fichier comp 6197mts n 15

Chapitre 3 n Limites n 57
© éditions Belin, 2012.
Limites
3
Ouverture
Les premières notions de limites sont celles asso-
ciées aux suites développées dans le chapitre
précédent. Le premier exemple de détermina-
tion d’un nombre par une méthode de segments
emboîtés est vraisemblablement l’approximation
de l’aire d’un cercle donnée dans le livre 12 des Élé-
ments d’Euclide. Cette approximation n’est qu’un
cas particulier de « La méthode d’exhaustion »,
sans doute imaginée par Eudoxe, que l’on prati-
qua très largement jusqu’au xviie siècle : aucune
formulation précise de limite n’était alors utilisée.
Fermat obtient par exemple, par ce procédé d’enca-
drement, l’aire limitée par la courbe y = xn, avec n
entier, et les droites verticales x = a et x = b.
Cette absence de notion précise de limite pour
de telles études ne posait pas de réel problème…
jusqu’au moment où les mathématiciens envisa-
gèrent un problème très différent, effleuré dans
l’Antiquité : la détermination des tangentes à
une courbe.
Pour les Grecs, une tangente à une courbe en
un point est une droite qui passe par le point
et qui « à son voisinage » laisse la courbe d’un
même côté. Grâce aux segments emboîtés, ils
déterminent les tangentes aux coniques et même
celles à la spirale d’Archimède.
C’est à nouveau Fermat qui, en 1636, reprend de
manière systématique le problème des tangentes
aux courbes y = xn, avec n entier, mais cette fois en
utilisant des coordonnées. Il est alors confronté à
des quotients du type Dy/Dx et il pratique à nou-
veau la méthode d’exhaustion ; on s’aperçut
également que sa méthode s’appliquait à d’autres
courbes (par exemple y = sinx). À la même époque,
Galilée et Kepler trouvaient, avec des quotients
analogues, la notion de vitesse instantanée et d’ac-
célération. Tous se confrontaient à un fait irritant au
moment de calculer de tels quotients le numérateur
et le dénominateur s’annulent… Il était temps de se
pencher sur ce problème et l’ouvrage Analyse des
infiniment petits du Marquis de l’Hospital de 1696
donne un aperçu assez complet des dilemmes des
mathématiciens de l’époque.
En fait, même plus tard au xviiie siècle, personne
ne savait dire ce qu’était une limite sans utiliser le
concept intuitif de « rapprochement » et la lecture
de l’article « Limite » de d’Alembert dans l’Encyclo-
pédie (1784) est révélatrice de ces tâtonnements…
Ce n’est qu’au début du xixe siècle que les défi-
nitions « modernes » se sont précisées et le
Résumé des leçons données à l’École Royale
Polytechnique sur le Calcul Infinitésimal (1823)
par Augustin-Louis Cauchy contient, enfin, une
définition de « limite », mais pas encore avec nos
fameux e !
Réponse à la question : pour un corps qui s’éloi-
gnerait indéfiniment de la Terre, on remarque
que le dénominateur de la formule de la pesan-
teur tendrait lui aussi vers l’infini. On verra dans
ce chapitre que, dans ce cas là, la pesanteur tend
vers zéro. Dans le cas où le corps se situerait au
centre de la Terre, le dénominateur s’approche-
rait de zéro et on verra dans ce chapitre que,
dans ce cas là, la pesanteur tend vers l’infini.
Vérifier ses acquis
1 a. Vrai. b. Faux, par exemple (–1)n. c. Vrai.
2 1. a. et b. 2. a. b. et d.
3. a. c. et d. 4. c.
5. c. 6. b.
3 a. Les racines de P sont −1 et 3.
b. P est négatif à l’intérieur des racines et positif
à l’extérieur donc P(−2), P(4), P(−1,01) sont posi-
tifs et P(1), P(2), P(−0,99) sont négatifs.
4 a. lim
n
n
Æ
2, donc par minoration
lim
n
n
u
Æ
.
b. lim ()
n
n
Æ
--2, donc par majoration
lim
n
n
u
Æ
-.
c. lim lim
nn
nn
ÆÆ
-
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜
11
0, donc d’après le théo-
rème des gendarmes lim
n
n
u
Æ
0.
