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Analyse I
Mohamed HOUIMDI
Université Cadi Ayyad
Faculté des Scieces-Semlalia
Département de Mathématiques
Version septembre 2014
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4,√6−√2 4
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4,√6+√2 4−√6−√2 4,√6+√2 4
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4,−√6+√2 4 √6−√2 4,−√6+√2 4
√2
2,−√2 2
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4,−√6−√2 4
(−1, 0) (1, 0)
(0, −1)
(0, 1)
Typesetting by L
A
T
E
X
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Table des matières
1 Nombres réels 3
1.1 Rappels sur les relations d’ordre .......................... 3
1.1.1 Définitions et exemples ........................... 3
1.1.2 Ensembles totalement ordonnés ....................... 7
1.1.3 Plus grand élément - Plus petit élément .................. 8
1.1.4 Borne supérieure - Borne inférieure ..................... 9
1.2 Insuffisance des nombres rationnels ......................... 12
1.3 Corps commutatifs totalement ordonnés ...................... 13
1.3.1 Définitions et propriètés de base ...................... 13
1.3.2 Valeur absolue dans un corps commutatif totalement ordonné . . . . . . 18
1.3.3 Corps commutatifs totalement ordonnés archimédiens .......... 19
Proprièté d’Archimède ............................ 19
Partie entière ................................. 20
Densité de Q................................. 22
1.3.4 Corps commutatifs totalement ordonnés archimidiens complets ..... 22
Intervalles dans un corps totalement ordonné archimédien ........ 22
Proprièté des intervalles emboités ...................... 23
1.4 Exercices ....................................... 27
2 Suites numériques 37
2.1 Définition et propriètés d’une suite ......................... 37
2.1.1 Définition et exemples ............................ 37
2.1.2 Suites majorées, suites minorées et suites bornées ............. 38
2.1.3 Croissance - Décroissance - Monotonie ................... 39
2.2 Convergence d’une suite ............................... 39
2.2.1 Définition et propriètés de la limite d’une suite .............. 39
2.2.2 Extention de la notion de limite ...................... 42
2.2.3 Opération sur les limites ........................... 43
Addition .................................... 43
Produit .................................... 43
Multiplcation par un scalaire ........................ 45
2.2.4 Lien entre suites réelles et suites complexes ................ 46
2.2.5 Ordre de Ret suite réelles .......................... 47
2.3 Critères de convergence ............................... 49
2.3.1 Suites monotones ............................... 49
2.3.2 Suites adjacentes ............................... 51
2.3.3 Suites de Cauchy ............................... 54
2.4 Sous-suites - Valeurs d’adérence - Théorème de Bolzano-Weierstrass ...... 55
2.4.1 Sous-suite ou suite extraite ......................... 55
2.4.2 Valeurs d’adhérence d’une suite ....................... 57
2.4.3 Théorème de Bolzano-Weierstrass ..................... 59
ii

