devoir libre n˚09 - MPSI Saint-Brieuc

MPSIdu lyc´ee Rabelaishttp://mpsi.saintbrieuc.free.fr`arendrelelundi23 janvier2012
DEVOIRLIBREN˚09
PROBL` EME1:Diviseurspositifsd’un entiernaturel
Soitnun entiernaturelsup´erieurou´egal`a 2,d´ecompos´e en produitdefacteurspremiers
souslaforme
n=pα1
1×···×pαr
r=
r
Y
i=1
pαi
i,
o`ulespisontdesnombrespremiersdistinctsetlesexposantsαisontdesentiers strictement
positifs.
PartieI.Nombredediviseurspositifsd’un entier
Notation:Soitn∈N,on noteD(n)lenombredediviseurspositifsden.
1.Donnez l’expressiong´en´eraled’un diviseurpositifden.
2.D´eduisez-enlenombredediviseurspositifsden.
3.Applicationsnum´eriques
a.D´eterminez un entiern,sup´erieurou´egal`a 2,telqueD(n)=13.
b.D´eterminez deuxentiersnaturelsnetmtelsque
n∧m=18
D(n)=21
D(m)=10
4.Montrez quesinetmsontdeuxentiersnaturelspremiersentre eux,alors
D(n×m)=D(n)×D(m)
PartieII.Sommedesdiviseurspositifsd’un entier
Notation:Etantdonn´eunentiernatureln∈N,on noteS(n)lasommedesdiviseurs
positifsden.
1.Calculez S(6).
2.Soitn∈Ntelquen=pα1
1.Quels sontlesdiviseurspositifsden?Exprimez enfonction
dep1etα1lasommedetouscesdiviseurs.
3.Soientnetmdeuxentiersnaturelspremiersentre eux.Montrez que
S(n×m)=S(n)×S(m)
4.Dansle casg´en´eral, montrez par r´ecurrence surlenombrerdediviseurspremiersden
que
S(n)=
r
Y
i=1
pαi+1
i−1
pi−1
5.Applicationsnum´eriques
1

a.Calculez S(180).
b.D´eterminez un entiern,n’ayantquedeuxfacteurspremiersdistincts,telqueS(n)=847
etD(n2)=3D(n).
PartieIII.Nombresparfaits
D´efinition:Onditqu’unentiernaturelnestparfaitsiS(n)=2n.
1.SoitMn=2n−1.Montrez quesiMnestpremier,alorsnestpremier.
2.Montrez quesiMn+1estpremier,alors2nMn+1estparfait.
3.R´eciproquement,soitNun nombrepair,parfait.
a.Montrez qu’il existeun nombre entiern∈N⋆,etun nombreimpairq∈N⋆telsque
N=2nq.
b.Montrez queMn+1diviseq,puisqueq=Mn+1
c.Enfin,montrez queMn+1estpremier.
Fin du sujet
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