Mat1748: DGD du 9 mars 2016 (1) Dans chaque cas, on donne une

Mat1748: DGD du 9 mars 2016
(1) Dans chaque cas, on donne une relation binaire R sur l’ensemble A = {1, 2, 3}, et
vous devez dire si cette relation est réflexive, symétrique, transitive, et si c’est une
relation d’équivalence.
(a) R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} = { (x, y) ∈ A2 | x ≤ y}
(b) R = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)} = {(x, y) ∈ A2 | x 6= y}
(c) R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3)}
(d) R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
(e) R = ∅
(f) R = A2
(2) On définit une relation R sur Z2 par :
Étant donnés (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ Z2 ,
Montrez que R n’est pas transitive.
(x, y)R(x0 , y 0 ) ⇔ xy 0 = x0 y.
Théorème. Soit R une relation d’équivalence sur un ensemble A. Alors pour
tout choix de a, b ∈ A, on a : aRb ⇐⇒ [a] = [b] ⇐⇒ [a] ∩ [b] 6= ∅.
(3) Soit la relation binaire S = {(x, y) ∈ R2 | x − y ∈ Z} sur l’ensemble R. Autrement
dit, S est définie par la condition :
Étant donnés x, y ∈ R, x S y ⇐⇒ x − y ∈ Z.
(a) Montrez que S est une relation d’équivalence.
(b) Montrez que R/S est un ensemble infini. (R/S est l’ensemble des classes
d’équivalence, donc vous devez montrer qu’il existe une infinité de classes
d’équivalence).
(4) Soit A = Z × (Z \ {0}) = {(x, y) | x ∈ Z et y ∈ Z \ {0}}. On définit une relation
R sur A par :
Étant donnés (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ A, (x, y)R(x0 , y 0 ) ⇔ xy 0 = x0 y.
(a) Montrez que R est une relation d’équivalence sur A.
(b) Décrivez la classe d’équivalence de (0, 1).
(c) Montrez que A/R est un ensemble infini.
Définition. Soit A un ensemble. Une partition de A est un ensemble P satisfaisant :
(i) Chaque élément de P est un sous-ensemble non vide de A.
(ii) Les éléments de P sont deux à deux disjoints (ceci signifie que pour tout choix
de X, Y ∈ P, on a soit X = Y soit X ∩ Y = ∅).
(iii) La réunion de tous les éléments de P est égale à A.
1
2
(5) Dans chaque cas, l’ensemble P est-il une partition de A?
A = R; P = {(−∞, −3], (−3, 2), (2, ∞)}
A = [0, 1]; P = {[0, 1]}
A = R; P = {[n, n + 2) | n ∈ Z} car (par exemple) [0, 2) ∩ [1, 3) 6= ∅.
A = R; P = {[2n + 1, 2n + 3) | n ∈ Z}
n
o
1
1
(e) A = [0, 1); P = [ (n+2)2 , (n+1)2 ) n ∈ N
o
n
1
1
(f) A = (0, 1]; P = ( (n+2)
2 , (n+1)2 ] n ∈ N
(a)
(b)
(c)
(d)
(g) A = R2 ; P = {Lr | r ∈ R}, où on définit Lr = {(x, y) ∈ R2 | y = 2x + r}
(h) A = R2 ;
P=
2
2
2
{(x, y) ∈ R | x < y} , {(x, y) ∈ R | x = y} , {(x, y) ∈ R | x > y}
Théorème 1. Soit R une relation d’équivalence sur un ensemble A. Alors A/R
est une partition de A.
Théorème 2. Soit P une partition d’un ensemble A. Alors il existe une relation
d’équivalence R sur A telle que A/R = P.
(6) Soit A = {00, 01, 02, 10, 11, 12, 20, 21, 22}. On définit une relation binaire R sur A
par la condition suivante : étant donnés x, y ∈ A,
xRy ⇔ la somme des chiffres dans x et y donne le même résultat.
Par exemple : 02 R 11 puisque 0 + 2 = 1 + 1. En fait, R est une relation
d’équivalence sur A (vous pouvez le prendre pour acquis).
Décrivez l’ensemble A/R des classes d’équivalence. Quelle est la cardinalité de
l’ensemble A/R ? Le Thm 1 affirme que A/R est une partition de A ; vérifiez
directement que A/R est bien une partition de A.
(7) Existe-t-il une relation d’équivalence sur R telle que, pour chaque x ∈ R, la classe
d’équivalence de x est égale à (a) l’intervalle bxc, bx + 1c ?
(b) l’intervalle bxc, bx + 1c ?
(8) Soit A = {x ∈ Z | 2 ≤ x ≤ 20} = {2, 3, 4, . . . , 19, 20}. Étant donnés x, y ∈ A, on
déclare que xRy ⇐⇒ x et y ont les mêmes diviseurs premiers.
Ceci définit une relation R sur l’ensemble A.
Par exemple, on a 12R18 car 12 et 18 ont les mêmes diviseurs premiers.
(a) Montrez que R est une relation d’équivalence sur l’ensemble A.
(b) On sait que A/R est une partition de A (Thm 1). Donnez cette partition :
A/R =