3. On a
hA, f(B)i=hA, MBi
= Tr(tAMB)
= Tr(t(tMA)B)
=hf∗(A), Bi
où f∗(A) = tMA.
Exercice 2
Soient fet gdes endomorphismes symétriques d’un espace euclidien (E, h., .i).
Prouver l’équivalence : (g◦fest symétrique) ⇔(g◦f=f◦g).
Solutions. On suppose que g◦fest symétrique. Pour tout x, y ∈Eon a
hx, g ◦f(y)i=hg◦f(x), yi.
De plus, comme fet gsont symétriques, on a
hx, g ◦f(y)i=hg∗(x), f(y)i=hf∗◦g∗(x), yi=hf◦g(x), yi.
Ceci étant vrai pour tout x, y, on a f◦g=g◦f.
Réciproquement, si g◦f=f◦galors pour tout couple (x, y)∈E2, on a
hx, g ◦f(y)i=h(g◦f)∗(x), yi=hf∗◦g∗(x), yi=hf◦g(x), yi=hg◦f(x), yi.
Ainsi g◦fest symétrique.
Exercice 3
Soit fun endomorphisme d’ un espace euclidien (E, h., .i).
1. Prouver l’équivalence des quatre assertions suivantes :
(a) f∗=−f;
(b) ∀x∈E, hx, f(x)i= 0 ;
(c) ∀(x, y)∈E2,hf(x), yi=−hx, f (y)i;
(d) la matrice représentant fdans une base orthonormale de Eest antisymétrique.
Un endomorphisme fvérifiant l’une de ces quatre propositions est dit antisymétrique. On note A(E)
l’ensemble des endomorphismes antisymétriques de E.
2. Etablir que A(E)est un s.e.v. de L(E), en donner sa dimension.
3. Prouver que le spectre d’un endomorphisme antisymétrique de Eest soit ∅soit réduit à {0}.
En déduire qu’un endomorphisme antisymétrique non nul de En’est jamais diagonalisable.
4. Soit f∈A(E). Prouver que : Im(f) = (ker(f))⊥.
Solution. On va établir que (a) =⇒(b) =⇒(c) =⇒(d).
(a) =⇒(b). On suppose que f∗=−f. Soit x∈E. On a :
hx, f(x)i=hf∗(x), xi=h−f(x), xi=−hx, f(x)i.
Ainsi, hx, f(x)i= 0.
(b) =⇒(c). Soient x, y ∈E. D’après (b), on a
0 = hf(x+y), x +yi=hf(x), xi
| {z }
=0 d’après (b)
+hf(x), yi+hf(y), xi+hf(y), yi
| {z }
=0 d’après (b)