Probl`
emes de Math´
ematiques
Endomorphismes normaux, sym´
etriques, ou antisym´
etriques
´
Enonc´e
Quatri`eme partie
Dans cette partie, fd´esigne un endomorphisme sym´etrique, antisym´etrique, normal ou orthogonal de E.
On montre qu’il existe une base orthonorm´ee de Eo`u la matrice de fest tr`es simple.
1. Dans cette question, fest un endomorphisme sym´etrique de E.
(a) Montrer qu’il existe dans Eune base orthonorm´ee form´ee de vecteurs propres de f.
La matrice de fdans cette base est donc diagonale.
Indication : proc´eder par r´ecurrence sur la dimension nde E.[ S ]
(b) En d´eduire que si Mest une matrice sym´etrique `a coefficients r´eels, alors il existe une matrice
orthogonale Ω telle que tΩMΩ soit diagonale. [ S ]
2. Dans cette question, fest un endomorphisme antisym´etrique de E.
Dans les questions (a),(b),(c),(d), on suppose de plus que fest un automorphisme.
D’apr`es (III2b), cela impose que nest pair. On pose donc n= 2m, avec m≥1.
(a) Montrer que f2est un endomorphisme sym´etrique bijectif de E.[ S ]
(b) Montrer que les valeurs propres de f2sont strictement n´egatives.
Indication : si uest vecteur propre de f2pour λ, prouver kf(u)k2=−λkuk2.[ S ]
(c) Soit λune valeur propre de f2. Il existe donc a > 0 tel que λ=−a2.
Soit ε1un vecteur propre de f2pour λ, que l’on choisit unitaire, et soit ε2=1
af(ε1).
Montrer ε1, ε2forment une base orthonorm´ee d’un plan Fstable par f.
Montrer que la matrice dans la base (ε1, ε2) de la restriction de f`a Fest 0−a
a0.[ S ]
(d) Montrer qu’il existe une base orthonorm´ee de Eo`u la matrice de fest diagonale par blocs de
taille 2, chaque bloc ´etant de la forme 0−µ
µ0, avec µ > 0. [ S ]
(e) On suppose maintenant que fest un endomorphisme antisym´etrique quelconque de E.
Montrer qu’il existe une base orthonorm´ee de Eo`u la matrice de fest diagonale par blocs
r´eduits `a (0) ou de la forme 0−µ
µ0, avec µ > 0. [ S ]
(f) ´
Enoncer pour les matrices antisym´etriques r´eelles un r´esultat analogue `a (IV1b). [ S ]
3. Dans cette question, fest un endomorphisme normal de E.
Soit f=g+hla d´ecomposition de fsur la somme directe L(E) = S(E)⊕ A(E).
On rappelle que g(sym´etrique) et h(antisym´etrique) commutent, que les sous-espaces propres de
gsont deux `a deux orthogonaux, et que Een est la somme directe.
(a) Soit λune valeur propre de l’endomorphisme sym´etrique g. Montrer que le sous-espace propre
Eλ(g) est stable par l’endomorphisme antisym´etrique h.[ S ]
(b) En appliquant (IV.2) aux restrictions de haux sous-espaces propres de g, montrer qu’il existe
une base orthonorm´ee de Eo`u la matrice de fest diagonale par blocs soit de taille 1, soit de
taille 2 et de la forme λ−µ
µ λ , avec λ∈Ret µ∈R+∗.[ S ]
4. Soit fdans O(E). Montrer qu’il existe une base orthonorm´ee de Eo`u la matrice de fest diagonale
par blocs ´egaux `a (1) ou (−1), ou de la forme cos θ−sin θ
sin θcos θ, avec 0 < θ < π.[ S ]
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