Mat1748: DGD du 9 mars 2016 (1) Dans chaque cas, on donne une

Mat1748: DGD du 9 mars 2016
(1) Dans chaque cas, on donne une relation binaire Rsur l’ensemble A={1,2,3}, et
vous devez dire si cette relation est r´eflexive, sym´etrique, transitive, et si c’est une
relation d’´equivalence.
(a) R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}={(x, y)∈A2|x≤y}
(b) R={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}={(x, y)∈A2|x6=y}
(c) R={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3)}
(d) R={(1,1),(2,2),(3,3)}
(e) R=∅
(f) R=A2
(2) On d´efinit une relation Rsur Z2par :
´
Etant donn´es (x, y),(x0, y0)∈Z2,(x, y)R(x0, y0)⇔xy0=x0y.
Montrez que Rn’est pas transitive.
Th´eor`eme. Soit Rune relation d’´equivalence sur un ensemble A. Alors pour
tout choix de a, b ∈A, on a : aRb ⇐⇒ [a] = [b]⇐⇒ [a]∩[b]6=∅.
(3) Soit la relation binaire S={(x, y)∈R2|x−y∈Z}sur l’ensemble R. Autrement
dit, Sest d´efinie par la condition :
´
Etant donn´es x, y ∈R,x S y ⇐⇒ x−y∈Z.
(a) Montrez que Sest une relation d’´equivalence.
(b) Montrez que R/S est un ensemble infini. (R/S est l’ensemble des classes
d’´equivalence, donc vous devez montrer qu’il existe une infinit´e de classes
d’´equivalence).
(4) Soit A=Z×(Z\ {0}) = {(x, y)|x∈Zet y∈Z\ {0}}. On d´efinit une relation
Rsur Apar :
´
Etant donn´es (x, y),(x0, y0)∈A,(x, y)R(x0, y0)⇔xy0=x0y.
(a) Montrez que Rest une relation d’´equivalence sur A.
(b) D´ecrivez la classe d’´equivalence de (0,1).
(c) Montrez que A/R est un ensemble infini.
D´efinition. Soit Aun ensemble. Une partition de Aest un ensemble Psatis-
faisant :
(i) Chaque ´el´ement de Pest un sous-ensemble non vide de A.
(ii) Les ´el´ements de Psont deux `a deux disjoints (ceci signifie que pour tout choix
de X, Y ∈P, on a soit X=Ysoit X∩Y=∅).
(iii) La r´eunion de tous les ´el´ements de Pest ´egale `a A.
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(5) Dans chaque cas, l’ensemble Pest-il une partition de A?
(a) A=R;P={(−∞,−3],(−3,2),(2,∞)}
(b) A= [0,1]; P={[0,1]}
(c) A=R;P={[n, n + 2) |n∈Z}car (par exemple) [0,2) ∩[1,3) 6=∅.
(d) A=R;P={[2n+ 1,2n+ 3) |n∈Z}
(e) A= [0,1); P=n[1
(n+2)2,1 (n+1)2)
n∈No
(f) A= (0,1]; P=n(1
(n+2)2,1 (n+1)2]
n∈No
(g) A=R2;P={Lr|r∈R}, o`u on d´efinit Lr={(x, y)∈R2|y= 2x+r}
(h) A=R2;
P={(x, y)∈R2|x<y},{(x, y)∈R2|x=y},{(x, y)∈R2|x > y}
Th´eor`eme 1. Soit Rune relation d’´equivalence sur un ensemble A. Alors A/R
est une partition de A.
Th´eor`eme 2. Soit Pune partition d’un ensemble A. Alors il existe une relation
d’´equivalence Rsur Atelle que A/R =P.
(6) Soit A={00,01,02,10,11,12,20,21,22}. On d´efinit une relation binaire Rsur A
par la condition suivante : ´etant donn´es x, y ∈A,
xRy ⇔la somme des chiffres dans xet ydonne le mˆeme r´esultat.
Par exemple : 02 R11 puisque 0 + 2 = 1 + 1. En fait, Rest une relation
d’´equivalence sur A(vous pouvez le prendre pour acquis).
D´ecrivez l’ensemble A/R des classes d’´equivalence. Quelle est la cardinalit´e de
l’ensemble A/R ? Le Thm 1 affirme que A/R est une partition de A; v´erifiez
directement que A/R est bien une partition de A.
(7) Existe-t-il une relation d’´equivalence sur Rtelle que, pour chaque x∈R, la classe
d’´equivalence de xest ´egale `a
(a) l’intervalle bxc,bx+ 1c? (b) l’intervalle bxc,bx+ 1c?
(8) Soit A={x∈Z|2≤x≤20}={2,3,4,...,19,20}.´ Etant donn´es x, y ∈A, on
d´eclare que xRy ⇐⇒ xet yont les mˆemes diviseurs premiers.
Ceci d´efinit une relation Rsur l’ensemble A.
Par exemple, on a 12R18 car 12 et 18 ont les mˆemes diviseurs premiers.
(a) Montrez que Rest une relation d’´equivalence sur l’ensemble A.
(b) On sait que A/R est une partition de A(Thm 1). Donnez cette partition :
A/R = 