Année 2011-2012 Lycée Gustave Eiel PTSI 2 Formule fondamentale : Formulaire sur les nombres complexes Module d'un nombre complexe : Puissance de i : i2 = −1 1 i = −i i i4k = 1 4k+2 = −1 i i4k+1 = i 4k+3 =− i Si z = a + ib √où (a, b) ∈ R2 , alors(|z| = a2 + b2 ≥ 0 |Re(z)| ≤ |z| |Im(z)| ≤ |z| k∈Z i i i i i i Parties réelle et imaginaire : i i i i i ex+iy = ex eiy ei(θ+θ ) = eiθ eiθ eiθ + e−iθ Re iIm Re et Im Im Re Re Re Re Re Im Im Im Im Im Re i Im Im i Re 0 i cos(θ) = einθ = (eiθ )n eiθ = eiθ ⇐⇒ θ = θ0 [2π] |ez | = eRe(z) 2 ez+z 0 Im(z) z + z 0 = z̄ + z¯0 z¯n = z n z = − z̄ 1 (z) = (z − z̄) 2 Im i ~ i O − Im(z) ee i i i ez = ez̄ az 2 + bz + c = 0 (E) δ∈C δ2 = ∆ tel que : On pose : ∆ = b − 4ac.Soit Si ∆ = 0, alors l'ensemble des solutions de (E) est {− 2ab } (racine double) Si ∆ 6= 0, alors l'ensemble dessolutions de (E) est { −b2a+ δ , −b2a− δ } (racine simple) 2 |z| arg(z) i Im(z) = 0 ⇐⇒ z = z̄ Re(z) = 0 ⇐⇒ z = −z̄ M (z) × 0 = z 0 ( iθ )−1 = eiθ = e−iθ eiθ − e−iθ sin(θ) = 2 cos(nθ) + sin(nθ) = (cos(θ) + sin(θ))n e 0 Équation du second degré Caractérisation nombres réels et imaginaires purs : z ∈ R ⇐⇒ z ∈ R ⇐⇒ arg(zz 0 ) = arg(z) + arg(z 0 ) arg(z −1 ) = arg(z̄) = − arg(z) arg(z n ) = n arg(z) Exponentielle complexe : Re Conjugaison : z = 0 ⇐⇒ |z| = 0 |z|2 = z.z̄ z̄ 1 = 2 z |z| |z + z 0 | ≤ |z| + |z 0 | Argument d'un nombre complexe : U = {z ∈ C / |z| = 1} ∀z ∈ U z −1 = z̄ ∈ U ∀z ∈ C∗ z ∈ U ⇐⇒ z −1 = z̄ z = (z) + (z) z = z 0 ⇐⇒ (z) = (z 0 ) (z) = (z0 ) 0 0 (z + z ) = (z) + (z ) (λz) = λ (z) λ∈R (z + z 0 ) = (z) + (z 0 ) (λz) = λ (z) ( z) = − (z) ( z) = (z) Re |z n | = |z|n , n ∈ Z Nombre complexe de module 1 : i (a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) (a1 + b1 ).(a2 + b2 ) = (a1 .a2 − b1 .b2 ) + (a1 .b2 + b1 .a2 ) (a + b).(a − b) = a2 + b2 a b 1 (a + b)−1 = 2 − 2 = 2 (a − b) a + b2 a + b2 a + b2 2 2 z1 + z2 = (z1 + z2 )(z1 − z2 ) z̄¯ = z z.z 0 = z̄.z¯0 λz = λz̄, λ ∈ R 1 (z) = (z + z̄) 2 |z̄| = |z| |z.z 0 | = |z|.|z 0 | Calculs élémentaires : i |z| ≥ 0 |z| = OM Re(z) ~ az 2 + bz + c = a z − z1 et z2 sont les solutions de b 1) z1 + z2 = − a × M 0 (z̄) 1 −b + δ −b − δ z− 2a 2a (E) c 2) z1 z2 = a si, et seulement si, Racine nème Similitude e zn = 1 Si z0n = ω, alors : zn = ω e e 2ikπ n 2ikπ ⇐⇒ ∃k ∈ Z z = z0 n ⇐⇒ ∃k ∈ {0, . . . , n − 1} z = z0 Si ω = reiθ , alors : − Soient → v (z0 ), Ω(ω), θ ∈ R et λ ∈ R. Représentation complexe : − Translation de vecteur → v : z 0 = z + z0 Rotation de centre Ω et d'angle θ : z0 = eiθ (z − ω) + ω Homotétie de centre Ω et de rapport λ : z0 = λ(z − ω) + ω Similitude directe : Soit (a, b) ∈ C∗ × C. Soit F la similitude directe de représentation complexe : z 0 = az + b 1) Si a = 1, alors F la translation de vecteur d'axe b. 2) Si a 6= 1, alors F est la similitude de centre Ω(ω), d'angle θ et de rapport λ avec ω = aω + b, θ = arg(a)[2π] et λ = |a|. De plus, la similitude F est la composée de la rotation d'angle θ et de l'homothétie de rapport λ de centre Ω. 2ikπ ⇐⇒ ∃k ∈ Z z = n ⇐⇒ ∃k ∈ {0, . . . , n − 1} z = e e 2ikπ n √ θ+2kπ ⇐⇒ ∃k ∈ Z z = n r i n √ θ+2kπ ⇐⇒ ∃k ∈ {0, . . . , n − 1} z = n r i n zn = ω Géométrie : e Barycentre : Soient A1(a1), . . . , An (an ) n points. n X Soient (αk )nk=1 ∈ Rn tel que : αk 6= 0. k=1 On note z0 l'axe du barycentre de (A1, α1 ), . .., (An , αn ). n X Alors : z0 = αk ak k=1 n X αk k=1 Soient A(a), B(b) et C(c). → − − Soient → v (z) et v 0 (z 0 ). Distances : − k→ v k = |z| AB = |b − a| Angles : z0 [2π] z −−→ −→ c−a [2π] (AB, AC) = arg b−a → −0 → − v v → − → − v v0 → − − (→ v , v 0 ) = arg et et sont colinéaires si, et seulement si, zz ∈ R 0 sont orthogonaux si, et seulement si, zz ∈ iR 0 2