5 1. f est dérivable comme fonction rationnelle
sur son ensemble de définition et pour tout
x > 1, ¢-
-
fx
x
() 4
12. Comme f′(x) < 0 sur
]1 ; +∞[, f est décroissante sur ]1 ; +∞[.

58 n Chapitre 3 n Limites
© éditions Belin, 2012.
2. a. fx
x
()-
-
24
1
, donc f(x) – 2 > 0 sur
]1 ; +∞[, ainsi la courbe  se situe au-dessus de
la droite  sur l’intervalle ]1 ; +∞[.
b. PM = f(x) –2.
c. On conjecture que la distance PM s’approche
de 0 lorsque x devient grand.
Activités d’introduction
Activité 1
a. @ fichier GeoGebra corrigé disponible sur
www.libtheque.fr/mathslycee
b. La suite (un) est définie par
un = 0,2n3 – 2n2 – 10 = nnn
33
02
21
0
,--
Ê
Ë
Áˆ
¯
˜.
Or lim
n
n
Æ
3 et lim
,,
nnn Æ--
Ê
Ë
Áˆ
¯
˜02 210
02
3
donc, par limite de produit, lim
n
n
u
Æ
.
La suite (un) tend vers +∞ donc tout intervalle
ouvert de la forme ]A ; +∞[ contient tous les
termes de la suite à partir d’un certain rang.
c. Les valeurs f(x) semblent devenir très grandes
lorsque x devient grand.
d. lim ()
x
fx
Æ
 si tout intervalle ouvert de la
forme ]A ; +∞[ contient f(x) pour x assez grand.
f. Pour A = 80 on lit m = 12,8, pour A = 100 on
lit m = 13,2, pour A = 150 on lit m = 14,1, pour
A = 200 on lit m = 14,8. On peut ainsi déterminer
une valeur m quelque soit A. Pour l’étude de la
limite de f en plus l’infini, cela n’a d’intérêt que
pour de « grandes » valeurs de A.
Activité 2
1
un
n
-
140 30
05
11
5, , or lim ,
n
n
Æ
-05115
donc, par limite de quotient et de somme, on
obtient l = 140. On peut en déduire que l’indice
du prix de l’immobilier aux États-Unis devrait se
stabiliser vers 140.
2
a. @ fichier GeoGebra corrigé disponible sur
www.libtheque.fr/mathslycee
b. On conjecture que la distance MN se rap-
proche de 0 lorsque x devient grand. On ne peut
avoir MN = 0.
c. Sur [30 ; +∞[ on a 30
051150 ,x
-
, donc
f(x) > 140 et MN = 30
05
11
5, x
-
. Or
lim ,
x
x
Æ
-05115, donc par limite de
quotient, lim lim(() )
xx
fx
ÆÆ -
MN =140 0.
On ne peut avoir MN = 0, car le quotient
30
05
11
5, x
-
ne s’annule jamais.
Activité 3
1
a. ux
x
() 48. b. fX X() .
c. gx
x
() 48. d. g(x) = f(u(x)).
2
a.
Calculatrice TI Calculatrice Casio
b. Non, car si le réel a appartient à l’intervalle
]−2 ; 0[ le réel b est strictement négatif donc sa
racine carrée c n’existe pas et si a = 0 alors le réel
b n’existe pas.
c.
x−10 −100 −1 000 −10 000
g(x) à 10−3 près 1,789 1,980 1,998 2
d. Le tableau précédent permet de conjecturer
que la limite de g en moins l’infini est 2.
e. lim () lim
xx
ux x
Æ-Æ-
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜484 et
lim () lim
XX
fX X
ÆÆ
44
42
, donc
lim () lim
xx
gx
x
Æ-Æ-
48
2
.
3
a.
Saisir(a) ;
b =
a
;
c = 4 + 8
b
;
Afficher(c) ;

Chapitre 3 n Limites n 59
© éditions Belin, 2012.
b. Pour une même valeur de départ, les résul-
tats obtenus avec les deux algorithmes diffèrent.
Par exemple pour a = 2, le premier algorithme
retourne 2,83 alors que le second retourne 9,66
donc f(u(2)) ≠ u(f(2)).
