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1ère S Fonctions polynômes et second degré – H. Kerneïs
FONCTIONS POLYNOMES
ET SECOND DEGRE
1. Vocabulaire et définitions
Définition 1 : On appelle fonction polynôme toute fonction définie sur 
pouvant s’écrire : x  a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a1 x + a 0 avec n un entier naturel et
a0, a1, …, an n + 1 réels.
Remarques :
i. On ordonne les polynômes suivant les puissances décroissantes de x.
ii. Un polynôme est toujours défini sur  .
iii. La fonction définie sur  par x  0 est la fonction polynôme nulle.
iv. Les fonctions constantes ( x  k ) , les fonctions affines ( x  ax + b ) , les
(
)
fonctions puissances x  x n , sont des polynômes.
Exemples :
i. La fonction P définie sur  par : x  ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) est un
polynôme. En effet, après développement : P(x ) = x 3 − 6x 2 + 11x − 6 .
ii. La fonction Q définie sur 
(x
par : x 
2
)
+ 1 ( 2x − 1)
x2 +1
polynôme. En effet, après simplification, on a pour tout réel x :
Q(x ) = 2x − 1 .
x2 −1
iii. La fonction h : x 
x −1
définie sur  .
est un
n’est pas polynôme car elle n’est pas
Définition 2 : Unicité de la définition et degré.
Si P est un polynôme non nul, alors il existe un unique entier naturel n et (n +
1) réels uniques an, an-1, …, a1, a0 tels que :
an ≠ 0 et P(x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a1 x + a 0 .
Cette écriture est unique : on dit que f est un polynôme de degré n et de
coefficients an, an-1, …, a1, a0. On note degP = n.
Exemples :
1
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i. Une fonction affine non constante x  ax + b , (a ≠ 0) est un
polynôme de degré 1.
ii. Une fonction constante non nulle est un polynôme de degré 0.
iii. Une fonction trinôme x  ax 2 + bx + c , (a ≠ 0) est un polynôme de
degré 2.
iv. Toute fonction x  a n x n avec an ≠ 0 est un monôme de degré n.
Remarques :
i. Le polynôme nul n’a pas de degré.
ii. Certains coefficients d’un polynôme non nul peuvent être nuls. Par exemple,
le polynôme x  x 4 + 3x 3 + x .
Théorème 1 : Deux polynômes non nuls sont égaux, si et seulement si, ils ont
même degré et si les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux.
Exemple : Pour tout réel x,
1
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = x 4 + 2x 2 − 3x
2
1
⇔ a = , b = 0, c = 2 , d = −3 et e = 0
2
Définition 3 : On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction
définie sur  par : x  ax 2 + bx + c , où a, b et c sont des réels avec a ≠ 0.
Exemples : La fonction x  ( x + 1) − ( x − 1)
3
3
définie sur  est un
trinôme du second degré. En effet ( x + 1) − ( x − 1) = 6x 2 + 2 .
3
3
La fonction x  ( x + 1) − ( x − 1) ne l’est pas.
2
2
Définition 4 : L’expression ax 2 + bx + c est appelée trinôme du second degré.
2. Trinôme du second degré
2.1. Forme canonique
Soit f : x  ax 2 + bx + c (a ≠ 0) un trinôme du second degré.
⎛
b
c⎞
Pour tout réel x : ax 2 + bx + c = a ⎜ x 2 + x + ⎟
⎝
a
a⎠
car a ≠ 0. Or on remarque que
2
2
⎛
⎛ b ⎞
b
b ⎞
b
x + x est le début de l’identité remarquable ⎜ x + ⎟ = x 2 + 2 × x + ⎜ ⎟ .
⎝
⎝ 2a ⎠
a
2a ⎠
2a
2
Donc, pour tout x réel,
2
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2
2
2
⎛⎛
⎛⎛
b ⎞ ⎛ b ⎞
c⎞
b ⎞
b 2 − 4ac ⎞
ax + bx + c = a ⎜ ⎜ x + ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎟ = a ⎜ ⎜ x + ⎟ −
⎟.
2a ⎠ ⎝ 2a ⎠
a⎠
2a ⎠
4a 2 ⎠
⎝⎝
⎝⎝
2
Cette écriture s’appelle la forme canonique du trinôme f.
Définition 5 : On appelle discriminant du trinôme ax 2 + bx + c le réel, noté Δ,
défini par : Δ = b 2 − 4ac .
Remarque : la forme canonique s’écrit alors
2
⎛⎛
b ⎞
Δ ⎞
2
ax + bx + c = a ⎜ ⎜ x + ⎟ − 2 ⎟ .
