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FONCTIONS POLYNOMES
ET SECOND DEGRE
1. Vocabulaire et définitions
Définition 1!: On appelle fonction polynôme toute fonction définie sur
pouvant s’écrire!:
xanxn+an−1xn−1+... +a1x+a0
avec n un entier naturel et
a0, a1, …, an n + 1 réels.
Remarques!:
i. On ordonne les polynômes suivant les puissances décroissantes de x.
ii. Un polynôme est toujours défini sur .
iii. La fonction définie sur par
x0
est la fonction polynôme nulle.
iv. Les fonctions constantes
xk
( )
, les fonctions affines
xax +b
( )
, les
fonctions puissances
xxn
( )
, sont des polynômes.
Exemples!:
i. La fonction P définie sur par!:
xx−1
( )
x−2
( )
x−3
( )
est un
polynôme. En effet, après développement!:
P(x)=x3−6x2+11x−6
.
ii. La fonction Q définie sur par!:
x
x2+1
( )
2x−1
( )
x2+1
est un
polynôme. En effet, après simplification, on a pour tout réel x!:
Q(x)=2x−1
.
iii. La fonction
h:xx2−1
x−1
n’est pas polynôme car elle n’est pas
définie sur .
Définition 2!: Unicité de la définition et degré.
Si P est un polynôme non nul, alors il existe un unique entier naturel n et (n +
1) réels uniques an, an-1, …, a1, a0 tels que!:
an ≠ 0 et
P(x)=anxn+an−1xn−1+... +a1x+a0
.
Cette écriture est unique!: on dit que f est un polynôme de degré n et de
coefficients an, an-1, …, a1, a0. On note degP = n.
Exemples!:
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i. Une fonction affine non constante
xax +b
, (a ≠ 0) est un
polynôme de degré 1.
ii. Une fonction constante non nulle est un polynôme de degré 0.
iii. Une fonction trinôme
xax 2+bx +c
, (a ≠ 0) est un polynôme de
degré 2.
iv. Toute fonction
xanxn
avec an ≠ 0 est un monôme de degré n.
Remarques!:
i. Le polynôme nul n’a pas de degré.
ii. Certains coefficients d’un polynôme non nul peuvent être nuls. Par exemple,
le polynôme
xx4+3x3+x
.
Théorème 1!: Deux polynômes non nuls sont égaux, si et seulement si, ils ont
même degré et si les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux.
Exemple!: Pour tout réel x,
ax 4+bx 3+cx 2+dx +e=1
2
x4+2x2−3x
⇔a=1
2, b=0, c=2 , d=−3 et e=0
Définition 3!: On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction
définie sur par!:
xax 2+bx +c,
où a, b et c sont des réels avec a ≠ 0.
Exemples!: La fonction
xx+1
( )
3−x−1
( )
3
définie sur est un
trinôme du second degré. En effet
x+1
( )
3−x−1
( )
3=6x2+2
.
La fonction
xx+1
( )
2
−x−1
( )
2
ne l’est pas.
Définition 4!: L’expression
ax 2+bx +c
est appelée trinôme du second degré.
2. Trinôme du second degré
2.1. Forme canonique
Soit
f:xax 2+bx +c
(a ≠ 0) un trinôme du second degré.
Pour tout réel x!:
ax 2+bx +c=a x 2+b
a
x+c
a
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
car a ≠ 0. Or on remarque que
x2+b
a
x
est le début de l’identité remarquable
x+b
2a
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
2
=x2+2×b
2a
x+b
2a
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
2
.
Donc, pour tout x réel,
1ère S Fonctions polynômes et second degré – H. Kerneïs

3
ax 2+bx +c=a x +b
2a
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
2
−b
2a
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
2
+c
a
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=a x +b
2a
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
2
−b2−4ac
4a2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
.
Cette écriture s’appelle la forme canonique du trinôme f.
Définition 5!: On appelle discriminant du trinôme
ax 2+bx +c
le réel, noté Δ,
défini par!:
Δ=b2−4ac
.
Remarque!: la forme canonique s’écrit alors
ax 2+bx +c=a x +b
2a
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
2
−Δ
4a2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
.
