tr(A), Tr(λA) = λ Tr(A) et
Tr(AB) = Tr(BA).
1. Soient (A, B) ∈ Mn (R)2 . On a
hA, f (B)i = hA, t Bi
= Tr(t At B)
= Tr(t (BA))
= Tr(BA)
= Tr(AB)
= Tr(t (f (A))B)
= hf (A), Bi
et donc l’adjoint de f est f .
2.Soient (A, B) ∈ Mn (R)2 . On a
tB
+B
i
2t
B+B
t
= Tr( A
)
2
1
=
Tr(t At B) + Tr(t AB)
2
1
=
Tr(BA) + Tr(t AB)
2
1
=
Tr(AB) + Tr(t AB)
2 tA + A
= Tr(
B)
2
= hf (A), Bi
hA, f (B)i = hA,
et donc l’adjoint de f est f .
3. On a
hA, f (B)i = hA, M Bi
= Tr(t AM B)
= Tr(t (t M A)B)
= hf ∗ (A), Bi
où f ∗ (A) = t M A.
Exercice 2
Soient f et g des endomorphismes symétriques d’un espace euclidien (E, h., .i).
Prouver l’équivalence : (g ◦ f est symétrique) ⇔ (g ◦ f = f ◦ g).
Solutions. On suppose que g ◦ f est symétrique. Pour tout x, y ∈ E on a
hx, g ◦ f (y)i = hg ◦ f (x), yi.
De plus, comme f et g sont symétriques, on a
hx, g ◦ f (y)i = hg ∗ (x), f (y)i = hf ∗ ◦ g ∗ (x), yi = hf ◦ g(x), yi.
Ceci étant vrai pour tout x, y, on a f ◦ g = g ◦ f .
Réciproquement, si g ◦ f = f ◦ g alors pour tout couple (x, y) ∈ E 2 , on a
hx, g ◦ f (y)i = h(g ◦ f )∗ (x), yi = hf ∗ ◦ g ∗ (x), yi = hf ◦ g(x), yi = hg ◦ f (x), yi.
Ainsi g ◦ f est symétrique.
Exercice 3
Soit f un endomorphisme d’ un espace euclidien (E, h., .i).
1. Prouver l’équivalence des quatre assertions suivantes :
(a) f ∗ = −f ;
(b) ∀x ∈ E, hx, f (x)i = 0 ;
(c) ∀(x, y) ∈ E 2 , hf (x), yi = −hx, f (y)i ;
(d) la matrice représentant f dans une base orthonormale de E est antisymétrique.
Un endomorphisme f vérifiant l’une de ces quatre propositions est dit antisymétrique. On note A (E)
l’ensemble des endomorphismes antisymétriques de E.
2. Etablir que A (E) est un s.e.v. de L (E), en donner sa dimension.
3. Prouver que le spectre d’un endomorphisme antisymétrique de E est soit ∅ soit réduit à {0}.
En déduire qu’un endomorphisme antisymétrique non nul de E n’est jamais diagonalisable.
4. Soit f ∈ A (E). Prouver que : Im(f ) = (ker(f ))⊥ .
Solution. On va établir que (a) =⇒ (b) =⇒ (c) =⇒ (d).
(a) =⇒ (b). On suppose que f ∗ = −f . Soit x ∈ E. On a :
hx, f (x)i = hf ∗ (x), xi = h−f (x), xi = −hx, f (x)i.
Ainsi, hx, f (x)i = 0.
(b) =⇒ (c). Soient x, y ∈ E. D’après (b), on a
0 = hf (x + y), x + yi = hf (x), xi + hf (x), yi + hf (y), xi + hf (y), yi
| {z }
| {z }
=0 d’après (b)
=0 d’après (b)
Ainsi, hf (x), yi = −hx, f (y)i.
(c) =⇒ (d). Soit B = (bi,j ) la matrice de f dans une base orthonormale (e1 , . . . , en ). On a
f (ej ) =
n
X
hf (ej ), ei iei et donc bi,j = hf (ej ), ei i.
i=1
Or bi,j = hf (ej ), ei i = −hej , f (ei )i = −bj,i d’où le résultat.
(d) =⇒ (a). La matrice B ∗ de f ∗ dans une base orthonormale est la transposée de la matrice B de f
dans cette même base. La matrice de f étant antisymétrique, on a B ∗ = t B = −B et donc f = −f ∗ .
2. L’endomorphisme nul est évidemment dans A (E). Soient f, g ∈ A (E) et λ ∈ R. On a alors
(f + λg)∗ = f ∗ + λg ∗ = −f − λg = −(f + λg)
et donc f + λg ∈ A (E). Ainsi, A (E) est bien un espace vectoriel.
3. Soit λ une valeur propre (s’il en existe) de f ∈ A (E) et x un vecteur propre associé (par définition
x 6= 0). On a alors
0 = hf (x), xi = λhx, xi
et comme hx, xi > 0 on a nécessairement λ = 0. Ainsi, f ne peut avoir que 0 comme valeur propre.
4. On sait que
dim(Im f ) = dim E − dim ker f
dim ker f ⊥ = dim E − dim ker f.
et
Ainsi pour montrer l’égalité demandé, il suffit de montrer une inclusion. Soit y ∈ Im f et z ∈ ker f . Il
existe x ∈ E tel que f (x) = y. On a
hy, zi = hf (x), zi = hx, f ∗ (z)i = −hx, f (z)i = −hx, 0E i = 0R .
On a donc y ∈ ker f ⊥ et Im f ⊂ ker f ⊥ .
Exercice 4
Z
1
Soit E = R2 [X] muni du produit scalaire : hP, Qi =
P (t).Q(t)dt.
0
A tout P de E, on associe le polynôme : f (P ) = (X 2 − X)P 00 + (2X − 1)P 0 = ((X 2 − X)P 0 )0 .
1. Prouver que f est un endomorphisme symétrique de E.
2. Déterminer la matrice A représentant f dans la base canonique B0 de E.
Qu’en déduisez-vous pour B0 ?
Solution. On va montrer que pour tout P, Q ∈ R2 [X], on a hf (P ), Qi = hP, f (Q)i. On a par intégration
par partie :
Z 1
hf (P ), Qi =
((t2 − t)P 0 )0 (t)Q(t)dt
0
1 Z 1
= (t2 − t)P 0 (t)Q(t) −
(t2 − t)P 0 (t)Q0 (t)dt
0
Z
=−
0
1
(t2 − t)P 0 (t)Q0 t
0
et
Z
1
P (t)((t2 − t)Q0 )0 (t)dt
0
1 Z 1
P 0 (t)(t2 − t)Q0 (t)dt
= P (t)(t2 − t)Q0 (t) −
hP, f (Q)i =
0
Z
=−
1
0
(t2 − t)P 0 (t)Q0 (t)dt
0
d’où le résultat.
2. On a
f (1) = 0
f (X) = 0 + (2X − 1) = 2X − 1
f (X 2 ) = 2(X 2 − X) + (2X − 1)2X = 6X 2 − 4X
et donc


0 −1 0
A = 0 2 −4 .
0 0
6
La matrice A n’étant pas symétrique la base B0 n’est pas une base orthonormale pour le produit
scalaire h·, ·i.