Variables aléatoires Probabilités et

Probabilités
et
●
Objectifs
Concepts fondamentaux du calcul des
probabilités
Variables aléatoires
Quelques lois élémentaires :
■
■
■
Loi binomiale
Loi de Poisson
✔ La Loi de Gauss-Laplace
✔
✔
Variables
aléatoires
●
●
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 1
La théorie des probabilités
Étude des phénomènes aléatoires et des lois
du hasard
Épreuve :
Protocole d’une expérience dont le résultat est
aléatoire
Reproductibilité
Conditions identiques pour tous
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 2
●
■
●
■
■
✔
Ex. : Lancer un dé et relever le chiffre sur
la face supérieure
■
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 3
●
Évènement : A, B, C, ...
Collection d’évènements élémentaires
Ex. : « Obtenir une face paire »
Évènement [A ou B] ⇔ union
Si A, si B, ou si les deux simultanément sont
réalisés
Évènement [A et B] ⇔ restriction
Si A et B sont réalisés à la fois
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 4
●
■
●
●
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 5
Évènement élémentaire
Chacun des résultats possibles
Ex. : L’épreuve du lancer d’un dé a six
évènements élémentaires :
{1}–{2}–{3}–{4}–{5}–{6}
Catégorie d’épreuves : 
Collection de tous les résultats
Ex. :  = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
●
●
●
Évènements incompatibles
Ils ne peuvent être réalisés au cours de la
même épreuve
Évènement contraire : A ou non A
Il est réalisé quand A ne l’est pas
Évènement impossible
Il ne peut être réalisé à la suite de l’épreuve
Évènement certain
Il se réalise à coup sûr
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 6
●
Trois axiomes :
1. La probabilité d’un évènement est
toujours comprise entre 0 et 1
●
■
■
■
●
2. Si A et B sont deux évènements
incompatibles, alors la probabilité de
[A ou B] est égale à la somme des
probabilités de A et de B
Convention :
La probabilité d'un évènement A est notée :
Pr(A)
Calculer la probabilité d'un évènement ?
Deux approches :
Classique – Mathématique
Expérimentale
■
■
3. La probabilité de l’évènement
certain vaut 1
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 7
●
Approche classique
« Quelle est la probabilité d’obtenir un six
lors d’un lancer d’un dé parfait ? »
Six évènements élémentaires
Contexte équiprobable
Une seule face réalise le 6
Pr({ 6 }) = 1/6 = 16,7%
■
■
■
Nombre de cas favorables
Pr  A=
Nombre de cas possibles
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 9
●
Conditions :
L’épreuve doit être répétée un grand
nombre de fois
Toutes les épreuves doivent être réalisées
sous les mêmes conditions, suivant même
protocole
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 8
●
Approche expérimentale
« Quelle est la probabilité d’obtenir un six lors
d’un lancer d’un dé parfait ? »