2.2. Variations et représentation graphique
Comme nous venons de le voir, le trinôme du second degré
f:xax 2+bx +c
(avec
a ≠ 0) peut aussi s’écrire sous la forme
f:xa x −
α
( )
2+
β
( )
. Ainsi f est une
fonction associée à la fonction
xx2
. La courbe représentative de la fonction f
s’obtient donc à partir de la parabole P d’équation y = x2 en effectuant une translation
de vecteur
α i + β j
(voir théorèmes 1 et 2 des Généralités sur les foncions) puis une
dilatation, ie une multiplication par a (voir théorème 3 des Généralités sur les foncions).
On obtient les variations suivantes!:
Si a > 0!:
x
−∞
−b
2a
+∞
+∞
+∞
f(x)
f−b
2a
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
Si a <0!:
x
−∞
−b
2a
+∞
f(x)
f−b
2a
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
−∞
−∞
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La représentation graphique de f dans un repère orthogonal est une parabole de
sommet
S−b
2a;f−b 2a
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
.
La droite d’équation
x=−b
2a
est un axe de symétrie de cette parabole.
On peut retenir que si a > 0, les branches de la parabole sont tournées vers le haut et
que si a < 0, alors les branches sont tournées vers le bas.
3. Equations du second degré et factorisation
3.1. Les cas particuliers
Définition 6!: Une équation du second degré à une inconnue x est une
équation qui peut s’écrire sous la forme!:
ax 2+bx +c=0,
où a, b et c sont des réels donnés, avec a ≠ 0.
Exemples!: Identifier les valeurs de a, b et c quand cela est possible.
3x2−7x+2=0
2x2−9=0
−x2+2x=0
4x−16 =0
x2−4+3x=2x2−x
Avant de se lancer dans la méthode générale de résolution des équations du second
degré, il convient de vérifier si l’équation proposée ne rentre pas dans le cadre des cas
particuliers qui sont bien plus rapides à résoudre.
On considère les cas comme étant particuliers quand l’équation n’admet pas de
solution, ou quand l’équation peut se ramener à un produit de facteurs après utilisation
d’un facteur commun évident ou d’une identité remarquable (les «!outils!» de
Seconde!!).
Exemples!: Résoudre, quand cela est possible, les équations suivantes!:
3x2+16 =0
5x2=25
x2+2x+1=0
4x2−6x+9=0
−x2+2x=0
x+3
( )
2=5x+3
( )
3.2. Méthode générale de résolution
Théorème 2!:
Méthode générale de résolution de l’équation
ax 2+bx +c=0,
avec a ≠ 0.
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i. Si Δ < 0 alors l’équation n’a pas de solution.
ii. Si Δ = 0 alors l’équation a une solution (dite racine double)!:
x0=−b
2a
.
iii. Si Δ > 0 alors l’équation a deux solutions distinctes!:
x1=−b− Δ
2a ; x2=−b+Δ 2a.
Remarque!: Les solutions sont appelées racines.
Preuve!: D’après la forme canonique vue en 2.1. résoudre
ax 2+bx +c=0,
avec a ≠ 0, revient à résoudre
x+b
2a
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
2
=Δ
4a2
.
i. Si Δ < 0, alors cette équation n’admet pas de solution
puisqu’un carré ne peut pas être strictement négatif.
ii. Si Δ = 0, alors
a x +b
2a
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
2
=0⇔x+b
2a
=0
. L’équation
admet donc une unique solution!dans :
x0=−b
2a
.
iii. Si Δ > 0, on peut factoriser en utilisant la troisième identité
remarquable!; on obtient!:
x+b
2a
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
2
=Δ
2a
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
2
⇔x+b
2a
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
2
−Δ
2a
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
2
=0
⇔x+b
2a
+Δ
2a
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟x+b
2a−Δ 2a
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=0
.
L’équation admet donc deux solutions distinctes!dans :
x1=−b− Δ
2a
et x2=−b+Δ
2a
.
Exemples!: Résoudre les équations suivantes!:
2x2−3x+5=0
3x2−x−4=0
x2+x+2=0
Remarques!:
i. Lorsque a et c sont de signes contraires, l’équation
ax 2+bx +c=0
admet
deux solutions distinctes.
ii. Lorsque l’équation
ax 2+bx +c=0
admet deux racines x1 et x2 alors!:
1ère S Fonctions polynômes et second degré – H. Kerneïs