Modèle mathématique. - mathsglavier
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Tale S Corrigé du DST n°4 de spécialité mathématiques Lundi 15 avril 2013 http://mathsglavier.free.fr Exercice 1 – Nombres premiers (8 pts ) 1) a) Montrez que le nombre f(n) = n2 + 18n + 77 n’est premier pour aucune valeur de l’entier naturel n. b) Peut-on trouver un entier n pour lequel f(n) est premier ? Si oui, lequel ? Pour tout entier naturel n, on a f(n) = n2 + 18n + 77 = (n + 7)(n + 11) produit de deux facteurs strictement supérieurs à 1, donc f(n) est un nombre composé. Pour n = – 6, on a f(n) = 5 qui est premier. 2) Montrez que la somme de deux entiers naturels impairs consécutifs n’est pas un nombre premier. Deux entiers naturels impairs consécutifs sont de la forme 2k + 1 et 2k + 3 avec k entier naturel. Leur somme S = 4k + 4 = 4(k + 1) multiple de 4 donc composée. 3) a) Montrez l’implication suivante : « Pour tout entier p > 3, si p est premier, alors 8p2 + 1 est composé. » (on pourra raisonner par disjonction des cas) b) La réciproque de cette implication est-elle vraie ? Au-dessus de 3, les nombres de la forme 3k (les multiples de 3) ne sont pas premiers, donc les entiers premiers p peuvent prendre la forme 3k +1 ou 3k + 2. Dissocions ces deux cas : Si p = 3k + 1, alors 8p2 + 1 = 8(3k + 1)2 + 1 = 8(9k2 + 6k + 1) +1 = 72k2 + 48k + 9 = 3(24k2 + 16k + 3). Si p = 3k + 2, alors 8p2 + 1 = 8(3k + 2)2 + 1 = 8(9k2 + 12k + 4) +1 = 72k2 + 96k + 33 = 3(24k2 + 32k + 11). Dans les deux cas, 8p2 + 1 est multiple de 3 donc composé. La réciproque s’exprime de la façon suivante : « Si 8p2 + 1 est composé, alors p est premier. » Or pour p = 8 (non premier), on a 8p2 + 1 = 513 = 3 171. Donc la réciproque est fausse. Exercice 2 – Décomposition en produit de facteurs premiers (12 pts) 1) a) Décomposez 231 en produit de facteurs premiers. b) À l’aide d’un arbre, donner tous ses diviseurs positifs. 231 = 3 7 11 et ses diviseurs positifs sont donc 1, 3, 7, 11, 21, 33, 77 et 231. 2) Soit p un nombre premier. a) Quels sont les diviseurs positifs de p2 ? b) Quels sont les entiers qui admettent exactement 3 diviseurs positifs ? Si p est premier, alors ses diviseurs positifs sont 1 et p, donc les diviseurs de p2 sont 1, p et p2. Les entiers admettant exactement 3 diviseurs positifs sont les carrés des nombres premiers. 3) Quel est le nombre de diviseurs positifs de l’entier n = 23 56 11 1710 215 ? n a exactement (3 + 1) (6 + 1) (1 + 1) (10 + 1) (5 + 1) = 3696 diviseurs positifs. 4) Donnez la ou les formes possibles de la décomposition en facteurs premiers des entiers naturels ayant exactement 15 diviseurs positifs. 15 = 3 5 = (2 + 1) (4 + 1) ou bien 15 = 15 1 = (14 + 1) (0 + 1) donc un nombre entier naturel n ayant 15 diviseurs positifs a pour décomposition en facteurs premiers n = a2 b4 ou n = a14.