2.5 Exercices ....................................... 61
3 Propriètés topologiques de la droite rélle 70
3.1 Ouvert - Fermé - Voisinage ............................. 70
3.2 Adhérence - Intérieur - Fermeture .......................... 72
3.2.1 Adhérence ................................... 72
3.2.2 Intérieur .................................... 75
3.2.3 Frontière ................................... 76
3.3 Exercices ....................................... 76
4 Fonctions numériques 79
4.1 Limite d’une fonction ................................ 79
4.1.1 Définition et propriètés de la limite d’une fonction ............ 79
4.1.2 Extention de la notion de limite ...................... 80
4.1.3 Opérations sur les limites .......................... 81
Somme .................................... 81
Multiplication par un scalaire ........................ 82
produit .................................... 83
Inverse et quotient .............................. 84
4.1.4 Caractérisation séquentielle de la limite .................. 86
4.1.5 Limite à droite - Limite à gauche ...................... 87
4.1.6 Limite et ordre de R............................. 87
4.1.7 Comparaison locale des fonctions ...................... 90
Fonction dominée par une autre fonction .................. 90
Fonction négligeable devant une autre fonction .............. 91
Notation de Landau ............................. 91
4.1.8 Fonctions équivalentes ............................ 92
4.2 Propriètés des fonctions continues .......................... 93
4.2.1 Continuité en un point ............................ 93
4.2.2 Prolongement par continuité ........................ 94
4.2.3 Opérations sur les fonctions continues ................... 95
4.2.4 Fonctions continues sur un intervalle .................... 95
Théorème des valeurs intermidiaires (T.V.I) ................ 95
Théorème du maximum ........................... 98
4.2.5 Théorème de la fonction monotone .....................100
4.2.6 Continuité uniforme .............................103
4.3 Dérivabilité ......................................106
4.3.1 Dérivabilité en un point - Fonction dérivée .................106
4.3.2 Dérivabilité à droite - Dérivabilité à gauche ................107
4.3.3 Opérations sur les fonctions dérivables ...................108
4.3.4 Dérivée de la composée - Dérivée de la réciproque ............109
4.3.5 Fonctions circulaires réciproques ......................111
Fonction arc cosinus .............................111
Fonction arc sinus ..............................111
Fonction arc tangente ............................112
Page iii sur 177 Pr.Mohamed HOUIMDI

4.3.6 Fonctions hyperboliques - Fonctions hyperboliques réciproques . . . . . 113
Fonction cosinus hyperbolique et fonction argument cosinus hyperbolique113
Fonction sinus hyperbolique et fonction argument sinus hyperbolique . . 114
Fonction tangente hyperbolique et fonction argument tangente hyper-
bolique ...............................115
4.4 Dérivées des fonctions usuelles ...........................116
4.4.1 Dérivées d’ordre supérieur ..........................117
4.4.2 Extremums d’une fonction dérivable ....................118
4.4.3 Théorème de Rolle - Théorème des accroissements finis .........120
4.4.4 Sens de variation d’une fonction ......................124
4.4.5 Formules de taylor ..............................125
4.5 Développents limités .................................128
4.5.1 Définition et propriètés élémentaires ....................128
4.5.2 Opération sur les développements limités .................131
Somme et multiplication par un scalaire ..................131
Produit ....................................131
Développent limité d’une fonction composée ................132
Quotient de deux développents limités ...................134
4.5.3 Développents limités usuels au voisinage de 0...............137
4.5.4 Utilisation des développements limités ...................138
Recherche d’équivalent simple - Calcul de limites .............138
Caractérisation d’extremums ........................139
Position d’une courbe par rapport à une tangente .............140
4.5.5 Développents limités généralisés ......................142
Développents limités généralisés au voisinage d’un point de R......142
Développents limités généralisés au voisinage de l’infini .........143
Recherche d’asymptotes obliques ......................144
4.6 Fonctions convexes ..................................147
4.6.1 Définition de la convexité ..........................147
4.6.2 Continuité et dérivabilité des fonctions convexes .............148
4.6.3 Caractérisation de la convexité .......................150
4.6.4 Quelques inégalités de convexité ......................152
Inégalité de la tangente ...........................152
Inégalité de Jensen ..............................152
Inégalités des moyennes arithmétique et géométrique ...........154
Inégalité de Hölder ..............................154
Inégalité de Minkowski ............................155
4.7 Exercices .......................................156
4.7.1 Limites - Continuité .............................156
4.7.2 Dérivabilité ..................................164
4.7.3 Théorème de Rolle ..............................166
4.7.4 Théorème des accroissements finis .....................169
4.7.5 Formules de taylor - Développents lmités .................171
4.7.6 Fonctions convexes ..............................173
Page 1 sur 177 Pr.Mohamed HOUIMDI

4.7.7 Equations fonctionnelles ...........................174
Page 2 sur 177 Pr.Mohamed HOUIMDI