2a ⎠
4a ⎠
⎝⎝
2.2. Variations et représentation graphique
Comme nous venons de le voir, le trinôme du second degré f : x  ax 2 + bx + c (avec
(
)
a ≠ 0) peut aussi s’écrire sous la forme f : x  a ( x − α ) + β . Ainsi f est une
2
fonction associée à la fonction x  x 2 . La courbe représentative de la fonction f
s’obtient donc à partir de la parabole P d’équation y = x2 en effectuant une translation


de vecteur α i + β j (voir théorèmes 1 et 2 des Généralités sur les foncions) puis une
dilatation, ie une multiplication par a (voir théorème 3 des Généralités sur les foncions).
On obtient les variations suivantes :
Si a > 0 :
x
−∞
−
b
2a
+∞
f(x)
+∞
+∞
⎛ b ⎞
f ⎜− ⎟
⎝ 2a ⎠
Si a <0 :
x
−∞
−
b
2a
+∞
⎛ b ⎞
f ⎜− ⎟
⎝ 2a ⎠
f(x)
−∞
−∞
3
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La représentation graphique de f dans un repère orthogonal est une parabole de
⎛ b
⎛ b ⎞⎞
sommet S ⎜ − ; f ⎜ − ⎟ ⎟ .
⎝ 2a ⎝ 2a ⎠ ⎠
b
est un axe de symétrie de cette parabole.
2a
On peut retenir que si a > 0, les branches de la parabole sont tournées vers le haut et
que si a < 0, alors les branches sont tournées vers le bas.
La droite d’équation x = −
3. Equations du second degré et factorisation
3.1. Les cas particuliers
Définition 6 : Une équation du second degré à une inconnue x est une
équation qui peut s’écrire sous la forme :
ax 2 + bx + c = 0,
où a, b et c sont des réels donnés, avec a ≠ 0.
Exemples : Identifier les valeurs de a, b et c quand cela est possible.
3x 2 − 7x + 2 = 0
2x 2 − 9 = 0
−x 2 + 2x = 0
4x − 16 = 0
x 2 − 4 + 3x = 2x 2 − x
Avant de se lancer dans la méthode générale de résolution des équations du second
degré, il convient de vérifier si l’équation proposée ne rentre pas dans le cadre des cas
particuliers qui sont bien plus rapides à résoudre.
On considère les cas comme étant particuliers quand l’équation n’admet pas de
solution, ou quand l’équation peut se ramener à un produit de facteurs après utilisation
d’un facteur commun évident ou d’une identité remarquable (les « outils » de
Seconde !).
Exemples : Résoudre, quand cela est possible, les équations suivantes :
3x 2 + 16 = 0
5x 2 = 25
x 2 + 2x + 1 = 0
4x 2 − 6x + 9 = 0
−x 2 + 2x = 0
( x + 3)
2
= 5 ( x + 3)
3.2. Méthode générale de résolution
Théorème 2 :
Méthode générale de résolution de l’équation ax 2 + bx + c = 0, avec a ≠ 0.
4
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i. Si Δ < 0 alors l’équation n’a pas de solution.
ii. Si Δ = 0 alors l’équation a une solution (dite racine double) : x 0 = −
b
.
2a
iii. Si Δ > 0 alors l’équation a deux solutions distinctes :
x1 =
−b − Δ
−b + Δ
; x2 =
.
2a
2a
Remarque : Les solutions sont appelées racines.
Preuve : D’après la forme canonique vue en 2.1. résoudre
ax 2 + bx + c = 0,
avec a ≠ 0, revient à résoudre
2
⎛
b ⎞
Δ
⎜⎝ x + 2a ⎟⎠ = 4a 2 .
i. Si Δ < 0, alors cette équation n’admet pas de solution
puisqu’un carré ne peut pas être strictement négatif.
2
⎛
b ⎞
b
ii. Si Δ = 0, alors a ⎜ x + ⎟ = 0 ⇔ x +
= 0 . L’équation
⎝
2a ⎠
2a
b
.
2a
iii. Si Δ > 0, on peut factoriser en utilisant la troisième identité
remarquable ; on obtient :
admet donc une unique solution dans  : x 0 = −
2
2
2
2
⎛ Δ⎞
⎛
⎛
b ⎞
b ⎞ ⎛ Δ⎞
⎜⎝ x + 2a ⎟⎠ = ⎜ 2a ⎟ ⇔ ⎜⎝ x + 2a ⎟⎠ − ⎜ 2a ⎟ = 0
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
b
Δ⎞⎛
b
Δ⎞
⇔ ⎜x +
+
−
⎟⎜x +
⎟ =0.