Le six est sorti 15 fois sur 100 lancers
Pr({6}) = 15 / 100 = 15%
■
Pr  A =
=
Nombre de réalisations
Nombre d ' épreuves
fréquence A
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 10
Fréquence  Probabilité
n∞
■
■
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 11
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 12
●
Les règles d’addition :
Évènements incompatibles :
Pr( [A ou B] ) = Pr(A) + Pr(B)
Ex. : Lancer d’un dé
■
Évènements compatibles :
Pr([A ou B]) = Pr(A) + Pr(B) – Pr([A et B])
Ex. : Lancer d’un dé
A = paire
Pr(A) = 1/2
✔B = { ≥ 5 }
✔ Pr(B) = 1/3
✔ [A et B] = {6}
✔ Pr([A et B] )= 1/6
✔
■
✔
A = paire
Pr(A) = 1/2
✔ B = {1}
✔ Pr(B) = 1/6
✔
Pr(A)
✔
Pr(B)
Pr(C)
= 1/2 + 1/6
Pr( [A ou B] ) = Pr( {2, 4, 5, 6} ) = 4/6
Pr( [A ou B] ) = Pr( {1, 2, 4, 6} ) = 4/6
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 13
■
Évènements contraires :
Pr(A
Pr(A ) = 1 - Pr(A)
Ex. : Lancer d’un dé
A = paire
✔ Pr(A) = 1/2
✔ A = impaire
✔ Pr(A
Pr(A) = 1/2
✔ Pr(A
Pr(A) = 1 – ½ = ½
✔
 =1−Pr  A
Pr  A
= 1/2 + 1/3 - 1/6
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 14
●
Probabilités conditionnelles et évènements
indépendants
Les compagnies d’assurance déterminent
leurs primes en fonction des risques
encourus
Le risque d’avoir un accident de voiture
est de deux pour mille : 2‰
Le montant des primes n’est pas le même
pour tous...
Pourquoi ?
■
■
Pr(A)
■
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 15
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 16
Par contre, les « blondes » n’ont pas plus
d’accidents que les autres conducteurs
« Être blonde » n’est pas un facteur de
risque :
« Une conductrice blonde court un risque de
2‰ d’avoir un accident de la route »
Le risque est
indépendant de la
couleur des cheveux
■
■
■
■
■
Un jeune conducteur est impliqué dans dix
fois plus d’accidents qu’un conducteur
averti
L’âge est un facteur à risque :
« Le risque qu’un jeune conducteur ait un
accident est de 2% »
Le risque d’accident est conditionné par
l’âge
Le risque dépend de l’âge du conducteur
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 17
■
■
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 18
●
●
Définition et notation
Probabilité conditionnelle
Pr(A/B) désigne la probabilité que l’évènement
A se réalise sachant que l’évènement B s’est
déjà produit
Indépendance
Deux évènements A et B sont indépendants si
la réalisation de l'un ne modifie pas la
probabilité de l'autre
■
■
Règles de multiplication
Algodystrophie
Hom m e (H)
Fem m e (F)
Tot al
Oui (A)
4
12
16
Non (A)
72
216
288
Tot al
76
228
304
Quelle est la probabilité pour un homme de
développer de l'algodystrophie suite à un
traumatisme (par ex. entorse) ?
Pr(A/H) = 4/76 = 0,053 (5,3%)
■
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 19

