Modèle mathématique. - mathsglavier

Tale S Corrigé du DST n°4 de spécialité mathématiques Lundi 15 avril 2013
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Exercice 1 – Nombres premiers ( 8 pts )
1) a) Montrez que le nombre f(n) = n2 + 18n + 77 n’est premier pour aucune valeur de l’entier naturel n.
b) Peut-on trouver un entier n pour lequel f(n) est premier ? Si oui, lequel ?
Pour tout entier naturel n, on a f(n) = n2 + 18n + 77 = (n + 7)(n + 11) produit de deux facteurs strictement
supérieurs à 1, donc f(n) est un nombre composé.
Pour n = – 6, on a f(n) = 5 qui est premier.
2) Montrez que la somme de deux entiers naturels impairs consécutifs n’est pas un nombre premier.
Deux entiers naturels impairs consécutifs sont de la forme 2k + 1 et 2k + 3 avec k entier naturel.
Leur somme S = 4k + 4 = 4(k + 1) multiple de 4 donc composée.
3) a) Montrez l’implication suivante : « Pour tout entier p > 3, si p est premier, alors 8p2 + 1 est composé. »
(on pourra raisonner par disjonction des cas)
b) La réciproque de cette implication est-elle vraie ?
Au-dessus de 3, les nombres de la forme 3k (les multiples de 3) ne sont pas premiers, donc les entiers
premiers p peuvent prendre la forme 3k +1 ou 3k + 2. Dissocions ces deux cas :
Si p = 3k + 1, alors 8p2 + 1 = 8(3k + 1)2 + 1 = 8(9k2 + 6k + 1) +1 = 72k2 + 48k + 9 = 3(24k2 + 16k + 3).
Si p = 3k + 2, alors 8p2 + 1 = 8(3k + 2)2 + 1 = 8(9k2 + 12k + 4) +1 = 72k2 + 96k + 33 = 3(24k2 + 32k + 11).
Dans les deux cas, 8p2 + 1 est multiple de 3 donc composé.
La réciproque s’exprime de la façon suivante : « Si 8p2 + 1 est composé, alors p est premier. »
Or pour p = 8 (non premier), on a 8p2 + 1 = 513 = 3  171. Donc la réciproque est fausse.
Exercice 2 – Décomposition en produit de facteurs premiers ( 12 pts )
1) a) Décomposez 231 en produit de facteurs premiers.
b) À l’aide d’un arbre, donner tous ses diviseurs positifs.
231 = 3  7  11 et ses diviseurs positifs sont donc 1, 3, 7, 11, 21, 33, 77 et 231.
2) Soit p un nombre premier.
a) Quels sont les diviseurs positifs de p2 ?
b) Quels sont les entiers qui admettent exactement 3 diviseurs positifs ?
Si p est premier, alors ses diviseurs positifs sont 1 et p, donc les diviseurs de p2 sont 1, p et p2.
Les entiers admettant exactement 3 diviseurs positifs sont les carrés des nombres premiers.
3) Quel est le nombre de diviseurs positifs de l’entier n = 23  56  11  1710  215 ?
n a exactement (3 + 1)  (6 + 1)  (1 + 1)  (10 + 1)  (5 + 1) = 3696 diviseurs positifs.
4) Donnez la ou les formes possibles de la décomposition en facteurs premiers des entiers naturels ayant
exactement 15 diviseurs positifs.
15 = 3  5 = (2 + 1)  (4 + 1) ou bien 15 = 15  1 = (14 + 1)  (0 + 1) donc un nombre entier naturel n
ayant 15 diviseurs positifs a pour décomposition en facteurs premiers n = a2  b4 ou n = a14.