Nombres complexes - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017
Programme de colle n°2 de la semaine n°5 du 26/09 au 02/10
Nombres complexes et brevet de trigonométrie 1
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Généralités
1. Écriture algébrique : z = x + iy avec x et y réels. On dit que z est l’affixe du point M de
coordonnées (x, y).
L’écriture algébrique de l’inverse z1 , est
x−iy
x2 +y 2
(on a multiplié par le conjugué).
2. Conjugué : z = x − iy. Propriétés.
3. Module : |z|2 = x2 + y 2 . Propriétés, lien avec le conjugué : zz = |z|2 .
Le module d’un produit (resp. quotient) est le produit (resp. quotient) des modules.
(⋆) Inégalité triangulaire, |z + z ′ | 6 |z| + |z ′ | . Cas d’égalité, caractérisation de cercles et de
disques à l’aide du module.
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Écriture exponentielle
1. Groupe des nombres complexes de module 1 noté U. On pose eiθ = cos θ + i sin θ. On montre
que U = {eiθ | θ ∈ R}.
Formules d’Euler : cos θ =
eiθ + e−iθ
2
et
sin θ =
eiθ − e−iθ
.
2i
2. Arguments d’un nombre complexe non nul
Si z ∈ C, alors il existe des réels r > 0 et θ tels que : z = reiθ (écriture exponentielle). On
note M le point d’affixe z. Alors
• le nombre r est le module de |z| avec |z| = OM .
• le réel θ est appelé un argument de z (pour z 6= 0), noté arg(z), c’est une mesure de
−−→
→
l’angle orienté (−
u , OM ).
Remarques :
• le nombre complexe 0 n’admet pas d’arguments
• un nombre complexe non nul admet une infinité d’arguments qui diffèrent d’un multiple
de 2π. On appelle argument principal l’unique argument de ] − π, π].
• Attention, si z = reiθ avec r < 0, alors r n’est pas le module c’est −r et arg z = θ + π
mod 2π.
3. Propriétés algébriques de «exponentielle iθ» :
′
′
eiθ eiθ = ei(θ+θ )
et
eiθ
i(θ−θ ′ )
.
′ = e
iθ
e
Formule de Moivre : (eiθ )n = einθ donc (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ .
On en déduit les propriétés multiplicatives de l’argument :
arg(zz ′ ) = arg(z) + arg(z ′ ) et
arg
z
= arg z − arg z ′ .
z′
4. Quelques utilisations de l’écriture exponentielle :
• C’est une écriture adaptée aux problèmes conduisant à des produits
ou des quotients de
√
complexes. Par exemple, donner l’écriture algébrique de (1 + i 3)2014 .
• Elle permet de retrouver les formules d’addition de cosinus et sinus en prenant les parties
réelles et imaginaires de ei(a+b) = eia eib .
Attention, les formules usuelles de trigonométrie sont à connaître et doivent
se redémontrer très rapidement à partir des formules d’addition de cos et
de sin. On pourra se reporter au brevet de trigonométrie..
1. On pourra consulter le document à l’adresse suivante desaintar.free.fr/resumes/brevet_de_trigonometrie.pdf.
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Quelques applications «algébriques»
1. Technique de l’angle moitié : 1 + eiθ = eiθ/2 (e−iθ/2 + eiθ/2 ) = eiθ/2 2 cos(θ/2).
2. Polynômes de Tchebychev : écriture de cos nx comme un polynôme en cos x. Par exemple,
cos(3x) = 4 cos3 x − 3 cos x.
3. Linéarisation d’expressions trigonométriques (on transforme un produit en une somme). C’est
utile par exemple pour calculer des intégrales ou des dérivées n-ièmes.
Pn
4. Sommes trigonométriques : (⋆) simplification de
k=0 cos(kx) (attention au cas x ≡ 0
mod 2π).
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Résolutions d’équations algébriques
1. Racines n-ièmes d’un nombre complexe :
On dit que r ∈ C est une racine n-ième d’un nombre complexe a si rn = a.