Règles de multiplication
Algodystrophie
Hom m e (H)
Fem m e (F)
Tot
Total
al
Oui (A)
4
12
16
Non (A)
72
216
288
Tot al
76
228
304

Quelle est la probabilité qu’une personne
développe une algodystrophie sur
traumatisme ?
Pr(A) = 16/304 = 0,053 (5,3%)
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 20
Algodystrophie
Hom m e (H)
Fem m e (F)
Tot al
Oui (A)
4
12
16
Non (A)
72
216
288
Tot al
76
228
304
■
Indépendants :
Pr(A/H) = Pr(A)
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 21
■
Deux évènements A et B sont
indépendants si et seulement si
Pr(A/B) = Pr(A)
et
Pr(B/A) = Pr(B)
Règle de multiplication :
Pr(A et B) = Pr(A) × Pr(B)
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 23
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 22
Antécédents fam iliaux
Pr oblèm es
thyr oïdiens
Oui (A)
Non ( A)
Tot al
Oui (T)
14
11
25
Non (T)
28
209
237
Tot al
42
220
262
■
■
Quelle est la probabilité qu’une personne
tirée de cet échantillon soit un homme qui
développe de l'algodystrophie ?
Pr(H et A) = 4/304 = 1,3%
= 4/76 × 76/304
= Pr(A/H) × Pr(H)
Quelle est la probabilité qu'une personne
avec des antécédents familiaux développe
des troubles de la thyroïde ?
Pr(T/A) = 14/42 = 0,33 (33%)
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 24
Oui (A)
Non ( A)
Tot al
25
Oui (T)
14
11
25
209
237
Non (T)
28
209
237
220
262
Tot al
42
220
262
Oui (A)
Non ( A)
Tot al
Oui (T)
14
11
Non (T)
28
Tot al
42
■
■
Quelle est la probabilité qu’une personne ait
des troubles de la thyroïde ?
Pr(T) = 25/262 = 9,5 % (  Pr(T/A) )
 Dépendants
Quelle est la probabilité qu’un sujet de
l'échantillon présente des troubles de la
thyroïde et ait des antécédents familiaux ?
Pr(T et A) = 14/262 = 5,3%
= 14/42 × 42/262
42/262
= Pr(T/A)× Pr(A)
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 25
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 26
●
■
Si deux évènements A et B sont
dépendants :
Pr(A et B) = Pr(A/B) × Pr(B)
Ou
Pr(A et B) = Pr(B/A) × Pr(A)
Les tests de dépistage, d’aptitude
« Comment juger le risque d'une maladie
génétique chez un enfant à naître suite à un
test prénatal positif ? »
« Quel risque encourt-on d’être porteur d’une
maladie si le test de dépistage se révèle
positif ? »
On n’a pas directement accès à cette
information !
■
■
Attention !
Indépendance ≠ incompatibilité
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 27
●
Prévalence de la maladie : Pr(M)
Nombre de cas de maladie ou de malades
dans une population déterminée
Elle s'exprime en nombre de cas pour
100 000 habitants
Sensibilité d’un test : Pr(T/M)
Probabilité que le test se révèle positif chez
un sujet atteint
Spécificité d’un test : Pr(T/M)
Probabilité que le test soit négatif chez un
sujet sain
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 28
●
■
●
●
Antécédents fam iliaux
Pr oblèm es
thyr oïdiens
Antécédents fam iliaux
Pr oblèm es
thyr oïdiens
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 29
●
Valeur prédictive positive : Pr(M/T)
Risque d’être atteint d’une maladie si le test se
révèle positif
Comment calculer la VPP : Pr(M/T) ?
Pr  M et T  Pr T /M×Pr  M
=
Pr T 
Pr  T 
Pr T / M×Pr M
=
Pr T /M ×Pr MPr T / M×Pr M
Pr M /T  =
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 30
●
Exemple : Maladie génétique
Test
■
■
■
Pr  P/ M×Pr M
Pr P / M ×Pr  MPr  P/ M×Pr M 
0,9953×0,001
=
0,9953×0,0011−0,9983 × 1−0,001
=0,363=36,3 %
Pr M / P =
Maladie génétique Maladie génétique
Positif
425
1
Négatif
2
572
Total
427
573
Un test positif s'accompagne d'un risque de
36,3% que l'enfant présente la maladie à la
naissance
Prévalence : Pr(M) = 1‰ (hypothèse)
Spécificité : Pr(N/M
Pr(N/M) = 572/573 = 99,83%
Sensibilité : Pr(P/M) = 425/427 = 99,53%
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 31
Pour une autre prévalence ?
Pr(M) = 1‰ ⇒ VPP = 36,3%
Pr(M) = 0,1‰ ⇒ VPP = 5,4%
La prévalence de la maladie joue un rôle
prépondérant
Même avec une très bonne spécificité et une
très bonne sensibilité, un test de dépistage
