TD 1 Cin´ematique

Kilomètre lancé
Le "Kilom€tre lanc•" ou KL est une discipline sportive de ski qui a pour objet d’atteindre, sur
100 m€tres, la vitesse moyenne la plus grande possible. Une piste de KL est compos•e de 3
parties : une zone d’acc•l•ration (600 ƒ 700 m), une zone de chronom•trage (sur 100 m) et
une zone de d•c•l•ration (700 ƒ 800 m).
La piste des Arcs (Savoie) est consid•r•e comme la piste de KL la plus rapide du monde.
C’est sur cette piste, inclin•e d’un angle   36 (pente de 75%) par rapport ƒ l’horizontal,
qu’a •t• •tabli en 2006 le dernier record du monde avec une vitesse de 251.4 km/h.
Un KListe de masse m=90kg est •quip• d’accessoires qui lui permettent de r•duire
consid•rablement le freinage a•rodynamique selon la direction de sa vitesse (axe de plus
grande pente de la piste). La force de freinage a•rodynamique ou train•e est de la forme :
v
Faéro   kv 2 .
avec un coefficient a•rodynamique k  0.06kg / m soit une valeur environ 3
v
fois plus petite que le coefficient d’un comp•titeur en ski alpin.
Remarque : La force de freinage a•rodynamique se d•compose traditionnellement en une
composante parall€le ƒ la vitesse : la train•e et une composante perpendiculaire : la
portance. En KL si la train•e a un effet important dans l’•quation du mouvement du skieur, la
portance a un effet quasi n•gligeable et ne sera pas prise en compte.
v
avec C la charge
v
appliqu•e perpendiculairement ƒ la surface du contact "ski-neige" et   0.02
La force de frottement "ski-neige" est de la forme F frott    C .
1. Quelle est, dans ces conditions, la vitesse limite du KListe ?
Le r€f€rentiel est celui de la piste. Il est consid€r€ comme un r€f€rentiel galil€en.
Le rep•re Oxz est choisi avec Ox selon l’axe de plus grande pente de la piste et Oz
perpendiculaire ƒ la piste.
La relation fondamentale de la dynamique s’€crit :
m  P  R  F frott  Faéro avec R r€action de la piste
2
x 
 g .sin    0     mg.cos    kvx 

 

   
 
Soit : m   y   m 
0
0
 0 
 0 
 
  g .cos    R  
  0 
0
 z

  z 
 

Selon Ox :
m x  mg .sin    mg .cos   kvx2
[1]
Lorsque le temps croit, la vitesse croit et le terme m x d€croit. La vitesse limite correspond
sin    .cos 
2
ƒ : m x  0 => vLim
 mg .
k
A.N. : vLim  91.7m / s soit vLim  330.2km / h
Remarque : L’inhomog•n•it• de la surface de la piste et les fautes de carre du KListe (appuis
"ski-neige" non parfaitement perpendiculaires ƒ la surface de la piste) font que celui-ci
n’approche jamais de la vitesse limite. Tout schuss un skieur "Lambda" atteint une vitesse de
l’ordre de 60 km/h. Il reste ƒ ce skieur encore un gain de l’ordre de 200km/h pour battre le
record de vitesse.
2. D•terminer la longueur de la piste d’•lan pour que le KListe atteigne une vitesse de 255
km/h ƒ l’entr•e de la zone de chronom•trage.
La RFD est selon Ox: m x  mg .sin    mg .cos   kvx2 [1] qui s’€crit :
sin    .cos 
m
2
2
kvx2  mvx  mg.sin    mg .cos  => or vLim
 mg .
=> vx2  vx  vLim
[1]
k
k
Remarque: Si la solution d’une •quation diff•rentielle homog€ne (tous les termes sont de
m„me degr•) du premier ordre avec second membre est •gale ƒ la solution g•n•rale de
l’•quation sans second membre plus une solution particuli€re de l’•quation avec second
membre. Les •quations diff•rentielles du premier ordre non homog€nes (cas de l’•quation
[1]) ne pr•sentent g•n•ralement pas de solutions analytiques. Une solution simple pour
r•soudre ces •quations diff•rentielles est de les r•soudre num•riquement.
Résolution numérique des équations différentielles (résolution pas à pas)
Les €quations diff€rentielles non homog•nes sont de la forme:
m. 
y  a. y n (t )  b. y m (t )
[a] avec n  m  1
Si les conditions de vitesse et de position sont connues ƒ un instant donn€, la vitesse et la
trajectoire du centre de masse du syst•me sont ais€ment d€termin€es par une m€thode
it€rative:
Si y t et y t sont connus ƒ l’instant t, il vient:
m. 
yt  a. ytn (t )  b. ytm (t )
[a]
dy=y t .dt
[b]
y t+dt =y t +dy
[c]
  t .dt
dy=y
[d]
y t+dt =y t +dy
[e]
m. 
yt  dt  a. ytn dt (t )  b. ytm dt (t )
……..
Les €quations [a] ƒ [e] constituent la boucle d'it€ration.
Remarque : Cette m•thode de r•solution d’une •quation diff•rentielle revient ƒ calculer l’aire
sous une courbe par la m•thode des rectangles. La pr•cision du r•sultat est d’autant
meilleure que le pas en temps dt est petit.
Pour l’€quation [1] m x  mg .sin    mg .cos   kvx2
ƒ t  0 , v  0 et  0  g .sin    .g.cos 
 0  g .sin    .g.cos 
v0  0
x0  0
vdt  v0   0 .dt
xdt  x0  vdt .dt
 dt  g.sin    .g .cos  
k 2
vdt
m
……….
Remarque: Ce calcul s’effectue facilement par programmation ou ƒ l’aide d’un tableur. Le
r•sultat est d’autant plus pr•cis que le pas d’it•ration dt est petit.
Applications num€riques :   36 , k  0.06kg / m ,   0.02 , g  9.81m / s … , m  80kg
Les r€sultats du calcul it€ratif ont €t€ r€alis€s avec un tableur (pas d’it€ration: dt  0.05s ).
Figure : Vitesse et distance parcourue par le KListe en fonction du temps
Pour atteindre 255 km/h le KListe doit, dans ces conditions, prendre un €lan de 681 m.