2a 2a ⎠ ⎝
2a 2a ⎠
⎝
L’équation admet donc deux solutions distinctes dans  :
x1 =
−b − Δ
−b + Δ
et x 2 =
.
2a
2a
Exemples : Résoudre les équations suivantes :
2x 2 − 3x + 5 = 0
3x 2 − x − 4 = 0
x2 + x + 2 = 0
Remarques :
i. Lorsque a et c sont de signes contraires, l’équation ax 2 + bx + c = 0 admet
deux solutions distinctes.
ii. Lorsque l’équation ax 2 + bx + c = 0 admet deux racines x1 et x2 alors :
5
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x1 + x 2 = −
b
c
et x 1 x 2 = .
a
a
Applications :
i. Trouver une racine connaissant l’autre. Par exemple, 1 est une racine
c 3
évidente de 2x 2 − 5x + 3 = 0 , donc l’autre racine est = .
a 2
ii. Déterminer le signe des racines sans en connaître les valeurs. Par
exemple pour l’équation 2x 2 + 7x − 1 = 0 .
ii. Matila Ghyka (Poète et Mathématicien roumain) au sujet du Nombre
d’Or : « C’est la façon la plus logique de partager asymétriquement une grandeur
mesurable en deux grandeurs inégales et telles que le rapport entre la plus grande et
la plus petite soit égal au rapport entre la somme des deux (c’est-à-dire le tout) et la
plus grande. » Retrouver le Nombre d’Or à l’aide de cette phrase.
3.3. Factorisation
Théorème 3 : Soit f(x) la fonction polynôme du second degré vue dans la
définition 3 et soit Δ le discriminant de ce trinôme.
i. Si Δ > 0, alors f (x ) = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) , où x1 et x2 sont les deux racines
distinctes du trinôme.
ii. Si Δ = 0, alors f (x ) = a ( x − x 0 ) , où x0 est la racine double du trinôme.
2
iii. Si Δ < 0, alors f(x) ne peut pas s’écrire sous la forme d’un produit de
facteurs du premier degré.
Preuve : Les factorisations ont été réalisées dans la preuve du
théorème 2.
Exemple : Factoriser le trinôme f (x ) = 2x 2 − 11x − 21.
4. Signe du trinôme ax2+bx+c
Théorème 4 : Soit f(x) la fonction polynôme du second degré vue dans la
définition 3 et soit Δ le discriminant de ce trinôme.
i. Si Δ > 0 et si l’on suppose que x1 < x2,
alors f(x) est du signe de a ssi x ∈ ⎤⎦ −∞; x 1 ⎡⎣ ∪ ⎤⎦ x 2 ; +∞ ⎡⎣ .
ii. Si Δ = 0, alors, pour tout réel x, f(x) est du signe de a (sauf pour x0 où f
s’annule).
iii. Si Δ < 0, alors, pour tout réel x, f(x) est du signe de a.
Remarque : On énonce aussi que, lorsqu’il a des racines, un trinôme du second
degré est toujours du signe de a à l’extérieur de ses racines.
Preuve :
6
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i. Si Δ > 0, la factorisation vue dans le théorème 3 amène à
dresser le tableau de signe suivant :
x
x1
–∞
Signe de
–
0
x – x1
Signe de
–
x – x2
Signe de
Signe de 0
a(x – x1)(x – x2)
a
ii. Si Δ = 0, f (x ) = a ( x − x 0 )
2
+∞
x2
+
+
–
0
+
Signe de
–a
0
Signe de
a
d’après le théorème 3. Or un
carré est toujours positif ou nul donc f(x) est soit du signe de a,
soit nul pour x = x0.
Δ
iii. Si Δ < 0, − 2 est strictement positif et donc
4a
2
⎛
b ⎞
Δ
⎜⎝ x + 2a ⎟⎠ − 4a 2 est aussi strictement positif. Par conséquent
f(x) est bien du signe de a.
Remarque : Ce théorème est particulièrement utile dans la résolution des
inéquations du second degré. Comme on peut le voir dans l’exemple suivant…
Exemple : Résoudre l’inéquation −x 2 + 5x − 6 < 0.
Remarque : Attention, dans certains cas particuliers, on peut se passer du
théorème 4 et procéder de manière plus rapide. Ainsi…
Exemple : Résoudre l’inéquation 3x 2 + 5 > 0.
5. Récapitulatif et liens avec les représentations graphiques
Tableau de la page 43 du livre des élèves (Transmath, Nathan, 2001).
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