devient inutile si la maladie a une prévalence
est très faible !
●
Les variables aléatoires
■
■
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 33
●
Variable aléatoire : X, Y, …
Épreuve dont les évènements élémentaires
sont des nombres
Discrète (« numérotable ») :
■
Lancer un dé
✔ Juger le score d'une personne à un test
cognitif
✔
■
Continue (toute valeur d’un intervalle) :
Mesurer la consommation (en gr) de
produits laitiers par jour
✔ Mesurer le taux sanguin d'insuline
✔
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 35
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 34
●
Loi (ou distribution) de probabilité
Graphique, table ou formule qui décrivent la
probabilité associée aux divers évènements
d’une variable aléatoire
Lancer d’un dé parfait
■
20%
15%
Probabilité
●
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 32
10%
5%
0%
1
2
3
4
5
6
Fa ce
Proba .
1
1 /6
2
1 /6
3
1 /6
4
1 /6
5
1 /6
6
1 /6
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 36
●
Paramètres d’une v.a.
Moyenne
Écart type
En conclusion…
Variable aléatoire
+
Loi de probabilité
=
Modèle théorique – Étalon
La loi des grands nombres permet de juger la
qualité d'un modèle
Ex. : En théorie, une face doit apparaître
une fois sur 6, mais dans la pratique le
hasard dicte ses règles…
La comparaison entre les observations et les
prévisions du modèle permet de vérifier sa
validité, son bien-fondé !
■
■
●
■
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 37
●
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 38
●
Les variables aléatoires discrètes
La loi de probabilité donne l’ensemble des
probabilités p1, p2, … associées à chacune
des éventualités x1, x2, …
pi = Pr( X = xi )
■
■
La loi Binomiale B(n, p)
Elle dépend de deux paramètres
n : nombre d’épreuves (d'essais)
p : probabilité du succès
conditions :
Nombre fini d’épreuves
Deux issues possibles
Épreuves indépendantes
p constant
■
■
■
0 ≤ pi ≤ 1 et Σ pi = 1
Ex. : Lancer d’un dé
■
■
p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = 1/6
■
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 39
●
X ~ B(n, p) compte le nombre de succès sur
le total des n épreuves
Loi de probabilité :
k
n−k
n !×p ×q
Pr  X =k =
k !×n−k !
■
■
k est le nombre de succès
q = (1 – p) est la probabilité de l’échec
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 40
●
Ex. : Hygiène
La contamination, par des agents bactériens,
d'un repas préparé en hôpital est de 2%
Quelle est la probabilité que cinq ou plus de
cinq repas préparés sur 100 soient
contaminés ?
■
■
n = 100
p = Pr(Cont.) = 0,02
✔ q = Pr(Sain) = 1 – 0,02 = 0,98
✔
✔
⇒ X ~ B(100 ; 0,02)
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 41
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 42
101 configurations sont possibles :
Tous les repas sont sains : SS...S
Un seul repas est contaminé : CS...S
Deux repas sont contaminés : CCS...S
...
Tous les repas sont contaminés : CC..C
X compte le nombre de repas contaminés
●
■
●
■
■
■
●
■
La probabilité recherchée vaut :
Pr(X ≥ 5) = Pr(X = 5) + Pr(X = 6)
+... + Pr(X = 100)
Évènements contraires :
Pr(X ≥ 5) = 1 – Pr(X < 5)
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 43
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 44
Pr(SS...S) = Pr(X = 0)
■
■
100!
0
100
×0,02 ×0,98
0 !×100!
0,133=13,3 %
Pr  X =0 =
=
Pr(CCS...S) = Pr(X = 2)
Pr  X =2=
■
100 !
2
98
×0,02 ×0,98 =0,273=27,3 %
2!×98!
Pr(CCCS...S) = Pr(X = 3)
Pr  X =3=
Pr(CS...S) = Pr(X = 1)
■
■
100!
1
99
×0,02 ×0,98
1 !×99!
0,271=27,1%
Pr  X =1 =
=
100 !
×0,023 ×0,9897 =0,183=18,3 %
3!×97 !
Pr(CCCCS...S) = Pr(X = 4)
Pr  X =4=
100!
4
96
×0,02 ×0,98 =0,09=9,0%
4 !×96 !
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 45
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 46
Fonction de répartition inverse : au moins k repas contaminés
Distribution de probabilité des repas contaminés
(Pour un total de 100 repas)
(Pour un total de 100 repas)
30%
100%
27%
100%
27%
87%
25%
80%
20%
18%
60%
Probabilité
Probabilité
60%