Par ailleurs le second algorithme ne fonctionne
que pour tout réel a strictement positif alors que
le premier fonctionne lorsque a ≤ −2 ou a > 0.
c. u(f(x)) = 48
x
. Cette fonction est définie sur
]0 ; +∞[ donc on ne peut étudier sa limite en
moins l’infini.
Travaux pratiques
1TP Algorithmique 1 Limites en l’infini des
fonctions polynômes
et rationnelles
Partie 1
1
a. Les nombres A[i] sont les coefficients du
polynôme.
b. Les lignes rouges de l’algorithme effectuent le
calcul de l’image par le polynôme de 10p.
c. L’algorithme renvoie les images par le poly-
nôme des réels 102, 103,…, 1010.
2
a. Non, car nous sommes en présence de la
forme indéterminée « ∞ – ∞ ».
b. L’algorithme précédent permet de conjecturer
la limite en +∞ d’un polynôme car il renvoie les
images de très grandes valeurs par ce polynôme.
@ Le fichier Algobox corrigé est disponible sur
www.libtheque.fr/mathslycee
On conjecture que lim ()
x
Px
Æ
, lim ()
x
Qx
Æ
-,
lim ()
x
Rx
Æ
, lim ()
x
Sx
Æ
- et lim ()
x
Tx
Æ
.
c. La limite en plus l’infini d’un polynôme semble
dépendre de son terme de plus haut degré.
Règle : la limite d’un polynôme en +∞ est égale à
la limite en +∞ de son terme ou monôme de plus
haut degré.
3
Un polynôme (non nul) de degré n s’écrit
P(x) = anxn + an–1xn–1 + … + a1x + a0 où a0,…, an
sont des réels tels que an est non nul.
En factorisant par le terme anxn, on obtient
Px ax a
ax
a
ax
a
ax
nnn
nn
n
n
n
()¥º ¥¥
Ê
Ë
Áˆ
¯
--
1
11
1
11
10˜˜.
Or par limite de somme on a :
lim
x
n
nn
nnn
a
ax
a
ax
a
ax
Æ
--
¥º¥ ¥
Ê
Ë
Áˆ
¯
˜1111
11
10
11
donc lim () lim
xx
nn
Px ax
ÆÆ
.
4
On a de même :
lim ...
x
n
nn
nnn
a
ax
a
ax
a
ax
Æ-
--
¥ ¥¥
Ê
Ë
Áˆ
¯
1111
11
10˜˜ 
1
donc lim () lim
––xx
nn
Px ax
Æ Æ
.
Règle : la limite d’un polynôme en l’infini est
égale à la limite en l’infini de son terme ou
monôme de plus haut degré.
Partie 2
1
@ Le fichier Algobox corrigé est disponible
sur www.libtheque.fr/mathslycee
2
Règle : la limite d’une fonction rationnelle en
plus l’infini est égale à la limite en plus l’infini
du quotient de ses termes ou monômes de plus
haut degré.
Une fonction rationnelle non nulle s’écrit
Fx aaxa
xa
x
bbxb
xb
x
nn
n
n
() º
 º
01 22
01 2
2, où n et m sont
deux entiers naturels et a0,…, an, b0,…, bm sont
des réels tels que an et bm sont non nuls.
En factorisant le numérateur par le terme anxn et le
dénominateur par le terme bmxm, on obtient F(x) =
ax a
ax
a
ax
a
ax
b
nnn
nn
nnn
m
1111
11
10
¥ ¥¥
Ê
Ë
Áˆ
¯
˜
--
...
xx b
bx
b
bx
b
bx
mm
mm
m
m
m
1111
11
10
¥ ¥¥
Ê
Ë
Áˆ
¯
˜
--
...
.
Or
lim ...
x
n
nn
n
n
n
a
ax
a
ax
a
ax
Æ
--
¥ ¥¥
Ê
Ë
Áˆ
¯
1111
11
10˜˜ 
1
et
lim ...
x
n
mm
m
m
m
b
bx
b
bx
b
bx
Æ
--
¥ ¥¥
Ê
Ë
Áˆ
¯
1111
11
10˜˜ 1,
donc lim () lim
xx
nn
n
n
Fx ax
bx
ÆÆ
.
La règle énoncée et la démonstration faite dans
cette question s’étendent à l’étude de la limite en
moins l’infini.

60 n Chapitre 3 n Limites
© éditions Belin, 2012.
