PROGRAMME DE COLLE S02 NOMBRES COMPLEXES ET

MPSI du lycée Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr
semaine du 3+31 août 2014
PROGRAMME DE COLLE S02
NB :
seules les démonstrations des théorèmes, propositions étoilées ne sont pas exigées.
NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE
Notation algébrique des nombres complexes
Théorème*.— Pour tout nombre complexe z ∈ C, il existe un couple de nombres réels (x, y) ∈ R2 , unique, tel que
z = x + iy
Définition : Le nombre réel x est appelé la partie réelle de z et noté Re z, y est appelé la partie imaginaire de z
et noté Im z. Le nombre complexe x − iy est appelé le conjugué de z, on le note z̄.
Théorème*.— Pour tout couple (z, z ′ ) ∈ C2 de nombres complexes z = z ′ ⇐⇒
• Re z = Re z ′
• Im z = Im z ′
Proposition.— Formules du binôme et identité géométrique —.
∀(a, b) ∈ C2 , ∀n ∈ N,
an+1 − bn+1 = (a − b) ×
n
X
ak bn−k et
(a + b)n =
n X
n k n−k
a b
k
k=0
k=0
Illustration :le plan complexe, interprétation géométrique de l’addition des nombres complexes.
Définition : Soit z ∈ C un nombre complexe.
Le nombre z z̄ est un nombre réel positif. On appelle module de z, et
√
√
on note |z| le nombre réel positif |z| = z z̄ = Re z 2 + Im z 2 .
Nombres complexes complexes de module 1
Définition : Soit θ ∈ R, on appelle exponentielle imaginaire d’angle θ, et on note eiθ le complexe :
eiθ = cos θ + i sin θ
Proposition*.— Représentation des nombres complexes de module 1
• Pour tout nombre complexe z ∈ U, il existe θ ∈ R tel que z = eiθ ,
• Pour tout couple (θ, θ′ ) ∈ R2 de réels, eiθ = eiθ ⇐⇒ θ ≡ θ′ [2π]
′
Théorème.— Règles de calcul pour l’exponentielle imaginaire —. Pour tout couple (θ, θ′ ) ∈ R2 de réels
1. ei0 = 1
′
′
2. ei(θ+θ ) = eiθ × eiθ
3. e−iθ = 1/eiθ = eiθ
′
′
4. ei(θ−θ ) = eiθ /eiθ
Théorème.— Formules d’Euler et Moivre —. Pour tout réel θ ∈ R et tout entier relatif n ∈ Z,
Euler
cos(θ)
=
sin(θ)
=
1 iθ
e + e−iθ
2
1 iθ
e − e−iθ
2i
Moivre
eiθ
n
cos θ + i sin θ)n
= einθ
= cos(nθ) + i sin(nθ)
Applications à la trigonométrie
Lemme.— Factorisation d’une somme d’exponentielles imaginaires —. Soit (θ1 , θ2 ) ∈ R2 , alors
eiθ1 + eiθ2 = 2 cos
θ1 − θ2 i θ1 +θ2
e 2
2
eiθ1 − eiθ2 = 2i sin
5
θ1 − θ2 i θ1 +θ2
e 2 .
2
Proposition*.— formules de trigonométrie —. Formules d’addition, de duplication, de transformation de produit
en somme , de sommes en produit (cf programme de S01bis)
Savoir-faire.— linéariser un produit de fonctions trigonométriques et l’opération inverse en utilisant les formules de
trigo et en utilisant les formules d’Euler, Moivre et Newton.
Notation exponentielle d’un nombre complexe non nul
Proposition.— Soit z ∈ C⋆ un nombre complexe non nul. Il existe un couple de réels (ρ, θ) ∈ R+⋆ × R tel que
z = ρeiθ = ρ cos θ + i sin θ
Cette écriture est appelée forme exponentielle ou trigonométrique du nombre complexe non nul z.
Définition : Si z ∈ C⋆ , s’écrit z = ρeiθ , nécessairement ρ = |z|. On appelle un argument de z, et on note arg (z)
tout nombre réel tel que z = |z|ei arg (z) .
Théorème*.— Pour tout couple (z, z ′ ) ∈ C⋆ × C⋆ de nombres complexes non nuls :
•
|z| = |z ′ |
(z = z ′ ) ⇐⇒
• arg (z) ≡ arg (z ′ ) [2π]
Illustration :interprétation géométrique de la multiplication des nombres complexes.
Définition : Soit z = x + iy en notation algébrique. On définit l’exponentielle de z par ez = ex+iy = ex eiy =
ex cos y + i sin y).
Racines nièmes d’un nombre complexe
Théorème.— Soit n ∈ N, n ≥ 2. Notons ωn = exp
2iπ
n
. L’ensemble Un des racines nièmes de l’unité est :
Un = {ωnk ; k ∈ Z} = {1, ωn , . . . , ωnn−1 }
Illustration :représentation des racines nièmes de 1.
Théorème.— Racines nièmes de a —. Soit n ∈ N, n ≥ 2 et a ∈ C⋆ . On note ωn = exp( 2iπ
n ). Soit ζ0 une solution
p
arg a
particulière de l’équation z n = a, par exemple ζ0 = n |a| ei n . Alors
p
p
p
p
arg a+2(n−1)π
arg a
arg a+2π
arg a+4π
n
}
S = {ζ0 , ζ0 ωn , ζ0 ωn2 , . . . , ζ0 ωnn−1 } = { n |a| ei n , n |a| ei n , n |a| ei n , . . . , n |a| ei
Autrement dit, on obtient toutes les racines nièmes de a ∈ C⋆ en multipliant l’une d’entre elles par toutes les racines
nièmes de l’unité.
Savoir-faire.— calcul des racines carrées en notation algébrique.
Application aux équations polynomiales
Proposition.— Soient a ∈ C⋆ , b, et c ∈ C. Posons ∆ = b2 −4ac et désignons par δ l’une des racines carrées (complexes)
de ∆. Alors l’équation du deuxième degré az 2 + bz + c = 0 possède deux solutions (distinctes ou confondues) qui sont
données par :
−b + δ
−b − δ
z1 =
z2 =
2a
2a
De plus, pour tout z ∈ C, nous avons la factorisation : az 2 + bz + c = a(z − z1 )(z − z2 ).
z1 + z2 = σ
z1 × z2 = ρ
complexes dont les coordonnées sont les solutions de l’équation polynomiale z 2 − σz + ρ = 0.
2
2
Corollaire*.— Soit (σ, ρ) ∈ C . Les solutions dans C du système d’équations
Savoir-faire.— Pour les équation polynomiales de degré supérieur à 3,
• trouver une solution particulière (évidente ou en suivant les indications de l’énoncé),
• effectuer un changement d’inconnue pour se ramener à une équation de plus bas degré
6
sont les couples de