   

Prof :Khammour.Khalil
Année Scolaire :2013/2014
Sujet de révision n°2 :
Mai 2014
4ème Sc-exp
Tunis ,Tél :27509639
Exercice n°1 :
Pour chaque question répondre par vrai ou faux sans justification.
1) Soit f une fonction continue sur ]-1,
et dont la courbe est répresenter ci-dessous :
 2 x 
2)
a ) lim f 
  1
x 
 x 
3)
b) lim f
4)
c)
n 
b) lim U n  a
n


1  x  
5)
f ( x)
 0.
x
d) lim e f ( x )  
6)
e) f (1,  ]0,1[
7)
f) L’équation f ( x)  0 admet sur ]-1,
2) On considère les deux suites Un  et Vn 
a) lim Vn  1
x 
lim
x 
x 
une unique solution.
n
en
 1
; a ]0,1[ et Vn  ln 1   .
définies sur IN par : U n 
na
 n
*
c) Un  et Vn  sont deux suites adjacentes
.
Exercice n°2 :
Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un
animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.
Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont 1 % est porteur de la maladie.
On obtient les résultats suivants :
 si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ;
 si un animal est sain, le test est négatif dans 95% des cas.
On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d’utiliser le test pour
un dépistage préventif de la maladie.
On note :
M l’évènement : « l’animal est porteur de la maladie » ;
T l’évènement : « le test est positif ».
1) Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.
2) Un animal est choisi au hasard.
a) Quelle est la probabilité qu’il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ?
b) Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est 0,058.
3) Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu’il soit porteur
de la maladie ?
4) On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme
indépendantes et d’assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, aux cinq
animaux choisis, associe le nombre d’animaux ayant un test positif.
a) Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?
b) Quelle est la probabilité pour qu’au moins un des cinq animaux ait un test positif ?
Exercice n°3 :
A) Pour tout nombre complexe z, on note P  z   z3  4z2  8z  8 .
1) Montrer que l’équation P( z)  0 possède une solution réelle, puis factoriser P( z) .
2) Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation z 2  2 z  4  0 . En déduire les solutions,
dans l’ensemble des nombres complexes, de l’équation P(z) = 0.
B) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O ; u, v) (unité graphique : 2 cm). On considère les points
A, B et C d’affixes respectives : a = 2, b  1  i 3 , c  1  i 3 .
1) a) Placer, sur la copie, les points A, B et C dans le plan complexe.
a) Démontrer que les points A, B et C sont sur un même cercle  de centre O.
b) Construire le cercle  .
2) Déterminer un argument du nombre complexe b. En déduire une mesure de l’angle  OA, OB  .
Quelle est la nature du triangle OAB ?
Exercice n°4 :
1
.
1+x 2
A) 1) Déterminer le sens de variation de f sur [0,1] . (On ne cherchera pas à déterminer f).
 
2) Soit g la fonction définie sur 0,  par : g(x)=
.
 4
Soit f une fonction définie et dérivable sur [0,1] telle que : f (0)=0 et f ‘(x) 
 
a) Justifier que g dérivable sur 0,  et que pour tout x
 4
 
b) Montrer que
0, 4  , g (x) =x . En déduire que
 
0, 4  , g ‘(x) =1.

.
4

.
4
3) Montrer que pour tout x de [0,1] ,
1
B) Soit
la suite définie par :
x
0
0
1) Montrer a l’aide d’une intégration par parties que
2) a) Montrer que pour tout n IN* ,
b) Montrer que ,pour tout n IN*
1
*
 f(x)dx et pour tout n IN
n
f(x)dx .
 1
 ln 2 .
4 2
.
π
. En déduire lim I n .
n
4(n+1)
Exercice n°5 :
1 1  ln x
.

2
x2
Certains renseignements concernant la fonction f sont consignés dans le tableau suivant :
A) Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; + [ par : f ( x) 
1) a) Calculer f '( x) pout tout x  [1, [ .
b) Etudier le signe de f ‘(x) selon les valeurs de x, et retrouver les variations de f données dans le
tableau (aucun calcul de limite n’est demandé).
2) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique  dans l’intervalle 1,e .
3) En utilisant les résultats précédents et le tableau de variation de f , donner le signe de f (x) selon les valeurs de x.
1
ln x
B) Soit g la fonction définie sur l’intervalle [1 ; + [ par : g ( x)  x  1 
et C sa courbe représentative
2
x
dans le plan rapporté à un repère orthonormé
.
1) a) Déterminer la limite de g en ++ .

1

b) Montrer que lim  g ( x)   x  1   0 . Interpréter graphiquement le résultat.
x 
2


1
2) Soit D la droite d’équation y  x  1 . Etudier la position relative entre C et D.
2
3) Calculer g '( x) pout tout x  [1, [ .En déduire le sens de variation de g.
4) Soit M le point de C d’abscisse e, et T la tangente à C en M. Justifier que T est parallèle à D .
5) Tracer D et T. Indiquer le point de C d’abscisse  (on utilisera 1,25 pour valeur approchée de  ) et la tangente à
C en ce point. Enfin, tracer la courbe C .
6) On désigne par A le domaine limité par la courbe C , la droite D et les droites d’équations respectives
x = 1 et x = e. Calculer A.