MPSI du lycée Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr à rendre le lundi 23 janvier 2012 DEVOIR LIBRE N˚09 PROBLÈME 1 : Diviseurs positifs d’un entier naturel Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2, décomposé en produit de facteurs premiers sous la forme r Y α1 αr n = p1 × · · · × pr = pαi i , i=1 où les pi sont des nombres premiers distincts et les exposants αi sont des entiers strictement positifs. Partie I. Nombre de diviseurs positifs d’un entier Notation : Soit n ∈ N, on note D(n) le nombre de diviseurs positifs de n. 1. Donnez l’expression générale d’un diviseur positif de n. 2. Déduisez-en le nombre de diviseurs positifs de n. 3. Applications numériques a. Déterminez un entier n, supérieur ou égal à 2, tel que D(n) = 13. n ∧ m = 18 D(n) = 21 b. Déterminez deux entiers naturels n et m tels que D(m) = 10 4. Montrez que si n et m sont deux entiers naturels premiers entre eux, alors D(n × m) = D(n) × D(m) Partie II. Somme des diviseurs positifs d’un entier Notation : Etant donné un entier naturel n ∈ N, on note S(n) la somme des diviseurs positifs de n. 1. Calculez S(6). 2. Soit n ∈ N tel que n = pα1 1 . Quels sont les diviseurs positifs de n ? Exprimez en fonction de p1 et α1 la somme de tous ces diviseurs. 3. Soient n et m deux entiers naturels premiers entre eux. Montrez que S(n × m) = S(n) × S(m) 4. Dans le cas général, montrez par récurrence sur le nombre r de diviseurs premiers de n que r Y piαi +1 − 1 S(n) = pi − 1 i=1 5. Applications numériques 1 a. Calculez S(180). b. Déterminez un entier n, n’ayant que deux facteurs premiers distincts, tel que S(n) = 847 et D(n2 ) = 3D(n). Partie III. Nombres parfaits Définition : On dit qu’un entier naturel n est parfait si S(n) = 2n. 1. Soit Mn = 2n − 1. Montrez que si Mn est premier, alors n est premier. 2. Montrez que si Mn+1 est premier, alors 2n Mn+1 est parfait. 3. Réciproquement, soit N un nombre pair, parfait. a. Montrez qu’il existe un nombre entier n ∈ N⋆ , et un nombre impair q ∈ N⋆ tels que N = 2n q. b. Montrez que Mn+1 divise q, puis que q = Mn+1 c. Enfin, montrez que Mn+1 est premier. Fin du sujet 2