Nombres complexes - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 1
Programme de colle n°2 de la semaine n°5 du 26/09 au 02/10
Nombres complexes et brevet de trigonométrie 1
1 Généralités
1. Écriture algébrique : z=x+iy avec xet yréels. On dit que zest l’affixe du point Mde
coordonnées (x, y).
L’écriture algébrique de l’inverse 1
z, est x−iy x2+y2(on a multiplié par le conjugué).
2. Conjugué : z=x−iy. Propriétés.
3. Module : |z|2=x2+y2. Propriétés, lien avec le conjugué : zz =|z|2.
Le module d’un produit (resp. quotient) est le produit (resp. quotient) des modules.
(⋆)Inégalité triangulaire, |z+z′|6|z|+|z′|. Cas d’égalité, caractérisation de cercles et de
disques à l’aide du module.
2 Écriture exponentielle
1. Groupe des nombres complexes de module 1 noté U. On pose eiθ = cos θ+isin θ. On montre
que U={eiθ|θ∈R}.
Formules d’Euler : cos θ=eiθ + e−iθ
2et sin θ=eiθ −e−iθ 2i.
2. Arguments d’un nombre complexe non nul
Si z∈C, alors il existe des réels r>0 et θtels que : z=reiθ (écriture exponentielle). On
note Mle point d’affixe z. Alors
• le nombre rest le module de |z|avec |z|=OM.
• le réel θest appelé un argument de z(pour z6= 0), noté arg(z), c’est une mesure de
l’angle orienté (−→ u , −−→ OM).
Remarques :
• le nombre complexe 0 n’admet pas d’arguments
• un nombre complexe non nul admet une infinité d’arguments qui diffèrent d’un multiple
de 2π. On appelle argument principal l’unique argument de ] −π, π].
•Attention, si z=reiθ avec r < 0, alors rn’est pas le module c’est −ret arg z=θ+π
mod 2π.
3. Propriétés algébriques de «exponentielle iθ» :
eiθeiθ′=ei(θ+θ′)et eiθ
eiθ′= ei(θ−θ′).
Formule de Moivre : (eiθ)n=einθ donc (cos θ+isin θ)n= cos nθ +isin nθ .
On en déduit les propriétés multiplicatives de l’argument :
arg(zz′) = arg(z) + arg(z′) et arg z
z′= arg z−arg z′.
4. Quelques utilisations de l’écriture exponentielle :
• C’est une écriture adaptée aux problèmes conduisant à des produits ou des quotients de
complexes. Par exemple, donner l’écriture algébrique de (1 + i√3)2014.
• Elle permet de retrouver les formules d’addition de cosinus et sinus en prenant les parties
réelles et imaginaires de ei(a+b)= eiaeib.
Attention, les formules usuelles de trigonométrie sont à connaître et doivent
se redémontrer très rapidement à partir des formules d’addition de cos et
de sin. On pourra se reporter au brevet de trigonométrie..
1. On pourra consulter le document à l’adresse suivante desaintar.free.fr/resumes/brevet_de_trigonometrie.pdf.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 2
3 Quelques applications «algébriques»
1. Technique de l’angle moitié : 1 + eiθ = eiθ/2(e−iθ/2+ eiθ/2) = eiθ/22 cos(θ/2).
2. Polynômes de Tchebychev : écriture de cos nx comme un polynôme en cos x. Par exemple,
cos(3x) = 4 cos3x−3 cos x.
3. Linéarisation d’expressions trigonométriques (on transforme un produit en une somme). C’est
utile par exemple pour calculer des intégrales ou des dérivées n-ièmes.
4. Sommes trigonométriques : (⋆)simplification de Pn
k=0 cos(kx) (attention au cas x≡0
mod 2π).
4 Résolutions d’équations algébriques
1. Racines n-ièmes d’un nombre complexe :
On dit que r∈Cest une racine n-ième d’un nombre complexe asi rn=a.
(a) Les racines n-ièmes de l’unité (du nombre 1) sont donc les nsolutions complexes 2de
l’équation zn= 1 :
(⋆)Un={ei2kπ
n|k∈J0, n −1K}.
Exemples : U2={±1},U3={1, j, j2},U4={±1,±i}. Cas des racines cubiques de
l’unité : connaître sans hésiter les relations
j= ei2π
3, j3= 1,j=j2et 1 + j+j2= 0 .
La somme des racines n-ièmes de l’unité est nulle (pour n>2), interprétation en terme
de centre de gravité.
Remarque : les points ayant pour affixe les racines n-ièmes de l’unité forment un polygone
régulier de centre 0.
(b) Plus généralement, les racines n-ièmes d’un nombre complexe a=reiθ sont les nsolu-
tions de l’équation zn=a:
r1
neiθ nei2kπ n, k ∈J0, n −1K.
En particulier un nombre complexe, admet toujours une racine carrée (il y en a deux
qui sont opposées).
2. Équations du second degré : écriture algébrique des racines carrées.
Relation coefficients racines : on retiendra que
(X−u)(X−v) = X2−(u+v)
|{z }
S
X+uv
|{z}
P
=X2−SX +P.
Ainsi en lisant les coefficients d’un polynôme, on lit la somme et le produit de ses racines.
5 Géométrie
1. Sensibilisation à la notion de dictionnaire : correspondance entre les langages algébrique et
géométriques
En particulier,
zD−zC
zB−aA=CD AB et (⋆)arg zD−zC zB−zA= (−−→
AB, −−→ CD)
2. Pour cette démonstration de cours, on ne demandera pas à l’étudiant de montrer que ces solutions fournissent
bien nracines distinctes.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 3
(attention l’ordre des lettres est inversé). On en déduit que arg zv
zu= (−→
u , −→ v).
Ainsi deux vecteurs non nuls −→ uet −→ vsont colinéaires (resp.orthogonaux) ssi arg zv
zu= 0[π]
(resp. arg zv
zu=π 2[π]).
2. Notion de centre de gravité d’un polygone A1. . . An: c’est l’unique point Gtel que
−−→
GA1+−−→ GA2+···+−−→ GAn=−→ 0.
Gest un point d’équilibre ou point moyen, son affixe est la moyenne des affixes des sommets.
Cas du milieu Id’un segment [AB], zI=zA+zB
2et du centre Gd’un triangle ABC,zG=
zA+zB+zC
3.
3. Écriture complexe des similitudes directes.
Une similitude est une transformation qui conserve les rapports des distances. Elle est dite
directe lorsque qu’elle conserve en plus l’orientation des angles.
Exemples :
• translation de vecteur −→ u:f(z) = z+aoù aest l’affixe de −→ u
• rotation de centre Ω(ω) et d’angle θ:f(z)−ω= eiθ(z−ω)
• homothétie de centre Ω et de rapport k > 0 : f(z)−ω=k(z−ω)
Application : ABC est équilatéral direct ssi c−a= eiπ
3(b−a).
Classification des similitudes directes : toute similitude directe fest de la forme f(z) = az +b
avec a, b ∈Cet a6= 0.
• Si a6= 1, fest une translation
• Sinon, fadmet un point fixe ωet est de la forme f(z)−ω=keiθ(z−ω) où k=|a|
et θ= arg(a). C’est alors la composée de l’homothétie de centre Ω et de rapport kavec
la rotation de de centre Ω et d’angle θ.
Remarque : la symétrie orthogonale par rapport à l’axe des abscisses est codée par z7→ z.
Ce n’est pas une similitude directe, elle renverse l’orientation des angles.
6 Exponentielle complexe
Si z=x+iy, on pose ez= exeiy .
Module, argument, propriété de morphisme, équation ez=a.