2TP Tice 1 Étude d’une famille de fonctions
1
a. @ Le fichier GeoGebra corrigé est dispo-
nible sur www.libtheque.fr/mathslycee
b. Seul le point de coordonnées (0 ; 10) semble
appartenir à toutes les courbes n.
c. Pour tout entier naturel n pair, la courbe n
semble symétrique par rapport à l’axe des ordon-
nées.
d. – La courbe 1 semble admettre la droite
d’équation y = 0 pour asymptote horizontale et
les droites d’équations x = –1 et x = 1 pour asymp-
totes verticales.
– La courbe 2 semble admettre la droite d’équa-
tion y = 1 pour asymptote horizontale et les
droites d’équations x = −1 et x = 1 pour asymp-
totes verticales.
– Pour tout entier n ≥ 3, la courbe 1 semble
admettre les droites d’équations x = −1 et x = 1
pour asymptotes verticales.
2
a. Soient m et n deux entiers naturels non
nuls tels que m > n.
Pour tout réel x différent de −1 et 1, fn(x) = fm(x)
€-
-- -
€
€- 
€
-
x
x
x
x
xx
xx
x
nm
nm
nmn
n
10
1
10
1
10
0
22
()
carrest différent de 1e
t1
x
x
–
.€0
Les courbes n et m ont donc pour seul point
commun le point d’abscisse 0 et d’ordonnée
fn(0) = 10.
b. Pour tout x de R−{–1 ; 1}, le réel –x appartient
aussi à R−{–1 ; 1} et
fx x
x
x
x
fx
n
nn
n
() ()
()
()
-
--
--- -
10
1
10
1
22 , car n étant
pair, on a (−x)n = xn.
Pour tout point M de la courbe n de coordonnées
(x, fn(x)), son symétrique M′ par rapport à l’axe
des ordonnées a pour coordonnées (−x, fn(x)) ;
or M′ appartient à n car ses coordonnées s’écri-
vent aussi (−x, fn(−x)). Donc lorsque n est pair, la
courbe n est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées.
c. • fx x
x
12
1
1
()-
-
, donc d’après le TP Algorith-
mique 1, lim () lim lim
xxx
fx x
xx
ÆÆ Æ
12
10 et de
même lim ()
x
fx
Æ-
10, donc l’axe des abscisses est
asymptote horizontale à la courbe 1 en plus et
moins l’infini.
• fx x
x
2
2
2
1
1
()-
-
, donc d’après le TP Algorithmique
1, lim () lim lim
xxx
fx x
x
x
ÆÆ Æ
22
10 et de même
lim ()
–x
fx
Æ
20, donc la droite d’équation y = 1 est
asymptote horizontale à la courbe 2 en plus et
moins l’infini.
• Pour n entier supérieur ou égal à 3,
lim () lim lim
xnx
n
x
n
fx x
x
x
ÆÆ Æ
-
22, donc les
courbes n ne possèdent pas d’asymptotes
horizontales.
• Pour n
Υ
*, fx x
x
n
n
()-
-
10
1
2.
lim()
x
nn
x
Æ
-
-
-
1
10 11
09
et lim
()
x
x
x
Æ
-
1
1
2
10
,
donc par limite de quotient lim ()
x
x
n
fx
Æ
-
1
1
.
De même, lim
()
x
x
x
Æ
-
-
1
1
2
10
donc par limite de
quotient lim ()
x
x
n
fx
Æ 1
1
.
La droite d’équation x = 1 est donc asymptote
verticale aux courbes n.
lim ()()
–x
nn
xn
Æ---
-
-
110 1109
11
si estpair
si nn estimpair
Ì
Ó
Ô
et lim
()
x
x
x
Æ-
-
-
-
1
1
2
10
, donc par limite de quotient
lim ()
x
x
n
fx
Æ-
-
1
1
.
De même, lim
()
x
x
x
Æ-
-
-
1
1
2
10
, donc par limite de
quotient lim ()
x
x
n
fx
Æ-
-
-
1
1
La droite d’équation x = −1 est donc asymptote
verticale aux courbes n.