15%
13%
40%
32%
10%
9%
20%
14%
5%
4%
5%
1%
0%
0%
0
1
2
3
4
5
6
7
0%
8
0%
9
0%
10
Nombre d'erreurs
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 47
2%
0%
0%
0%
0%
6
7
8
9
10
0%
0
1
2
3
4
5
Nombre de repas
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 48
●
Paramètres de la B(n, p)
Moyenne : µ = n × p
Écart type :  =  (n × p × q)
●
■
■
La loi de Poisson P()
Modélisation de la survenue d’évènements
rares dans le temps et/ou dans l’espace
Pharmacovigilance
Risque d’une panne d’équipement
Elle ne dépend que d’un paramètre
 : Nombre d’évènements rares qui se
produisent en moyenne
■
●
Ex. : Hygiène
Moyenne : µ = 100 × 0,02 = 2
Écart type :  =  (100 × 0,02 × 0,98)=1,96
■
■
■
■
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 49
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 50
●
Conditions :
Les évènements successifs sont
indépendants les uns des autres
Les évènements sont rares :
Loi de probabilité
Une v.a. de Poisson compte le nombre
d’évènements rares qui se produisent
X ~ P() prend les valeurs 0, 1, …, k, …
avec les probabilités
■
■
−
Pr  X =k =e ×
■
✔
La probabilité que deux tels
évènements se produisent est très
faible
●
Paramètres de P()
Moyenne : µ = 
Écart type :  = 
k
k!
■
■
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 51
●
Ex. : Pharmacovigilance
Aucune réaction indésirable n'est observée sur
les 10 000 premières prescriptions d’un
médicament
Quel risque encourt-on pour un million de
prescriptions ?
Il n’est pas nul !
Supposons qu’il soit d’une réaction
indésirable sur un million de prescriptions
■
■
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 53
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 52
■
■
Avec un risque de 1 par 1 000 000, on
compte en moyenne  = 0,01 réaction
adverse (10 000 × 1/1 000 000) pour les 10
000 premières prescriptions
X ~ P(=0,01)
N’observer aucun incident est donc très
probable :
0,010
Pr  X=0 = e
×
0!
−0,01
=e
=0,99=99 %
−0,01
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 54
●
■
■
■
Pour un risque de 100 réactions adverses
par million ( = 10 000 × 100/1 000 000 = 1)
La probabilité de n’observer aucun incident
reste assez forte :
Pr(X=0) = e-1 = 37%
Pour un risque de 1‰ la probabilité de
n'observer aucun incident devient très
faible :
Pr(X=0) = e-10 = 0,0045%
Calcul du risque :
Le risque maximal admis est celui associé à
une probabilité 5%
La probabilité de n'observer aucun incident
vaut 5% :
✔ Pr(X = 0) = 5% ≈ e -3 ⇔ = 3
Conclusion :
Si aucun évènement indésirable n'est
enregistré sur N cas, on fixe le risque réel
entre 0 et 3/N
■
■
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 55
●
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 56
Les variables aléatoires continues
Toutes les valeurs dans un intervalle sont
possibles
Traitement très différent de celui des
variables aléatoires discrètes
●
■
■
La loi ne peut plus associer une
probabilité à chaque valeur
✔ La probabilité d’une valeur précise est
toujours nulle
✔
■
■
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 57
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 58
●
■
La loi de probabilité d’une v.a. continue
s’exprime à partir d’une fonction de
densité
Les probabilités font référence à des
intervalles de valeurs :
« Quelle est la probabilité d’avoir un
taux d'insuline à jeun compris entre 36
et 110 pmol/L ? »
✔ « Supérieure à 200 pmol/L ? »
✔
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 59
Analogie : Le tronc d’un baobab
Le tronc pèse 10 tonnes
On le débite en tronçons
infiniment fins (d’épaisseur
nulle) c’est-à-dire de masse
nulle
∑ tranches = tronc = 10
tonnes
Répartition de la masse
⇔ densité
■
■
Calcul des probabilités :
Pr(x1 < X < x2 ) = Aire délimitée par x1 et x2
sous la courbe densité de probabilités
Pr(x1< X< x2 )
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 60
●
La loi normale N(  ,  )
synonyme :
Loi de Gauss
Loi de Laplace
Courbe « en cloche »
Elle dépend de deux paramètres
 : sa moyenne
 : son écart type

