MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+31 aoˆut 2014
PROGRAMME DE COLLE S02
NB : seules les emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees.
NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOM´
ETRIE
Notation alg´ebrique des nombres complexes
Th´eor`eme*.— Pour tout nombre complexe zC, il existe un couple de nombres eels (x, y)R2,unique, tel que
z=x+iy
efinition : Le nombre r´eel xest appel´e la partie eelle de zet not´e Re z,yest appel´e la partie imaginaire de z
et not´e Im z. Le nombre complexe xiy est appel´e le conjugu´e de z, on le note ¯z.
Th´eor`eme*.— Pour tout couple (z, z)C2de nombres complexes z=zRe z=Re z
Im z=Im z
Proposition.— Formules du binˆome et identit´e g´eom´etrique —.
(a, b)C2,nN, an+1 bn+1 = (ab)×
n
X
k=0
akbnket (a+b)n=
n
X
k=0 n
kakbnk
Illustration :le plan complexe, interpr´etation eom´etrique de l’addition des nombres complexes.
efinition : Soit zCun nombre complexe. Le nombre z¯zest un nombre r´eel positif. On appelle module de z, et
on note |z|le nombre r´eel positif |z|=z¯z=Re z2+Im z2.
Nombres complexes complexes de module 1
efinition : Soit θR, on appelle exponentielle imaginaire d’angle θ, et on note ele complexe :
e= cos θ+isin θ
Proposition*.— Repr´esentation des nombres complexes de module 1
Pour tout nombre complexe z∈ U, il existe θRtel que z=e ,
Pour tout couple (θ, θ)R2de eels, e=eθθ[2π]
Th´eor`eme.— R`egles de calcul pour l’exponentielle imaginaire —. Pour tout couple (θ, θ)R2de r´eels
1. ei0= 1 3. e= 1/e=e
2. ei(θ+θ)=e×e4. ei(θθ)=e /e
Th´eor`eme.— Formules d’Euler et Moivre —. Pour tout eel θRet tout entier relatif nZ,
Euler cos(θ) = 1
2e+eMoivre en=einθ
sin(θ) = 1
2ieecos θ+isin θ)n= cos() + isin()
Applications `a la trigonom´etrie
Lemme.— Factorisation d’une somme d’exponentielles imaginaires —. Soit (θ1, θ2)R2, alors
e1+e2= 2 cos θ1θ2
2eiθ1+θ2
2e1e2= 2isin θ1θ2
2eiθ1+θ2
2.
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Proposition*.— formules de trigonom´etrie —. Formules d’addition, de duplication, de transformation de produit
en somme , de sommes en produit (cf programme de S01bis)
Savoir-faire.— lin´eariser un produit de fonctions trigonom´etriques et l’op´eration inverse en utilisant les formules de
trigo et en utilisant les formules d’Euler, Moivre et Newton.
Notation exponentielle d’un nombre complexe non nul
Proposition.— Soit zCun nombre complexe non nul. Il existe un couple de r´eels (ρ, θ)R+×Rtel que
z=ρe=ρcos θ+isin θ
Cette ´ecriture est appel´ee forme exponentielle ou trigonom´etrique du nombre complexe non nul z.
efinition : Si zC, s’´ecrit z=ρe , n´ecessairement ρ=|z|. On appelle un argument de z, et on note arg (z)
tout nombre r´eel tel que z=|z|eiarg (z).
Th´eor`eme*.— Pour tout couple (z, z)C×Cde nombres complexes non nuls :
(z=z)• |z|=|z|
arg (z)arg (z) [2π]
Illustration :interpr´etation g´eoetrique de la multiplication des nombres complexes.
efinition : Soit z=x+iy en notation alg´ebrique. On d´efinit l’exponentielle de zpar ez=ex+iy =exeiy =
excos y+isin y).
Racines ni`emes d’un nombre complexe
Th´eor`eme.— Soit nN,n2. Notons ωn= exp 2
n. L’ensemble Undes racines ni`emes de l’unit´e est :
Un={ωk
n;kZ}={1, ωn,...,ωn1
n}
Illustration :repr´esentation des racines ni`emes de 1.
Th´eor`eme.— Racines ni`emes de a—. Soit nN,n2 et aC. On note ωn= exp(2
n). Soit ζ0une solution
particuli`ere de l’´equation zn=a, par exemple ζ0=n
p|a|eiarg a
n. Alors
S={ζ0, ζ0ωn, ζ0ω2
n,..., ζ0ωn1
n}={n
p|a|eiarg a
n,n
p|a|eiarg a+2π
n,n
p|a|eiarg a+4π
n,..., n
p|a|eiarg a+2(n1)π
n}
Autrement dit, on obtient toutes les racines ni`emes de aCen multipliant l’une d’entre elles par toutes les racines
ni`emes de l’unit´e.
Savoir-faire.— calcul des racines carees en notation alg´ebrique.
Application aux ´equations polynomiales
Proposition.— Soient aC,b, et cC. Posons ∆ = b24ac et d´esignons par δl’une des racines carr´ees (complexes)
de ∆. Alors l’´equation du deuxi`eme degr´e az2+bz +c= 0 poss`ede deux solutions (distinctes ou confondues) qui sont
donn´ees par :
z1=bδ
2az2=b+δ
2a
De plus, pour tout zC, nous avons la factorisation : az2+bz +c=a(zz1)(zz2).
Corollaire*.— Soit (σ, ρ)C2. Les solutions dans C2du syst`eme d’´equations z1+z2=σ
z1×z2=ρsont les couples de
complexes dont les coordonn´ees sont les solutions de l’´equation polynomiale z2σz +ρ= 0.
Savoir-faire.— Pour les ´equation polynomiales de degr´e sup´erieur `a 3,
trouver une solution particuli`ere (´evidente ou en suivant les indications de l’´enonc´e),
effectuer un changement d’inconnue pour se ramener `a une ´equation de plus bas degr´e
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