(a) Les racines n-ièmes de l’unité (du nombre 1) sont donc les n solutions complexes 2 de
l’équation z n = 1 :
(⋆)
Un = {e
i2kπ
n
|
k ∈ J0, n − 1K} .
Exemples : U2 = {±1}, U3 = {1, j, j 2 }, U4 = {±1, ±i}. Cas des racines cubiques de
l’unité : connaître sans hésiter les relations
j=e
i2π
3
, j 3 = 1, j = j 2
et 1 + j + j 2 = 0 .
La somme des racines n-ièmes de l’unité est nulle (pour n > 2), interprétation en terme
de centre de gravité.
Remarque : les points ayant pour affixe les racines n-ièmes de l’unité forment un polygone
régulier de centre 0.
(b) Plus généralement, les racines n-ièmes d’un nombre complexe a = reiθ sont les n solutions de l’équation z n = a :
1
iθ
rne n e
i2kπ
n
,
k ∈ J0, n − 1K .
En particulier un nombre complexe, admet toujours une racine carrée (il y en a deux
qui sont opposées).
2. Équations du second degré : écriture algébrique des racines carrées.
Relation coefficients racines : on retiendra que
(X − u)(X − v) = X 2 − (u + v) X + |{z}
uv = X 2 − SX + P .
| {z }
P
S
Ainsi en lisant les coefficients d’un polynôme, on lit la somme et le produit de ses racines.
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Géométrie
1. Sensibilisation à la notion de dictionnaire : correspondance entre les langages algébrique et
géométriques
En particulier,
zD − zC CD
zB − aA = AB
et (⋆) arg
zD − zC
zB − zA
−−→ −−→
= (AB, CD)
2. Pour cette démonstration de cours, on ne demandera pas à l’étudiant de montrer que ces solutions fournissent
bien n racines distinctes.
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(attention l’ordre des lettres est inversé). On en déduit que arg
zv
zu
→
→
= (−
u,−
v).
→
→
Ainsi deux vecteurs non nuls −
u et −
v sont colinéaires (resp.orthogonaux) ssi arg
(resp. arg zzuv = π2 [π]).
zv
zu
= 0[π]
2. Notion de centre de gravité d’un polygone A1 . . . An : c’est l’unique point G tel que
−−→ −−→
−−→ −
→
GA1 + GA2 + · · · + GAn = 0 .
G est un point d’équilibre ou point moyen, son affixe est la moyenne des affixes des sommets.
Cas du milieu I d’un segment [AB], zI =
zA +zB +zC
.
3
zA +zB
2
et du centre G d’un triangle ABC, zG =
3. Écriture complexe des similitudes directes.
Une similitude est une transformation qui conserve les rapports des distances. Elle est dite
directe lorsque qu’elle conserve en plus l’orientation des angles.
Exemples :
→
→
• translation de vecteur −
u : f (z) = z + a où a est l’affixe de −
u
• rotation de centre Ω(ω) et d’angle θ : f (z) − ω = eiθ (z − ω)
• homothétie de centre Ω et de rapport k > 0 : f (z) − ω = k(z − ω)
iπ
Application : ABC est équilatéral direct ssi c − a = e 3 (b − a).
Classification des similitudes directes : toute similitude directe f est de la forme f (z) = az + b
avec a, b ∈ C et a 6= 0.
• Si a 6= 1, f est une translation
• Sinon, f admet un point fixe ω et est de la forme f (z) − ω = keiθ (z − ω) où k = |a|
et θ = arg(a). C’est alors la composée de l’homothétie de centre Ω et de rapport k avec
la rotation de de centre Ω et d’angle θ.
Remarque : la symétrie orthogonale par rapport à l’axe des abscisses est codée par z 7→ z.
Ce n’est pas une similitude directe, elle renverse l’orientation des angles.
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Exponentielle complexe
Si z = x + iy, on pose ez = ex eiy .
Module, argument, propriété de morphisme, équation ez = a.