■

■

A :  = 0 et  = 1
B :  = 2 et  = 1
C :  = 0 et  = 0.5
■
■
■
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 61
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 62


Applications :
Standardisation des résultats de tests
d'aptitude

■
✔
✔
■
■
Quotient intellectuel,
Test de communication…
Modélisation de paramètres biométriques,
biologiques…
✔
■
A : Valeurs trop faibles
B : Valeurs normales
C : Valeurs trop élevées
Taille, Taux de glycémie à jeun...
Valeurs de référence
Étalonnage — Normalisation
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 63
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 64
●
Propriétés :
Symétrique par rapport à la moyenne
Mode = Médiane = Moyenne
Décroissance rapide de part et autre de la
moyenne
■
■
■
Pr( X >  ) = 0,5
Pr( X <  ) = 0,5
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 65
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 66
■
■
Quand rencontre-t-on une distribution
gaussienne ?
Nombreux facteurs de variation (explicatifs)
Ex. : Le poids varie en fonction
✔
✔
■
De la taille
De l'hygiène de vie
Les fluctuations dues à ces facteurs sont :
✔ En tous sens ⇒ symétrie
✔
Indépendantes
●
La Loi normale centrée et réduite :
Si X est une variable aléatoire gaussienne :
X ≈ N(  ;  )
Alors la v.a. Z définie par
Z = ( X - ) / 
Est distribuée selon une loi normale de
moyenne 0 et d’écart type 1 :
Z ≈ N( 0 ; 1 )
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 67
●
Calcul des probabilités :
On se ramène à la loi N(0, 1)
Pr  x 1 X x 2 
=Pr  x 1− X − x 2− 
x 1 − X−  x 2−



=Pr 



=Pr  z 1 Z z 2 
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 69
●
Résolution :
X  V.A. score au test de Wechsler
X ≈ N (100
(100,, 10)
10)
1. Pr (100 < X < 112,6) = ?
On passe à la v.a. : Z ≈ N (0, 1)
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 68
●
Exemple : Test de Wechsler (QI)
Les scores au test de Wechsler (mesure du
QI) sont normalisés. La moyenne des
scores est de 100 pour un écart type de 10
1. Quelle est la probabilité d’un score
compris entre 100 et 112,6 ?
2. Entre 85 et 115 ?
3. Supérieur à 125 ?
4. Compris entre 75 et 85 ?
■
■
■
■
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 70
On se réfère à la table de la N (0, 1)
■
■
■
Pr 100 X112,6
100−100 X −100 112,6−100
= Pr 



10
10
10
= Pr 0Z 1,26
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 71
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 72
1.26 = 1.2 + 0.06
●
Résolution :
2. Pr (85 < X < 115) = ?
■
6
7
0
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,1
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,2
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,3
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,4
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,5
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,6
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,7
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2704
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,8
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,9
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
1
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
1,1
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
1,2
0,3849
0,3869
0,3888
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
1,3
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
1,4
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
1,5
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
z
0
1
2
3
4
5
8
9
■
Pr 85 X115
85−100 X −100 115−100
= Pr 



10
10
10
= Pr −1,50Z 1,50
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 73
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 74
Pr (0 < Z < 1,50) = 0,4332
Pr (-1,50 < Z < 1,50)
= Pr (-1,50 < Z < 0)
+ Pr (0 < Z < 1,50)
= Pr (0 < Z < 1,50)
+ Pr (0 < Z < 1,50)
= 2 × 0,4332 = 0,8664
= 86,64%
■
■
z1 = -1.50
x1 = 85
0
z2 = 1.50
100
x2 = 115
Symétrie ⇔ A = B
z
0
1
0,3413
1
0,3438
1,1
0,3643
0,3665
1,2
0,3849
0,3869
1,3
0,4032
0,4049
1,4
0,4192
0,4207
1,5
0,4332
0,4345
1,6
0,4452
0,4463
1,7
0,4554
0,4564
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 75
■
4. Pr (75< X< 85) = Pr (-2,50< Z ≤ -1,5)
B = 0,4938 – 0,4332 = 0,0606 = 6,06%
0.
5
32
=
0.
43
0.
49
38
0.
B
=
A+
49
38
■
B
3. Pr (X ≥ 125) = Pr (Z ≥ 2,5)
= 0,5 – Pr (0 < Z < 2,5)
= 0,5 – 0,4938
= 0,0062
= 6,2‰
A+
■
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 76
0
z = 2.50
100
x =125
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 77
z1=-2.50
x1 = 75
z2=-1.50
=-1.50
x2 = 85
100
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 78
●
Exemple : Test de Wechsler (QI)
Quel score doit obtenir un enfant pour être
classé parmi les surdoués : seulement 5% des
enfants obtiennent un score aussi élevé ?
■
4
5
1,4
3
0,4236
0,4251
0,4265
6
0,4279
1,5
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
1,6
0,4484
z
0,4495 0,4505
0,4515
1,7
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
1,8
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
■
Pr (0 < Z < z5%) = 0,45
z5% = 1,645
1,645
■
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 79
x = 100 + 10 × 1,645 = 116,45
PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES 80