3
a. D’après l’étude des asymptotes, la seule
courbe n possédant une asymptote horizontale
autre que l’axe des abscisses est la courbe 2,
donc n = 2.
b. La fonction f2 est dérivable sur R−{–1 ; 1}
comme fonction rationnelle sur son ensemble de
définition et
fx xx xx
x
xx
x
2
22
22
22
21 10 2
1
20 2
1
¢-- -¥
-- -
() ()()
()
()
-
18
1
22
x
x()
.

Chapitre 3 n Limites n 61
© éditions Belin, 2012.
Comme sur R−{–1 ; 1}, (x2 – 1)2 > 0 le signe de
f′
2(x) est celui de 18x.
x–∞–1 0 1 +∞
Signe
de f′
2– – + +
Variations
de f2
1+∞ +∞ 1
–∞10 –∞
c. Pour tout réel x de R−{–1 ; 1},
fx x
xx
2
2
22
110
1
19
1
()- -
-
- -
-
.
Comme –9 < 0, le signe de f2(x) – 1 est l’opposé
de celui de x2 − 1, on a donc :
Sur ]−1 ; 1[, f2(x) – 1 > 0 et la courbe 2 se situe
au-dessus de la droite d’équation y = 1.
Sur ]–∞ ; −1[
»
]1 ; +∞[, f2(x) – 1 < 0 et la courbe 2
se situe en dessous de la droite d’équation y = 1.
Exercices
Maîtriser le cours
1 a. Vrai. b. Faux.
c. Faux, on peut prendre par exemple une fonc-
tion définie sur [100 ; +∞[ et m = 10.
d. Vrai. e. Vrai.
2 a. Vrai. b. Faux. c. Vrai. d. Faux.
3 a. Faux, par exemple si f est définie par
fx
x
()- 41
1
.
b. Vrai.
c. Faux, par exemple si f est définie par
fx
x
()
1
1
2.
4 a. lim ()
x
fx
Æ
- lorsque tout intervalle de la
forme ]–∞ ; A[ contient f(x) pour x assez grand.
b. lim ()
x
fx
Æ-
 lorsque tout intervalle de la
forme ]A ; +∞[ contient f(x) pour x négatif et
assez grand en valeur absolue.
c. lim ()
x
fx
Æ
2
lorsque tout intervalle ouvert
contenant 2 contient f(x) pour x assez grand.
d. lim ()
x
fx
Æ-
- lorsque tout intervalle de la
forme ]–∞ ; A[ contient f(x) pour x négatif et
assez grand en valeur absolue.
5 a. lim ()
x
fx
Æ
5
lorsque tout intervalle de la
forme ]A ; +∞[ contient f(x) pour x suffisamment
proche de 5.
b. lim ()
x
fx
Æ
5
lorsque tout intervalle ouvert
contenant 5 contient f(x) pour x assez grand.
c. lim ()
x
fx
Æ
-
5
lorsque tout intervalle de la
forme ]–∞ ; A[ contient f(x) pour x suffisamment
proche de 5.
d. lim ()
x
fx
Æ-
5
lorsque tout intervalle ouvert
contenant 5 contient f(x) pour x négatif et assez
grand en valeur absolue.
6 a. Faux. b. Faux. c. Vrai. d. Faux.
7 a. Faux. b. Vrai. c. Faux.
8 a. Faux. b. Vrai. c. Faux.
9 a. Si lim ()
x
fx
Æ
2 et lim ()
x
gx
Æ-
, alors
lim (())
–x
fgx
Æ
2.
b. Si lim ()
x
fx
Æ
1
0 et lim ()
x
gx
Æ
1
, alors
lim (())
x
fgx
Æ
0.
c. Si lim ()
x
fx
Æ
0, alors lim
x
fx
Æ
0
10
a. Vrai.
b. Faux, prendre par exemple fx
x
()
-
1
1
.
c. Vrai.
Appliquer les capacités attendues
12
a. x
xAxAx
xAA AA
22
22
110
04
2
4
2
€- 
€Œ --
˘
˚
˙
˙
È
Î
Í
Í»-
;;
˘
˚
˙
˙
È
Î
Í
Í
.
b. Pour tout réel A > 2, il existe un réel m (égal à
AA
-
24
2
) tel que si x > m, alors f(x) > A.
On en déduit que la limite de la fonction f en +∞
est +∞.
14
a. On conjecture que la limite de la fonction
f en +∞ est +∞.
0